Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT HỒNG BÀNG    Mã số: ………………………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHƠNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO VỀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI Người thực hiện: Lê Thị Thúy An Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lí giáo dục: - Phương pháp dạy học mơn: Tốn - Lĩnh vực khác: □ Có đính kèm: Các sản phẩm thể in SKKN Mơ hình □ Phần mềm □ Phim ảnh □ Hiện vật khác Năm học: 2011 – 2012 Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: LÊ THỊ THÚY AN Ngày tháng năm sinh: 26/03/1983 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: Số 59/1 Ngô Quyền, Thị trấn Gia Ray, Xuân Lộc, Đồng Nai Điện thoại: 0613.740090 (CQ)/ Fax: (NR); ĐTDT: 01658291478 Email: apigxin@gmail.com Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Hồng Bàng, Thị trấn Gia Ray, Xuân Lộc, Đồng Nai II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 2005 - Chuyên nghành đào tạo: Toán – Tin III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên mơn có kinh nghiệm: Giảng dạy mơn tốn học trường THPT Số năm kinh nghiệm: 07 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: Một số dạng toán thường gặp hình học khơng gian Phương pháp dạy học tốn cho học sinh yếu Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Tên SKKN: GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHƠNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đặt vấn đề Như biết toán liên quan đến khảo sát hàm số tốn khơng thể thiếu kì thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh đại học Trong thường gặp nhiều tốn “Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu có cực trị khoảng K ” Khi giải toán đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y < (yy > 0) K phương trình y= có nghiệm K” Đây thực chất vấn đề so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực  Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 học sinh vận dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai hệ để giải tốn Tuy nhiên có nhiều tốn đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp lời giải dài dòng phức tạp Hơn nữa, theo chương trình sách giáo khoa Bộ giáo dục phát hành phần kiến thức liên quan đến định lí đảo hệ giảm tải Do gặp phải vấn đề “Làm để giải toán cách hiệu mà cần vận dụng kiến thức học chương trình sách giáo khoa hành” Với suy nghĩ nhằm giúp em tìm tịi, sáng tạo hứng thú việc học tập môn toán, đồng thời nâng cao chất lượng giảng dạy nên viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số không sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai” Nội dung sáng kiến I Lý chọn đề tài II Tổ chức thực đề tài A.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa B.Bài tập thực hành III Hiệu đề tài IV Đề xuất, kiến nghị khả áp dụng V Tài liệu tham khảo Xuân Lộc, ngày 15 tháng 12 năm 2011 Người viết Lê Thị Thúy An Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang Giải toán tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Kiến thức cần nhớ i) Phương trình bậc hai a) Định nghĩa  Phương trình bậc hai ẩn x (y x  R ) phương trình có dạng: ax  bx  c 0  a 0   1 b)Cách giải  Tính  b  4ac  Nếu   phương trình (y1) vơ nghiệm  Nếu  0 phương trình (y1) có nghiệm kép x1 x2  b 2a  Nếu   phương trình (y1) có hai nghiệm phân biệt x1   b    b   , x2  2a 2a c)Định lý Vi-et – Dấu nghiệm  Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x  R : ax  bx  c 0  1 nghiệm x1 , x2 S x1  x2   a 0  có hai b c , P  x1.x2  a a  Dấu nghiệm:  Phương trình (y1) có hai nghiệm trái dấu  P   0 P   Phương trình (y1) có hai nghiệm dấu    0   Phương trình (y1) có hai nghiệm dương   P  S    0   Phương trình (y1) có hai nghiệm âm   P  S   ii)Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(yx) có đạo hàm K  Điều kiện cần đủ để hàm số y = f(yx) đồng biến K f '(y x) 0, x  K đồng thời f '(y x) 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc K  Điều kiện cần đủ để hàm số y = f(yx) nghịch biến K f '(y x)  0, x  K đồng thời f '(y x) 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc K iii) Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị   Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(yx) đạt cực trị x0 , f có đạo hàm x0 f '(y x0 ) 0 Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(yx) liên tục khoảng (ya;b) chứa x0 có đạo hàm khoảng (ya;x0) (yx0;b) klhi :  Nếu f '(y x)  0, x  (ya; x0 ) f '(y x)  0, x  (y x0 ; b) hàm số đạt cực tiểu x0  Nếu f '(y x)  0, x  (ya; x0 ) f '(y x)  0, x  (y x0 ; b) hàm số đạt cực đại x0 Phương pháp giải toán * Bài toán 1: Cho hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d (y1) (ya 0) Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Tìm điều kiện để hàm số (y1): a) Đồng biến (y ;  ) b) Đồng biến (y ; ) c) Đồng biến (y ;  ) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y '  f (y x) 3ax  2bx  c a) Hàm số (y1) đồng biến khoảng (y ;  )  f (y x)  0, x  (y ;  )  a     0  a         f (y ) 0    S  2  y '  f (y x) 3ax  2bx  c TH1: Nếu bpt: f (y x ) 0  h(ym)  g (y x) (yi ) a)Hàm số(y1) đồng biến khoảng (y ;  )  h(ym)  g (y x) , x  (y ;  )  h(ym) Max g (y x ) (y  ; ] b)Hàm số (y1) đồng biến khoảng (y ; )  h(ym)  g (y x) , x  (y ; )  h(ym)  Max g (y x) [ ; ) c) Hàm số (y1) đồng biến khoảng (y ;  )  h(ym)  g (y x) , x  (y ;  )  h(ym) Max g (y x ) [ ;  ] b) Hàm số (y1) đồng biến khoảng TH2: Nếu bpt: f (y x ) 0 không đưa (y ; ) dạng (yi) ta đặt : t = x -   f (y x)  0, x  (y ; ) Khi ta có:  a     0  a         f (y ) 0    S  2  c) Hàm số(y1) đồng biến khoảng (y ;  )  f (y x)  0, x  (y ;  )    a    0   a       f (y ) 0     S  2         f (y  ) 0     S  2           a    f (y ) 0    f (y  ) 0 y ' g (yt ) 3at  2(y3a  b)t  3a  2b  c a) Hàm số (y1) đồng biến khoảng (y ;  )  g (yt )  0, t   a     0  a        S     P 0 b)Hàm số (y1) đồng biến khoảng (y ; )  g (yt )  0, t   a     0  a        S     P 0 Nhận xét: Khi nhìn vào tốn nhiều người nghĩ đến việc sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai hệ Nhưng với cách làm ta hướng dẫn học sinh Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai giải toán cách dễ dàng cách ứng dụng đạo hàm sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng kiến thức giảm tải sách giáo khoa *Ví dụ 1: Cho hàm số : y =  m  1 x   2m  1 x   2m  1 x  (y1) (ym  1) Tìm giá trị m để hàm số: a) Đồng biến khoảng (y ;  1) b) Đồng biến khoảng (y1; ) c) Đồng biến khoảng (y 1;1) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y '  f (y x)  y '  f (y x) (ym  1) x  2(y2m  1) x  3(y2m  1) Ta có: y ' 0  f (y x)   (ym  1) x  2(y2m  1) x  3(y2m  1)  (y m  1) x  2(y2m  1) x  3(y2m  1) a) Hàm số (y1) đồng biến khoảng (y ;  1)  f (y x)  0, x  (y ;  1)  a     ' 0  a      '    f (y 1) 0    S  2(y 1)   m      2m  7m  0  m        2m  m      11m  0  m 0    m  1  m     m 11  m   11 Kết luận : m  hàm số (y1) đồng biến 11 khoảng (y ;  1) b) Hàm số đồng biến khoảng (y1; )  f (y x)  0, x  (y1; )  a     ' 0  a       '    f (y1) 0    S  2.1   m      2m  7m  0  m       2m  m     3m 0  m  0    m   x2  x  x2  x   x2  2x  g (y x )  Đặt : x2  4x  6 x  18  g '(y x)  (y x  x  6) a) Hàm số(y1) đồng biến khoảng (y ;  1)  y '  0, x  (y1; )  m  g (y x ), x  (y ;  1)  m  Max g (y x)  m (y  ;  1] Xét : y  g (y x) , x  (y ;  1] Ta có bảng biến thiên: x g’(x ) g(x) -1  + 11 -1 11 Từ bảng biến thiên ta : m  hàm số (y1) đồng biến 11 khoảng (y ;  1) b) Hàm số đồng biến khoảng (y1; )  y '  0, x  (y1; )  m  g (y x), x  (y1; )  m  Max g (y x) Kết luận : m  [1; ) Xét : y  g (y x) , x  [1; ) Ta có bảng biến thiên: x g’(x ) g(x) -  + -1 -4 Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai   m 2    m    m 0 Từ bảng biến thiên ta : m 0 Kết luận : m 0 hàm số (y1) đồng biến Kết luận : m 0 hàm số (y1) đồng biến khoảng (y1; ) khoảng (y1; ) c) Hàm số đồng biến khoảng (y 1;1)  f (y x)  0, x  (y 1;1)    a    ' 0   a       f (y 1) 0     S  2(y 1)         f (y1) 0     S  2.1        '    a    f (y 1) 0    f (y1) 0   m 1     2m  m  0     2m  m       3m 0    m  0      m 1     m  11m  0       m       m 1    m     m    3m 0   11m  0 Kết luận : m c) Hàm số đồng biến khoảng (y 1;1)  y '  0, x  (y 1;1)  m g (y x ), x  (y 1;1)  m  Max g (y x) [  1;1] Xét : y  g (y x) , x  [ 1;1] Ta có bảng biến thiên: x g’(x ) g(x) -1 + 0 - 11 Từ bảng biến thiên ta : m  2 Kết luận : m  hàm số (y1) đồng biến khoảng (y 1;1) hàm số (y1) đồng biến khoảng (y 1;1) Nhận xét: Với toán sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai ta phải sử dụng kiến thức giảm tải lời giải phức tạp, với cách giải ta có lời giải ngắn gọn dễ hiểu tạo nhiều hứng thú cho học sinh *Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (y1) (ya 0) a)Tìm điều kiện để hàm số (y1) nghịch biến (y ;  ) b)Tìm điều kiện để hàm số (y1) nghịch biến (y ; ) c)Tìm điều kiện để hàm số (y1) nghịch biến (y ;  ) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang Giải toán tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Txđ: D = R Txđ: D = R y '  f (y x) 3ax  2bx  c a)Hàm số (y1) nghịch biến khoảng (y ;  )  f (y x)  0, x  (y ;  ) y '  f (y x) 3ax  2bx  c TH1: Nếu bpt: f (y x ) 0  g (y x ) h(ym) (yi ) a)Hàm số(y1) nghịch biến khoảng (y ;  )  h(ym)  g (y x) , x  (y ;  )  h(ym) Max g (y x )  a     0  a         f (y ) 0    S  2  b) Hàm số (y1) nghịch biến khoảng (y ; )  f (y x)  0, x  (y ; )  a     0  a         f (y ) 0    S  2  c) Hàm số(y1) nghịch biến khoảng (y ;  )  f (y x)  0, x  (y ;  )    a    0   a       f (y ) 0     S  2         f (y  ) 0     S  2           a    f (y ) 0    f (y  ) 0 (y  ; ] b)Hàm số (y1) nghịch biến khoảng (y ; )  h(ym)  g (y x) , x  (y ; )  h(ym)  Max g (y x) [ ; ) c) Hàm số (y1) nghịch biến khoảng (y ;  )  h(ym)  g (y x) , x  (y ;  )  h(ym) Max g (y x ) [ ;  ] TH2: Nếu bpt: f (y x) 0 khơng đưa dạng (yi) ta đặt : t = x -  Khi ta có: y ' g (yt ) 3at  2(y3a  b)t  3a  2b  c a)Hàm số(y1) nghịch biến khoảng (y ;  )  g (yt )  0, t   a     0  a        S     P 0 b)Hàm số (y1) nghịch biến khoảng (y ; )  g (yt )  0, t   a     0  a        S     P 0 Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai *Ví dụ 2: Cho hàm số : y =  m  1 x   m  1 x  x  (y1) (ym 1) Tìm giá trị m để hàm số (y1): a) Nghịch biến khoảng (y ; 2) b) Nghịch biến khoảng (y2; ) Lời giải thường gặp Txđ : D = R y’ = f(yx) = (ym  1) x  2(ym  1) x  a)Hàm số (y1) nghịch biến khoảng (y ; 2)  f (y x)  0, x  (y ; 2) Lời giải đề nghị Txđ : D = R y’ = f(yx) = (ym  1) x  2(ym  1) x  Đặt t = x – ta : y’ = g(yt) = (ym2  1)t  (y4m  2m  6) x  4m  4m  10 a)Hàm số (y1) nghịch biến khoảng (y ; 2)  a    a    ' 0   a    0    a    '   g (yt )  0, t       f (y2) 0      S    S  2.2     P 0  m     m    3m  2m  0    3m  2m  0  m      3m  2m    m       3m  2m    4m  4m  10 0     4m  4m  10 0    4m      m     2m   1   m   m  1  m  1 m  hàm số (y1) Kết luận: Với 1 m  hàm số (y1) nghịch Kết luận: Với (y   ; 2) nghịch biến khoảng biến khoảng (y ; 2) b) Hàm số (y1) nghịch biến khoảng b) Hàm số (y1 ) nghịch biến khoảng (y2; ) (y2; )  f (y x)  0, x  (y2; )  a    a    0   a    ' 0  g (yt )  0, t      a        S    '     f (y2) 0   P 0    S  2.2  Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai  m    m      3m  2m  0  3m  2m  0    m    m      3m  2m     3m  2m        4m  4m  10 0  4m  4m  10 0     m       2m   0    m    m     m 1   1 m 1 Kết luận: Với   m  hàm số (y1) Kết luận: Với   m  hàm số (y1) nghịch nghịch biến khoảng (y2; ) biến khoảng (y2; ) *Nhận xét : Trong toán ta dùng phương pháp đổi biến số để chuyển từ toán phải sử dụng kiến thức giảm tải toán quen thuộc sử dụng kiến thức định lý Viet học chương trình lớp 10.Với cách làm tạo hứng thú học sinh ax  bx  c *Bài toán 3: Cho hàm số : y  (y2), (ya, d 0) dx  e a)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến (y ;  ) b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến (y ; ) c)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến (y ;  ) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị  e  e Txđ: D R \   Txđ: D R \   d  d  2 adx  2aex  be  dc f (y x) adx  2aex  be  dc f (y x) y'   y'   2 2  dx  e   dx  e   dx  e   dx  e  a) Hàm số (y2) đồng biến khoảng TH1: Nếu: f (y x ) 0  g (y x ) h(ym) (yi ) (y ;  ) a) Hàm số (y2) đồng biến khoảng (y ;  )  y '  0, x  (y ;  )  e    e  d    g (y x) h(ym), x   d  f (y x ) 0, x   (y I )  e   d  ad  h(ym)  Min g (y x) (y  ; ]      b)Hàm số (y2) đồng biến khoảng (y ; )  ad  (y I )     e      d   f (y ) 0  g (y x) h(ym), x      S  2   e   d h(ym)  Min g (y x ) [ ; )  Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 10 Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai a)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến (y ;  1) b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến (y2; ) c)Tìm điều kiện để hàm số (y2) đồng biến (y1; 2) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ : D = R Txđ : D = R 2x  4x   m f (y x ) 2x2  x   m f (y x) y'   y '   2 (y x  1) (y x  1) (y x  1) (y x  1) a)Hàm số (y2) đồng biến (y ;  1) Ta có: f (y x) 0  m 2 x  x   y '  0, x  (y ;  1) g (y x) 2 x  x  Đặt :  f (y x) 0, x    g '(y x) 4 x   a  a)Hàm số (y2) đồng biến (y ;  1)   y '  0, x  (y ;  1)   ' 0  m  Min g (y x )  a  (y  ; 1]   Ta có bảng biến thiên hàm số:   '    f (y 1) 0 g (y x), x  (y ;  1]   x -1   S  2(y 1)  g’(x  m 1 )    m   m 9 g(x)    9  m 0 Kết luận: Vậy m 9 hàm số (y2) đồng Kết luận: Vậy m 9 hàm số (y2) đồng biến biến (y ;  1) (y ;  1) b)Hàm số (y2) đồng biến (y2; )  y '  0, x  (y2; ) b)Hàm số (y2) đồng biến (y2; )  f (y x) 0, x   y '  0, x  (y2; )  a   m Min g (y x)  [2; )   ' 0  m 1 Ta có bảng biến thiên hàm số:  a       m  g (y x), x  [2; )  m 3    '    3  m 0 x   f (y2) 0 g’(x +    S  2.2  )  g(x) Kết luận: Vậy m 3 hàm số (y2) đồng biến (y2; ) c)Hàm số (y2) đồng biến (y1; 2)  y '  0, x  (y1; 2)  f (y x) 0, x  (y1; 2) Kết luận: Vậy m 3 hàm số (y2) đồng biến (y2; ) c) Hàm số (y2) đồng biến (y1; 2)  y '  0, x  (y1; 2)  m Min g (y x)   ' 0  m 1     '   m  [1;2]     f (y1) 0    1  m 0   Ta có bảng biến thiên hàm số:             S  2.1     0  g (y x), x  [1; 2]     x     f (y2) 0    3  m 0      S  2.2        g’(x +   )  m 1 g(x) Kết luận: Vậy m 1 hàm số (y2) đồng biến (y1; 2) Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 12 Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Kết luận: Vậy m 1 hàm số (y2) đồng biến (y1; 2) *Nhận xét: Qua toán thêm lần giúp thấy rõ tốn ứng dụng đạo hàm để giải lời giải tốn ngắn gọn dễ dàng nhiều ax  bx  c *Bài toán 4: Cho hàm số : y  (y2), (ya, d 0) dx  e a)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến (y ;  ) b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến (y ; ) c)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến (y ;  ) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị  e  e Txđ: D R \   Txđ: D R \   d  d  2 adx  2aex  be  dc f (y x) adx  2aex  be  dc f (y x) y'   y'   2 2  dx  e   dx  e   dx  e   dx  e  a)Hàm số (y2) nghịch biến khoảng (y ;  )  y '  0, x  (y ;  )  e   d  f (y x) 0, x   (y I )   ad      0   ad  (y I )          f (y ) 0    S  2  b)Hàm số (y2) nghịch biến khoảng (y ; )  y '  0, x  (y ; )  e   d  f (y x) 0, x   (y I )  ad     0  ad  (y II )         f (y ) 0    S  2  Giáo viên: Lê Thị Thúy An TH1: Nếu: f (y x ) 0  g (y x ) h(ym) (yi ) a)Hàm số(y2) nghịch biến khoảng (y ;  )  e   d  g (y x) h(ym), x    e   d h(ym)  Min g (y x) (y  ; ]  b)Hàm số(y2) nghịch biến khoảng (y ; )  e  e    d  d   g (y x) h(y m), x    h(ym)  Min g (y x) [ ;  )  c) Hàm số (y2) nghịch biến khoảng (y ;  )  e  e  ;    d ;   d   g (y x) h(y m), x  (y ;  )  h(ym) Min g (y x) [ ;  ]  TH2: Nếu bpt: f (y x) 0 khơng đưa dạng (yi) ta đặt : t = x -  Khi bpt: f (y x) 0 trở thành : g (yt ) 0 , với: g (yt ) adt  2a (yd  e)t  ad  2ae  be  dc a )Hàm số(y2) nghịch biến khoảng (y ;  )  a     0  e  a    d (yii )        g (yt ) 0, t  (yii)  S     P 0 Trang 13 Giải toán tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai c) Hàm số (y2) nghịch biến khoảng b)Hàm số(y2) nghịch biến khoảng (y ; ) (y ;  )  e    y '  0, x  (y ;  ) d  g (yt ) 0, t  (yiii )  e   (y ;  ) d  f (y x ) 0, x  (y ;  ) (y III )    ad    0   ad       f (y ) 0     S  2  (yIII)        f (y  ) 0     S  2           ad    f (y ) 0    f (y  ) 0  a     0  a  (yiii )        S     P 0 x  2mx  3m (y2) 2m  x a)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến (y ;1) b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến (y1; ) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ : D = R\{2m} Txđ : D = R\{2m} 2  x  4mx  m f (y x)  x  4mx  m f (y x) y'   y '   2 (y x  2m) (y x  2m) (y x  2m) (y x  2m) Đặt : t = x-1 a) Hàm số (y2) nghịch biến (y ;1)  y '  0, x  (y ;1) Khi bpt: f (y x) 0 trở thành : g (yt )  t  2(y1  2m)t  m  4m    2m   a) Hàm số (y2) nghịch biến (y ;1)  f (y x ) 0, x  (y I )  y '  0, x  (y ;1)   ' 0   2m   '    (y I )    g (yt ) 0, t  (yi)   f (y1) 0    ' 0   S  2.1     '   m 0 (yi )     S   m  m           P 0 m    m  4m  0    m 0 m      m 0  m 0      4m    m 2    m  4m  0 Kết luận: Với m 2  hàm số (y2) Kết luận: Với m 2  hàm số (y2) nghịch nghịch biến (y ;1) biến (y ;1) *Ví dụ 4: Cho hàm số: y  Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 14 Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai b)Hàm số (y2) nghịch biến (y1; ) b)Hàm số (y2) nghịch biến (y1; )  y '  0, x  (y1; )  y '  0, x  (y1; )  2m    f (y x ) 0, x  (y II )   ' 0   '  (y II )      f (y1) 0    S  2.1   2m    g (yt ) 0, t  (yii )   ' 0   '  (yii )     S     P 0  m 0  m 0     m 2   m  4m  0   4m    m 0  m 0    m 2    4m     m  4m  0 Kết luận: Với m 2  hàm số (y2) Kết luận: Với m 2  hàm số (y2) nghịch nghịch biến (y1; ) biến (y1; ) *Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax + bx + cx + d (y1) (ya 0) Tìm điều kiện để hàm số (y1) : a) Có cực trị (y ;  ) b) Có cực trị (y ; ) c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1    x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2   e) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn :   x1  x2 Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y '  f (y x) 3ax  2bx  c a)Hàm số(y1) có cực trị khoảng (y ;  )  f (y x)  có nghiệm khoảng (y ;  )  af (y )    ' 0    af (y ) 0    S  2  y '  f (y x) 3ax  2bx  c dạng (yi) ta đặt : t = x -  : y ' g (yt ) 3at  2(y3a  b)t  3a  2b  c a)Hàm số(y1) có cực trị khoảng (y ;  )  f (y x)  có nghiệm khoảng (y ;  )  g (yt )  có nghiệm: t < P 0   ' 0    S     P 0 b) Hàm số(y1) có cực trị khoảng (y ; ) b) Hàm số(y1) có cực trị khoảng (y ; )  f (y x)  có nghiệm khoảng  f (y x)  có nghiệm khoảng (y ; ) (y ; )  g (yt )  có nghiệm: t >  af (y )  P 0    ' 0  ' 0       af (y ) 0  S      S  2    P 0 Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 15 Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai c) Hàm số(y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: c) Hàm số(y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1    x2 x1    x2  f (y x)  có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:  g (yt )  có hai nghiệm t1,t2 x1    x2  af (y )  thỏa mãn : t1   t2  P0 d) Hàm số (y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: d) Hàm số(y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1  x2   x1  x2    f (y x)  có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:  g (yt )  có hai nghiệm t1,t2 x1  x2   thỏa mãn : t1  t2   '    af (y )   S  2    '    S  P   e) Hàm số (y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:   x1  x2  f (y x)  có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:   x1  x2  '    af (y )   S  2   e) Hàm số (y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:   x1  x2  g (yt )  có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn :  t1  t2  '    S  P   Nhận xét: Thoạt nhìn toán thể rõ phải dùng kiến thức so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực  Nhưng với cách làm ta đưa toán quen thuộc so sánh nghiệm với số Đây tốn tổng qt học sinh dùng cách để giải nhiều toán tương tự mà không cần sử dụng kiến thức liên quan đến định lý đảo dấu tam thức bậc hai *Ví dụ 5: Cho hàm số : y = x  mx  (ym  m  1) x  (y1) Tìm điều kiện để hàm số (y1): a) Có cực trị (y ;1) b) Có cực trị (y1; ) c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1   x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2  e) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn :  x1  x2 Lời giải thường gặp Txđ: D = R y’ = f(x) = x  2mx  m  m  a)Hàm số(y1) có cực trị khoảng (y ;1)  f (y x)  có nghiệm khoảng (y ;1)  af (y1)    ' 0    af (y1) 0    S  2.1  Giáo viên: Lê Thị Thúy An Lời giải đề nghị Txđ: D = R y’ = f(x) = x  2mx  m  m   Đặt t x   x t  ta : y '  g (yt ) t    m  t  m  3m  a)Hàm số(y1) có cực trị khoảng (y ;1)  f (y x)  có nghiệm khoảng (y ;1)  g (yt )  có nghiệm: t <  m2  3m   P 0    '  m  0        S  2m      m  3m  0   P 0 Trang 16 Giải toán tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai  1 m   m2  3m    Kết luận: Với  m  hàm số (y1) có cực  m  0 trị khoảng (y ;1)    1 m  m  3m  0    2m   Kết luận: Với  m  hàm số (y1) có cực trị khoảng (y ;1) b)Hàm số(y1) có cực trị khoảng (y1; )  f (y x)  có nghiệm khoảng (y1; )  af (y1)    ' 0    af (y1) 0    S  2.1   m2  3m     m  0    1 m m  3m  0    2m   Kết luận: Với m  hàm số(y1) có cực trị khoảng (y1; ) c)Hàm số(y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1   x2  f (y x)  có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1   x2  af (y1)   m  3m    1 m  Kết luận: Với  m  hàm số(y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1   x2 d) Hàm số (y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1  x2   f (y x)  có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1  x2   '    af (y1)   S  2.1   m     m  3m    m   2m    b)Hàm số(y1) có cực trị khoảng (y1; )  f (y x)  có nghiệm khoảng (y1; )  g (yt )  có nghiệm: t >  m2  3m   P 0    '  m  0        S  2m       m  3m  0   P 0  1 m Kết luận: Với m  hàm số(y1) có cực trị khoảng (y1; ) c) Hàm số(y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1   x2  g (yt )  có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : t1   t2  P   m  3m    1 m  Kết luận: Với  m  hàm số(y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1   x2 d) Hàm số(y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2   g (yt )  có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : t1  t2   '    S  P   m     m  3m    m   2m    Kết luận: Khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn Kết luận: Khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán e) Hàm số (y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:  x1  x2  f (y x)  có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:  x1  x2 e) Hàm số(y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:  x1  x2  g (yt )  có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn:  t1  t2 Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 17 Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai  '   '     af (y1)   S   S  2.1  P    m     m  3m    m   2m    Kết luận: Với m  hàm số (y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn :  x1  x2 m     m  3m    m   2m    Kết luận: Với m  hàm số (y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn :  x1  x2 ax  bx  c *Bài toán 6: Cho hàm số : y  (y2), (ya, d 0) dx  e Tìm điều kiện để hàm số (y2): a.Có cực trị (y ;  ) b.Có cực trị (y ; ) c.Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1    x2 d.Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2   Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị  e  e Txđ: D R \   Txđ: D R \   d  d  2 adx  2aex  be  dc f (y x) adx  2aex  be  dc f (y x) y'   y'   2 2  dx  e   dx  e   dx  e   dx  e  a)Hàm số (y2) có cực trị khoảng ta đặt : t = x -  (y ;  ) khi: g (yt ) y'  Khi : f (y x )  Phương trình có nghiệm  dt  d  e  , với : e g (yt ) adt  2a (yd  e)t  ad  2ae  be  dc khoảng (y ;  ) (yI) f (y )  d a) Hàm số (y2) có cực trị khoảng (y ;  ) af (y  )   :   ' 0 Phương trình g (yt )  có nghiệm t < (i)  (yI)    e af (y ) 0  g (y   )  d   S  2  P 0    ' 0 (yi )     S     P 0 b)Hàm số(y2) có cực trị khoảng (y ; ) khi: phương trình f (y x)  có nghiệm e khoảng (y ; ) (yII) f (y )  d  af (y )    ' 0 (y II )     af (y ) 0    S  2  c)Hàm số(y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1    x2 Giáo viên: Lê Thị Thúy An b)Hàm số (y2) có cực trị khoảng (y ; ) : phương trình g (yt )  có nghiệm t > (ii) e   ) 0 d P 0   ' 0 (yii )     S     P 0 c) Hàm số(y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1    x2 khi: g (y Trang 18 Giải toán tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai khi: phương trình g (yt )  có hai nghiệm t1,t2 phương trình f (y x)  có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : t1   t2 (iii) thỏa mãn : x1    x2 e g (y   )  e d (yIII) f (y )  (iii)  P  d  af (y  )  (III) d)Hàm số(y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: d) Hàm số(y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1  x2   x1  x2   khi: khi: phương trình g (yt )  có hai nghiệm t1,t2 phương trình f (y x)  có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : t1  t2  (iv) e e thỏa mãn : x1  x2   (yIV) f (y )  g (y   )  d d  '    '    (IV)  af (y )  (yiv)   S   S  2  P    x  2mx  3m (y2) x  2m Tìm điều kiện để hàm số (y2) : a) Có cực trị (y ;1) b) Có cực trị (y1; ) c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1   x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2  Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ : D = R\{2m} Txđ : D = R\{2m} x  4mx  m f (y x ) x  4mx  m2 y'   y '  (y x  2m) (y x  2m) (y x  2m) Đặt : t = x-1 a)Hàm số (y2) có cực trị khoảng (y ;1) g (yt ) khi: y'  với: Khi đó: (yt   2m) phương trình f (y x)  có nghiệm khoảng (y ;1) (yI) f (y2m)  (yI’) g (yt ) t  2(y1  2m)t  m  4m    af (y1)  a)Hàm số (y2) có cực trị khoảng (y ;1)  phương trình: g (yt )  có nghiệm t  ' 0 (yI)    < (i) af (y1) 0  g (y2m  1)  (i’)   S  2.1  P 0  m  4m      ' 0  (yi )     3m 0  S      m  4m  0   P 0   4m     m  4m    2  m  2  3m 0   m  2   4m    m 2     m  4m  0 (yI’)   3m 0  m 0 *Ví dụ 6: Cho hàm số: y  2  m  2   m  2  m 2  Giáo viên: Lê Thị Thúy An Trang 19 Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai (yi’)   3m2 0  m 0  m    Kết luận: Với  hàm số (y2) có Kết luận: Với m   hàm số (y2) có cực  m 0  m 0 cực trị khoảng (y ;1) trị khoảng (y ;1) b)Hàm số (y2) có cực trị khoảng (y1; ) khi: phương trình f (y x)  có nghiệm khoảng (y1; ) (yI) f (y2m)  (yI’) B )Hàm số (y2) có cực trị khoảng (y1; ) phương trình : g (yt )  có nghiệm t  m  4m    af (y1)     '    3m 0    (yI)    af (y1) 0  m  4m  0    4m     S  2.1   2  m  2   m  2  m 2   m  4m   P 0     ' 0  3m 0  (yi )      S  4m      m  4m  0   P 0 > (i) g (y2m  1)  (i’) 2  m  2   m  2  m 2  (yi’)   3m2 0  m 0 (yI’)   3m 0  m 0 Kết luận: Với m   hàm số (y2) có Kết luận: Với m   hàm số (y2) có cực cực trị khoảng (y1; ) c)Hàm số(y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1   x2 : phương trình f (y x)  có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x1   x2 (yIII) f (y2m)  (I’) (III)  af (y1)   2  m 2 (yI’)  m 0 trị khoảng (y1; ) c) Hàm số(y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1   x2 : phương trình g (yt )  có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : t1   t2 (iii) g (y2m  1)  (i’) (iii)  P   2  m 2 (yi’)  m 0 Kết luận: Với   m   hàm Kết luận :Với   m   hàm số số (y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1   x2 d)Hàm số(y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1  x2  khi:phương trình f (y x )  có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1  x2  (yIV) f (y2m)  (I’)  '   (IV)  af (y1)   S  2.1   (y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1   x2 d) Hàm số(y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1  x2  khi: phương trình g (yt )  3m     m  4m    m    4m    (yI’)  m 0 3m     4m    m 2  m  4m    (yi’)  m 0  m   Kết luận: Với   m 0 Giáo viên: Lê Thị Thúy An 3 có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : t1  t2  (iv) g (y2m  1)  (i’)  '   (yiv)   S  P    m   hàm số (y2) có Kết luận: Với m 0  3 hàm số (y2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2  Trang 20 ... Trang Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Tên SKKN: GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHƠNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC... Thúy An Trang 15 Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai c) Hàm số( y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: c) Hàm số( y1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:... trị hàm số không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai giải toán cách dễ dàng cách ứng dụng đạo hàm sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng kiến thức giảm tải sách giáo khoa *Ví dụ 1: Cho hàm số