CHUYÊN CÁC D NG TOÁN V DÃY S VÀ PH N G PHÁP GI IĐỀ Ạ Ề Ố ƯƠ Ả 1. Các ki n th c c n nh :ế ứ ầ ớ Trong dãy s t nhiên liên ti p c m t s ch n l i n m t s l r i l i n m t s ố ự ế ứ ộ ố ẵ ạ đế ộ ố ẻ ồ ạ đế ộ ố ch n… Vì v y, n u:ẵ ậ ế - Dãy s b t u t s l và k t thúc là s ch n thì s l n g các s l b ng s l n g ố ắ đầ ừ ố ẻ ế ố ẵ ố ượ ố ẻ ằ ố ượ các s ch n.ố ẵ - Dãy s b t u t s ch n và k t thúc c ng là s l thì s l n g các s ch n b ng ố ắ đầ ừ ố ẵ ế ũ ố ẻ ố ượ ố ẵ ằ s l n g các s l .ố ượ ố ẻ - N u dãy s b t u t s l và k t thúc c ng là s l thì s l n g các s l nhi u ế ố ắ đầ ừ ố ẻ ế ũ ố ẻ ố ượ ố ẻ ề h n các s ch n là 1 s .ơ ố ẵ ố - N u dãy s b t u t s ch n và k t thúc c ng là s ch n thì s l n g các s ch n ế ố ắ đầ ừ ố ẵ ế ũ ố ẵ ố ượ ố ẵ nhi u h n các s l là 1 s .ề ơ ố ẻ ố a. Trong dãy s t nhiên liên ti p b t u t s 1 thì s l n g các s trong dãy s ố ự ế ắ đầ ừ ố ố ượ ố ố chính b ng giá tr c a s cu i cùng c a s y.ằ ị ủ ố ố ủ ốấ b. Trong dãy s t nhiên liên ti p b t u t s khác s 1 thì s l n g các s trong ố ự ế ắ đầ ừ ố ố ố ượ ố dãy s b ng hi u gi a s cu i cùng c a dãy s v i s li n tr c s u tiên.ố ằ ệ ữ ố ố ủ ố ớ ố ề ướ ốđầ 2. Các lo i dãy s :ạ ố + Dãy s cách u:ố đề - Dãy s t nhiên.ố ự - Dãy s ch n, l .ố ẵ ẻ - Dãy s chia h t ho c không chia h t cho m t s t nhiên nào ó.ố ế ặ ế ộ ố ự đ + Dãy s không cách u.ố đề - Dãy Fibonacci hay tribonacci. - Dãy có t ng (hi u) gi a hai s liên ti p là m t dãy s .ổ ệ ữ ố ế ộ ố + Dãy s th p phân, phân s :ố ậ ố 3. Cách gi i các d ng toán v dãy s :ả ạ ề ố D ng 1: i n thêm s h ng vào sau, gi a ho c tr c m t dãy sạ Đề ố ạ ữ ặ ướ ộ ố Tr c h t ta c n xác nh l i quy lu t c a dãy s :ướ ế ầ đị ạ ậ ủ ố + M i s h ng (k t s h ng th 2) b ng s h ng n g tr c nó c ng (ho c tr ) v i ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ ố ạ đứ ướ ộ ặ ừ ớ m t s t nhiên a.ộ ố ự + M i s h ng (k t s h ng th 2) b ng s h ng n g tr c nó nhân (ho c chia) ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ ố ạ đứ ướ ặ v i m t s t nhiên q khác 0.ớ ộ ố ự + M i s h ng (k t s h ng th 3) b ng t ng 2 s h ng n g li n tr c nó.ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ ổ ố ạ đứ ề ướ + M i s h ng (k t s h ng th 4) b ng t ng c a s h ng n g tr c nó c ng v i ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ ổ ủ ố ạ đứ ướ ộ ớ s t nhiên d r i c ng v i s th t c a s h ng y.ố ự ồ ộ ớ ố ứ ự ủ ố ạ ấ + S h ng n g sau b ng s h ng n g tr c nhân v i s th t c a nó.ố ạ đứ ằ ố ạ đứ ướ ớ ố ứ ự ủ + M i s h ng (k t s h ng th 2) tr i u b ng a l n s li n tr c nó.ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ởđ đề ằ ầ ố ề ướ + M i s h ng (k t s h ng th 2) tr i, m i s li n sau b ng a l n s li n tr c nóỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ởđ ỗ ố ề ằ ầ ố ề ướ c ng (tr ) n (n khác 0).ộ ừ Các ví d :ụ Bài 1: i n thêm 3 s h ng vào dãy s sau:Đề ố ạ ố 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…… Mu n gi i c bài toán trên tr c h t ph i xác nh quy lu t c a dãy s nh sau:ố ả đượ ướ ế ả đị ậ ủ ố ư Ta th y: 1 + 2 = 3 3 + 5 = 8ấ 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13 Dãy s trên c l p theo quy lu t sau: K t s h ng th 3 tr i m i s h ng b ng ố đượ ậ ậ ể ừ ố ạ ứ ở đ ỗ ố ạ ằ t ng c a hai s h ng n g li n tr c nó.ổ ủ ố ạ đứ ề ướ Ba s h ng ti p theo là: 21 + 34 = 55; 34 + 55 = 89; 55 + 89 = 144ố ạ ế V y dãy s c vi t y là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144ậ ốđượ ế đầ đủ Bài 2: Vi t ti p 3 s h ng vào dãy s sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27ế ế ố ạ ố Ta nh n th y: 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 15ậ ấ 15 = 3 + 4 + 8 T ó ta rút ra c quy lu t c a dãy s là: M i s h ng (k t s h ng th 4) b ng ừđ đượ ậ ủ ố ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ t ng c a ba s h ng n g li n tr c nó.ổ ủ ố ạ đứ ề ướ Vi t ti p ba s h ng, ta c dãy s sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169.ế ế ố ạ đượ ố Bài 3: Tìm s h ng u tiên c a các dãy s sau bi t r ng m i dãy s có 10 s h ng.ố ạ đầ ủ ố ế ằ ỗ ố ố ạ a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 Gi i:ả a). Ta nh n xét :ậ S h ng th 10 là : 1024 = 512 x 2ố ạ ứ S h ng th 9 là : 512 = 256 x 2ố ạ ứ S h ng th 8 là : 256 = 128 x 2ố ạ ứ S h ng th 7 là : 128 = 64 x 2ố ạ ứ …………………………… T ó ta suy lu n ra quy lu t c a dãy s này là: m i s h ng c a dãy s g p ôi s ừđ ậ ậ ủ ố ỗ ố ạ ủ ố ấ đ ố h ng n g li n tr c ó.ạ đứ ề ướ đ V y s h ng u tiên c a dãy là: 1 x 2 = 2.ậ ố ạ đầ ủ b). Ta nh n xét :ậ S h ng th 10 là : 110 = 11 x 10ố ạ ứ S h ng th 9 là : 99 = 11 x 9ố ạ ứ S h ng th 8 là : 88 = 11 x 8ố ạ ứ S h ng th 7 là : 77 = 11 x 7ố ạ ứ ………………………… T ó ta suy lu n ra quy lu t c a dãy s là: M i s h ng b ng s th t c a s h ng ừ đ ậ ậ ủ ố ỗ ố ạ ằ ố ứ ự ủ ố ạ y nhân v i 11.ấ ớ V y s h ng u tiên c a dãy là : 1 x 11 = 11.ậ ố ạ đầ ủ Bài 4: Tìm các s còn thi u trong dãy s sau :ố ế ố a. 3, 9, 27, , , 729. b. 3, 8, 23, , , 608. Gi i :ả Mu n tìm c các s còn thi u trong m i dãy s , c n tim c quy lu t c a m i dãy ố đượ ố ế ỗ ố ầ đượ ậ ủ ỗ s ó.ố đ a. Ta nh n xét : 3 x 3 = 9ậ 9 x 3 = 27 Quy lu t c a dãy s là: K t s h ng th 2 tr i, m i s h ng g p 3 l n s li n tr cậ ủ ố ể ừ ố ạ ứ ở đ ỗ ố ạ ấ ầ ố ề ướ nó. V y các s còn thi u c a dãy s ó là:ậ ố ế ủ ố đ 27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 ( úng).đ V y dãy s còn thi u hai s là : 81 và 243.ậ ố ế ố b. Ta nh n xét: 3 x 3 – 1 = 8 ; 8 x 3 – 1 = 23.ậ Quy lu t c a dãy s là: K t s h ng th 2 tr i, m i s h ng b ng 3 l n s li n ậ ủ ố ể ừ ố ạ ứ ở đ ỗ ố ạ ằ ầ ố ề tr c nó tr i 1. Vì v y, các s còn thi u dãy s là:ướ ừ đ ậ ố ế ở ố 23 x 3 - 1 = 68 ; 68 x 3 – 1 = 203 ; 203 x 3 – 1 = 608 ( úng).đ Dãy s còn thi u hai s là: 68 và 203.ố ế ố Bài 5: Lúc 7h sáng, m t ng i i t A n B và m t ng i i t B n A ; c hai cùng ộ ườ đ ừ đế ộ ườ đ ừ đế ả i n ích c a mình lúc 2h chi u. Vì ng i khó d n t A n B ; nên ng i i t đ đế đ ủ ề đườ đ ầ ừ đế ườ đ ừ A, gi u i c 15km, c m i gi sau ó l i gi m i 1km. Ng i i t B gi cu i ờ đầ đ đượ ứ ỗ ờ đ ạ ả đ ườ đ ừ ờ ố cùng i c 15km, c m i gi tr c ó l i gi m 1km. Tính quãng ng AB.đ đượ ứ ỗ ờ ướ đ ạ ả đườ Gi i:ả 2 gi chi u là 14h trong ngày.ờ ề 2 ng i i n ích c a mình trong s gi là:ườ đ đế đ ủ ố ờ 14 – 7 = 7 gi .ờ V n t c c a ng i i t A n B l p thành dãy s :ậ ố ủ ườ đ ừ đế ậ ố 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9. V n t c c a ng i i t B n A l p thành dãy s :ậ ố ủ ườ đ ừ đế ậ ố 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Nhìn vào 2 dãy s ta nh n th y u có các s h ng gi ng nhau v y quãng ng AB ố ậ ấ đề ố ạ ố ậ đườ là: 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 áp s : 84km.Đ ố Bài 6: i n các s thích h p vào ô tr ng sao cho t ng s 3 ô liên ti p u b ng 2010Đ ề ố ợ ố ổ ố ế đề ằ 783 998 Gi i:ả Ta ánh s th t các ô nh sau:đ ố ứ ự ư 783 998 Ô1 Ô2 Ô3 Ô4 Ô5 Ô6 Ô7 Ô8 Ô9 Ô10 Theo i u ki n c a bài ta có:đề ệ ủ đề 783 + Ô7 + Ô8 = 2010. Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2010. V y Ô9 = 783; t ó ta tính c:ậ ừ đ đượ Ô8 = Ô5 = Ô2 = 2010 - (783 + 998) = 229 Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998 Ô3 = Ô6 = 783. i n các s vào ta c dãy s :Đ ề ố đượ ố 998 229 783 998 229 783 998 229 783 998 M t s l u ý khi gi ng d y Toán d ng này là: Tr c h t ph i xác nh c quy lu t ộ ố ư ả ạ ạ ướ ế ả đị đượ ậ c a dãy là dãy ti n, dãy lùi hay dãy s theo chu k . T ó mà h c sinh có th i n ủ ế ố ỳ ừ đ ọ ể đ ề c các s vào dãy ã cho.đượ ố đ * Bài t p t luy n:ậ ự ệ Bài 1: 13, 19, 25, 31,……, Dãy s v a c vi t raố ừ đượ ế Ba s vi t ti p là ba s nào?ố ế ế ố S nào suy ngh th p cao?ố ĩ ấ em, b n làm sao k li n?Đố đố ạ ể ề Bài 2: Tìm và vi t ra các s h ng còn thi u trong dãy s sau:ế ố ạ ế ố a. 7, 10, 13,…, …, 22, 25. b. 103, 95, 87,…, …, , 55, 47. Bài 3: i n s thích h p vào ô tr ng, sao cho t ng các s 3 ô li n nhau b ng:Đ ề ố ợ ố ổ ố ở ề ằ a. n = 14,5 2,7 8,5 b. n = 23,4 8,7 7,6 Bài 4: Vi t ti p ba s h ng vào dãy s sau :ế ế ố ạ ố a) 1; 3; 4; 7; 11; 18; b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; c) 0 ; 3; 7; 12; d) 1; 2; 6; 24; D ng 2: Xác nh s A có thu c dãy ã cho hay không?ạ đị ố ộ đ Cách gi i c a d ng toán này:ả ủ ạ - Xác nh quy lu t c a dãy;đị ậ ủ - Ki m tra s A có tho mãn quy lu t ó hay không?ể ố ả ậ đ Các ví d :ụ Bài 1: Cho dãy s : 2, 4, 6, 8,……ố a. Dãy s c vi t theo quy lu t nào?ố đượ ế ậ b. S 2009 có ph i là s h ng c a dãy không? Vì sao?ố ả ố ạ ủ Gi i:ả a. Ta nh n th y: S h ng th 1: 2 = 2 x 1ậ ấ ố ạ ứ S h ng th 2: 4 = 2 x 2ố ạ ứ S h ng th 3: 6 = 2 x 3ố ạ ứ … S h ng th n: ? = 2 x nố ạ ứ Quy lu t c a dãy s là: M i s h ng b ng 2 nhân v i s th t c a s h ng y.ậ ủ ố ỗ ố ạ ằ ớ ố ứ ự ủ ố ạ ấ b. Ta nh n th y các s h ng c a dãy là s ch n, mà s 2009 là s l , nên s 2009 ậ ấ ố ạ ủ ố ẵ ố ố ẻ ố không ph i là s h ng c a dãy.ả ố ạ ủ Bài 2: Cho dãy s : 2, 5, 8, 11, 14, 17,……ố - Vi t ti p 3 s h ng vào dãy s trên?ế ế ố ạ ố - S 2009 có thu c dãy s trên không? T i sao?ố ộ ố ạ Gi i:ả - Ta th y: 8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; ………ấ Dãy s trên c vi t theo quy lu t sau: K t s th 2 tr i, m i s h ng b ng s ố đượ ế ậ ể ừ ố ứ ở đ ỗ ố ạ ằ ố h ng ng li n tr c nó c ng v i 3.ạ đứ ề ướ ộ ớ V y 3 s h ng ti p theo c a dãy s là:ậ ố ạ ế ủ ố 17 + 3 = 20 ; 20 + 3 = 23 ; 23 + 3 = 26 Dãy s c vi t y là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.ố đượ ế đầ đủ - Ta th y: 2 : 3 = 0 d 2 ; 5 : 3 = 1 d 2 ; 8 : 3 = 2 d 2 ; ấ ư ư ư V y ây là dãy s mà m i s h ng khi chia cho 3 u d 2. Mà:ậ đ ố ỗ ố ạ đề ư 2009 : 3 = 669 d 2. V y s 2009 có thu c dãy s trên vì c ng chia cho 3 thì d 2.ư ậ ố ộ ố ũ ư Bài 3: Em hãy cho bi t:ế a. Các s 60, 483 có thu c dãy 80, 85, 90,…… hay không?ố ộ b. S 2002 có thu c dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không?ố ộ c. S nào trong các s 798, 1000, 9999 có thu c dãy 3, 6, 12, 24,…… gi i thích t i ố ố ộ ả ạ sao? Gi i:ả a. C 2 s 60, 483 u không thu c dãy ã cho vì:ả ố đề ộ đ - Các s h ng c a dãy ã cho u l n h n 60.ố ạ ủ đ đề ớ ơ - Các s h ng c a dãy ã cho u chia h t cho 5, mà 483 không chia h t cho 5.ố ạ ủ đ đề ế ế b. S 2002 không thu c dãy ã cho vì m i s h ng c a dãy khi chia cho 3 u d 2, ố ộ đ ọ ố ạ ủ đề ư mà 2002 chia 3 thì d 1.ư c. C 3 s 798, 1000, 9999 u không thu c dãy 3, 6, 12, 24,… vì:ả ố đề ộ - M i s h ng c a dãy (k t s h ng th 2) u g p ôi s h ng li n tr c nh n nó; ỗ ố ạ ủ ể ừ ố ạ ứ đề ấ đ ố ạ ề ướ ậ cho nên các s h ng (k t s h ng th 3) có s h ng ng li n tr c là s ch n, màố ạ ể ừ ố ạ ứ ố ạ đứ ề ướ ố ẵ 798 chia cho 2 = 399 là s l .ố ẻ - Các s h ng c a dãy u chia h t cho 3, mà 1000 l i không chia h t cho 3.ố ạ ủ đề ế ạ ế - Các s h ng c a dãy (k t s h ng th 2) u ch n, mà 9999 là s l .ố ạ ủ ể ừ ố ạ ứ đề ẵ ố ẻ Bài 4: Cho dãy s : 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.ố N u vi t ti p thì s 34,6 có thu c dãy s trên không?ế ế ế ố ộ ố Gi i:ả - Ta nh n xét: 2,2 - 1 = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;……ậ Quy lu t c a dãy s trên là: T s h ng th 2 tr i, m i s h ng u h n s h ng ậ ủ ố ừ ố ạ ứ ở đ ỗ ố ạ đề ơ ố ạ li n tr c nó là 1,2 n v :ề ướ đơ ị - M t khác, các s h ng trong dãy s tr i 1 u chia h t cho 1,2.ặ ố ạ ố ừ đ đề ế Ví d : (13 - 1) chia h t cho 1,2ụ ế (3,4 - 1) chia h t cho 1,2ế Mà: (34,6 - 1) : 1,2 = 28 d 0.ư V y n u vi t ti p thì s 34,6 c ng thu c dãy s trên.ậ ế ế ế ố ũ ộ ố Bài 5: Cho dãy s : 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49.ố Các s sau ây có ph i là s h ng c a dãy không?ố đ ả ố ạ ủ 100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009? Gi i:ả Nh n xét: ây là dãy s cách u 3 n v .ậ Đ ố đề đơ ị Trong dãy s này, s l n nh t là 1996 và s bé nh t là 49. Do ó, s 2009 không ph iố ố ớ ấ ố ấ đ ố ả là s h ng c a d y s ã cho vì l n h n 1996.ố ạ ủ ẫ ố đ ớ ơ Các s h ng c a dãy s ã cho là s khi chia cho 3 thì d 1. Do ó, s 100 và s ố ạ ủ ố đ ố ư đ ố ố 1900 là s h ng c a dãy s ó.ố ạ ủ ố đ Các s 123, 456, 789 u chia h t cho 3 nên các s ó không ph i là s h ng c a ố đề ế ố đ ả ố ạ ủ dãy s ã cho.ố đ S 1436 khi chia cho 3 thì d 2 nên không ph i là s h ng c a dãy s ã cho.ố ư ả ố ạ ủ ố đ * Bài t p l luy n:ậ ự ệ Bài 1: Cho dãy s : 1, 4, 7, 10,…ố a. Nêu quy lu t c a dãy.ậ ủ b. S 31 có ph i là s h ng c a dãy không?ố ả ố ạ ủ c. S 2009 có thu c dãy này không? Vì sao?ố ộ Bài 2: Cho dãy s : 1004, 1010, 1016,…, 2012.ố H i s 1004 và 1760 có thu c dãy s trên hay không?ỏ ố ộ ố Bài 3: Cho dãy s : 1, 7, 13, 19,…,ố a. Nêu quy lu t c a dãy s r i vi t ti p 3 s h ng ti p theo.ậ ủ ố ồ ế ế ố ạ ế b. Trong 2 s 1999 và 2009 thì s nào thu c dãy s ? Vì sao?ố ố ộ ố Bài 4: Cho dãy s : 3, 8, 13, 18,……ố Có s t nhiên nào có ch s t n cùng là 6 mà thu c dãy s trên không?ố ự ữ ố ậ ộ ố Bài 5: Cho dãy s : 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……ố a. S 1997 có ph i là s h ng c a dãy s này hay không?ố ả ố ạ ủ ố b. S 561 có ph i là s h ng c a dãy s này hay không?ố ả ố ạ ủ ố D ng 3: Tìm s s h ng c a dãyạ ố ố ạ ủ * Cách gi i d ng này là:ả ở ạ i v i d ng toán này, ta th ¬ ng s d ng ph¬ ng pháp gi i toán kho ng cách Đố ớ ạ ư ờ ử ụ ươ ả ả (toán tr ng cây). Ta có công th c sau :ồ ứ S các s h ng c a dãy = s kho ng cách+ 1.ố ố ạ ủ ố ả c bi t, n u quy lu t c a dãy là : M i s h ng ng sau b ng s h ng li n tr ¬ c Đặ ệ ế ậ ủ ỗ ố ạ đứ ằ ố ạ ề ư ớ c ng v i s không i d thì:ộ ớ ố đổ S các s h ng c a dãy = ( S h ng l n nh t – S h ng nh nh t ) : d + 1.ố ố ạ ủ ố ạ ớ ấ ố ạ ỏ ấ Các ví d :ụ Bài 1: Cho dãy s 11; 14; 17; ;65; 68.ố Hãy xác nh dãy s trên có bao nhiêu s h ng?đị ố ố ạ L i gi i :ờ ả Ta có : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3; V y quy lu t c a dãy s ó là m i s h ng ng li n sau b ng s h ng mg li n ậ ậ ủ ố đ ỗ ố ạ đứ ề ằ ố ạ đứ ề tr¬ c nó c ng v i 3. S các s h ng c a dãy s ó là:ướ ộ ớ ố ố ạ ủ ố đ ( 68 - 11 ) : 3 + 1 = 20 ( s h ng )ố ạ Bài 2: Cho dãy s : 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992ố Hãy xác nh dãy s trên có bao nhiêu s h ng?đị ố ố ạ Gi i:ả Ta th y: 4 – 2 = 2 ; 8 – 6 = 2ấ 6 – 4 = 2 ; ……… V y, quy lu t c a dãy s là: M i s h ng ng sau b ng m t s h ng ng tr c ậ ậ ủ ố ỗ ố ạ đứ ằ ộ ố ạ đứ ướ c ng v i 2. Nói các khác: ây là dãy s ch n ho c dãy s cách u 2 n v .ộ ớ Đ ố ẵ ặ ố đề đơ ị D a vào công th c trên:ự ứ (S h ng cu i – s h ng u) : kho ng cách + 1ố ạ ố ố ạ đầ ả Ta có: S các s h ng c a dãy là:ố ố ạ ủ (1992 - 2) : 2 + 1 = 996 (s h ng).ố ạ Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy s l liên ti p u tiên; h i 1981 là s h ng th ố ẻ ế đầ ỏ ố ạ ứ bao nhiêu trong dãy s này? Gi i thích cách tìm?ố ả ( thi h c sinh gi i b c ti u h c 1980 – 1981)Đề ọ ỏ ậ ể ọ Gi i:ả Ta th y:ấ S h ng th nh t b ng: 1 = 1 + 2 x 0ố ạ ứ ấ ằ S h ng th hai b ng: 3 = 1 + 2 x 1ố ạ ứ ằ S h ng th ba b ng: 5 = 1 + 2 x 2ố ạ ứ ằ ……… Còn s h ng cu i cùng: 1981 = 1 + 2 x 990ố ạ ố Vì v y, s 1981 là s h ng th 991 trong dãy s ó.ậ ố ố ạ ứ ố đ Bài 4: Cho dãy s : 3, 18, 48, 93, 153,…ố a. Tìm s h ng th 100 c a dãy.ố ạ ứ ủ b. S 11703 là s h ng th bao nhiêu c a dãy?ố ố ạ ứ ủ Gi i:ả a. S h ng th nh t: 3 = 3 + 15 x 0ố ạ ứ ấ S h ng th hai: 18 = 3 + 15 x 1ố ạ ứ S h ng th ba: 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2ố ạ ứ S h ng th t : 93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3ố ạ ứ ư S h ng th n m: 153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4ố ạ ứ ă ……… S h ng th n: 3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 + …… + 15 x (n - 1)ố ạ ứ V y s h ng th 100 c a dãy là:ậ ố ạ ứ ủ 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + …… + 15 x (100 - 1) = 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + …… + 99) ( a v m t s nhân v i m t t ng.Đư ề ộ ố ớ ộ ổ = 3 + 15 x (1 + 99) x 99 : 2 = 74253 b. G i s 11703 là s h ng th n c a dãy:ọ ố ố ạ ứ ủ Theo quy lu t ph n a ta có:ậ ở ầ 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + …… x (n – 1) = 11703 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + ……+ ( n – 1)) = 11703 3 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : 2 = 11703 15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x 2 = 23400 n x (n – 1) = 23400 : 15 = 1560 Nh n xét: S 1560 là tích c a hai s t nhiên liên ti p 39 và 40 (39 x 40 = 1560)ậ ố ủ ố ự ế V y, n = 40, s 11703 là s h ng th 40 c a dãy.ậ ố ố ạ ứ ủ Bài 5: Trong các s có ba ch s , có bao nhiêu s chia h t cho 4?ố ữ ố ố ế L i gi i:ờ ả Ta nh n xét : S nh nh t có ba ch s chia h t cho 4 là 100 và s l n nh t có ba ậ ố ỏ ấ ữ ố ế ố ớ ấ ch s chia h t cho 4 là 996. Nh ¬ v y các s có ba ch s chia h t cho 4 l p thành ữ ố ế ư ậ ố ữ ố ế ậ m t dãy s có s h ng nh nh t là 100, s h ng l n nh t là 996 và m i s h ng c a ộ ố ố ạ ỏ ấ ố ạ ớ ấ ỗ ố ạ ủ dãy ( k t s h ng th hai ) b ng s h ng ng li n tr ¬ c c ng v i 4.ể ừ ố ạ ứ ằ ố ạ đứ ề ư ớ ộ ớ V y s các s có ba ch s chia h t cho 4 là :ậ ố ố ữ ố ế ( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( s )ố * Bài t p t luy n:ậ ự ệ Bài 1: Cho dãy s : 3, 8, 13, 23, ……,2008ố Tìm xem dãy s có bao nhiêu s h ng ?ố ố ạ Bài 2: Tìm s s h ng c a các dãy s sau:ố ố ạ ủ ố a. 1, 4, 7, 10, ……,1999. b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0. Bài 3: Xét dãy s : 100, 101, ………, 789.ố Dãy này có bao nhiêu s h ng?ố ạ Bài 4: Có bao nhiêu s khi chia cho 4 thì d 1 mà nh h n 2010 ?ố ư ỏ ơ Bài 5: Ng i ta tr ng cây hai bên ng c a m t o n ng qu c l dài 21km. H i ườ ồ đườ ủ ộ đ ạ đườ ố ộ ỏ ph i dùng bao nhiêu cây tr ng trên o n ng ó ? Bi t r ng cây n tr ng ả đểđủ ồ đ ạ đườ đ ế ằ ọ ồ cách cây kia 5m. D ng 4: Tìm s h ng th n c a dãy sạ ố ạ ứ ủ ố Bài toán 1: Cho dãy s : 1, 3, 5, 7, H i s h ng th 100 c a dãy s là s nàoố ỏ ố ạ ứ ủ ố ố Gi i:ả S kho ng cách t s u n s h ng th 100 là:ố ả ừ ố đầ đế ố ạ ứ 98 - 1 = 99 M i kho ng cách làỗ ả 3 - 1 = 5 - 3 = 2 S h ng th 100 làố ạ ứ 1 + 99 2 = 199 Công th c t ng quát:ứ ổ S h ng th n = s u + kho ng cách (S s h ng - 1)ố ạ ứ ố đầ ả ố ố ạ Bài toán 2: Tìm s h ng th 100 c a các dãy s c vi t theo quy lu t:ố ạ ứ ủ ố đượ ế ậ a) 3, 8, 15, 24, 35,… (1) b) 3, 24, 63, 120, 195,… (2) c) 1, 3, 6, 10, 15,…. (3) Gi i: a) Dãy (1) có th vi t d i d ng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,…ả ể ế ướ ạ M i s h ng c a dãy (1) là tích c a hai th a s , th a s th hai l n h n th a s th ỗ ố ạ ủ ủ ừ ố ừ ố ứ ớ ơ ừ ố ứ nh t 2 n v . Các th a s th nh t làm thành m t dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có ấ đơ ị ừ ố ứ ấ ộ s h ng th 100 là 100.ố ạ ứ S h ng th 100 c a dãy (1) b ng: 100x102 = 10200.ố ạ ứ ủ ằ b) Dãy (2) có th vi t d i d ng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,…ể ế ướ ạ M i s h ng c a dãy (2) là tích c a hai th a s , th a s th hai l n h n th a s th ỗ ố ạ ủ ủ ừ ố ừ ố ứ ớ ơ ừ ố ứ nh t 2 n v . Các th a s th nh t làm thành m t dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; S h ng ấ đơ ị ừ ố ứ ấ ộ ố ạ th 100 c a dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298.ứ ủ S h ng th 100 c a dãy (2) b ng: 298 x 300 = 89400.ố ạ ứ ủ ằ [...]... tìm số n Bài 2: Tìm số n biết rằng 98 + 102 + + n = 15050 Bài 3: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106 Dạng 9: Tính tổng của dãy số Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là: Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều Dạng 1: Dãy số. .. công cụ giải toán khác nhau nữa Cách giải: Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau Vì vậy: Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu và cuối nhân với số hạng của dãy chia cho 2 Viết thành sơ đồ: Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2) Từ sơ đồ trên ta suy ra: Số đầu... ́ ̉ ̉ ́ Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy Bài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số th ứ 200 là chữ số nào ? Giải: Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số Có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần 9 1 + 90 2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là 200 - 189 = 11 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100 Ta viết được 11 : 3 = 3 số (dư 2 chữ số) Nên có 3 số có 3 chữ số được viết... xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là 38 Số cặp số là: 19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19 Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 39 x 9 + 19 = 361 Đáp số: 361 Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ dư lại số hạng ở chính gữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số. .. 1251 trang Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số Bài toán 1: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Giải: Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số Dãy số này có 9 số có 1 chữ số có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần số chữ số là 9 1 + 90 2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại... Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10 Vậy chữ số th ứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103 Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, Hỏi ch ữ số th ứ 2010 của dãy là ch ữ số nào? Giải: Dãy số đã cho có 4 số có 1 chữ số Có (98 - 10) : 2 + 1 = 45 số có 2 chữ số Có (998 - 100) : 2 + 1 = 450 số có 3 ch ữ số Để viết các số này cần: 4 1 + 45 2 + 450 x 3 = 1444 chữ số Số chữ số còn lại là:... từ số 5 thành dãy số Viết đến số hạng thứ 100 thì phát hiện đã viết sai Hỏi bạn đó đã viết sai số nào ? Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, .150 Hỏi để viết dãy số này ng ười ta phải dùng bao nhiêu chữ số Giải: Dãy số đã cho có : ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 ch ữ số Có ( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số Có ( 150 - 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 ch ữ số. .. 0,11 + 0,12 + … + 0,19 Dạng 10: Dãy chữ Khác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp Ngược lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về xã hội, t ừ đó mà vận dụng dạng toán này vào trong đời sống hàng ngày và các môn học khác Các ví dụ: Bài toán 1: Người ta viết... các chữ cái trong dãy trên theo th ứ t ự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, …Hỏi chữ cái thứ 2010 được tô màu gì? 4- Một số lưu ý khi giải toán về dãy số Trong bài toán về dãy số thường người ta không cho biết cả dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy (mà có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số không cho biết... dụng một cách thành thạo và biết biến đổi công thức để làm các bài toán khác Ở dạng 9: Có các yêu cầu: + Tìm tổng các số hạng của dãy + Tính nhanh tổng Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo t ừng cặp sao cho có tổng đều bằng nhau, sau đó tìm số cặp rồi tìm tổng các số hạng của dãy Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số dư đó vào Nếu . ốđầ 2. Các lo i dãy s :ạ ố + Dãy s cách u:ố đề - Dãy s t nhiên.ố ự - Dãy s ch n, l .ố ẵ ẻ - Dãy s chia h t ho c không chia h t cho m t s t nhiên nào ó.ố ế ặ ế ộ ố ự đ + Dãy s không cách u.ố đề - Dãy. nh t: Dãy s v i các s h ng là s nguyên, phân s (ho c s th p phân) ạ ứ ấ ố ớ ố ạ ố ố ặ ố ậ cách uđề D ng th hai: Dãy s v i các s h ng không cách u.ạ ứ ố ớ ố ạ đề D ng 1: Dãy s mà các s h ng cách. c dãy ã cho vì:ả ố đề ộ đ - Các s h ng c a dãy ã cho u l n h n 60.ố ạ ủ đ đề ớ ơ - Các s h ng c a dãy ã cho u chia h t cho 5, mà 483 không chia h t cho 5.ố ạ ủ đ đề ế ế b. S 2002 không thu c dãy