Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số 1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ 2) Hàm đặc trưng được xác định sau khi thực hiện các phép biến đổi giữa các phương trình
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1) Hàm đặc trưng xác định từ phương trình hệ ìx - y = y - x (1) ï ï Bài ❶: Giải hệ phương trình í ïx + xy + y = (2) ï ỵ Lời giải: Ta có : (1) Û x + x = y + y Û f (x ) = f (y ) với + f (t ) = t + t f '(t ) = 3t + > "t Ỵ ¡ nên hàm số f (t ) đồng biến ¡ Nên (1) Û x = y thay vào (2) ta phương trình: x + x + x = 12 Û x = ±2 Với x = ±2 Þ y = ±2 Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) = (2;2); (-2; -2) ìx - y = 3x - 3y (1) ï ï Bài ❷: Giải hệ phương trình í ïx + y = (2) ï î Lời giải: Ta có : Û x - 3x - y - 3y Û f (x ) = f (y ) với f (t ) = t - 3t Từ phương trình (2) : x + y = Þ| x |,| y |£ Þ t £ Khi f '(t ) = 3t - £ 0"t £ ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Hàm số f (t ) nghịch biến (-¥;1) Nên (1) Û x = y thay vào (2) ta được: x2 + x4 = Û x4 + x2 -1 = Û x2 = -1 + -1 + Ûx =± 2 Với x = ± -1 + Þ y = ± -1 + 2 ổ ửổ ỗ -1 + -1 + ữ ỗ -1 + -1 + ữ ữ; ỗữ ữỗ ữ ; ;Vy h cú nghim (x ; y ) = ỗ ỗ ữỗ ữ ỗ ữỗ ữ 2 2 ỗ ữố ữ ố ø ø ìx + x - = y + 3y + 4y (1) ï ï Bài ❸: Giải hệ phương trình í ïx + y + = (2) ï ỵ Lời giải: (1) Û x + x = y + 3y + 4y + Û x + x = (y + 1)3 + (y + 1) Û f (x ) = f (y + 1) với f (t ) = t + t f '(t ) = 3t + > 0"t Ỵ ¡ Nên (1) Û x = y + Û y = x - thay vào (2) ta được: x + (x - 1)3 + = Û x (x + x - 3x + 3) = é x =0 Û êê Û x + x - 3x + = êë éx = ê ê 3ư ê ỉ ữ +3=0 ỗ ờx + ỗx - ữ ữ ỗ ÷ 2ø è êë Với x = Þ y = -1 Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) = (0; -1) ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ìx - 3x + = y + 3y (1) ï ï Bài ❹: Giải hệ phương trình ï í ï3 x - = y + 8y (2) ï ï ỵ Lời giải: ìy + 3y ³ ï ï ì ï ï ï ïy + 8y ³ Û íy ³ Điều kiện: í ï ïx ³ ïx - ³ ï ỵ ï ï ỵ Khi (1) Û x - 3x + = y y + Û (x - 1) - 3(x - 1) = Û f (x - 1) = f ( ( ) y +3 -3 y +3 ) y + với f (t ) = t - 3t f '(t ) = 3t - ³ 0"t ³ Hàm số f (t ) đồng biến (1; +¥) Nên (1) Û x - = y + Û x - 2x + = y + Kết hợp với (2) ta có hệ phương trình : ìx - 2x + = y + ìx - 2x + = y + ìx - 2x - = y ï ï ï (1¢) ï ï ï Ûí Ûí í ï3 x - = y + 8y ï9(x - 2) = y + 8y ï9x - 18 = y + 8y (2¢) ï ï ï î î ï î Thế (1') vào (2 ') ta phương trình: 9x - 18 = (x - 2x - 2) + (x - 2x - 2) Û 9x - 18 = x - 4x + 8x - 8x - 12 Û x - 4x + 8x - 17x + = Û (x - 3)(x - x + 5x - 2) = éx = Û êê Û x = Do x - x + 5x - > "x ³ 2 êëx - x + 5x - = ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Với x = Þ y = Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) = (3;1) ìx - y - = 3x - 3y ï (1) ï Bài ❺: Giải hệ phương trình í ïx + - x - 2y - y + = (2) ï ï ỵ ì-1 £ x £ ï í Lời giải: Điều kiện ï0 £ y £ ï ï ỵ Khi đó: (1) Û x - 3x - = y - 3y Û (x + 1) - (x + 1) = y - 3y Û f (x + 1) = f (y ) với f (t ) = t - 3t f ' (t ) = 3t - £ 0"t Î [-1; 1] Hàm số nghịch biến (-1;1) Nên (1) Û x = y - Thay vào (2) ta phương trình: x + - x - (x + 1) - (x + 1) + = Û x2 - 1-x2 + = Û x + = - x (*) Ûx =0 ì ï (*) = x + ³ VT ï Do í ï (*) = - x £ VP ï ï ỵ Với x = Þ y = Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) = (0;1) ìx - 12x - y + 6y - 16 = ï (1) ï Bài ❻: Giải hệ phương trình í ï4x + - x - 4y - y + = (2) ï ï ỵ ì-2 £ x £ ï í Lời giải: Điều kiện ï0 £ y £ ï ï ỵ ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHƠNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Khi đó: (1) Û x - 12x = y - 6y + 16 Û x - 12x = (y - 2) - 12 (y - 2) Û f (x ) = f (y - 2) Với f (t ) = t - 12t Với điều kiện x Ỵ éêë-2;2ùúû ; y ẻ ộờở0; 4ựỳỷ ị t ẻ ộờở-2;2ựỳỷ Suy f ' (t ) = 3t - 12 £ 0"t Ỵ éêë-2;2ùúû Hàm số f (t ) nghịch biến éêë-2;2ùúû Nên (1) Û x = y - Û y = x + thay vào (2) ta phương trình : 4x + - x - (x + 2) - (x + 2) + = Û 4x + - x - - x + = Û 4x + = - x Û 16x + 48x + 36 = 36 - 9x Û 16x + 57x = Û x (16x + 57 ) = Ûx =0 Với x = Þ y = Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) = (0;2) ì x + x + 4x + + y y + + x + y + = (1) ï( ) ï Bài ❼: Giải hệ phương trình ï í ï x +y +1 = x -y +1 (2) ï ï ỵ Lời giải: Điều kiện x + y + ³ ( Khi (1) Û x + ) (x + 2) + + x + = -y (-y ) + - y Û f (x + 2) = f (-y ) với f ' (t ) = t + + t2 t2 + f (t ) = t t + + t + > 0"t Ỵ ¡ Hàm số đồng biến ¡ Nên (1) Û x + = -y Û y = -x - thay vào (2) ta phương trình : ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 x + (x + 2) + = x + x + + Û 2x + 4x + = 2x + ì ï ì2x + ³ ïx ³ - ï ï Ûí Ûï í 2 ï2x + 4x + = 4x + 12x + ï2x + 8x + = ï ï ỵ ï ỵ ì ï ïx ³ - Ûï Û x = -2 + í ïx + 4x + = ï ï ỵ Với x = -2 + Þ y = - (khơng thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình vơ nghiệm ì 53 - 5x 10 - x + 5y - 48 - y = ï( (1) ) ( ) ï Bài ❽: Giải hệ phương trình ï í ï 2x - y + + x = -2x + y + 11 + 2x + 66 (2) ï ï ỵ ìx £ 10, y £ ï ï ï í Lời giải: Điều kiện ï2x - y + ³ ï ï-2x + y + 11 ³ ï ï ỵ Khi (1) Û (50 - 5x + 3) 10 - x + (5y - 45 - 3) - y = 3 Û 10 - x + 10 - x = - y + - y Ûf ( ) 10 - x = f ( -y ) Với f (t ) = 5t + 3t, t ³ f ' (t ) = 15t + > "t ³ Hàm số đồng biến (0; +¥ vào (2) ta phương trình : ) Nên (1) Û 10 - x = - y Û y = x - thay 2x - (x - 1) + + x = -2x + x - + 11 + 66 ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Û x + + x = 10 - x + 2x + 66 Û x + - 10 - x +x - 2x - 66 = ì2y + 2x - x = - x - y (1) ï ï Bài ❾: Giải hệ phương trình ï í ïy + = 2x + 2xy + x (2) ï ï ỵ Lời giải: Điều kiện -1 £ x £ Khi (1) Û 2y + y = -2x - x + - x Û 2y + y = (1 - x - 1) - x + - x Û 2y + y = Û f (y ) = f ( ( 1-x 1-x ) ) + 1-x 3 Với f (t ) = 2t + t, t ³ f ' (t ) = 6t + > 0"t ³ Hàm số đồng biến (0; +¥) Nên (1) Û y = - x thay vào (2) ta được: - x + = 2x + 2x + 2x - x Đặt x = cos t, t Ỵ (0; p ) Ta phương trình - cos t + = cos2 t + cos t - cos2 t t = cos2 t - + cos t sin t t Û sin = cos 2t + sin 2t æ t pử ữ sin = sin ỗ2t + ữ ỗ ç ÷ 4÷ è ø Û sin2 ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 é é ê2t + p = t + k 2p êt = - p + k p (k, m ẻ Â) ờờ ờờ p t 3p ê2t + = p - + m 2p êt = + mp ê ê 10 ở Do t ẻ (0; p ) ị t = Với x = cos 3p 3p Þ x = cos 10 10 3p 3p 3p (thỏa mãn điều kiện) Þ y = - cos = sin 10 10 20 ỉ 3p 3p ÷ Vậy hệ cú nghim nht (x ; y ) = ỗcos ; sin ữ ỗ ữ ữ ỗ 10 20 ø è ì ï x 1-y ï ï + x + y = (1) ï Bài ❿: Giải hệ phương trình í1 + - x + y ï ï 1-x + + y = 2 ï (2) ï ỵ ì0 £ x £ ï í Lời giải: Điều kiện ï0 £ y £ ï ï ỵ Khi (1) Û x + 1-x +x = 1-y + - (1 - y ) () Û f (x ) = f (1 - y ) với f t = t + f ' (t ) = + (1 + - t ) + t t (1 + - t ) + (1 - y ) t + 1-t ,t ³ t - t > "t ³ Hàm số đồng biến (0; +¥) Nên (1) Û x = - y Û y = - x thay vào (2) được: ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 1-x + +1- x = 2 Û 1-x + -x = 2 Û 1-x + -x =0 2 1 -x -x 2 Û + =0 1-x + 5-x + 2 ổ ữ ỗ ữ ç ÷ ỉ1 ưç ÷ 1 ç - x ữỗ ữ= ữỗ ỗ + ữ ữỗ ỗ2 ữỗ ữ ữ ố ứỗ ữ 5-x + ữ ç 1-x + ç è ø 2÷ Ûx = ổ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ 1 ỗ ữ > 0"x ẻ ộ 0;1ự + ữ Do ỗ ờở ỳỷ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ 1-x + 5-x + ữ ç ÷ ç è 2ø Với x = ỉ1 1ư 1 ÷ Vậy hệ có nghiệm nht (x ; y ) = ỗ ; ữ ỗ ịy = ữ ỗ2 2ứ ữ ố 2 ì - x - x - 2y 2y - = (1) ï( ) ï Bài ⓫: Giải hệ phương trình ï í ï x +2 +2 y +2 = (2) ï ï ỵ ìx £ ï ï í Lời giải: Điều kiện ïy ³ ï ï ï ỵ Khi (1) Û (2 - x + 1) - x - (2y - + 1) 2y - = ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ) + - x = ( 2y - 1) + Û f ( - x ) = f ( 2y - 1) Û ( 15/09/2014 2-x 3 2y - Với f (t ) = t + t, t ³ f ' (t ) = 3t + > 0"t ³ Hàm số đồng biến (0+; ¥) Nên (1) Û - x = 2y - Û x = - 2y thay vào (2) ta phương trình: - 2y +2 y + = ìu = - 2y ỉ ï ï 5ư ÷ ç ï ÷ Ta có hệ: çu £ 4; v ³ Đặt í ÷ ÷ ïv = y + ỗ ỗ 2ứ ữ ố ù ù î ì ï ïv = - u ì ï ï ìu + 2v = ïv = - u ï ï ï ï Ûí Ûï í í 2 ỉ5 - u ïu + 2v = ï ï2u + u - 10u + = ữ =9 ỗ ù ùu + ỗ ù ợ ữ ù ù ữ ợ ỗ ứ ữ ù ố ù ợ ỡ ï ïv = - u ï ï ï ïé ïê ì ï ïu =1 ïv = - u ïê ï ï Ûí Û íê -3 + 65 ï ïê ï(u - 1)(2u + 3u - ) = ï ï ïêu = ï ỵ ïê ï ïê -3 - 65 ïê ïu = ïê ïë ỵ Với giá trị u thỏa mãn điều kiện nên é = ê ê -3 + 65 -u 3 y= ; x = - 2y = - + u = u - với êêu = ê ê -3 - 65 = êë ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 10 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ì ìy ³ ïy ³ ï ï Ûï Ûí Û í ïy + 2y - y - 2y = ïy (y + 2y - y - 2) = ï ï î î éy ê êy êë ìé ï ïêx ïê ï = ïêy ï ï Þ í êë ï =1 ï éx ïê ïê ïy ïêë ï ỵ =0 = =1 =1 ỉ1 ÷ Vậy hệ cú nghim (x ; y ) = (1;1); ỗ ; 0ữ ỗ ữ ỗ2 ứ ữ ố ỡ 4x + x + y - - 2y = (1) ï( ) ( ) ï Bài ⓯: Giải hệ phương trình ï í ï4x + y + - 4x = (2) ï ï ỵ (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2010) ì ï ïx £ ï í Lời giải: Điều kiện ï ï ïy £ ï ï ỵ Khi (1) Û (8x ) + 2x = Û f (2x ) = f ( ( - 2y ) )+ - 2y - 2y với f (t ) = t + t f ' (t ) = 3t + > "t Ỵ ¡ Hàm số đồng biến trên ¡ Nên (1) Û 2x = ìx ³ ï ìx ³ ï ï ï ï - 2y Û í Ûí thay vào (2) ta được: ï4x = - 2y ïy = - 4x ï ï ỵ ï ỵ ìx ³ ï ï ï ï í ỉ - 4x ÷ + - 4x = (*) ù4x + ỗ ữ ỗ ù ữ ỗ ứ ữ ù ố ï ỵ ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHƠNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 14 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 é ù æ - 4x ö ÷ + - 4x liên tục ờ0; ỳ ỗ ữ Xột hm s g (x ) = 4x + ỗ ữ 4ỳ ỗ ø ÷ è ë û ỉ5 ỉ 3ư 4 ÷ g ' (x ) = 8x - 8x ỗ - 2x ữ = 4x (4x - 3) < "x ẻ ỗ0; ữ ỗ ç ÷ ÷ ç2 ç ÷ ÷ ÷ è ø è 4ø - 4x - 4x ỉ1ư g ç ÷ = nên (*) có nghiệm x = ị y = Mt khỏc ỗ ữ ỗ2ữ ố ữ ứ ổ1 ữ Vy hệ có nghiệm (x ; y ) = ç ;2÷ ç ÷ ç2 ø ÷ è ìx - y + 3x + 6x - 3y + = ï (1) ï Bài ⓰: Giải hệ phương trình í ï2 - x - 3 + 2y - y - 3x + = (2) ï ï ỵ ì-2 £ x £ ï í Lời giải: Điều kiện ï3 + 2y - y ³ ï ï ỵ Khi (1) Û x + 3x + 6x + = y + 3y Û (x + 1) + (x + 1) = y + 3y Û f (x + 1) = f (y ) Với f (t ) = t + 3t f ' (t ) = 3t + > "t Ỵ ¡ Hàm số đồng biến ¡ Nên (1) Û x + = y thay vào (2) ta được: - x - 3 + (x + 1) - (x + 1) - 3x + = Û -3x + = - x ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 15 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ì ì ï ï ïx £ ïx £ ï Ûí Ûï í 3 ï9x - 12x + = - x ï10x - 12x = ï ï ï ï ỵ ỵ ì ï ïx £ Ûï Ûx =0Þy =1 í ï ï2x (5x - 6) = ï ï ỵ Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) = (0;1) Bài ⓱: Giải hệ phương trình ìx 2y - 2x - 2y + 5y - = ï ï í ï y + + x - y = 2xy - x + x - 2xy + y + + y ï ï ỵ (1) (2) ìx - y ³ ï í Lời giải: Điều kiện ïy ³ ï ï ỵ (x - y ) Khi đó: (2) Û y + - y - y = Û f (y ) = f (x - y ) Với f ' (t ) = t t +1 - t - 2t £ t - + - x - y - (x - y ) f (t ) = t + - t - t 2, t ³ t - 2t < Hàm số đồng biến (0; +¥) Nên (1) Û y = x - y Û x = 2y thay vào (1) ta được: 4y - 10y + 5y - = Û (y - 2)(4y - 2y + 1) = Ûy =2Þx =4 Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) = (4;2) ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 16 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ì ỉy + y2 + ÷ ï ï ÷ (1) ỗ ù(x - y )(x + xy + y - 2) = ln ỗ ữ ỗ ù ỗx + x + ữ Bi : Giải hệ phương trình í ÷ è ø ï ïx y - 3xy - = ï (2) ï ỵ Phân tích hướng giải: Phương trình thứ hệ dường ta khó tìm hàm đặc trưng nên ta cố gắng tìm hàm đặc trưng phương trình (1) ( ) ( 3 2 Ta có: (1)Û x - y - (x - y ) = ln y + y + - ln x + x + ( ) ( Û x - 2x + ln x + x + = y - 2y + ln y + y + ( Hàm đặc trưng: f (t ) = t - 2t + ln t + t + ) ) ) Việc giải phương trình (2) có đôi chút phiền phức Các bạn thử chứng minh phương trình x - 3x - = có nghiệm (0; 2) dùng lượng giác để tìm ỉ pư ÷ nghiệm phương trình cỏc t x = cos t, t ẻ ỗ0; ữ ỗ ữ ỗ 2ứ ữ ố ỡ x + + x - - y + = y (1) ï ï Bài ⓳: Giải hệ phương trình í ïx + 2x (y - 1) + y - 6y + = (2) ï ï ỵ ( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2013) Lời giải: Điều kiện x ³ Khi (1) Û x + + x - = y + y + ( Û f( Û 4 ) x - 1) = f (y ) x -1 + + x -1 = y + + y4 + Với f (t ) = t + t + f ' (t ) = + ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC 2t t4 + LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 17 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 2 Để ý phương trình (2) : x + 2y (y - 1) y - 6y + = Û éêx + (y - 1)ùú = 4y ³ Þ y ³ Nên f ' (t ) > "t ³ ë û 4 Hàm f (t ) đồng biến (0; +¥) Nên (1)Û x - = y Û x = y + thay vào (2) ta phương trình : (y + 1) + (y + 1)(y - 1) + y - 6y + = Û y + 3y + + (y - y + y - 1) + y - 6y + = Û y + 2y + y - 4y = Û y (y + 2y + y - 4) = Û y (y - 1)(y + y + y + 3y + 3y + 3y + 4) = éy = Û êê êëy = Do (y + y + y + 3y + 3y + 3y + 4) > 0"y ³ Với y = Þ x = Với y = Þ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) = (1; 0); (2;1) ìx - 3x - 9x + 22 = y + 3y - 9y ï ï ï Bài ⓴: Giải hệ phương trình í ïx + y - x + y = ï ï ỵ (1) (2) ( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2012) Lời giải: Ta có (1)Û x + 3x + 3x - - 12x + 12 = y + 3y + 3y + - 12y - 12 Û (x - 1) - 12 (x - 1) = (y + 1) - 12 (y + 1) ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 18 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ỉ ỉ 1ư 1ư ÷ ÷ Từ phương trình (2) ị ỗx - ữ + ỗy + ữ = ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ 2ữ 2ữ ố ø è ø 2 ì ï ì ì ï ï ïx - £ ï- £ x £ ï- £ x - £ ï ï ï ï ï Ûï 2 Þï Ûí í í ï ï ï 1 ï y + £ ï- £ y £ ï- £ y + £ ï ï ï ï ï ï 2 ỵ ỵ ï ỵ é 3ù ê 2ú ë û é 3ù ê 2ú ë û () Xét hàm số f (t ) = t - 12t ê- ; ú f ' t = 3t - 12 < "t Ỵ ê- ; ú é 3ù Hàm số nghịch biến êê- ; úú ë 2û Nên (1) Û x - = y + Û y = x - thay vào (2) ta phương trình: x + (x - 2) - x + x - = 2 é êx = 3 Û 2x - 4x + = Û êê êx = ê ë Với x = 1 Þ y = - , với x = Þ y = 2 2 ỉ 1ử ổ1 3ử ữỗ ữ Vy h phng trỡnh cú nghim (x ; y ) = ỗ ; - ữ; ỗ ; - ữ ỗ ữ ữ ữố ữ ỗ 2 ứ ỗ2 ứ ố 2) Hàm đặc trưng xác định sau thực phép biến đổi phương trình ì + x + x = + y (1) ï ï Bài ❶: Giải hệ phương trình ï í ï + y + y = + x (2) ï ï ỵ ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 19 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Phân tích hướng giải: Để ý hai phương trình hệ có đối xứng ẩn x ẩn y Nếu ta trừ vế phương trình (1) cho phương trình (2) ta nhận hàm đặc trưng: (1) - (2) Þ + x2 + x = + y2 + y Hàm đặc trưng: f (t ) = + t + t đơn điệu "t ³ Nghiệm : … ì + x + x + = + y + (1) ï ï Bài ❷: Giải hệ phương trình ï í ï + y + y + = + x + (2) ï ï ỵ Phân tích hướng giải: Tương tự với ❶, phương trình hệ có đối xứng nên: (1) - (2) Þ + x2 + x + = + y2 + y + Hàm đặc trưng: f (t ) = + t + t + đơn điệu "t ³ -3 Nghiệm: … ì2x + x + x + = 2y + y + 2y + (1) ï ï Bài ❸: Giải hệ phương trình í ïx + 2y - 2x + y - = (2) ï ï ỵ Phân tích hướng giải: Nhìn vào phương trình hệ, ta thấy phương trình xuất thức x + 2y + Liệu thức có liên quan? Mặt khác phương trình thứ xuất dạng tam thức bậc phân tích kiểu D phương khơng ổn Nếu ta dựa vào thức làm “điểm” tựa cho việc tìm hàm đặc trưng việc tìm hàm đặc trưng dễ dàng việc đưa phương trình (2) độc lập: ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 20 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 x - 2x = -2y - y + Rồi lấy vế (1) - (2) ta được: (x + 2) + x + - (x + 2) = (2y + 1) + 2y + - (2y + 1) 2 Ta thấy rõ hàm đặc trưng: f (t ) = t + t - t ì ï ï(y + 1) + y y + = x + (1) ï Bài ❹: Giải hệ phương trình í ï ïx + x - 2x + = + 2x - 4y + (2) ï ï ỵ Phân tích hướng giải: Phương trình (2) hệ có xuất thức, thức có độc lập x - 2x + thức cịn lại khơng có độc lập Nhưng biểu thức bậc liên hệ mật thiết với ẩn x bậc phương trình (1) Liệu phương pháp có phát huy tác dụng việc tìm hàm đặc trưng? 2x - 4y + lại có ẩn x Lời giải: Điều kiện 2x - 4y + ³ Khi (1) Û 2x = 2y + 4y - + 2y y + vào (2) ta phương trình: x + x - 2x + = + 2y + + 2y y + Û (x - 1) + Û (x - 1) + Û (x - 1) + (x - 1) ( + = y + y2 + ( (x - 1) + = y + y + (x - 1) ) ) + = 2y + 4y + (3) Xét hàm số f (t ) = t + t + f ' (t ) = + t t +4 > 0"t Ỵ ¡ Hàm số đồng biến ¡ Nên (3) Û x - = 2y Û x - = 2y thay vào (1) ta được: ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 21 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ (y + 1) Û y y2 + = 15/09/2014 + y y + = 2y + -y ì ì ï ï ïy £ ïy £ ï ï ï 2 Û y2 = Û y = ± Ûí Ûï í ï 2 ï 16 ïy (y + 1) = - 3y + y ï4y = ï ï ï ï 4 ợ ợ ị x = ,với y = - Þ x = - (thỏa mãn điều kiện) 4 ỉ5 3ư ỉ 3ử ữỗ ữ Vy phng trỡnh cú nghim (x ; y ) = ỗ ; ữ; ỗ- ; - ữ ỗ ữỗ ữ ỗ2 ứ ố ø ÷ ÷ è Với y = ìx + x - 2x + = 3y + y + (1) ï ï Bài ❺: Giải hệ phương trình í ïx - y - 3x + 3y + = (2) ï ï ỵ Phân tích hướng giải: Sự xuất thức cho sở để tìm hàm đặc trưng Nhận thấy x - 2x + = f (x - 1) = f (y ) (x - 1) + y + nên ta tìm hàm f cho Mặt khác ta cộng phương trình (1) với phương trình (2) : x + x - 2x + = (x - 1) 3y + y - 3y = y hàm đặc trưng xuất Cộng vế phương trình (1) với phương trình (2) ta phương trình : (x - 1) + (x - 1) + = y2 + y2 + Hàm đặc trưng: f (t ) = t + t + ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 22 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ỉ 1ử ữ x;y ) = ỗ ; ữ Nghim ( ỗ ữ ỗ2 2ứ ữ ố ỡy + 3xy - 17x + 27 = x - 3x + 13y (1) ï ï Bài ❻: Giải hệ phương trình í ïx + y + xy - 6y - 5x + 10 = (2) ï ỵ Phân tích hướng giải: Nhìn thống qua phương trình (1) hệ có dạng hàm bậc quen thuộc Nhưng có điều biểu thức 3xy làm độc lập hai ẩn nên ta có gắng làm biểu thức Mặt khác, phương trình (2) xuất biểu thức xy nên muốn tiêu biến 3xy phương trình ta lấy phương trình (1) - 3(2) ta được: y - 3y + 5y - = x + 2x Nhìn vào biểu thức việc chọn hàm đặc trưng dễ nhận thấy, lấy biểu thức đơn giản để chọn hàm đặc trưng x + 2x y - 3y + 5y - = (y - 1) + (y - 1) 3 Hàm đặc trưng: f (t ) = t + 2t ỉ2 5ư ÷ Nghiệm (x ; y ) = (2; 3); ỗ ; ữ ỗ ữ ỗ 3ứ ữ ố ỡx + xy = y 10 + y ï (1) ï Bài ❼: Giải hệ phương trình í ï 4x + + y + = (2) ï ï ỵ Phân tích hướng giải: Đây tốn có khác nhiều tìa liệu tham khảo Mặc dù hàm đặc trưng khơng có độc lập x y số mũ phương trình (1) cho suy nghĩ đến việc chia cho biểu thức (dạng đẳng cấp) ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 23 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Chia Chú ý phương trình (1) biểu thức x + xy đẳng cấp bậc nên ta chia hai vế phương trình (1) cho y được: ổx ữ ỗ ữ + x = y5 + y ỗ ữ ỗy ữ y ố ứ 5 Hàm đặc trưng: f (t ) = t + t Nghiệm (x ; y ) = (1;1); (1; -1) ì2x 2y + y = x + 2x ï (1) ï Bài ❽: Giải hệ phương trình í ï(x + 2) y + = (x + 1) (2) ï ï ỵ Phân tích hướng giải: Tương tự Bài ❼, ta chia vế phương trình (1) cho x ta được: ỉy ỗ ữ + y = x + 2x ỗ ữ ữ ỗx ứ x ố ữ 3 Hàm đặc trưng: f (t ) = t + 2t Nghiệm:… ìx (2 + 3y ) = (1) ï ï Bài ❾: Giải hệ phương trình í ïx (y - 2) = (2) ï ï ỵ Phân tích hướng giải: ì ï ï2 + 3y = ï ï x3 Đem lại cô lập hai ẩn cách đưa hệ dạng í ï ïy - = ï ï x ợ (1Â) (2Â) ổ2ử ổ2ử (1') + (2 ') ị y + 3y = ỗ ữ + ỗ ữ ç ÷ ç ÷ çx ÷ ç ÷ ÷ è ÷ ø èx ø 3 Hàm đặc trưng: f (t ) = t + 3t ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 24 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 ỉ 1ư ÷ x ; y ) = (1;2); ỗ-4; - ữ Nghim ( ỗ ỗ ữ 2ữ ố ứ ỡ(x + y )(2x - y ) + = -6x - 3y ï (1) ï Bài ❿: Giải hệ phương trình í ï 3x - + (2x + 1) = y - + 3y (2) ï ï ỵ Phân tích hướng giải: Ta khơng tìm thấy liên quan thức nên việc dựa vào thức để tìm hàm đặc trưng khó khăn Tuy nhiên phương trình (1) lại có dạng bậc hai ẩn x ẩn y nên ta thử phân tích (1) thành tích: (1) Û (x + y + 1)(2x - y + 4) = Khi cơng việc cịn lại nhẹ nhàng !!! Các bạn làm tiếp nhé! ìx 4y + + x + x = ï ( (1) ) ( ) ï Bài ⓫: Giải hệ phương trình ï í ïx y + 4y + = x + x + (2) ï ï ỵ ( ) Phân tích hướng giải: Nhìn phương trình (2) quen thuộc Nếu ta chia hai vế (2) cho x ( x ¹ ) ta nhận hàm đặc trưng: 1 2y + 2y (2y ) + = + x x ổ1ữ ỗ ữ +1 ỗ ữ ỗx ữ è ø Hàm đặc trưng: f (t ) = t + t t + Lời giải: Điều kiện x ³ Nhận thấy x = không nghiệm hệ, nên ta chiacả hai vế phương trình (2) cho x được: 1 2y + 2y (2y ) + = + x x ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHễNG HC ổ1ữ ỗ ữ + (3) ỗ ữ ỗx ữ ố ứ LP 12A1-THPT Lấ LI, TÂN KỲ, NA 25 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Xét hàm số f (t ) = t + t t + đơn điệu ¡ Nên (3) Û 2y = được: thay vo (1) x ổ1 ữ x ỗ + 1÷+ (x + 1) x = Û x + x + (x + 1) x = ỗ ữ ỗx ữ ố ø Xét hàm số g (x ) = x + x + (x + 1) x , x ³ g ' (x ) = 3x + + 4x x + 2 x2 +1 x > "x ³ Hàm g (x ) đơn điệu Nhận thấy g (1) = nên suy x = nghiệm phương trình g (x ) = ổ 1ữ ỗ1; ữ Với x = Þ y = Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) = ç ÷ ç 2÷ è ø ( )( ì ï x + - 3x 2y + ï Bài ⓬: Giải hệ phương trình ï í ïx y - x + = ï ï î ) 4y + + = 8x 2y (1) (2) Phân tích hướng giải: Sự lập ẩn phương trình đặt lên hàn đầu Để chọn phương trình để tìm hàm đặc trưng ta nên chọn phương trình (1) cần nhiều phép biến đổi phương trình (2) “trơ trọi” Bây ta thực công việc cô lập Nhận thấy x = không nghiệm (1) Û ( ) x + - 3x y + 2 4y 4y + - Û x + - 3x 2y + = 2x 2y Û ( = 8x 2y x + + = 2y 4y + + y (3) x x ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC ) 4y + - LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 26 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Bây ta thấy vai trị phương trình (2) Từ (2) Þ vào (3) ta có ngay: x ổ1ử ỗ ữ + + = 2y ỗ ữ ữ ỗx ứ x ố ữ (2y ) 2 = -y + thay x x + + 2y Hàm đặc trưng: f (t ) = t + t t + đơn điệu ¡ ỉ 1ư Nghiệm: (x ; y ) = ỗ4; ữ ỗ ữ ữ ỗ 8ứ è ÷ ì3x - 2x - + 2x x + = y + y + 2y + (1) ï ( ) ï Bài⓭:Giải hệ phương trình í 2 ïx + 2y = 2x - 4y + (2) ï ï ỵ Phân tích hướng giải: Nhìn vào hai thức nhận mối liên quan mật thiết y + 2y + = x + (y + 1) + Ta cố gắng tìm hàm f cho f (x ) = f (y + 1) Lấy vế phương trình (1) -(2) ta được: x + x x + = (y + 1) + (y + 1) (y + 1) + 2 Hàm đặc trưng xuất Lời giải: Lấy vế phương trình (1) - (2) ta x + x x + = (y + 1) + (y + 1) (y + 1) + (3) ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 27 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Xét hàm số f (t ) = t + t t + f ' (t ) = 2t + t + + t2 t2 + ³ 2t + | t |³ ( Sử dụng BĐT Cauchy) Hmà số đồng biến ¡ nên (3) Û x = y + thay vào (2) được: (y + 1) + 2y = (y + 1) - 4y + éy ê Û 3y + 4y - = Û ê êy êë ìéx ï ïê ï ïêy ïêë = -2 ï ï Û ïéê íx ïê = ï ïê ï ïêy ïê ïë ï ỵ = -1 = -2 = = ỉ5 2ư ÷ Vậy phương trình có nghiệm (x ; y ) = (-1; -2); ỗ ; ữ ỗ ữ ữ ỗ3 3ứ ố Ti liu vit tng cỏc bn thành viên lớp 12A1 Chúc cho tất thành cơng! :) ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHƠNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 28 ... 19 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Phân tích hướng giải: Để ý hai phương trình hệ có đối xứng ẩn x ẩn y Nếu ta trừ vế phương trình (1) cho phương trình (2) ta nhận hàm. .. 10 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )( ) ì ï x + x + y + y + = (1) ï Bài ⓬: Giải hệ phương trình ï í ï27x = x - 8y + (2) ï ï î Lời giải: ... LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 15/09/2014 Với x = Þ y = Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) = (3;1) ìx - y - = 3x - 3y ï (1) ï Bài ❺: Giải hệ phương trình í ïx + - x -