Đang tải... (xem toàn văn)
GIÚP HỌC SINH ,VƯỢT QUA , SAI LẦM , LẬP LUẬN TOÁN HỌC,PHẦN HÌNH HỌC
CHƯƠNG 2 GIÚP HỌC SINH VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP LUẬN TOÁN HỌC: PHẦN HÌNH HỌC CHỦ ĐỀ 1: SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG VẼ HÌNH Hình học không gian là một môn học về các vật thể trong không gian (hình hình học trong không gian) mà các điểm hình thành nên vật thể đó thường không nằm trong một mặt phẳng. Do đó HS thường hay gặp khó khăn trong việc vẽ hình biểu diễn và vẽ hình không chính xác. Nguyên nhân chính là HS không đánh giá một cách đầy đủ các giả thiết bài toán đặt ra, hoặc những nhận định, những kết luận do trực giác đưa ra hoặc biểu thị sai các khái niệm như góc, khoảng cách . Và tất nhiên điều này sẽ dẫn đến bế tắc trong cách giải hoặc lời giải không chính xác. Sau đây là những bài tập cụ thể chỉ ra những sai lầm mà hầu hết HS mắc phải. 1.1. Sai lầm khi không đánh giá đầy đủ các giả thiết Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông có cạnh huyền BC = a, .ABC α ∠ = Các cạnh bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau và bằng . β Tính diện tích xung quanh của hình chóp. • Dự kiến sai lầm - HS sẽ xác định đường cao của hình chóp (hay chân đường cao của hình chóp) không đúng. Tức là, HS sẽ lấy điểm H bất kỳ (H là chân đường cao của hình chóp) trong mp (ABC) mà không dựa vào một sự ràng buộc nào của giả thiết bài toán. - Kẻ ( ) ,SH ABC ⊥ khi đó ta có: SAH SBH SCH β ∠ = ∠ = ∠ = (1) - Mặt khác: kẻ ; ; HI AB HJ AC HK BC ⊥ ⊥ ⊥ - Khi đó, theo định lý 3 đường thẳng vuông góc, suy ra: ; ; SI AB SJ AC SK BC⊥ ⊥ ⊥ . a β α k i j h C B A S 26 Vậy: S xq = S SAB ∆ + S SBC ∆ + S SAC ∆ 1 1 1 . . . . . . 2 2 2 S SI AB SK BC SJ AC xq ⇒ = + + - Ta có: .AB a= cos α ; .AC a= sin α . Khi đó tính SI, SJ, SK theo , , α β a. • Phân tích sai lầm - Nhìn vào hình vẽ trên không có một gợi ý liên hệ nào giúp ta thực hiện tính toán. - HS chưa sử dụng giả thiết: các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì ta suy ra được điều gì? Ta chứng minh được: SAH SBH SCH∆ = ∆ = ∆ Suy ra: HA = HB = HC Vậy, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. a β α ij h C B A S Hình 1.1 - Xác định tâm của mặt đáy: Vận dụng giả thiết ABC∆ là tam giác vuông tại A, nên H là trung điểm cạnh huyền BC. - Từ những phân tích trên ta có hình vẽ 1.1 - Do đó, ta tính được: SI; SJ; SH: 2 2 .tan ; . sin tan , 2 2 a a SH SI β α β = = + 2 2 os tan 2 a SJ c α β = + - Suy ra: ( ) 2 2 2 2 2 tan sin tan cos tan 4 a S xq β α β α β = + + + + Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. Một mặt bên của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với đáy những góc bằng nhau và bằng . α Tính diện tích xung quanh của hình chóp. • Dự kiến sai lầm - HS sẽ vẽ hình mà không thể hiện được: Mặt phẳng ( ) ( ) ,SAC ABC⊥ chưa vận dụng giả thiết hai mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau. 27 - HS không phân biệt được khái niệm hình chóp đa giác đều với hình chóp có đáy là một đa giác đều: hình chóp đa giác đều thì chân đường cao của hình chóp trùng với tâm hình tròn ngoại tiếp đa giác đáy, còn hình chóp có đáy là đa giác đều thì chưa chính xác, nên nhầm lẫn tính chất xác định chân đường cao của hình chóp. Từ những sai lầm đó mà dẫn đến việc xác định chân đường cao H của hình chóp không đúng, dẫn đến những tính toán thiếu chính xác. - Kẻ ( ) SH ABC⊥ Vì ABC ∆ đều nên H trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ . - Ta có: ; ; HI AB HJ BC HK AC ⊥ ⊥ ⊥ - Theo định lí 3 đường vuông góc ta có: ; ; SI AB SJ BC SK AC ⊥ ⊥ ⊥ K α α J I H C B A S Hình 2.1 - Hơn nữa, 3 6.cos a SI SJ α = = và .SIH SJH SKH∆ = ∆ = ∆ Nên 3 6.cos a SK α = Do đó, 2 1 3 3 3. 3. . . . 2 6.cos 4.cos a S S S S S a a xq SAB SBC SAC SAB α α = + + = = = ∆ ∆ ∆ ∆ • Phân tích sai lầm - Từ giả thiết ( ) ( ) SAC ABC ⊥ và ( ) SH ABC⊥ nên ( ) SH SAC⊂ và H nằm trên AC. - Vận dụng giả thiết hai mặt bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau nên ta có: SIH SIH α ∠ = ∠ = suy ra SIH SJH∆ = ∆ => HI = HJ. Vậy H nằm trên đường phân giác góc B. C 1 A 1 α α J I H C B A S Hình 2.2 - Hơn nữa, ABC ∆ đều nên H là trung điểm của AC. Do đó, ta có hình vẽ 2.2. 28 Ta tính được: 1 1 3 ; 2 4 HI HJ AA a= = = 3 tan . 4 SH a α = ( ) 3 3 . 2 sin 4.cos 8.cos SI SJ a S xq α α α = = ⇒ = + Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD, SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Tính đường cao SH của hình chóp. • Dự kiến sai lầm - Tương tự như 2 bài tập trên, HS sẽ xác định H không chính xác. Gọi H là giao của hai đường chéo, HS sẽ suy ra rằng SH là đường cao của hình chóp. Ta có: SBD∆ là tam giác cân nên .SH BD⊥ Vậy SH là đường cao của hình chóp. Suy ra: 2 2 a SH = D C B A S H • Phân tích sai lầm - SH được xác định như trên không phải là đường cao của hình chóp, vì ( ) SH ABCD⊥ . - Nếu SH là đường cao sẽ dẫn đến mâu thuẫn: SAC∆ là tam giác cân nên SA = SC mà theo giả thiết .x a≠ Lời giải đúng như sau: Gọi O là giao của AC và BD. - Ta có : AC BD SO BD ⊥ ⊥ suy ra ( ) .BD SAC⊥ Do đó ( ) ( ) .SAC SBD⊥ - Kẻ ,SH AC⊥ H thuộc AC, SH thuộc ( ) .SAC Vậy ( ) SH SBD SH BD⊥ ⇒ ⊥ o H A B C D S 29 Vậy ( ) SH ABCD⊥ . Hay SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Xét xem SAC ∆ có đặc điểm gì không? Vận dụng các đại lượng đã cho ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; SO SD OD a OD OC CB OD a OD OA AB OB a OD = − = − = − = − = − = − Vậy OS = OA = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của .SAC∆ Hay SAC∆ là tam giác vuông tại S. Suy ra: 2 2 2 2 2 1 1 1 ax SH SH SA SC a x = + ⇒ = + • Biện pháp khắc phục sai lầm Những sai lầm trên đây là do thiếu sót một số hiểu biết cần thiết trong vẽ hình, chưa xâu chuổi, kết hợp các yếu tố giả thiết nên dẫn đến những sai lầm, nhưng chủ yếu là việc xác định sai đường cao của hình chóp. Để sửa chữa những sai lầm đó, chúng ta cho HS làm quen một số hình quen thuộc sau đây: 1. Hình chóp đều • Gọi α là góc giữa cạnh bên hợp với đáy, β là góc giữa mặt bên hợp với đáy • Gọi γ là góc giữa đường cao của hình chóp với mặt bên. • Gọi SH là đường cao của hình chóp. γ β α h C B A S γ β α S H D C B A Hình chóp tam giác đều Hình chóp tứ giác đều 2. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy 30 - Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó là đường cao của hình chóp. - Nếu hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt bên đó vuông góc với đáy. S D C B A C B A S Hình chóp có ( ) SA ABCD⊥ Hình chóp có hai mặt bên ( ) SAC và ( ) SAB vuông góc với đáy, SA là đường cao của hình chóp 3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao của hình chóp nằm trên giao tuyến của mặt bên và đáy. Tuỳ theo giả thiết mà vị trí của chân đường cao ở những vị trí đặc biệt. H S C B A Hình chóp có ( ) ( ) SAC ABC⊥ Bài tập củng cố: 1) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn và AB = BC = CD = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng b. Tính thể tích và diện tich xung quanh của hình chóp. 31 2) Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác cân, vuông tại đỉnh C. Hai mặt bên (SAC) và (SBC) là những tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SAB) có ASB ∠ = 90 0 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp. 1.2 Sai lầm khi vẽ hình biễu diễn của một hình trong không gian Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H lên một mặt phẳng. Muốn vẽ hình biểu diễn thì ta phải áp dụng tính chất của phép chiếu song song như: Hình biểu diễn của tam giác đều là một tam giác giác bất kỳ, hình biểu diễn của hình vuông là một hình bình hành, đường tròn là một elip. Song một số tính chất của hình đó vẫn được bảo toàn. Và học sinh đã không nắm rõ điểm này, nên dẫn đến vẽ hình biểu diễn của hình H là không đúng. Bài tập: Cho một elip là hình biểu diễn của một đường tròn có tâm O. Hãy vẽ hình biểu diễn của: a. Một tam giác đều nội tiếp trong (O); b. Hình vuông nội tiếp trong (O); c. Hai đường kính vuông góc của đường tròn; d. Một dây cung và đường kính vuông góc với dây cung. • Dự kiến sai lầm HS sẽ vẽ một tam giác, hình bình hành, hai đường kính, dây cung và đường kính bất kỳ để biểu diễn những hình yêu cầu trên, mà không có một mối ràng buộc nào biểu thị dữ kiện bài toán đã cho. a. Hình biểu diễn của một tam giác đều là một tam giác bất kỳ, nên ta có hình biễu diễn tam giác đều ABC∆ như bên. j O C B A b. Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành nên ta có hình biểu diễn hình vuông ABCD như bên. D C B A O 32 c. Vì qua phép chiếu song song không bảo toàn góc nên ta có hình biểu diễn hai đường kính AC và BD vuông góc nhau như bên. D C B A O d. Lí luận tương tự như bên ta có hình biểu diễn của một đường kính vuông góc với dây cung. N M B A O • Phân tích sai lầm - Khi vẽ hình biễu diễn một hình thì ta phải thể hiện được các tính chất mà được bảo toàn qua phép chiếu song song. Và qua hình biểu diễn đó ta có thể nhận ra đó là tam giác đều, hình vuông, hai đường kính vuông góc . a. Trước hết ta vẽ tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Nhận xét: - A, O, H thẳng hàng, BC đi qua trung điểm của OD. - ,OA MN⊥ BC song song với MN, OA đi qua trung điểm của MN. O H D I N M C B A Ta có hình biểu biễn như sau: - Vẽ cung M’N’, lấy I’ là trung điểm của M’N’. - Nối O’I’ cắt (O’) tại A’, D’. - Lấy trung điểm H’ của đoạn O’D’. Từ H kẻ B’C’ song song với M’N’ O " I " H " D " N " M " C " B " A " Tam giác A’B’C’ là hình biểu diễn của tam giác đều ABC. b. Cũng như câu a, khi nhìn vào hình vẽ biểu diễn trên thì ta không biết đó là hình biểu diễn của hình bình hành, hình chữ nhật hay là hình vuông. Bởi hình không thể hiện một tính chất đặc trưng nào? 33 - Trước hết, ta có hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) là: Ta thấy: Tâm của hình vuông trung với tâm của đường tròn. Đường chéo của hình vuông luôn đi qua trung điểm của dây cung mà song song với đường chéo còn lại. D I N M O C B A Do đó hình biểu diễn của hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) là: - Vẽ đường kính A’C’ biểu diễn đường kính AC; - Vẽ dây M’N’ song song với A’C’ và gọi I’ là trung điểm của nó; - Nối O’I’ cắt đường (O’) tại B’, D’. I' D' C' B' M' N' A' O Vậy A’B’C’D’ là hình biểu diễn của hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). c. d. tương tự như cách xác định ở câu b. Ta có A’C’ và B’D’ là hai đường kính vuông góc, B’D’ và M’N’ là đường kính vuông góc với dây cung. • Biện pháp khắc phục sai lầm Để vẽ hình biểu diễn chính xác ta cần thực hiện những bước sau: - Nắm rõ các tính chất của phép chiếu song song; - Vẽ hình đó trong phẳng rồi xét xem yếu tố nào không đổi khi qua phép chiếu song song; - Vẽ hình biểu diễn. • Bài tập củng cố: Vẽ hình biểu diễn của lục giác đều, hình chữ nhật nội tiếp trong đường tròn tâm (O). 1.3 Sai lầm của HS khi xác định góc Khi giải những bài toán tính toán các yếu tố như độ dài đường vuông góc chung, góc . Ngay cả khi không yêu cầu dựng thì trên thực tế ta cũng phải xác định các yếu tố đó trên hình vẽ, sau đó mới tính toán. 34 Song do không nắm kỹ các khái niệm mà học sinh thường gặp sai lầm trong phần này, dẫn đến kết quả tính toán sai. Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a và các mặt bên của hình chóp hợp với đáy một góc . β Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC với các mặt bên của hình chóp và tính diện tích của thiết diện. • Dự kiến sai lầm - HS sẽ gặp phải sai lầm khi xác định mặt phẳng phân giác của góc nhị diện đó là: xác định phân giác của hai góc SBA∠ và ,SCD∠ khi đó mặt phẳng phân giác được tạo bởi hai đường phân giác đó và cạnh nhị diện. - Trong mặt bên (SAB), dựng đường phân giác góc SBA∠ là BM. - Trong mặt bên (SCD), dựng đường phân giác góc SCD∠ là CN. Nối MN. N M H D C B A S Khi đó tứ giác BCNM là mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh BC cần tìm. • Phân tích sai lầm - Nhìn vào hình vẽ ta không thể tìm ra được một mối liên hệ nào để tính toán được diện tích thiết diện BCNM. - Ở đây ta có thể chứng minh được rằng mặt phẳng phân giác đó không đi qua hai đường phân giác của hai góc SBA ∠ và SCD ∠ . Ta có lời giải như sau: Để dựng được mặt phẳng phân giác thì trước hết ta phải dựng được góc phẳng nhị diện cạnh BC. Từ H kẻ IJ song song với AB. Khi đó: ; SI BC SJ AD⊥ ⊥ . Do vậy SIJ SJI β ∠ = ∠ = . Từ I kẻ phân giác IK cắt SJ tại K, ta có: 2 KIJ β ∠ = . Từ K kẻ MN song song với AD. K J I β N M H D C B A S 35 [...]... ng thng cho trc Nờn AHKI nm trờn mt mt phng CH 3: MT S SAI LM KHC KHI GII TON Ngoi nhng sai lm nờu trong hai ch trc, cũn mt s nhng sai lm thng gp trong vic gii toỏn khụng gian, biu hin qua nhng vn sau: - Ch gii toỏn trong 1 trng hp c bit; - Khụng chỳ ý n iu kin tn ti bi toỏn 3.1 Ch gii toỏn trong mt trng hp c bit Bi tp: di trung on ca mt bờn trong mt hỡnh chúp tam giỏc u bng a Ct hỡnh chúp bi mt... SCD ) Suy ra, MN // AB // CD Bin phỏp khc phc sai lm Khi dy n nhng inh lớ ny thỡ nờn a ra dng vớ d nh trờn nhn mnh cho HS Ta cú: a // ( ) b, a // b, b ( ) 2.2 S dng nh lớ v tng quan gia ng thng trong mt phng m rng trong khụng gian Khi hc n hỡnh hc khụng gian thỡ nhng tớnh cht trong hỡnh hc phng u cú th vn dng c, nhng trong trng hp ta xột trong mt mt phng ca hỡnh khụng gian a s HS cú thúi... phi din ra trong mt mụi trng hc tp mang tớnh tớch cc, trong ú cú gim c nhng khú khn v sai lm ca HS trong hc mụn Toỏn ny Ta thy nhng khú khn v sai lm ca HS khi hc toỏn l do tớnh tru tng v vic vn dng lớ thuyt Vi nhng i mi ca SGKT gúp phn quan trng trong vic thit k bi dy giỳp c HS vt qua nhng khú khn v trỏnh c nhng sai lm 59 ... Phõn tớch sai lm nh lớ m HS ỏp dng trờn ch ỳng trong trng hp hỡnh hc phng cũn trong hỡnh khụng gian nú l mt mnh sai Ta cú th ly vớ d minh ha s sai lm ca nh lớ trờn AC DD ' Xột hỡnh hp nh vớ d trờn ta cú: nhng AC v BD chộo nhau B ' D ' DD ' BD SA BD // ( CMNP ) Nờn bi ny ta phi lp lun nh sau: Ta cú BD ( CMNP ) Mt khỏc: ( SBD ) ( CMNP ) = NP Suy ra: NP // BD Bin phỏp khc phc sai lm Khi... nờn lp mt bng so sỏnh mi liờn h gia quan h song song v quan h vuụng gúc trong hỡnh hc phng v trong hỡnh hc khụng gian Hỡnh hc phng a c; b c; a b a // b 1) Hỡnh hc khụng gian 1) a ( ) ; b ( ) ; a b a // b 2) a // b; c a c b 2) a // b; a ( ) b ( ) V ly vớ d minh ha cho nhng nh lớ trờn, ch ra nhng im khụng ỳng nu nh ta ỏp dng nh lớ trong phng vo trong khụng gian 52 Ly hỡnh hp nh vớ... KD trong ú k l mt s khỏc 0 Chng minh rng: a MN IJ , MN JK b AB CD c MN cú vuụng gúc vi (ABC) v (ACD) khụng? D kin sai lm HS s ỏp dng nh lớ: ng thng a vuụng gúc vi mt ng thng nm trong mp ( a ) thỡ a vuụng gúc vi mp ( a ) chng minh CD ^ ( ANB ) V nh lớ: ng thng a vuụng gúc vi hai ng thng song song nm trong ( a ) thỡ a vuụng gúc vi mp ( a ) chng minh MN ^ ( ABC ) ; MN ^ ( ACD) v i n mt kt lun sai. .. gúp phn thay i PPDH ngay trong ni dung v cỏch trỡnh by ca SGK 1 Tng cng hot ng ca HS im khỏc bit nht ca SGKT so vi SGK chnh lớ 2000 l phn hot ng (c kớ hiu ) c a vo vi a dng ý khỏc nhau nh to ng c hc tp, khỏm phỏ tri thc mi, cng c v vn dng 2 Phỏt huy tớnh tớch cc ca hc sinh trong tin trỡnh xõy dng kin thc HS c t trong mụi trng hot ng, v chớnh h l ngi gii quyt cỏc vn t ra trong hot ng Bng thao tỏc... Kt lun: Qua nhng phõn tớch trờn cú th thy rng so vi SGK chnh lớ 2000 thỡ SGKT ó cú nhng thay i tớch cc, th hin xu hng dy hc hin nay: gim bt lý thuyt suụng, v tng cng thc hnh; chuyn t hot ng truyn th c din ca GV sang hot ng ch ng, c lp v sỏng to chim lnh tri thc; kin thc c HS tip nhn t trc quan sinh ng n t duy tru tng Tt c nhng thay i ú phi din ra trong mt mụi trng hc tp mang tớnh tớch cc, trong ú... cỏch ú Bi toỏn v khong cỏch trong hỡnh hc khụng gian thun tuý thng tru tng v khú i vi HS iu ny cng lm cho khụng ớt HS thc mc, sai lm khi hc phn ny C th: 40 Bi toỏn 1: Trong hỡnh chúp tam giỏc S.ABC, ng cao i qua nh C ca ỏy Mt bờn (SAB) l mt tam giỏc vuụng cú cnh huyn AB = a, hp vi ỏy mt gúc , v ã SAB = - Tớnh khong cỏch t nh C n mt phng (SAB) - Tớnh th tớch hỡnh chúp D kin sai lm - HS xỏc nh gúc gia... vuụng, vy nú ni tip trong mt ng trũn Phõn tớch sai lm Khi xột trong mt mp thỡ tớnh cht t giỏc ni tip hon ton ỳng, nhng li gii trờn cha khng nh c t giỏc ny ó nm trờn mt mt phng hay cha? Nu A, H, K, I khụng ng phng thỡ vic chng minh trờn hon ton khụng ỳng - Chng minh A, H, I, K l ng phng: 53 Ta cú: AH ( SBC ) AH SC M AI SC Suy ra, SC ( AHI ) Tng t ta chng minh c: SC ( AKI ) Vy qua mt im ch cú . CHƯƠNG 2 GIÚP HỌC SINH VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP LUẬN TOÁN HỌC: PHẦN HÌNH HỌC CHỦ ĐỀ 1: SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG VẼ HÌNH Hình học không gian. trên hình vẽ, sau đó mới tính toán. 34 Song do không nắm kỹ các khái niệm mà học sinh thường gặp sai lầm trong phần này, dẫn đến kết quả tính toán sai.