TÌM LỜI GIẢI CHO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

42 852 0
TÌM LỜI GIẢI CHO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: TÌM LỜI GIẢI CHO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15/ 9/ 2013 đến ngày 15/ 5/ 2014. 4. Tác giả: Họ và tên : Trần Xuân Đáng Năm sinh : 1955 Nơi thường trú : Số nhà 5 ngách 7 ngõ 136 Phan Đình Phùng - Phường Phan Đình Phùng - TP Nam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán học Chức vụ công tác: Giáo viên chuyên Toán Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Điện thoại: 0942350265 5. Đồng tác giả: Không 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Địa chỉ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Điện thoại: 0350.3640297 1 I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2005(bảng A) có bài toán sau Bài toán T1: Xét dãy số thực )( n x , )2,1( =n được xác định bởi ax = 1 và nnnn xxxx 573 23 1 +−= + với mọi 3,2,1=n trong đó a là một số thực. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số )( n x có giới hạn hữu hạn khi +∞→n . Hãy tìm giới hạn của dãy số )( n x trong các trường hợp đó Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2011có hai bài toán sau: Bài toán T2: Cho dãy số thực )( n x được xác định bởi 1 1 =x và ∑ − = − = 1 1 2 )1( 2 n i in x n n x , 2≥∀n Với mỗi số nguyên dương n , đặt nnn xxy −= +1 . Chứng minh rằng dãy số )( n y có giới hạn hữu hạn khi +∞→n . Bài toán T3: Cho dãy số ( ) n a được xác định bởi 0 1 1, 1a a= = − và 1 2 6 5 n n n a a a − − = + với mọi 2n ≥ . Chứng minh rằng 2012 2010a − chia hết cho 2011 . Trong tạp chí toán học và tuổi trẻ số 410 (tháng 8 năm 2011) có bài toán sau: Bài toán T4 (Bài toán T11/406): Cho dãy số ) n (x được xác định như sau: 0 1 x = , n x 27 1 1n x         = + với mọi * Nn∈ . Chứng minh rằng dãy số ) n (x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Trong kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2012 có bài toán sau: Bài toán T5: Cho dãy số ( )( ) n u n ∗ ∈¥ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 0 1, n u n ∗ < < ∀ ∈¥ và 1 1 ) , 4 (1 n n u nu ∗ + ≥ ∀ ∈− ¥ . Chứng minh rằng 1 1 1 , 2 2 2 n u n n ∗ − < ≤ ∀ ∈¥ Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2012 có ba bài toán sau: Bài toán T6: Cho dãy số ( ) n x được xác định bởi 1 3x = và 1 2 ( 3 2) n n n x x n − + = + với mọi 2n ≥ . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ . Tìm giới hạn đó Bài toán T7: Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập số thực ¡ , lấy giá trị trong ¡ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1) f là toàn ánh từ ¡ đến ¡ . 2) f là hàm số tăng trên ¡ . 3) ( ) ( ) ( ) 12f f x f x x= + với mọi số thực x . Bài toán T8: Xét các số tự nhiên lẻ a,b mà a là ước số của 2 2b + và b là ước số của 2 2a + . Chứng minh rằng a và b là các số hạng của dãy số tự nhiên ( ) n v được xác định 2 bởi 1 2 1v v= = , 4 1 2 n n n v v v= − − − với mọi 3n ≥ . Trong kì thi chọn đội tuyển Việt nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 2012 có bài toán sau: Bài toán T9: Cho dãy số ( ) n x được xác định bởi 1 2 1, 2011x x= = và 2 1 4022 , n n n x x x n ∗ + + = − ∀ ∈¥ .Chứng minh rằng 2012 1 2012 x + là số chính phương Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2013 có bài toán sau: Bài toán T10: Cho dãy số thực ( ) n a được xác định bởi 1 1a = và 1 2 3 2 n n n a a a + + = − với mọi 1n ≥ . Chứng minh rằng dãy ( ) n a có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó. Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2014 có bài toán sau: Bài toán T11: Cho hai dãy số dương ( ),( ) n n x y được xác định bởi 1 1 1, 3x y= = và 1 1 2 1 0 2 n n n n n x y x x y + + +      − = + = với mọi 1,2, n = Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN: Năm 1996 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề: Về một bài toán tìm giới hạn của dãy số trong kì thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 1993. Năm 2010 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề: Về một bài toán tìm giới hạn của dãy số trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2005. Năm 2011 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề: Về lời giải của một bài toán tìm giới hạn của một dãy số trong tạp chí “Toán học và tuổi trẻ”. Năm 2012 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề: Về một bài toán phương trình hàm trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán. Năm 2012 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề: Về một bài toán số học trong kì thi Olympic Toán củaViệt Nam năm 2012. Năm 2013 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề: Về sự hội tụ của một dãy số. 3 III. CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM: Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này gồm 5 phần: - Phần thứ nhất:Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số. - Phần thứ hai: Một số phương pháp chứng minh sự hội tụ của dãy số. - Phần thứ ba: Dãy số trong số học. - Phần thứ tư: Ứng dụng của dãy số. - Phần thứ năm: Một số chuyên đề về dãy số được viết bởi tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này. 1) Phần thứ nhất: Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số Bài toán 1: Cho dãy số ( )( ) n x n N ∗ ∈ được xác định bởi 1 5x = và 2 1 2 n n x x + = − với mọi n N ∗ ∈ a) Tìm n x b) Tìm 1 1 2 lim n n n x x x x + →+∞ c ) Tìm 1 1 2 1 2 1 1 1 lim n n x x x x x x →+∞    ÷  ÷   + + + Lời giải: a) ( Đặt 1 (5 21) 2 a = + .Khi đó 1 1 5a a x+ = = . Ta có 2 2 2 1 2 1 2x x a a = − = + . Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được 1 1 2 2 1 , n n n x a n N a − ∗ − = ∀ ∈+ . Vậy 1 1 2 2 5 21 5 21 2 2 n n n x − −      ÷  ÷  ÷  ÷     + − = + b) Ta có 2 1 2 2 2 1 . 1 n n n a x x x a a a    ÷   = − − ⇒ 2 2 2 1 2 2 1 2 . 1 n n n n n n a a a a x a x x x a − + − = = + − − 1 2 1 2 2 1 1 . 1 n n a a a a + + − − − + − ⇒ 1 1 2 lim n n n x x x x + →+∞ = 2 21 1a a − = c) Với 2k ≥ ta có 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 . 2 k k k k k x x x x x x x x x x x + −    ÷  ÷   = − Suy ra 1 1 2 1 2 1 1 1 n x x x x x x + + + = 1 2 1 1 1 2 1 1 . . 2 2 1 n n x x x x x x x + + − Vì 1 1 2 lim n n n x x x x + →+∞ = 21 nên 1 1 2 1 2 1 1 1 lim n n x x x x x x →+∞    ÷  ÷   + + + = 5 21 2 − 4 Phương trình đặc trưng của dãy số Cho dãy số ( )( ) n x n∈¥ thỏa mãn 1 2 , 2 n n n x ax bx n − − = + ∀ ≥ trong đó 1 2 ,x x , ,a b là các số thực cho trước ( 0)b ≠ . Phương trình 2 0(1)a b λ λ − − = được gọi là phương trình đặc trưng của dãy số ( ) n x Trường hợp 1: 0∆ > Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , λ λ khác 0 . Xét hệ phương trình 0 1 1 2 x x α β αλ βλ      = + = + (ẩn số là , α β ). Định thức của hệ là 2 1 1 2 1 1 0D λ λ λ λ = = − ≠ . Khi đó hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất. Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được 1 2 , n n n x n αλ βλ = + ∀ ∈¥ . Thật vậy mệnh đề đúng với 0n = và 1n = Giả sử mệnh đề đúng đến ( , 1)n k k k= ∈ ≥¥ . Khi đó ta có 1 2 k k k x αλ βλ = + và 1 1 1 2 1 k k k x αλ βλ − − − = + .Ta có 1 1 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) k k k k k k k x ax bx a b αλ βλ αλ βλ − − + − = + = + + + 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) k k k k a b a b αλ λ βλ λ αλ βλ − − + + = + + + = + . Vậy mệnh đề cũng đúng với 1n k= + . Theo nguyên lí quy nạp toán học mệnh đề đúng với mọi n∈¥ . Vậy 1 2 , n n n x n αλ βλ = + ∀ ∈¥ . Chú ý rằng nếu dãy số ( )( ) n x n∈¥ được xác định bởi 1 2 , n n n x n αλ βλ = + ∀ ∈¥ trong đó 1 2 , , , α β λ λ là các số thực cho trước thì 1 2 , 2 n n n x ax bx n − − = + ∀ ≥ trong đó 1 2 a λ λ = + và 1 2 b λ λ = − Bài toán 2: Cho dãy số ( )( ) n a n∈¥ được xác định bởi 0 1 1, 13a a= = và 2 1 14 , n n n a a a n + + = − ∀ ∈¥ Chứng minh rằng phương trình 2 2 ( 1) n x x a+ + = và phương trình 3 3 2 ( 1) n x x a+ − = có nghiệm tự nhiên với mọi n∈¥ . Lời giải: Phương trình đặc trưng của dãy ( ) n a là 2 14 1 0 λ λ − + = . Phương trình này có hai nghiệm là 1 2 7 48 , 7 48 λ λ = + = − . Tồn tại các hằng số , α β sao cho 1 2 , n n n a n αλ βλ = + ∀ ∈¥ . Vì 0 1a = và 1 13a = nên 2 3 2 3 , 4 4 α β + − = = 2 3 2 3 (7 48) (7 48) , 4 4 n n n a n⇒ + − = + + − ∀ ∈¥ 5 2 2 1 2 3 2 3 (2 3) (2 3) 2 2 n n n a     ⇒ −     + − = + − − .Xét dãy số ( )( ) n b n∈¥ được xác định bởi n b = 2 3 2 3 (2 3) (2 3) 2 2 n n + − + − − , n∀ ∈¥ .Ta có 0 1 1, 5b b= = và 2 1 4 . n n n b b b n + + = − ∀ ∈¥ . Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được , n b n∈ ∀ ∈¢ ¥ . Mặt khác 0, n b n> ∀ ∈¥ . Suy ra n b ∗ ∈¥ và 2 2 1 , n n a b n− = ∀ ∈¥ . Suy ra n b là số tự nhiên lẻ. Suy ra tồn tại số tự nhiên n c sao cho 2 1 n n b c= + . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 n n n n n c c c b a       + + = + + = + = . Vậy phương trình 2 2 ( 1) n x x a+ + = có nghiệm tự nhiên. Ta có 2 2 1 3 2 3 2 3 (2 3) (2 3) 6 6 n n n a   +       + − = + + − . Xét dãy số ( )( ) n d n∈¥ được xác định bởi n d = 2 3 2 3 (2 3) (2 3) 6 6 n n + − + + − n∀ ∈¥ . Ta có 0 1 1, 3d d= = và 2 1 4 . n n n d d d n + + = − ∀ ∈¥ . Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được , n d n∈ ∀ ∈¢ ¥ . Mặt khác 0, n d n> ∀ ∈¥ . Suy ra n d ∗ ∈¥ và 2 2 1 3 , n n a d n+ = ∀ ∈¥ Cũng bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta dễ dàng chứng minh được n d là số nguyên lẻ với mọi n∈¥ . Ta có ( ) 2 3 3 2 2 1 1 1 3 1 2 2 4 n n n n n n n a b d b d b d      ÷  ÷  ÷  ÷     = + − − == + . Vì n b và n d là các số tự nhiên lẻ nên 1 2 n n b d − là số tự nhiên. Vậy phương trình 3 3 2 ( 1) n x x a+ − = có nghiệm tự nhiên với mọi n∈¥ . Bài toán T3: Cho dãy số ( ) n a được xác định bởi 0 1 1, 1a a= = − và 1 2 6 5 n n n a a a − − = + với mọi 2n ≥ . Chứng minh rằng 2012 2010a − chia hết cho 2011 (Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2011 ) Lời giải1: Phương trình đặc trưng của dãy ( ) n a là 2 6 5 0 λ λ − − = 6 Phương trình này có hai nghiệm là 1 2 3 14, 3 14 λ λ = + = − Tồn tại các hằng số , α β sao cho 1 2 , n n n a n αλ βλ = + ∀ ∈¥ 1 1 (3 14) (3 14) α β α β   ⇒    = + − = + + − 4 14 2 14 4 14 2 14 α β    ⇒     − + = + = 1 1 1 2 2 14 2 14 2 14 2 14 n n n a λ λ − − ⇒ − − − = + 2011 2011 2012 2 14 2 14 (3 14) (3 14) 2 14 2 14 a ⇒ − − − = + + − Ta có 2011 2011 2011 2011 0 (3 14) 3 ( 14) k k k k C − = + = ∑ và 2011 2011 2011 2011 0 (3 14) ( 1) 3 ( 14) k k k k k C − = − = − ∑ ⇒ 1005 1005 2 2011 2 2 1 2010 2 2012 2011 2011 0 0 14 3 2 14 3 i i i i i i i i C Ca − + − = = −= + ∑ ∑ . Với p là số nguyên tố và 1 1j p≤ ≤ − ( ( )j ∗ ∈¥ ta có j p C chia hết cho p . Suy ra 2011 1005 2012 ( 3) 2.14 (mod2011)a ≡ − + . Tacó 1005 2010 14 2025(mod2011) 14 15 1(mod2011)≡ ⇒ ≡ ≡ . Mặt khác theo định lí nhỏ Fermat ta có 2010 ( 3) 1(mod2011)− ≡ . Suy ra 2012 1(mod2011)a ≡ − Suy ra 2012 2010a + chia hết cho 2011 Lời giải 2: Xét dãy số ( )( ) n b n∈¥ được xác định bởi 0 1 1, 1b b= = − Và 1 1 6 2016 , 1 n n n b b b n + − = + ∀ ≥ . Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được , n a n∈ ∀ ∈¢ ¥ và , n b n∈ ∀ ∈¢ ¥ . Ta cũng chứng minh được (mod2011), n n a b n≡ ∀ ∈¥ . Phương trình đặc trưng của dãy ( ) n b là 2 6 2016 0 λ λ − − = Phương trình này có hai nghiệm là 1 2 48, 42 λ λ = = − . Tồn tại các hằng số , α β sao cho 48 ( 42) , n n n b n α β = + − ∀ ∈¥ .Vì 0 1 1, 1b b= = − nên 41 49 , 90 90 α β = = . Suy ra 41 49 .48 ( 42) 90 90 n n n b = + − 2012 2012 2012 1 41.48 49.( 42) 90 b   ⇒   = + − Theo định lí nhỏ Fermat ta có 2010 2010 48 1(mod2011),42 1(mod2011)≡ ≡ Suy ra 2012 2012 41.48 49.( 42) 90 0(mod2011)+ − + ≡ 2012 2012 90( 1) 0(mod2011) 1(mod2011)b b⇒ + ≡ ⇒ ≡ − 2012 1(mod2011)a⇒ ≡ − Suy ra 2012 2010a − chia hết cho 2011 7 Bài toán T9: Cho dãy số ( ) n x được xác định bởi 1 2 1, 2011x x= = và 2 1 4022 , n n n x x x n ∗ + + = − ∀ ∈¥ . Chứng minh rằng 2012 1 2012 x + là số chính phương (Đề thi chọn đội tuyển Việt nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 2012) Lời giải: Phương trình đặc trưng của dãy ( )( ) n x n ∗ ∈¥ là 2 4022 1 0t t− + = Phương trình này có hai nghiệm là 1 2011 2010.2012t = + Và 2 2011 2010.2012t = − . Tồn tại các hằng số , α β sao cho 1 1 1 2 , n n n x t t n α β − − ∗ = + ∀ ∈¥ Vì 1 2 1, 2011x x= = nên 1 2 α β = = . Suy ra ( ) 2011 2011 2012 1 2 1 2 x t t= + . Suy ra ( ) 2 2011 2011 2012 1 2 1 1 2012 2 1006 x t t       + = + . Ta có 1 2 1006 1005, 1006 1005t t= + = − Đặt 2011 2011 1 2 a t t= + ,ta có ( ) ( ) 2011 2011 1006 1005 1006 1005a = + + − = 1005 2 1005 2011 0 2 1006 1006 .1005 k k k k C − = ∑ . Đặt 1 2 1006 b a= ,ta có 1005 2 1005 2011 0 1006 .1005 k k k k b C − = = ∑ Suy ra b là một số nguyên .Mặt khác 2 2012 1 2012 x b + = . Vậy 2012 1 2012 x + là số chính phương Sử dụng lượng giác để tìm số hạng tổng quát của dãy số: Bài toán 4: Cho các dãy số thực dương ( ),( )( ) n n x y n N ∗ ∈ được xác định bởi 1 1 1 2 x y= = và 1 1 2 2 1 1 , 4 1 1 4 n n n n n n x y x y y x + + + + = = − − với mọi số nguyên dương n . Tìm giới hạn của các dãy số ( ) n x , ( ) n y Sau đây là lời giải bài toán 4 của tác giả bản sáng kiến kinh nghiệm này: Từ giả thiết suy ra 1 , 2 n y n N ∗ > ∀ ∈ Trước hết ta chứng minh 2 2 1, n n x y n N ∗ + = ∀ ∈ . Thật vậy mệnh đề đúng với 1n = Giả sử mệnh đề đúng với n k= tức là 2 2 1 k k x y+ = . Đặt 1 1 , k k a x b y + + = = ta có 2 2 (4 1), (1 4 ) k k x a b y b a= − = − . Vì 2 2 1 k k x y+ = nên 2 2 2 2 2 2 (4 1) (1 4 ) 1a b b a− + − = 2 2 2 2 ( 1)(16 1) 0a b a b⇒ + − + = ⇒ 2 2 1 1 1 k k x y + + + = Ta chứng minh 1 os , 4.3 n n y c n N π ∗ − = ∀ ∈ . Thật vậy mệnh đề đúng với 1n = Giả sử mệnh đề đúng với n k= ,tức là 1 os . 4.3 k k y c π − = Ta có 1 1 2 k y + > nên tồn tại 1 (0; ) 3 k π α + ∈ sao cho 1 1 os k k y c α + + = Ta có 2 3 1 1 1 1 1 1 (1 4 ) 3 4.3 4 os3 os k k k k k k k k y x y y yy c c π α + + + + + − − = ⇒ − = ⇒ = 8 Vì 1 0 3 k π α + < < nên 1 1 4.3 os 4.3 k k k k y c ππ α + + == ⇒ . Vậy mệnh đề cũng đúng với 1n k= + . Theo nguyên lí quy nạp toán học,mệnh đề đúng với mọi n N ∗ ∈ . Tức là 1 os 4.3 n n y c π − = với mọi n N ∗ ∈ . Suy ra 1 sin , 4.3 n n x n N π ∗ − = ∀ ∈ Từ đó suy ra lim 0, lim 1 n n n n x y →+∞ →+∞ = = . Sử dụng phương pháp đã được sử dụng trong lời giải của bài toán 4 chúng ta có thể giải được bài toán sau Bài toán T11: Cho hai dãy số dương ( ),( ) n n x y được xác định bởi 1 1 1, 3x y= = và 1 1 2 1 0 2 n n n n n x y x x y + + +      − = + = với mọi 1,2, n = Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. (Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2014) Lời giải: Ta có 1 1 cos3 2sin , 3 2 6 6 x y π π = = = = . Chúng ta chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 2sin 3.2 n n x π = và 2cos 3.2 n n y π = . Thật vậy mệnh đề đúng với 1n = . Giả sử mệnh đề đúng với ( 1)n k k= ≥ tức là 2sin 3.2 k k x π = và 2cos 3.2 k k y π = Ta có 2 2 1 1 2 2 2 2cos 4sin 3.2 3.2 k k k k x y π π + + = − = − = . Suy ra 1 1 2sin 3.2 k k x π + + = (vì 1 0 k x + > ) và 1 1 1 1 2sin 3.2 2cos 3.2 2sin 3.2 k k k k k k x y x π π π + + + + = = = . Vậy mệnh đề cũng đúng với 1n k= + Theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n . Từ đó suy ra lim lim (2sin ) 0 3.2 n n n n x π →+∞ →+∞ = = và lim lim (2cos ) 2 3.2 n n n n y π →+∞ →+∞ = = Vậy các dãy ( ),( ) n n x y hội tụ và lim 0, lim 2 n n n n x y →+∞ →+∞ = = . Sau đây là một số bài toán dành để luyện tập: 2) Phần thứ hai: Một số phương pháp chứng minh sự hội tụ của dãy số Phương pháp 1: Chứng minh dãy đơn điệu và bị chặn Bài toán 1: Cho dãy số ( )( 1) n x n ≥ thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1 0 1x< < và 2 1 2 , 1 n n n x x x n n + = + ∀ ≥ . Chứng minh rằng dãy ( ) n x có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ Lời giải: 9 Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được 0, n x n ∗ > ∀ ∈¥ . Ta có 2 2 2 2 1 3 2 1 1 1 2 , 2 3 4 x x x x x x x x< = + < + < 2 2 2 2 1 3 2 1 1 1 2 , 2 3 4 x x x x x x x x< = + < + < Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được 1 , 2( ) n x nx n n N ∗ < ∀ ≥ ∈ Vì vậy tồn tại số nguyên 2m ≥ sao cho 1 m x m< − Ta có 2 1 2 0, n n n x x x n n ∗ + − = > ∀ ∈¥ 1 , n n x x n ∗ + ⇒ > ∀ ∈¥ ⇒ dãy ( ) n x là dãy tăng Giả sử ( ) 3n m n N n ∗ > ∈ ⇒ ≥ Với k ∗ ∈¥ ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k x x x k x x x k k + − = − = < + + Giả sử ( ) 3n m n N n ∗ > ∈ ⇒ ≥ Ta có 1 1 2 1 1 1 1 n n k m k m k k x x k − − = = +    ÷  ÷   − < ∑ ∑ . Suy ra 1 1 2 1 1 ( 1) 1 1 1 1 n n k m k m m n k k mx x k − − = = < < − − − < ∑ ∑ Suy ra 1 1 1 0 1 n m x x m > − > − .suy ra ( 1) 1 m m n m x x m x − < − − . Vậy dãy ( ) n x có giới hạn khi n →+∞ . Chú ý rằng chúng ta có thể chứng minh được 2 1 ( 1), n x n x n n n N ∗ + ≥ + ∀ ∈ . Bài toán T2: Cho dãy số thực )( n x được xác định bởi 1 1 =x và ∑ − = − = 1 1 2 )1( 2 n i in x n n x , 2≥∀n Với mỗi số nguyên dương n , đặt nnn xxy −= +1 . Chứng minh rằng dãy số )( n y có giới hạn hữu hạn khi +∞→n . Lời giải: Ta có ∑ − = − = 1 1 2 )1( 2 n i in x n n x 2 1 2 )1( 2 )1( 2 1 −       =       − +⇒ ∑ = n n x n n x n i in ∑ = = + ⇒ n i in x n n x 1 2 2 1 Mặt khác ∑ = + = + n i in x n n x 1 2 1 )1(2 nên 3 2 1 )1)(1( n nn x x n n ++ = + ) 1 1)( 1 1( 2 1 n n xx nn ++=⇒ + , )2( ≥n       − +       − +=⇒ − 1 1 1 )1( 1 1 2 1 n n xx nn , )3( ≥n Ta có : . 1 3 2 1 nnnn x n nn xxy ++ =−= + 10 [...]... lại ta thấy hàm f : ¡ → ¡ sao cho f ( x) = 4 x, ∀x ∈ ¡ thỏa mãn đề bài Sau đây là một bài toán dành cho học sinh luyện tập: Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm liên tục f : ¡ → ¡ sao cho f ( f ( x) ) = f ( x) + 6 x với mọi x∈¡ Chuyên đề 2 :Về lời giải của một bài toán tìm giới hạn của một dãy số trong tạp chí 25 Toán học và tuổi trẻ” Bài toán T11/406( Bài toán T4): Cho dãy số (x n ) được xác định như sau:... trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2005 Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2005có bài toán sau Bài toán T1: Xét dãy số thực ( x n ) (n = 1,2, ) được xác định bởi x1 = a và 3 2 x n +1 = 3 x n − 7 x n + 5 x n với mọi n = 1,2,3 trong đó a là một số thực Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số ( x n ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ Hãy tìm giới hạn của dãy số ( x n ) trong các. .. trình hàm trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2012 Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2012 có bài toán sau: Bài toánT7: Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập số thực ¡ , lấy giá trị trong ¡ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1) f là toàn ánh từ ¡ đến ¡ 2) f là hàm số tăng trên ¡ 3) f ( f ( x) ) = f ( x) + 12 x với mọi số thực x (Bài toán 7 của đề thi VMO... +∞  3 lim x n = n → +∞ Chuyên đề 4 :Về một bài toán tìm giới hạn của dãy số trong kì thi chọn đội tuyển Việt nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 1993 Trong kì thi chọn đội tuyển Việt nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 1993 có bài toán sau 1 Bài toán 1 :Dãy số (an ) được xác định bởi a1 = 1, an+1 = an + a (n ≥ 1) Hãy xác định n α a tất cả các số thực α sao cho dãy (un ) được xác định bởi un = n (n... +∞ Chuyên đề 5: VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA MỘT DÃY SỐ Trong tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 406 có bài toán sau: x   n ( xn ) được xác định bởi x1 = 0 và xn+1 =  1 ÷ với mọi Bài toán1 :Cho dãy số  27  33 n ∈ N ∗ Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ và tìm giới hạn đó Bài toán sau là một bài toán tổng quát của bài toán 1: Bài toán2 : Giả sử a là số thực dương.Xét dãy ( xn ) được xác... một số bài toán dành để luyện tập: Bài1 :Tìm tất cả các hàm liên tục f : ¡ → ¡ sao cho f ( x 2 − 6) = f ( x), ∀x ∈¡ 1 1 Bài 2 :Tìm tất cả các hàm liên tục f : ¡ → ¡ sao cho f ( x 2 + x + ) = f ( x), ∀x ∈¡ 3 9 (Đề thi chọn đội tuyển Việt nam dự thi toán Quốc tế năm 2007) 5) Phần thứ năm: Một số chuyên đề về dãy số được viết bởi tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này Chuyên đề 1: Về một bài toán. .. xm+1 = um+1 + 2vm+1 Vậy (1)cũng đúng 2 2 với n = m + 1 Theo nguyên lí quy nạp toán học (1)đúng với mọi n ∈¥ ∗ Vậy với mỗi số nguyên dương n tồn tại các số nguyên a, b sao cho xn = a 2 + 2b 2 4) Phần thứ tư:Ứng dụng của dãy số Trong kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2012 có bài toán sau : Bài toán T5: Cho dãy số (un )(n ∈ ¥ ∗ ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau 1 0 < un < 1, ∀n ∈ ¥ ∗... 1) ⇒ z n < e , (∀n ≥ 3) Dãy ( z n ) bị chặn trên ⇒ ∃ lim z n = a > 0 ⇒ lim y n = 2a n → +∞ n → +∞ Vậy dãy ( y n ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2011-2012 có bài toán sau Bài toán T6: Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi x1 = 3 và xn = n+2 ( x + 2) với mọi n ≥ 2 Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn 3n n−1 hữu hạn khi n → +∞ Tìm giới hạn đó 10 80... hằng số )với mọi x∈¡ Bài toán 2: Cho hàm số g ( x) = 2x Hãy tìm tất cả các hàm số f ( x) xác định ,liên 1 + x2 tục trên khoảng (−1;1) và thỏa mãn hệ thức (1 − x 2 ) f ( g ( x)) = (1 + x 2 ) 2 f ( x) với mọi x∈ (−1;1) (Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2001-Bảng A) Sau đây là lời giải bài toán 2 của tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này (lời giải này khác với đáp án của Ban chấm thi) : cách... (Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2005, bảng A) Lời giải bài toán T1 được trình bày trong cuốn sách ‘‘ Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam (1990 – 2006)’’ như sau: 27 Xét hàm số f ( x) = 3x 3 − 7 x 2 + 5 x Khi đó, có thể viết hệ thức xác định dãy ( x n ) dưới dạng x n+1 = f ( x n ) với mọi n = 1,2,3 Ta có f / ( x) = 9 x 2 − 14 x + 5 Từ đó ta có bảng biến thi n của hàm số f . THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: TÌM LỜI GIẢI CHO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh chuyên Toán trường THPT. số trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2005. Năm 2011 tác giả bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này đã viết chuyên đề: Về lời giải của một bài toán tìm giới hạn của một dãy số trong. * Nn∈ . Chứng minh rằng dãy số ) n (x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Trong kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2012 có bài toán sau: Bài toán T5: Cho dãy số ( )( ) n u n ∗ ∈¥ thỏa

Ngày đăng: 03/04/2015, 16:38

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan