PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Dù đã trải qua hơn hai ngàn năm nhưng tốn học đã chứng tỏ mình như  một đỉnh cao trí tuệ của con người, xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học và  là nền tảng của nhiều lý thuyết khoa học quan trọng. Ngày nay với thời đại cơng  nghiệp tiên tiến và sự phát triển như vũ bão của cơng nghệ thơng tin thì vai trị  của tốn học càng trở nên quan trọng và cần thiết hơn bao giờ hết.  Trong q trình giáo dục tri thức cho học sinh, thì việc dạy đúng, đủ theo  chuẩn  kiến  thức kỹ  năng  của  chương  trình  đào tạo  là  nhiệm  vụ  trọng  tâm  của  mỗi  người  giáo  viên  đứng  lớp.  Song,  bên  cạnh  đó  một  nhiệm  vụ  cũng  khơng  kém phần quan trọng và cần thiết đối với các trường trung học cơ sở đó là việc  bồi  dưỡng,  đào  sâu  kiến  thức  mở  rộng,  nâng  cao  cho đối  tượng  học  sinh  khá  giỏi. Việc bồi dưỡng đó giúp các em khơng chỉ nắm vững kiến thức, kỹ năng cơ  bản mà cịn rèn thói quen suy nghĩ,  tìm  hiểu,  suy luận,  giải quyết một vấn  đề,  một bài tốn khó một cách chặt chẽ, logic. Từ đó rèn cho các em trí thơng minh,  sáng tạo, niềm u thích, hứng thú đối với bộ mơn Tốn.    Qua một thời gian giảng dạy bộ mơn Tốn  lớp 9 ở trường trung học cơ sở  thị trấn Than Un, huyện Than Un, tỉnh Lai Châu, tơi nhận thấy, phần kiến  thức về “Phương trình bậc hai”, “Phương trình quy về phương trình bậc hai” là  phần kiến thức trọng tâm, cơ bản, thường xun xuất hiện trong các đề thi tuyển  sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi các cấp. Do đó tơi thấy học sinh cần nắm thật  vững mảng kiến thức này, đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì giáo viên giảng  dạy cũng như giáo viên bồi dưỡng cần giúp các em có cái nhìn rõ nét, đầy đủ về  phương trình bậc hai và các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai.     Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề, sau khi nghiên cứu kỹ lưỡng  một số tài liệu có liên quan, tơi mạnh dạn đưa ra một hệ thống các kiến thức, các  dạng phương trình quy về phương trình bậc hai và cách giải. Tơi hy vọng rằng đề  tài này ít nhiều sẽ giúp ích được thầy cơ và các em học sinh khi bồi dưỡng mảng  kiến thức về phương trình bậc hai. Đó chính là lý do tơi chọn “Phương pháp giải phương trình quy phương trình bậc hai” làm đề tài nghiên cứu của mình  trong hai năm học vừa qua.   II Phạm vi đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu - Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai trong chương trình  Đại số 9 THCS.    Đối tượng nghiên cứu - Một  số  kiến  thức  về  phương  trình  bậc  hai.  Một  số  phương  trình  quy  được về phương  trình  bậc  hai trong  chương  trình Đại  số 9  trung  học  cơ  sở  và  phương pháp giải.  III Mục đích nghiên cứu Nhằm mục đích nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi  dưỡng học  sinh giỏi,  giúp các em  có cái nhìn đầy đủ hơn về phương trình bậc  hai, phương trình  quy  về phương trình  bậc hai.  Qua  đó  giúp học  sinh  có điều  kiện hồn thiện các phương pháp về giải phương trình và rèn luyện tư duy sáng  tạo cho học sinh.  IV Điểm kết nghiên cứu Đã áp dụng trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2011 - 2012,  2012 - 2013 và thu được những kết quả khả quan, thu hút được sự chú ý, tăng  cường tính sáng tạo, tư duy của học sinh.    PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Trong chương trình giáo dục phổ  thơng, Tốn học là một mơn khoa học  quan trọng, là thành phần khơng thể thiếu của nền văn hóa phổ thơng mỗi con  người.  Với  các  đặc  trưng  là  suy  luận,  tính  tốn,  chứng  minh,  phân  tích,  tổng  hợp, so sánh, mơn tốn có tiềm năng khai thác góp phần phát triển năng lực trí  tuệ, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy   Để giải các bài tốn, ngồi việc nắm vững các kiến thức cơ bản cũng cần  có phương pháp  suy  nghĩ  khoa  học  cùng với những kinh  nghiệm  cá  nhân  tích  lũy được trong q trình học tập, rèn luyện. Trong mơn tốn ở trường trung học  cơ sở có rất nhiều bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật tốn để giải. Đối với  những bài tốn ấy, người giáo viên cần phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách  suy nghĩ, tìm tịi lời giải.  Trong q trình giảng dạy bộ mơn tốn ở nhà trường cũng như trong các kỳ  thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thơng, chun  đề về  phương pháp giải một số phương trình quy về phương trình bậc hai là một  chun đề hay và lý thú, thu hút được đơng đảo thầy cơ và học sinh quan tâm.   Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số Ở  chương  trình  tốn  9  THCS,  định  nghĩa  phương  trình  bậc  hai  một  ẩn  được trình bày như sau: Phương trình bậc hai đối với ẩn  x  R  là phương trình có  dạng: ax2 + bx + c = 0 (a    0).  Một số kiến thức kỹ cần nắm giải phương trình bậc hai - Các quy tắc tính tốn với các biểu thức đại số.  - Các hằng đẳng thức đáng nhớ.  - Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.  - Kiến thức về giá trị tuyệt đối.  - Kỹ năng tìm tập xác định của một biểu thức.  - Kỹ năng biến đổi các biểu thức.  - Kỹ năng giải và biện luận phương trình.  II Thực trạng vấn đề Thuận lợi  Với đặc điểm phân chia các lớp theo lực học tại trường trung học cơ sở thị  trấn Than Un, thì việc các em học sinh đang theo học tại các lớp chọn muốn đào  sâu, mở rộng kiến thức là điều dễ dàng nhận thấy và cần được khích lệ, biểu dương.    Trong chương trình tốn THCS phần kiến thức về phương trình, phương  trình  bậc  hai  được  đơng  đảo  học  sinh  u  thích,  say  mê  tìm  hiểu.  Các  dạng  phương trình quy được về phương trình bậc hai trong chương trình tốn THCS  tuy rất đa dạng và phong phú nhưng mỗi dạng đều có những đặc điểm riêng, dễ  dàng nhận biết, đồng  thời mỗi dạng phương trình đều có một phương pháp giải  cụ thể, phù hợp với từng dạng bài.  Khó khăn * Về phía giáo viên:   Căn cứ vào thực tế giảng dạy tại nhà trường, tơi nhận thấy phần kiến thức  về phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai ở trường trung học  cơ sở chưa được giáo viên thường xun quan tâm  và đề cập đến nhiều.  Trong  q trình bồi dưỡng học sinh giỏi, phần kiến thức này giáo viên thường chuẩn bị  chưa chu đáo, cịn tự biên soạn tài liệu giảng dạy, hoặc dựa vào q nhiều tài liệu  tham khảo, cịn bị động trước các tình huống học sinh đưa ra, gây khơng ít khó  khăn cho cả người dạy và người học.  Có thể khẳng định rằng phương trình quy về phương trình bậc hai là một  trong  những  kiểu  bài  tương  đối  khó với giáo  viên.  Khó  khăn  trước  hết là  khó  khăn về kiến thức, về phương pháp. Khó khăn trong việc  hướng dẫn học sinh  phát hiện vấn đề, làm sao để chỉ trong một vài tiết có thể giúp học sinh nhận biết  thành  thạo  các  dạng  phương  trình  quy  được  về  phương  trình  bậc  hai  và  cách  giải, chỉ trong một số tiết mà dung lượng kiến thức khơng ít, có rất nhiều dạng  tốn, rất nhiều vấn đề cần đề cập nâng cao. Giáo viên phải làm sao để giờ học  vừa truyền thụ đủ kiến thức cho học sinh để học sinh có “nghệ thuật giải phương  trình”  vừa  cơ  đọng,  tập  trung  vào  phương  pháp  giải  đồng  thời  tránh  được  sự  giảng giải nhàm chán và cuốn hút học sinh. Vậy nguyên nhân do đâu?          Thứ nhất: Các tài liệu về phương trình quy về phương trình bậc hai để giáo  viên  tham khảo  cịn  rất  hiếm  nên  giáo  viên  ít  có  cơ  hội  để bổ  sung  kiến thức,  phương pháp.           Thứ hai:  Do  giáo  viên  chưa  tìm  được  phương  pháp  tối  ưu,  chưa  đầu  tư  nhiều để suy nghĩ đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cần thiết cho học sinh trong  các tiết học.          * Về phía học sinh: Với giáo viên, việc giúp học sinh lĩnh hội phương pháp giải các phương  trình quy về phương trình bậc hai là khó thì với học sinh kiểu bài này cịn khó  hơn rất nhiều.           Việc học tập các phương pháp tổng qt và đặc biệt để giải các bài tốn, việc  hình thành kỹ năng và kỹ xảo vận dụng tốn học vào những sự kiện khác nhau  trong đời sống như ta đã biết có một ý nghĩa quan trọng.        Học sinh trong khi nghiên cứu tốn học các em có những kiến thức nội dung  tài  liệu  học  tập,  các  em  hiểu  các  định  lý  và  quy  tắc  nhưng  khơng  hiểu  các  phương pháp chung để giải các bài tốn. Bởi vì các thủ thuật ấy khơng được nêu   rõ và hình thành trong bản thân khoa học.        Điều quan trọng khơng chỉ thơng báo cho học sinh những thơng tin về những  thủ thuật và phương pháp ấy mà phải làm sao cho học sinh hiểu thấu đáo những  kiến thức thu được về phương pháp. Điều này là bắt buộc bởi lẽ sách giáo khoa  và tuyển tập tài liệu dùng cho học sinh hiện nay khơng có đầy đủ những chỉ dẫn  liên quan đến phương pháp nhận thức riêng và lơgic đại cương áp dụng cho khi  nghiên cứu tốn học ở nhà trường.        Những chỉ dẫn tản mạn của giáo viên thơng thường học sinh khơng nhớ và  hệ thống hóa được. Vì thế tất cả những chỉ dẫn đó chỉ trơng cậy vào trí nhớ của  học sinh, học sinh lại nhanh qn. Mặc dù trong sách giáo khoa đã có một số bài  tập giải mẫu và một vài chỉ dẫn giải phương trình  nhưng những hướng dẫn đó  chưa cung cấp cho học sinh đầy đủ những cơ sở vững chắc để nắm vững cách  giải các bài tốn.   Cịn một số ngun nhân khác khiến học sinh giải chưa tốt phương trình  quy về phương trình bậc hai, đó là:  -  Học  sinh  cịn  yếu  về  kỹ  năng  phát  hiện  phương  trình  quy  về  phương  trình  bậc  hai,  khi  đứng  trước  một  phương  trình  học  sinh  khơng  biết  được  phương trình đó có đưa về phương trình bậc hai được hay khơng, ngun nhân  là do học sinh chưa nắm rõ, chưa phân biệt được các dạng phương trình quy về  phương trình bậc hai.  -  Khi  đứng  trước  một  phương  trình  học  sinh  cịn  nhầm  lẫn  về  phương  pháp giải giữa phương trình này với phương trình kia.  -  Một  số  học  sinh  không  hiểu  giải  một  bài  tốn  là  như  thế  nào.  Vì  thế  khơng giải đầy đủ, khơng biết nghiệm của phương trình tìm được có là đáp số  của bài tốn này khơng.    Trước  khi  tiến  hành  bồi  dưỡng,  nghiên  cứu  chuyên  đề  này,  tơi  đã  tiến  hành kiểm tra khảo sát nhằm đánh giá khả năng vốn có của học sinh. Mặt khác  lưu giữ kết quả để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.     Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát:     Câu 1.  Giải phương trình:  2x  x 7x 1     3x 2x  Câu 2.  Giải phương trình:  3( x  x)2  2( x  x) 1    Giải Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình: x    0; x         Phương trình đã cho tương đương với:       2(2x 2 + 1)(2x - 1) + 6x 2 = x(2x - 1)(7x - 1)   6x  - 11x  - 3x + 2 = 0   (6x  + x - 1)(x - 2) = 0  1  6x   x  1      x1  ;  x        x    2    x   2  Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 =  1 ; x2 =  ; x3 = 2.  Câu 2: 3( x  x)2  2( x  x) 1       t1  Đặt x + x = t, ta có  3t  2t 1        t2  1     Với t1 = 1, ta có: x2 + x =1 hay x2 + x – = 0  2   Giải ra ta được:  x1  1  1  ;  x2    3           Với  t2  =  , ta có  x  x    hay  x  x     Phương trình này vơ nghiệm.  Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:  x1  1  1  ; x2    2 Kết thu được: BẢNG ĐỐI TƯỢNG I NĂM HỌC Số lượng % ĐỐI TƯỢNG II Số lượng % ĐỐI TƯỢNG III Số lượng % 2011 - 2012  6  30  10  50  4  20  2012 - 2013  7  30,4  11  47,9  5  21,7    Đối chiếu kết thu sau hai năm sau: - Đối tượng I: Các em chỉ mới làm được bài 1 nhưng thiếu kết luận nghiệm:  + Năm học 2011 - 2012: 6/20 em chiếm tỷ lệ 30%;   + Năm học 2012 - 2013: 7/23 em chiếm tỷ lệ 30,4%.    - Đối tượng II: Các em làm hoàn thiện bài 1 nhưng bài 2 chưa biết cách  đặt ẩn phụ:  + Năm học 2011 - 2012: 10/20 em chiếm tỷ lệ  50%;  + Năm học 2012 - 2013: 11/23 em chiếm tỷ lệ  47,9%.      - Đối tượng III: Các em đã biết làm cả hai bài nhưng lập luận chưa chặt chẽ: + Năm học 2011 - 2012: 4/20 em chiếm tỷ lệ  20%;   + Năm học 2012 - 2013: 5/23 em chiếm tỷ lệ  21,7%.    Từ thực trạng trên, để học sinh có định hướng rõ nét, đồng thời trang bị  cho  các  em  hệ  thống  phương  pháp  giải  các  dạng  phương  trình  quy  được  về  phương trình bậc hai, nhằm mục đích giúp các em khi đứng trước một phương  trình bất kỳ có thể dễ dàng định hướng được cách giải tơi đã đề ra các biện pháp  như sau:  III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Nhắc lại định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với ẩn  x  R  là phương trình có  dạng ax2 + bx + c = 0 (a    0) (1)   b) Cách giải: Tính    b2  4ac   Nếu     thì phương trình (1) vơ nghiệm.  Nếu     thì phương trình (1) có nghiệm kép  x1  x2   b   2a Nếu     thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:  x1  b   b     , x2  2a 2a c) Định lý Viet về dấu các nghiệm.  Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn  x  R :  ax  bx  c   a    có hai  nghiệm  x1 , x2  thì  S  x1  x2  b c , P  x1.x2    a a Dấu các nghiệm:   Phương trình  ax  bx  c   a    có hai nghiệm trái dấu     P        P  Phương trình  ax  bx  c   a    có hai nghiệm cùng dấu        Phương trình  ax  bx  c   a    có hai nghiệm cùng dương    P     S     Phương trình  ax  bx  c   a    có hai nghiệm cùng âm    P     S   2 Giải biện luận phương trình bậc hai  Phương trình bậc hai có dạng tổng qt là:  ax  bx  c   a    (1)  Giải  và  biện  luận phương  trình  bậc  hai  ở  dạng  tổng  quát  ta  tiến  hành  như sau:  Tính biệt thức    b2  4ac , căn cứ vào đó để biện luận theo tham số:   Nếu     thì phương trình (1) vơ nghiệm.  Nếu     thì phương trình (1) có nghiệm kép  x1  x2   b   2a Nếu     thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:  x1    b   b     , x2  2a 2a Khi b  chẵn  ta có  thể  kết  luận  số  nghiệm  của  phương  trình bậc  hai  qua  b biệt số thu gọn   '  với   '  b '2  ac ;  b '       '  > 0: phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =    ' = 0: phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x 2 =    b '  '   a  ' 0) (trong x ẩn, a, b, c hệ số) Bài tập tương tự: Giải phương trình:  1) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1  2) (x - 5)4 + (x - 2)4 = 17  3) x 4 + (x - 1)4 = 97  3 Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m Bài tập tương tự: Giải phương trình:  1) ( x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3  2) ( x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680  19   3) ( x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297  3.4 Phương trình giải cách đặt ẩn phụ:  Bài tập tương tự: Giải phương trình:    1) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x – 1) = 3    2) (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0  3)  ( x 1 x ) ( )    x x 1 3.5 Phương trình dạng ax4+ bx3 + cx2  kbx + k2a = (Phương trình đối xứng) Bài tập tương tự: Giải phương trình:  1) x4 - x3 - x + 1 = 0  2) x5 - 5x 4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0  3.6 Phương trình giải cách đưa dạng tích Bài tập tương tự: Giải phương trình:  1) x4 + 2x3 - 6x 2 + 2x + 1 = 0  2) (x2 + 4x + 21)2 = (x + 3)4    20   TÀI LIỆU THAM KHẢO -  Sách giáo khoa Tốn 9 - Tơn Thân - Nhà xuất giáo dục - Sách Thực hành giải tốn - Giáo trình cao đẳng sư phạm - Nhà xuất giáo dục - 1001 bài tốn sơ  cấp bồi dưỡng học  sinh giỏi và luyện thi vào lớp 10Nhà xuất trẻ - Một số đề thi học sinh giỏi các cấp.  - Một số tài liệu tham khảo khác.                                                    21   MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU   I. Lý do chọn đề tài 1  II.  Phạm vi và đối tượng nghiên cứu.  1  III. Mục đích nghiên cứu.  2  IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.  2  PHẦN NỘI DUNG   I. Cơ sở lý luận.  3  II. Thực trạng vấn đề.  3  III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.  7  1. Nhắc lại định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số.  7  2. Giải và biện luận phương trình bậc hai.  8  3. Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai.  8  IV. Hiệu quả sáng kiến  15    PHẦN KẾT LUẬN I. Bài học kinh nghiệm  17  II. Ý nghĩa của SKKN  17  III. Khả năng ứng dụng, triển khai  18  IV. Những kiến nghị, đề xuất  18  Phụ lục: Các bài tập vận dụng  19  22   23 ... phương? ?trình? ?bậc? ?hai như sau:  -? ?Phương? ?trình? ?ch? ?a? ?ẩn ở mẫu.  -? ?Phương? ?trình? ?bậc? ?3.  - Những? ?phương? ?trình? ?bậc? ?cao? ?quy? ?được? ?về? ?phương? ?trình? ?bậc? ?hai bao  gồm:    +)? ?Phương? ?trình? ?trùng? ?phương:  ax4 + bx2 + c = 0.    +)? ?Phương? ?trình? ?dạng: (x +? ?a) 4 + (x  + b)4  = c. ... trình? ?bất kỳ có thể dễ dàng định hướng được cách? ?giải? ?tơi đã đề ra? ?các? ?biện? ?pháp? ? như sau:  III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Nhắc lại định ngh? ?a phương trình bậc hai ẩn số a) Định ngh? ?a: ? ?Phương? ?trình? ?bậc? ?hai đối với ẩn ... phương? ?trình? ?bậc? ?hai đặc biệt là định lý Viet, với đặc thù riêng c? ?a? ?phương? ?trình? ?đã  cho mà biến đổi cho phù hợp.  Các dạng phương trình quy phương trình bậc hai Trong trường phổ thơng ta thường gặp một số dạng? ?phương? ?trình? ?quy? ?về? ? phương? ?trình? ?bậc? ?hai như sau: