SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG TRỰC ******* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT  GIÁO VIÊN : NGUYỄN HOÀNG MINH Năm học : 2001 – 2002 ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT (GV: Nguyễn Hoàng Minh; Trường THPT Nguyễn Trung Trực) A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong kỳ thi tuyển sinh vào các trường Cao Đẳng và Đai học ta thường gặp bài toán sau đây: “Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Tìm các điểm M để từ đó vẽ được 2 hoặc 3 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C).” Tôi xin đơn cử ví dụ sau đây: • Ví dụ: “ Cho đường cong (C): 2 1 . x y x + = Tìm các điểm trên trục Ox để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C). • Lời giải của đa số các sách tham khảo: Gọi M(x 0 ,0) ∈ Ox, (d) là đường thẳng qua M và có hệ số góc k, phương trình của (d) là: y=k(x-x 0 ). (d) tiếp xúc với (C) <=>hệ phương trình sau đây có nghiệm: 2 0 2 1 ( ) 1 x k x x x x k x  + = −    −  =   (1) Thay (2) vào (1) được phương trình: 2 2 0 2 1 1 ( ) x x x x x x + − = − <=> x 0 x 2 + 2x – x 0 =0 (x ≠ 0) (3) Từ M vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số <=> (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 : <=> ' (3) 0 0 (0) 0 x g ≠   ∆ >   ≠  trong đó g(x)= x 0 x 2 + 2x – x 0 <=> 2 0 0 0 0 1 0 0 0 x x x x ≠   + > ⇔ ≠   − ≠  Kết luận: Các điểm cần tìm là: 0 0 ( ,0) 0 M x x   ≠  Rõ ràng lời giải trên thiếu chặt chẽ, bởi vì nếu phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 và k (x1) =k (x2) thì ta chỉ tìm được 1 tiếp tuyến vẽ từ M đến đường cong (C) chứ không phải 2 tiếp tuyến phân biệt. Do đó, để tìm lời giải chặt chẽ cho ví dụ trên và các bài toán tương tự là 1 công việc cấp bách và cần thiết. Trong phạm vi của bài viết này, tôi xin bổ sung để bài giải cho loại toán này được chính xác, mong nhận được sự đóng góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp. B.NOÄI DUNG, BIEÄN PHAÙP: I. Quá trình phát triển kinh nghiệm: Trước đây khi giảng dạy đến dạng bài tập này, tôi cũng thực hiện tương tự như lời giải trong sách tham khảo. Ưu điểm của cách giải trên là gọn gàng, nếu học sinh nắm vững cách viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) đi qua 1 điểm cho trước thì có thể làm được dạng toán này. Nhược điểm lớn nhất của cách giải trên là thiếu chính xác, từ đó bản thân cảm thấy day dứt khi mình truyền đạt cho học sinh cách giải này. Đặc biệt, trong kỳ thi tuyển sinh vào trường Đại Học An Giang năm học 2001 có bài tương tự và tôi có tham gia chấm. Những học sinh giải thiếu chính xác chỗ này bị trừ điểm rất nặng. II. Biện pháp mới thực hiện: Sau khi dạy xong bày “ Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) đi qua 1 điểm cho trước” tôi làm theo các bước sau đây: 1. Bước 1: Cho học sinh các bài tập sau đây về nhà chuẩn bị: Bài 1: Cho đường cong (C) : 2 4 1 x x y x − = − . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(1, -4). Bài 2: Cho đường cong (C): y=x 4 -2x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(0, -1). Bài 3: Cho đường cong (C): y=x 3 -9x 2 + 17x +3. Qua A(-2,6) có thể vẽ được mấy tiếp tuyến với (C). 2. Bước 2: Giáo viên và học sinh thực hiện tại lớp: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò - Nếu cách viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C): y= f(x) đi qua điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) cho trước - Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=x 4 -2x 2 . đi qua A(0, -1). - Bài giải này, giáo viên cho học sinh nhận xét và sau đó không xoá bảng, vì còn để gợi ý cho bài tập tiếp theo - Thầy nói: Trên nền tảng của bài toán này, các em hãy, suy nghĩ và giải bài toán sau đây: “Cho đường cong (C): 2 1 . x y x + = Hãy tìm các điểm M thuộc trục hoành để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C).” - Để giúp học sinh giải bài toán này, thầy có thể dựa trên hệ thống câu hỏi sau đây: + Điểm M ∈ Ox có toạ độ như thế nào? + Khi thay (2) vào (1) thì ta được phương trình với ẩn là gì? + Để vẽ được hai tiếp tuyến phân biệt đến (C) <=> phương trình (3) phải như thế nào? - Thầy cho các em khác nhận xét - Gọi (d) là đường thẳng đi qua M 0 và có hệ số góc k.(d): y= k(x-x 0 ) +y 0 (d) tiếp xúc với (C) <=> hệ phương trình sau đây có nghiệm: 0 0 ( ) ( ) '( ) f x k x x y f x k = − +   =  (1) (2) Thay (2) vào (1) được phương trình: f(x)=f’(x).(x-x 0 ) + y 0 (3) Giải (3) tìm x, thay x tìm được vào (2) tìm k, từ đó suy ra phương trình của (d). - Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(0,-1) và có hệ số góc k. (d): y=kx-1 (d) tiếp xúc (C) <=> hệ phương trình sau đây có nghiệm: 4 2 3 2 1 4 4 x x kx x x k  − = −   − =   (1) (2) Thay (2) vào (1) ta được: x 4 -2x 2 =(4x 3 -4x)x-1 <=> 3x 4 -2x 2 -1=0 <=> x 2 =1 <=> 1 1 x x =   = −  Khi x=1 ta được k=0 Khi x=-1 ta được k=0 Kết luận: Có 1 tiếp tuyến với (C) đi quan A(0,-1) là (d): y = -1 - Gọi M(x 0 ,0) ∈ Ox, (d) là đường thẳng qua M và có hệ số góc k. (d): y= k(x-x 0 ) (d) (C) <=> hệ phương trình sau có nghiệm: 2 0 2 1 ( ) 1 x k x x x x k x  + = −    −  =   về cách giải bài toán trên bảng. - Nếu học sinh không phát hiện ra thì giáo viên hướng dẫn học sinh lại bài toán về nhà đã làm còn để trên bảng, giáo viên nói, phương trình 3x 2 -2x 2 -1=0 có 2 nghiệm phân biệt x=1 và x=-1 nhưng khi tìm k chỉ có 1 giá trị duy nhất k=0, vì vậy chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất. - Đến đây thầy nói: “Từ M vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt vơi (C) <=> phương trình (3) phải giải như thế nào? Thế (2) vào (1) ta được: 2 2 0 2 1 1 ( ) x x x x x x + − = − <=> x 0 x 2 + 2x – x 0 =0 (x ≠ 0) (3) Từ M vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số <=> (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 : <=> ' (3) 0 0 (0) 0 x g ≠   ∆ >   ≠  trong đó g(x)= x 0 x 2 + 2x – x 0 <=> 2 0 0 0 0 1 0 0 0 x x x x ≠   + > ⇔ ≠   − ≠  Kết luận: Các điểm cần tìm là: 0 0 ( ,0) 0 M x x   ≠  hay M ∈ Ox và M ≠ O - Trò trả lời: (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 và k (x1) =k (x2) 0 ' (3) 2 2 1 2 1 2 0 0 (0) 0 1 1 x g x x x x ≠   ∆ >   ≠   − −  ≠   0 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x x ≠   − ≠ −   0 2 2 1 2 0 0 x x x ≠   − ≠   0 1 2 1 2 0 ( )( ) 0 x x x x x ≠   − − ≠   0 1 2 0 0 x x x ≠   + ≠  vì 1 2 x x≠  0 0 0 2 0 x x ≠    − ≠    0 0x ≠ Gọi M(x 0 ,1) ∈ y=1 và (d) là đường thẳng qua M có hệ số góc k. => (d): y= k(x-x 0 ) +1 (1) (d) tiếp xúc (C)  hệ phương trình có nghiệm: 3 2 0 2 3 3 ( ) 1 3 6 x x k x x x x k  − + − = − +   + =   -Thầy bổ sung cho bài giải đầy đủ. - Thầy nêu ví dụ 2: Tìm những điểm trên đường thẳng y=1 để từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C): 3 2 3 3y x x= − + − cho học sinh tự giải và gọi 1 học sinh lên bảng. Thay (2) vào (1) ta được: 3 2 2 0 3 3 (3 6 )( ) 1x x x x x x− + − = + − +  2x 3 -3(x 0 +1)x 2 + 6x.x 0 -1 =0  (x-2) [2x 2 +(1-3x 0 )x + 2] =0 (3)  2 0 2 2x +(1-3x )x + 2 =0 x =    Từ M vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến (C)  (3) có 2 ngiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 2 và k (x1) =k (x2) ) =k (2)  ' (3) 1 2 1 2 0 (2) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) g k x k x k x k x  ∆ >  ≠   ≠   ≠  ≠    2 0 0 1 2 1 2 (1 3 ) 16 0 8 (1 3 )2 2 0 ( ). ( ) 0 ( ) ( ) x x k x k x k x k x  − − >  + − + ≠   ≠   ≠   0 0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 or 5/3 2 [-3 ( 2].[-3 ( 2)] 0 3 6 3 6 x x x x x x x x x x x < − >   ≠   − − ≠   − + ≠ − +   0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 or 5/3 2 . 0 ( )( 2) 0 x x x x x x x x x < − >   ≠   ≠   − + − ≠   0 0 0 0 1 or 5/3 2 2 0 2 3 1 ( 2) 0 2 x x x x < − >   ≠    ≠   − − ≠    0 0 0 1 or 5/3 2 5 3 x x x x   < − >  ≠    ≠  - Thầy hỏi: Có nhận xét gì về hiệu x 1 -2 và x 2 -2 Thầy cho VD 3 : Tìm các điểm trên Oy để từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến đường con (C): 4 2 2y x x= − − - Giáo viên hỏi: Phương trình (3) là phương trình gì và phương pháp giải của nó? - Giáo viên hỏi: Khi nào phương trình (3) có 3 nghiệm? Lúc đó phương trình các tiếp tuyến với (C) vẽ từ M có tìm được không? - Giáo viên hỏi: Khi nào phương (3) có 4 nghiệm phân biệt ? - Giáo viên hỏi: Khi (4) có 2 nghiệm phân biệt (0<t 1 <t 2 ) thì (3) có các nghiệm là gì? - Giáo viên hỏi: Liệu có thể xảy ra trường hợp k (x1) = k (x2) với x 1, x 2 là 2 nghiệm phân biệt của (3) hay không ?  0 0 0 5 1 or 3 2 x x x  < − >    ≠  Kết luận: Các điểm cần tìm là: 0 0 0 0 ( ,1) 5 1 or and 2 3 M x x x x    < − > ≠   -Gọi M(0,y 0 ) ∈ Oy và (d) đi qua M có hệ số góc k. => (d) : y=kx+y 0 (d) tiếp xúc (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:  4 2 0 3 2 4 2 x x kx y x x k  − − = +   − =   (1), (2) Thế (2) vào (1) ta được: 4 2 4 2 0 2 4 2x x x x y− − = − +  4 2 0 3 2 0x x y− + + = (3) Đặt: t=x 2 , đk: t ≥ 0 (3) trở thành: 2 2 0 3 2 0t t y− + + = (4) * Trường hợp 1: Phương trình (4) có 1 nghiệm bằng 0. Khi đó: y 0 = - 2 Lúc đó (4)  0 1 t= 3 t =     Và (3) có 3 nghiệm x 1 =0, x 2 = 1 3 , x 3 = - 1 3 . Thay x 1 , x 2 , x 3 lần lượt vào (2) được k1=0, k 2 = 2 3 − , k 3 = 2 3 Vậy: Từ M(0,-2) vẽ được 3 tiếp tuyến đến (C) • Trường hợp 2: Phương trình (4) có 2 nghiệm dương phân biệt (0<t 1 < t 2 )  0 0 0 S P ∆ >   >   >   0 0 0 23 23 2 12 12 2 y y y  < −  ⇔ − < < −   > −  (5) Khi đó : (3) có 4 nghiệm phân biệt: - Giáo viên hỏi: Có nhận xét gì về biểu thức 2(x 1 2 +x 1 x 2 +x 2 2 ) -1 ? - Giáo viên hỏi: Có nhận xét gì về các nghiệm: - 2 t , - 1 t , 2 t , 1 t - 2 t , - 1 t , 2 t , 1 t Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm phân biệt của (3) và k (x1) =k (x2) Khi đó: 4x 1 3 -2x 1 =4x 2 3 -2x 2 <=> 2(x 1 - x 2 )(x 1 2 + x 1 .x 2 + x 2 2 ) - (x 1 - x 2 ) =0 <=>(x 1 - x 2 )[2(x 1 2 + x 1 .x 2 + x 2 2 )]= 0 <=> 2(x 1 2 + x 1 .x 2 + x 2 2 ) – 1 = 0 (6) Do tính đối xứng của biểu thức 2(x 1 2 + x 1 .x 2 + x 2 2 ) – 1 và tính đối xứng của 4 nghiệm 2 t− , 1 t− , 1 t , 2 t qua 0 nên xét các khả năng sau đây: i) x 1 = 1 t , x 2 = 2 t Khi đó (6) <=> 2(t 1 +t 2 + 21 tt - 1 =0 <=> 2( 3 2 3 1 0 + + y ) = 1 <=> 12 23 0 −=y (loại do (5)) (7) ii) x 1 = 1 t , x 2 = - 1 t Khi đó (6) <=> 2(t 1 +t 2 + 21 tt - 1 =0 <=> t 1 =1/2 Khi đó 02 2 1 4 3 0 =++− y <=> 4 9 0 −=y (loại do (5)) (8) iii) x 1 = - 1 t , x 2 = 2 t Khi đó (6) <=> 2(t 1 +t 2 + 21 tt )= 1 <=>2( 3 2 3 1 0 + + y ) = 1 <=> 6 1 3 2 0 −= +y (VN) (9) Từ (7) (8) (9) => nếu x 1 , x 2 là nghiệm phân biệt của (3) thì k (x1) ≠ k (x2) . Do đó trong trường hợp phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt thì có 4 tiếp tuyến phân biệt với (C) vẽ từ M. Kết luận: Điểm cần tìm là: M(0,-2) 3. Chuyển biến của sự việc: - Học sinh hiễu rõ hơn bản chất của bài tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua 1 điểm cho trước, cụ thể là từ số nghiệm của phương trình f(x)=f’(x).(x-x 0 ) + y 0 ta suy ra các giá trị k bằng cách thay thể x vào biểu thức k= f’(x). Do đó, nếu sử dụng mệnh đề “ Từ M vẽ được n tiếp tuyến phân biệt đến (C) <=> phương trình f(x)=f’(x).(x-x 0 ) + y 0 có n nghiệm phân biệt” thì trước hết phải chứng minh rằng: “Nếu x 1 , x 2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình f(x)=f’(x).(x-x 0 ) + y 0 thì k (x1) ≠ k (x2) .” - Khơng khí lớp học rất sơi nổi, học sinh rất hứng thú suy nghĩ và đưa ra ý kiến của riêng mình. - Trên cơ sở của 3 bài tốn trên, các em có thể giải quyết các bài tốn khác nhau như: Tìm M để từ đó vẽ ít nhất 1 tiếp tuyến, đúng 1 tiếp tuyến, 2 tiếp tuyến vng góc đến (C). 4. Kiểm nghiệm kết quả thực hiện: Sau khi dạy xong phần này, tơi cho học sinh lớp 12A 3 (lớp khá giỏi) làm bài kiểm tra 20 phút với nội dung sau đây: “ Cho đường cong (C): 1 9 2 + − = x x y . Tìm các điểm trên Ox để từ đó vẽ đúng 1 tiếp tuyến với (C).” Tơi thu được kết quả sau đây: a. Thống kê: Lớp TS Điểm 0 1 2 3 4 Dưới TB 5 6 7 8 9 10 TB 12A 3 47 Số lượng 0 0 0 0 0 0 3 6 8 13 10 7 47 Tỷ lệ 0 0 0 0 0 0 6.3 8 12.77 17.02 27.6 6 21.28 14.8 9 100% b. Phân tích đánh giá kết quả : Trước khi phân tích đánh giá kết quả, tơi xin đưa ra đáp án sau đây: Gọi M(x 0 , 0) ∈ Ox và (d) đi qua M có hệ số góc k => (d): y=k(x-x 0 ) (d) tiếp xúc (C) <=> hệ phương trình sau có nghiệm:        = + ++ −= + − k x xx xxk x x )1( 92 )( 1 9 2 0 2 Thay (2) vào (1) ta được: )( )1( 92 1 9 0 22 xx x xx x x − + ++ = + − <=>( x 2 - 9)(x+1)=(x 2 +2x+9)(x-x 0 ) <=> (1-x 0 )x 2 +2(9-x 0 )x+9-9x 0 = 0 (x ≠ -1) (3) (2đ) Để từ M vẽ được đúng 1 phương trình với (C), ta xét các trường hợp sau đây: i) 1-x 0 = 0 <=> x 0 =1 Khi đó (3) <=> 16x = 0 <=> x = 0 ≠ -1 Vậy x 0 = 1 thoả mãn đề bài. ii) (3) có một nghiệm kép khác 1− 1 0 0 1 18 2 9 9 0 x x x x ° ° ° ° − ≠   ′ ⇔ ∆ =   − − + + − ≠  1 3 3 1 x x x x ° ° ° ° ≠   ⇔ = ∨ = −   ≠ −  3 3 x x ° ° =  ⇔  = −  iii) (3) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1− 1 0 0 1 18 2 9 9 0 x x x x ° ° ° ° − ≠   ′ ⇔ ∆ >   − − + + − =  1 3 3 1 x x x ° ° ° ≠   ⇔ − < <   = −  1x ° = − (2đ) iv) (3) có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x khác 1 − và ( ) ( ) 1 2 x x k k= ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 3 3 1 2 9 2 9 1 1 x x x x x x x x x ° ° ° ≠   − < <   ≠ − ⇔   + + + +  = + +   ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 3 3 2 0 x x x x x x x ° ° ° ≠ ∧ ≠ −   ⇔ − < <   − + + =  (1,5đ) ( ) 1 2 1 1 3 3 2 0 x x x x x ° ° ° ≠ ∧ ≠ −   ⇔ − < <   + + =  ( ) 1 1 3 3 2 9 2 0 1 x x x x x ° ° ° ° °   ≠ ∧ ≠ −   ⇔ − < <   −  + = −   1 1 3 3 0. 16 x x x x ° ° ° ° ≠ ∧ ≠ −   ⇔ − < <   =  (hệ VN) Kết luận: M(x 0 ,0) với x 0 ∈ {1,-1,3,-3}. (0.5đ) - Số học sinh đạt từ 8 trở lên rất cao, hầu hết các học sinh này xét đủ 4 trường hợp, nhưng trong q trình làm có sai sót chút ít, có thể khắc phục dần. - Số học sinh đạt từ 7 trở xuống chiếm tỷ lệ 36.7%. Các học sinh này có thực hiện trường hợp thứ 4 nhưng khi biến đổi k (x1) = k (x2) th ành (x 1 -x 2 )( x 1+ x 2 +2) = 0 thì thực hiện sai sót do ngán ngại việc rút gọn những biểu thức tương đối dài. Việc này giáo viên chỉ cần uốn nắn nhắc nhở nhiều lần. - Hầu hết có xét trường hợp thứ 4, điều này khẳng định các em hiểu rõ vấn đề: “ Số nghiệm của phương trình f(x)=f’(x)(x-x 0 ) + y 0 và số tiếp tuyến tìm được chưa chắc là tương ứng một đối một.” Đó cũng chính là mục đích của tơi khi trình bày vấn đề này. II. Kiểm nghiệm lại kết quả: 1. Kết quả của cách giải mới: - Như đã nói ở phần trên, cách giải mới giúp học sinh nắm được mối liên hệ giữa số ngiệm của phương trình f(x)=f’(x)(x-x 0 ) + y 0 và số tiếp tuyến tìm được. Cụ thể là: “Nếu n là số nghiệm của phương trình và m là số tiếp tuyến tìm được thì m<=n.” - Rèn luyện thói quen lập luận chính xác là 1 vấn đề khoa học nào đó. 2. Phạm vi tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm: a. Đối với bản thân: - Mở ra hướng nghiên cứu tổng qt sau đây: “ Trong các đồ thị của những hàm số sơ cấp trong chương trình phổ thơng thì đồ thị của những đồ thị hàm số nào tồn tại tiếp tuyến tiếp xúc với nó tại 2 điểm phân biệt. Nếu nó có điều kiện tơi sẽ nghiên cứu tiếp tục vấn đề này theo hướng nói trên. b. Đối với học sinh: Đối với học sinh khá giỏi, giúp các em giải được chặt chẽ bài toán loại này để chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh Đại Học và Cac Đẳng sắp tới. 3. Nguyên nhân thành công và tồn tại: a. Nguyên nhân thành công: - Được dạy ở lớp giỏi nói trên nên luôn chuẩn bị và nghiên cứu trước để giúp đỡ học sinh khi dạy phần này. - Được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp trong tổ Toán và sự động viên của Ban Giám Hiệu. - Trong kỳ chấm thi vào Đại học An Giang năm 2001 vừa qua, thấy các học sinh bị trừ điểm nặng khi giải toán thiếu chính xác loại toán này nên thôi thúc tôi thực hiện sáng kiến này. b. Nguyên nhân tồn tại: - Do thời gian có hạn nên sáng kiến này có một ít sai sót - Nếu kiến thức về phương trình đại số ở lớp 10 bị hỏng thì gặp khó khăn khi học phần này. - Do phân phối chương trình cho phần các bài toán liên hệ đến khảo sát hàm số quá ít nên việc truyền đạt cũng gặp rất nhiều khó khăn. 4. Bài học kinh nghiệm: - Khám phá được cách giải chặt chẽ cho loại Toán này. - Đối với tổ nhóm chuyên môn, đây là một chuyên đề để anh em có thể trao đổi để nâng cao trình độ chuyên môn cho cá nhân. C.KEÁT LUAÄN CHUNG: Khoa học tự nhiên nói riêng và khoa học nói chung phải chính xác tuyệt đôi . NGHIỆM ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT  GIÁO VIÊN : NGUYỄN HOÀNG MINH Năm học : 2001 – 2002 ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT (GV:. thị (C). Tìm các điểm M để từ đó vẽ được 2 hoặc 3 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C).” Tôi xin đơn cử ví dụ sau đây: • Ví dụ: “ Cho đường cong (C): 2 1 . x y x + = Tìm các điểm trên trục. x 2 là nghiệm phân biệt của (3) thì k (x1) ≠ k (x2) . Do đó trong trường hợp phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt thì có 4 tiếp tuyến phân biệt với (C) vẽ từ M. Kết luận: Điểm cần tìm