Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i PhongThang Chương Download: http://congtrinhngam.tk M đ u - C¸c kh¸i niƯm chung 1.1 M đ u Trong chương trình đào t o ngành có liên quan đ n h c trư ng ñ i h c vi n nghiên c u ñã làm quen v i nh ng môn h c c th : s c b n v t li u, h c k t c u, h c ch t l ng, ch t khí, thu l c, … Các mơn h c đư c trình bày m t cách đ c l p, đơi ph n trùng l p v khái ni m ki n th c, l i khơng nêu đư c nh ng quan ñi m chung v m t h c v t lý ñ v i ñ i tư ng nghiên c u Môn h c môi trư ng liên t c ñư c ñưa vào gi ng d y nh m trang b cho ngư i h c nh ng nguyên lý qui lu t h c chung, nh ng phương pháp chung nh t ñ gi i quy t toán h c m t cách t ng quát Lý thuy t ñàn h i m t ngành h c nghiên c u v chuy n d ch, bi n d ng ng su t xu t hi n v t r n bi n d ng tr ng thái cân b ng ho c chuy n ñ ng tác d ng c a nguyên nhân 1.1.1 Cơ h c - Cơ h c v t r n t ñ i - Cơ h c v t r n bi n d ng Cơ h c: Khoa h c nghiên c u v l c, chuy n ñ ng quan h gi a chúng • • • Chuy n đ ng: tĩnh h c Tác ñ ng c a l c lên h nghiên c u: ñ ng h c Quan h l c – chuy n ñ ng: ñ ng l c h c Cơ h c: - Cơ h c v t r n t ñ i - Cơ h c v t r n bi n d ng Cơ h c v t r n t ñ i (Cơ lý thuy t): chuy n ñ ng c a ch t ñi m, h ch t ñi m r i r c v t r n t đ i • • L c: ngo i l c Chuy n ñ ng: c a v t th so v i h qui chi u xác ñ nh – chuy n ñ ng th ng c a kh i tâm chuy n ñ ng quay quanh kh i tâm Cơ h c v t r n bi n d ng • • L c: N i l c Chuy n ñ ng: chuy n v tương ñ i c a ñi m v t th , s thay đ i hình d ng kích thư c hình h c c a v t th Tóm t t gi ng - Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Cơ h c v t r n bi n d ng Chương Lý thuy t ñàn h i, SBVL, CHKC, CH ch t l ng Lý thuy t d o Lý thuy t t bi n Cơ h c phá hu Cơ h c v t li u Composite, 1.1.2 Cơ h c môi trư ng liên t c Th a hư ng nh ng công c c a h c lý thuy t không ph i t t c Cơ h c mơi trư ng liên t c có h tiên đ hố riêng c a nó, có nh ng phương pháp ñ c thù ñ nghiên c u tính ch t c a môi trư ng phát tri n phương pháp tốn h c ph c v cho CHMTLT nghiên c u chuy n ñ ng vĩ mô c a môi trư ng th r n, l ng, khí (cịn xét mơi trư ng đ c bi t khác trư ng ñi n t , b c x , tr ng trư ng, …) - L c: l c tương tác gi a ph n t v t ch t c a v t th - Chuy n ñ ng: chuy n v c a ph n t v t ch t, bi n d ng CHMTLT trang b nh ng nguyên lý, qui lu t h c chung, nh ng phương pháp t ng quát nh t ñ gi i quy t toán h c Trong h c môi trư ng liên t c, v t th ñư c xem môi trư ng v t ch t l p ñ y liên t c m t mi n đ y, ho c c khơng gian CHMTLT môn khoa h c r ng phân nhánh g m: lý thuy t ñàn h i, ñàn nh t, nhi t ñàn h i, d o t bi n, th y ñ ng l c h c, khí đ ng l c, lý thuy t plasma, … Chúng ta ch nghiên c u nh ng khái ni m b n nh t c a Cơ h c môi trư ng liên t c 1.1.3 Lý thuy t ñàn h i Nghiên c u trư ng chuy n v , bi n d ng, ng su t xu t hi n VRBD b ng ho c chuy n ñ ng tác d ng c a l c ho c nguyên nhân khác tr ng thái cân Đ i tư ng nghiên c u: v t r n bi n d ng ñàn h i t ñ i (tuân theo ñ nh lu t th nh t c a nhi t đ ng h c v s b o tồn lư ng c a h cô l p) SBVL: xét ng su t, bi n d ng, chuy n v c a b ng cách ñưa vào gi thi t có tính ch t kinh nghi m nh m đơn gi n hố cách đ t tốn, k t qu nh n đư c d ng d ng th c t ( toán m t chi u) LTĐH: Nghiên c u thanh, t m, v , v t th có kích thư c hai, ba chi u Cách ñ t v n đ ch t ch xác v m t toán h c Xây d ng phương pháp t ng quát ñ gi i quy t tốn lý thuy t đ t ng d ng: s cho tính tốn v đ b n, dao ñ ng n ñ nh ch t o máy, xây d ng, ngành khoa h c khác Lý thuy t ñàn h i n tính: xây d ng quan h n tính ng su t - bi n d ng Lý thuy t ñàn h i phi n: xây d ng quan h phi n tính ng su t - bi n d ng (phi n v t lý) Tóm t t gi ng - Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Chương 1.2 Các khái ni m chung 1.2.1 Môi trư ng liên t c B n ch t phân t c a c u trúc v t ch t ñã ñư c bi t, nghiên c u v tr ng thái c a v t li u, u quan tr ng khơng ph i tr ng thái c a ph n t riêng bi t mà tr ng thái ñ c trưng chung cho v t li u Trong trư ng h p ta gi thi t v t ch t phân b liên t c th tích khơng có l h ng Như v y: Có th coi môi trư ng v t ch t th c: r n, l ng, khí nh ng mơi trư ng liên t c Trư ng ñ i lư ng: ng su t, bi n d ng, chuy n v , có th bi u di n b ng hàm liên t c C n xác hố khái ni m m, có th m khơng gian, có th m v t ch t c a môi trư ng liên t c Đ tránh nh m l n ta dùng t “đi m” đ ch v trí khơng gian c đ nh, cịn ‘ph n t ”, “h t” ho c ch t ñi m ñ ch v t ch t ch a phân t th tích vô bé c a môi trư ng 1.2.2 Môi trư ng ñ ng nh t ñ ng hư ng Đ ng nh t: có tính ch t h c t i m i ñi m Đ ng hư ng: tính ch t h c t i m t ñi m theo m i phương Nghiên c u m t ph n t v t ch t ñ i di n cho mơi trư ng Ch n h tr c to đ nghiên c u m t cách tùy ý 1.2.3 M t ñ kh i lư ng Là ñ ñ m ñ c c a v t ch t môi trư ng M t đ trung bình ∆m ρtb = ; ∆m kh i lư ng c a phân t có th tích ∆V ∆V M t đ v t ch t t i m t ñi m ∆m dm ρ = lim = ∆V →∞ ∆V dV Kh i lư ng v t ch t toàn b th tích V m = ∫ ρ dV N u mơi trư ng có ρ = const : mơi trư ng ñ ng nh t (V ) 1.2.4 Chuy n v , bi n d ng s ch y: Chuy n v : Khi ch u tác d ng c a ngo i l c, môi trư ng thay đ i hình d ng, kích thư c, ph n t v t ch t c a môi trư ng chuy n d i v trí - chuy n v , véctơ chuy n v u vec tơ n i v trí c a ph n t th i ñi m t=0 th i ñi m t xét Chuy n v u có ba hình chi u u, v, w ho c u1, u2, u3 lên tr c t a đ Tóm t t gi ng - Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Chương Bi n d ng: Là s thay đ i hình dáng kích thư c c a mơi trư ng ch u tác d ng c a ngo i l c th i ñi m t=0 th i ñi m t ñang xét Đ xác ñ nh m c ñ bi n d ng ngư i ta dùng bi n d ng t ñ i (bi n d ng ñơn v ) Phân lo i bi n d ng : bi n d ng dài (ε), bi n d ng góc (γ), bi n d ng th tích (θ) ε , γ , θ ϕ = + + − => gradϕ = e1 + e2 + e3 a b c a b c a b c Do v y: 1 gradϕ a b c = e + e + e ν= 2 2 2 2 2 gradϕ 1 1 1 1 1 1 1 1 1   +  +    +  +    +  +  a b c a b c a b c ν= bc 2 2 2 a b +b c +a c e1 + ac 2 2 2 a b +b c +a c e2 + ab 2 a b + b 2c + a c Khi a=b=c (m t nghiêng ñ u v i ba tr c to ñ ) vec tơ pháp n ν= ±1 ±1 ±1 e1 + e2 + e3 3 2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ h ng nh t Các thành ph n vec tơ e3 Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i Tóm t t gi ng Các ñ i lư ng v t lý: l c, v n t c, gia t c, …ñ c trưng b i tr s hư ng, bi u di n khơng gian ba chi u b ng đo n th ng có hư ng g i vec tơ Vec tơ a b t kỳ không gian có th bi u di n b ng ba thành ph n a1 , a2 , a3 c a ba tr c to đ (hình 2.2): x2 a2 a a1 O x1 a3 x3 Hình 2.2 a = a1 + a2 + a3 ho c (2.6) a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 (2.7) ñó ei vec tơ ñơn v 2 Đ dài vec tơ a = a = a12 + a2 + a3 = ai2 (2.8) Cosin ch phương c a vec tơ li ; i=1,2,3 v i li = / a l12 + l2 + l32 = Các phép tính vec tơ (xem ph n ph l c ho c giáo trình Tốn) Ma tr n bi n đ i h tr c to đ H tr c to đ vng góc ban đ u xi có vec tơ đơn v ei xoay quanh g c to ñ O tr thành h tr c vng góc m i xi' v i vec tơ đơn v ei' (Hình 2.3) x2 x ' a e2 x O e3 e'3 e'2 e1 e'1 x1 ' x 1' x3 Hình 2.3 Các cosin ch phương cij góc h p b i tr c m i xi' tr c cũ xj : Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Tóm t t gi ng cij = cos(xi' , x j ) = cos(ei' , ei ) = ei' ei (2.10) B ng cosin ch phương c a hai h tr c x1 x2 x3 x1' c11 c 11 c13 ' x2 c 21 c 22 c 23 ' x3 c 31 c 32 c 33 Các vec tơ ñơn v m i bi u di n qua vec tơ ñơn v cũ b i h th c:  e'     c11 c12  '  e2  = c21 c22  '  c c e3   31 32     e  c13  e1   1  e  = C e  c23    [ ]     c33  e   3 e3      (2.11) Các vec tơ ñơn v cũ bi u di n qua vec tơ ñơn v m i b i h th c: e   c '    11   ' e2  = c 21    ' e3  c31    ' '  e'  c13   e1   1  '     ' ' c 23  e2  = [C '] e2   ' '  '  c33  e3   e3      ' c12 ' c 22 ' c32 (2.12) Ma tr n cosin ch phương [C] [C’] ma tr n tr c giao −1 [ C '] = [ C ] T = [C ] (2.13) T – ký hi u vec tơ chuy n trí ' x ' x2 x1 e'2 e2 O e'1 e1 e3 = e'3 ' x =x Hình 2.4 θ x1 Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Tóm t t gi ng Khi h tr c to ñ ban ñ u Ox1 x2 x3 quay m t góc θ ngư c chi u kim đ ng h quanh tr c x3, ' ' ' t o thành h tr c to ñ m i Ox1' x2 x3 hình 2.4 lúc x3 ≡ x3 ma tr n bi n ñ i h tr c to đ có d ng:  cos θ [C ] =  − sin θ    sin θ cos θ 0 0  1  (2.14) Chú ý: Khi bi n ñ i h tr c to đ b n thân vec tơ a khơng thay ñ i thành ph n c a bi n đ i thành ai' h tr c to ñ m i 2.1.6 Ten xơ h ng hai: Là h th ng aij g m 32=9 thành ph n Ta g p ten xơ h ng hai nghiên c u v tr ng thái ng su t, tr ng thái bi n d ng c a môi trư ng liên t c, s phân b c a mơ men qn tính đ i v i tr c ñi qua ñi m b t kỳ thu c v t th r n, … 2.1.7 Ten xơ h ng n: h th ng aijkl… g m 3n thành ph n 2.1.8 Các phép tính ñ i s ten xơ: xem ph l c ho c tài li u tham kh o Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i Xi khơng ph thu c vào t → Tóm t t gi ng dA ∂A = dt ∂t Theo mô t Euler: A = A( xi , t ) trình chuy n đ ng, xi to đ khơng gian → xi ∈ t dA ∂A ∂A dx1 ∂A dx2 ∂A dx3 = + + + dt ∂t ∂x1 dt ∂x2 dt ∂x3 dt dA ∂A ∂A ∂A ∂A + v3 + v2 + v1 = dt ∂t ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂A dA ∂A = + ∑ vi dt ∂t i =1 ∂xi 4.2.2 (4.6a) (4.6b) V nt c V n t c chuy n ñ ng t c th i c a ph n t v t ch t ñ o hàm c a chuy n v theo th i gian v = ui = du = vi ei dt (4.7) Theo Lagrange: ui = ui ( X i , t ) mà X i ∉ t nên du1 ∂u1 ( X , t ) ∂u1 ( X , t ) ∂u1 ( X , t ) = + + dt ∂t ∂t ∂t du ∂ui ( X j , t ) vi = uii = i = ∂t dt v1 = (4.8) (4.9) C ñ nh th i gian t: s phân b v n t c c a ph n t mơi trư ng C đ nh Xi: s thay ñ i v n t c c a ph n t xác ñ nh theo th i gian Theo Euler: ui = ui ( xi (t ), t ) v1 = du1 ∂u1 ∂u1 ∂u ∂u = + v1 + v2 + v3 dt ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 vi = uii = ∂ui ( x j , t ) dui ∂ui ( x j , t ) ∂ui ( x j , t ) ∂xk ∂ui ( x j , t ) = + = + vk dt ∂t ∂xk ∂t ∂t ∂xk C ñ nh th i gian t: S phân b v n t c không gian - trư ng v n t c C ñ nh xi: Cho bi t v n t c c a nh ng ph n t khác qua m t ñi m xác ñ nh 4.2.3 Gia t c Là ñ o hàm theo th i gian c a vec tơ v n t c v Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng (4.10) (3.11) Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i a = vi = dv = ei dt Tóm t t gi ng (4.12) Theo Lagrange: = dvi ( X j , t ) dt = ∂vi ( X j , t ) (4.13) ∂t Theo Euler: = dvi ( x j , t ) dt = ∂vi ( x j , t ) ∂t + vk ∂vi ( x j , t ) ∂xk Ví d 3.1: Cho phương trình chuy n đ ng c a mơi trư ng liên t c x1 = X 1et + X ( et − 1) ; x2 = X + X ( et − e −t ) ; x3 = X Tìm chuy n v , v n t c, gia t c theo bi n Lagrange theo bi n Euler Bài gi i: + Theo bi n Lagrange Theo (3.4), thành ph n chuy n v : u1 = x1 − X = X ( et − 1) + X ( et − 1) u2 = x2 − X = X ( et − e − t ) u3 = x3 − X = Các thành ph n v n t c xác ñ nh theo (3.9): ∂u v1 = = ( X + X ) et ∂t ∂u2 v2 = = X ( et + e − t ) ∂t ∂u v3 = = ∂t Các thành ph n gia t c xác ñ nh theo (3.13): ∂ 2u1 a1 = = ( X + X ) et ∂t a2 = ∂ u2 = X ( et − e − t ) ∂t a3 = ∂ 2u3 =0 ∂t + Theo bi n Euler Đ nh th c c a Jacobiên: Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng (4.14) Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i  et  J = det  0  et −   et − e − t  = et ≠ 0   Nên hàm ngư c là: X = x1e − t + x3 ( e − t − 1) X = x2 − x3 ( et − e − t ) X = x3 T thành ph n chuy n v tính theo (3.5) u1 = x1 − X = x1 (1 − e − t ) + x3 (1 − e − t ) u2 = x2 − X = x3 ( et − e− t ) u2 = x3 − X = Các thành ph n v n t c xác ñ nh theo (3.11) v1 = x1e − t + x3e− t + (1 − e− t ) v1 + 0.v2 + (1 − e −t ) v3 v2 = x3 ( et + e − t ) + 0.v1 + 0.v2 + ( et − e− t ) v3 v3 = Gi i h ba phương trình ta ñư c: v1 = x1 + x2 v2 = x3 ( et + e − t ) v3 = Các thành ph n gia t c chuy n ñ ng xác ñ nh theo (3.13) a1 = 1.v1 + 0.v2 + 1.v3 = x1 + x3 a2 = x3 ( et − e − t ) + 0.v1 + 0.v2 + ( et − e −t ) v3 = x3 ( et − e− t ) a3 = Ví d 3.2: Cho phương trình chuy n ñ ng h t a ñ Lagrange x1 = X x2 = X + aX a h ng s khác ±1 x3 = X + aX Xác ñ nh thành ph n chuy n v h t a ñ Lagrrange Euler ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂X ∂X ∂X 10 ∂x2 ∂x2 ∂x2 +Tính Jacobien: J = = a = 1− a2 ≠ ∂X ∂X ∂X a1 ∂x3 ∂x3 ∂x3 ∂X ∂X ∂X Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng Tóm t t gi ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Tóm t t gi ng => T n t i hàm ngư c => phương trình chuy n ñ ng h to ñ Euler X = x1 x2 − ax3 1− a2 x − ax X3 = 2 1− a X2 = +Tính thành ph n chuy n v ui = xi − X i Trong h t a ñ Lagrange u1 = x1 − X = X − X = u2 = x2 − X = aX u3 = x3 − X = aX Trong h t a ñ Euler u1 = x1 − X = X − X = x2 − ax3 ax3 − a x2 = − a2 − a2 x − ax23 ax2 − a x3 = u3 = x3 − X = x3 − − a2 1− a2 Chú ý: u2 = x2 − X = x2 − o D ng chuy n v hai h t a đ khác o Có th tìm chuy n v h to ñ Euler b ng phương pháp thay bi n u2 = aX = a x3 − ax2 ax3 − a x2 = − a2 − a2 Ví d 3.3: Cho thành ph n chuy n v u1 = X u2 = X X u3 = X X Xác đ nh ví trí m i c a m v t ch t bi t v trí ban đ u (1,0,2) Bài gi i: T i v trí ban đ u X = 1, X = , X = Chuy n v ui = xi − X i → xi = ui + X i x1 = u1 + X = 4.12 + = x2 = u2 + X = 0.2 + = x3 = u3 + X = 1.2 + = Nh n xét: Xem Xi to ñ ban ñ u ; xi t a ñ m i Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng th i ñi m t Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Ví d 3.4: Cho phương trình chuy n đ ng h t a ñ Lagrange x1 = X x2 = X + X ( e − t − 1) x3 = X + X (e − 3t − 1) Tìm v n t c chuy n ñ ng h t a đ Lagrange Euler Bài gi i: -Tính Jacobien ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂X ∂X ∂X 0 ∂x2 ∂x2 ∂x2 = e − 2t − 1 ≠ J= ∂X ∂X ∂X e − 2t − 1 ∂x3 ∂x3 ∂x3 ∂X ∂X ∂X Phương trình chuy n ñ ng h t a ñ Euler X = x1 X = x2 − X ( e − t − 1) = x2 − x1 ( e − 2t − 1) X = x3 − X (e − 3t − 1) = x3 − x1 ( e − 3t − 1) -Tính chuy n v u1 = x1 − X = Trong h t a ñ Lagrrange: u2 = x2 − X = X ( e − t − 1) u3 = x3 − X = X ( e − 3t − 1) u1 = x1 − X = Trong h t a ñ Euler: u2 = x2 − X = x1 ( e − t − 1) u3 = x3 − X = x1 ( e − 3t − 1) -Tìm v n t c chuy n đ ng Trong h t a ñ Lagrange: vi = ∂u1 =0 ∂t ∂u v2 = = −2 X 1e −2 t ∂t ∂u3 v3 = = −3 X 1e −3t ∂t v1 = Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng dui ∂ui = ∂t dt Tóm t t gi ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i Tóm t t gi ng dui ∂ui ∂u = + ∑ vk i ∂t k =1 ∂xk dt ∂ui du ∂u Do ch s l p vi = i = i + vk ∂t dt ∂xk ∂u ∂u ∂u ∂u du v1 = = + v1 + v2 + v3 = ∂t ∂x1 ∂x2 dt ∂x3 Trong h t a ñ Euler: vi = v2 = du2 ∂u2 ∂u ∂u ∂u + v1 + v2 + v3 = −2 x1e − t = dt ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂t v3 = du3 ∂u3 ∂u ∂u ∂u + v1 + v2 + v3 = −3x1e − 3t = dt ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂t Nh n xét: Khi tính t a đ Euler ph i gi i h phương trình (c hai v đ u ch a n vi c n tìm) Sau tính đư c h t a đ Lagrange có th dùng phương pháp thay bi n đ tìm h t a đ Euler ho c ngư c l i 4.3 Quan h chuy n v - bi n d ng bé Chương 3, kh o sát u ki n cân b ng ta có ba phương trình v i n s , th c n ph i b sung thêm s phương trình cịn thi u => Đi u ki n bi n d ng =>Quan h bi n d ng – chuy n v 4.3.1 Chuy n v lân c n ñi m ñã cho Trong v t th liên t c, xét hai ñi m v t ch t M, N lân c n nhau: M(x1,x2,x3) N(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3) Dư i tác d ng c a ngo i l c v t th bi n d ng M chuy n ñ n v trí M1, thành ph n c a vec tơ chuy n v MM u1 , u2 , u3 * N chuy n ñ n v trí N1, thành ph n c a vec tơ chuy n v NN1 là: u1 = u1 + du1 ; * * u2 = u2 + du2 ; u3 = u3 + du3 Vì u1 = u1 ( xi ) ; u2 = u2 ( xi ) ; u3 = u3 ( xi ) nên khai tri n vi phân du1 , du2 , du3 theo chu i Taylor b qua đ i lư ng vơ bé có d ng: x2 n1 ∂u ∂u ∂u u = u1 + dx1 + dx2 + dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 m ∂u2 ∂u ∂u dx1 + dx2 + dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 * u3 = u3 + ∂u3 ∂u ∂u dx1 + dx2 + dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 u*1 u2 e2 * u2 = u + u* m1 * u3 u1 * u3 O e3 e1 x3 Hình 4.3 Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng n x1 Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Tóm t t gi ng N u hai ñi m kh o sát n m m t m t ph ng song song v i m t m t to ñ , ñ ng th i song song v i m t hai tr c c a m t ph ng to đ phương trình có d ng đơn gi n (MN//Ox1x2x3, MN//Ox1 => dx2 = dx3 = ) ∂u * u1 = u1 + dx1 ∂x1 ∂u * u2 = u2 + dx1 ∂x1 ∂u * u3 = u3 + dx1 ∂x1 4.3.2 Liên h vi phân gi a thành ph n chuy n v bi n d ng bé u x+ u x dy y y y u y+ u y dy Xét bi n d ng c a phân t v t ch t ch a ñi m M(xi) Phân t hình h p có c nh dx1 , dx2 , dx3 m t song song v i m t ph ng to ñ Dư i tác d ng c a ngo i l c, v t th bi n d ng Quan sát bi n d ng c a hình chi u phân t m t ph ng to ñ Ox1x2, gi s phân t ch b bi n d ng thu n túy (khơng có chuy n đ ng quay quanh tr c) Q1 P1 β Q N1 uy α dy P M M1 ux dx N N2 u y+ u y dx x uy u x+ u x dx x x Hình 3.4 Đi m M(x1,x2) có thành ph n chuy n v u1(x1,x2), u2(x1,x2) ∂u1 ∂u dx1 ; u2 + dx1 ∂x1 ∂x1 ∂u ∂u Đi m P(x1,x2+dx2) lân c n M có chuy n v tương ng: u1 + dx2 ; u2 + dx2 ∂x2 ∂x2 Bi n d ng dài t ñ i theo phương x1, x2 ε11 , ε 22 Theo ñ nh nghĩa: M N − MN ε11 = 1 MN MN Mà MN = dx1 ; M N1 = ≃ M N (bi n d ng bé: cos α ≃ ) cos α ∂u ∂u T hình 3.4 nh n th y: M N = dx1 + dx1 => ε11 = ∂x1 ∂x1 ∂u Tương t ε 22 = ∂x2 Đi m N(x1+dx1,x2) lân c n M có chuy n v tương ng: u1 + Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Tóm t t gi ng Bi n d ng góc m t ph ng x1x2 γ 12 , ñ t ε 12 = γ 12 , ta có γ 12 = α + β , bi n d ng bé nên α ≃ tgα ≃ sin α , β ≃ tg β ≃ sin β  ∂u2   u2 +  − u2 ∂x1  N1 N  ∂u Góc quay c a c nh MN α ≃ tgα = = = ∂u M1 N ∂x1 dx1 + dx1 ∂x1 ∂u ∂u (do bi n d ng bé: ε 11 = ≪ ) Tương t , ta nh n ñư c β = ∂x2 ∂x1 ∂u ∂u V y bi n d ng góc m t ph ng x1x2 γ 12 = + ∂x1 ∂x2 Bi n ñ i tương t v i thành ph n bi n d ng chuy n v m t ph ng x1x2 x2x3 ta nh n ñư c h phương trình hình h c Cauchy-Navier: ∂u1 ∂u ∂u ; γ 12 = γ 21 = 2ε12 = + ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂u ∂u ∂u ε 22 = ; γ 23 = γ 32 = 2ε 23 = + ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂u ∂u ∂u ε 33 = ; γ 13 = γ 31 = 2ε13 = + ∂x3 ∂x1 ∂x3 ε11 = (4.15) H phương trình (3.11) đư c vi t g n dư i d ng  ∂ui ∂u j  +   ∂x j ∂xi   (4.16) ε ij =   4.3.3 Ten xơ bi n d ng bé Bi n d ng dài theo phương b t kỳ Kh o sát m t vi phân chi u dài ds=MK theo phương ν b t kỳ (hình 4.5) To đ ban đ u: M ( x1 , x2 , x3 ) = M ( xi ) x2 x +dx k1 K ( x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ) = K ( xi + dxi ) ds m1 x3 k dx Các cô-sin ch phương li = i ds Khi bi n d ng MK => M1K1=ds1, chuy n v c a M ui nên M1,K1 có to đ : M ( xi + ui ) ; K1 ( xi + dxi + ui + dui ) Vi phân toàn ph n c a chuy n v ui: Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng ds m O x1 x1 +dx x1 x3 x3 +dx x3 Hình 4.5 Cơ s Cơ h c Mơi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Tóm t t gi ng ∂ui ∂u ∂u ∂u dx1 + i dx2 + i dx3 = i dx j ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x j Bi n d ng dài t ñ i theo phương ν : dui = ds ds − ds ds1 − ds ds1 2 = − => ( ενν + 1) = 12 => 2ενν + ενν = ds ds ds ds 2 2 Mà ds = dx1 + dx2 + dx3 = dxi ενν = 2 ds = ( dx1 + du1 ) + ( dx2 + du2 ) + ( dx3 + du3 ) = ( dxi + dui ) 2 2dui dxi + dui dui ds1 − ds Nên ενν = = (*) 2 ds 2ds ∂u ∂u ∂u ∂u ∂x Ta l i có: dui = i dx j = i dxk => dui dui = i dx j i dxk ý r ng i = li ∂x j ∂xk ∂x j ∂xk ∂s Bi u th c (*) tr thành: ενν =   ∂u  ∂u ∂u  ∂ui ∂ui ∂ui dx j dxi + i i dx j dxk  =  i l j li + l j lk  = 2   ∂x  2ds  ∂x j ∂x j ∂xk ∂x j ∂xk    j   ∂u   ∂u ∂ui ∂ui  ∂ui ∂ui =  k l j lk + l j lk  =  k + ll  ∂x   ∂x ∂x ∂x  j k  ∂x j ∂xk j j j k     Khi gi thi t bi n d ng bé, b qua s h ng th hai bi u th c cu i: ενν =   ∂u  ∂u j ∂uk ∂u  ∂u l j lk =  k l j lk + k l j lk  =  i li l j + li l j  =   ∂x  ∂x j ∂x j ∂xi  ∂x j    j   ∂ui ∂u j  +   li l j = ε ijli l j (4.17)  ∂x j ∂xi    Ho c dư i d ng khai tri n: ενν = ε11l12 + ε 22l22 + ε 33l32 + ( ε12l1l2 + ε13l1l3 + ε 23l2l3 ) (4.18) Nh n xét: Bi n d ng dài theo phương b t kỳ, ho c tr ng thái bi n d ng t i m t m c a mơi trư ng d c trưng b i thành ph n: bi n d ng dài theo ba phương tr c to đ bi n d ng góc ba m t ph ng vng góc v i tr c to ñ Ten xơ bi n d ng bé – Tenxơ l ch tenxơ c u bi n d ng Do có s gi ng gi a bi u th c bi n d ng theo phương ν b t kỳ (4.18) bi u th c ng su t theo phương ν (3.10) => ten-xơ bi n d ng bé có thành ph n ký hi u chung ε ij Chín thành ph n bi n d ng l p thành m t ten-xơ h ng hai  ε ε11 ε12 ε13   11    ε 21 ε 22 ε 23  =  γ 21 Tε =   2 ε 31 ε 32 ε 33      γ  31  Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng γ 12 ε 22 γ 32  γ 13    γ 23   ε 33    (4.19) Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Tóm t t gi ng Ten-xơ bi n d ng có th phân tích thành ten-xơ l ch bi n d ng Dε ten-xơ c u bi n d ng Tε tương t ten-xơ ng su t (4.20) Tε = Dε + Tε Trong đó: ε 11 − ε tb Dε =  ε 21   ε 31  ε tb Tε =   0  ε12 ε 22 − ε tb ε 32 ε13  ε 23   ε 33 − ε tb   0  v i ε tb = ( ε11 + ε 22 + ε 33 )  ε tb   ε tb (4.21a) (4.21b) Tr ng thái bi n d ng ng v i ten-xơ l ch bi n d ng Dε ch gây bi n đ i hình dáng, khơng gây bi n đ i th tích θ = J1 ( Dε ) = ; tr ng thái bi n d ng ng v i ten-xơ c u bi n d ng Tε ch gây bi n ñ i th tích, khơng gây bi n đ i hình dáng bi n d ng góc b ng khơng 4.4 Bi n d ng – Phương c a bi n d ng Tương t tr ng thái ng su t, t i m t ñi m ln t n t i ba phương vng góc v i nhau, ba phương bi n d ng trư t b ng không - g i phương bi n d ng Các bi n d ng tương ng theo phương g i bi n d ng chính, ký hi u ε11 , ε 22 , ε 33 Các bi n d ng đư c xác đ nh t phương trình ε11 − ε det  ε 21   ε 31  ε13  ε 22 − ε ε 23  =  ε 32 ε 33 − ε   ε12 (4.22) Ho c dư i d ng khai tri n: ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = (4.23) J1 = ε11 + ε 22 + ε 33 J2 = ε11 ε12 ε 22 ε 23 ε11 ε13 + + ε 21 ε 22 ε 32 ε 33 ε 31 ε 33 ε 11 ε12 ε13    J = ε 21 ε 22 ε 23    ε 31 ε 32 ε 33    (4.24) Phương c a bi n d ng đư c tìm t phương trình tương t tìm phương c a ng su t (chương 3) Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i Tóm t t gi ng 4.5 Cư ng ñ bi n d ng Cư ng ñ bi n d ng ε i m t tr s t l v i b c hai c a b t bi n th hai c a ten-xơ l ch bi n d ng: εi = 2 ( ε11 − ε 22 ) + (ε 22 − ε 33 ) + ( ε 33 − ε11 ) 2 2 + ( ε12 + ε 23 + ε 31 ) (4.25) 4.6 Ten-xơ quay Ngoài bi n d ng dài bi n d ng góc, phân t cịn b quay S quay ñư c ñ c trưng b i góc quay c a đư ng chéo phân t Ví d xét góc quay c a đư ng chéo MQ c a hình chi u phân t hình l p phương m t Ox1x2 quay quanh tr c x3, ta ký hi u ω12 Phân tích ω12 thành hai thành ph n: góc quay α ch có c nh MN quay m t góc α , góc quay β ch có c nh MP quay m t góc β x2 x2 P1 P1 P Q P Q1 β N1 α/2 α β/2 M Q N x1 M N x1 Hình 4.6 N u qui c góc quay dương, ñư ng chéo quay ngư c chi u kim đ ng h ta có: Trong m t ph ng x1x2: ω12 = α −  ∂u ∂u  =  − 1 2  ∂x1 ∂x2  β  ∂u ∂u  Trong m t ph ng x1x3: ω13 =  −   ∂x3 ∂x1  (4.26)  ∂u ∂u  Trong m t ph ng x2x3: ω23 =  −   ∂x2 ∂x3   ∂u ∂u  Có th vi t g n (4.26) dư i d ng: ωij =  i − j  = −ω ji  ∂x j ∂xi    (4.27) Bi u th c bi n d ng góc có th bi u di n dư i d ng:  ∂u j ∂ui +  ∂xi ∂x j ε ij = γ ij =    ∂u  = i + ωij  ∂x j  Như v y ten xơ bi n d ng có th bi u di n: Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng (4.28) Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i  ∂u1  ε13   ∂x1   ∂u ε 23  =    ∂x1 ε 33   ∂u    ∂x1 ε ε  11 12 Tε = ε 21 ε 22  ε 31 ε 32  ∂u1   ∂x3   ∂u12    + −ω12 ∂x3    ω31  ∂u3   ∂x3  ∂u1 ∂x2 ∂u2 ∂x2 ∂u3 ∂x2 Tóm t t gi ng ω12 −ω23 −ω31  ω23     (4.29) Trong ten xơ quay Tω m t tenxơ ph n x ng, có ba thành ph n đ c l p  Tω =  −ω12   ω31  ω12 −ω23 −ω31  ω23     (4.30) 4.7 V n t c – Gia t c bi n d ng – Tenxơ v n t c xoáy V n t c gia t c bi n d ng ñ o hàm b c nh t b c hai c a bi n d ng theo th i gian Tương t tenxơ bi n d ng, tenxơ v n t c bi n d ng bé là:  i ε i ε i ε i   ε 11  11 12 13   i i i i Tε i = ε 21 ε 22 ε 23  =  γ 21 2   ε i ε i ε i    31 32 33   γ i  31  i γ 12 εi 22 i γ 32 i  γ 13   i  γ 23   i ε 33    (4.31) Ten xơ v n t c xoáy ñ o hàm b c nh t c a thành ph n tenxơ quay theo th i gian   i Tω =  −ω12  i  ω 31  ωi 12 i −ω 23 i −ω31   i ω 23     (4.32) 4.8 Đi u ki n tương thích c a bi n d ng H phương trình hình h c Navier-Cauchy: ∂u ∂u ∂u ε11 = ; γ 12 = γ 21 = 2ε12 = + ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂u ∂u ∂u ε 22 = ; γ 23 = γ 32 = 2ε 23 = + ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂u ∂u ∂u ε 33 = ; γ 13 = γ 31 = 2ε13 = + ∂x3 ∂x1 ∂x3 T h phương trình ta th y, n u bi t thành ph n bi n d ng thành ph n chuy n v c a ñi m b t kỳ ñư c xác ñ nh t phương trình vi phân Vì v y mu n h phương trình có nghi m thành ph n bi n d ng không th ch n tùy ý mà gi a chúng ph i có ràng bu c nh t ñ nh Các ràng bu c g i ñi u ki n tương thích ho c u ki n liên t c c a bi n d ng Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i Tóm t t gi ng Ý nghĩa hình h c: phân t hình h p đ ng c nh trư c bi n d ng, gi a chúng khơng có khe h v t th liên t c Khi v t th bi n d ng phân t bi n d ng, n u s bi n d ng tùy ý gi a chúng có khe h Các quan h gi a thành ph n bi n d ng chia làm hai nhóm Nhóm 1: Quan h gi a thành ph n bi n d ng m t m t ph ng ∂ 2ε11 ∂ 2ε 22 ∂ 2ε12 ∂ 2γ 12 + =2 = ∂x2 ∂x12 ∂x1∂x2 ∂x1∂x2 ∂ 2ε13 ∂ 2γ 13 ∂ 2ε11 ∂ 2ε 33 + =2 = ∂x3 ∂x12 ∂x1∂x3 ∂x1∂x3 (4.33) ∂ 2ε 23 ∂ 2γ 23 ∂ 2ε 22 ∂ 2ε 33 + =2 = 2 ∂x3 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x3 Nhóm 2: Quan h gi a thành ph n bi n d ng m t ph ng khác ∂ 2ε11 ∂  ∂ε11 ∂ε12 ∂ε 23  = + −   ∂x2 ∂x3 ∂x1  ∂x2 ∂x3 ∂x1  ∂ 2ε 22 ∂  ∂ε 23 ∂ε12 ∂ε 31  = + −   ∂x3∂x1 ∂x2  ∂x1 ∂x3 ∂x2  ∂ 2ε 33 ∂  ∂ε 31 ∂ε 23 ∂ε12  = + −   ∂x1∂x2 ∂x3  ∂x2 ∂x1 ∂x3  (4.34) 4.9 Quan h chuy n v - bi n d ng l n 4.9.1 Theo to ñ v t ch t Lagrange Trong m c (4.3) xác ñ nh tenxơ bi n d ng bé ta b qua bình phương c a bi n d ng bé ds12 − ds 2 bi u th c: 2ενν + ενν = (4.35) ds Trong trư ng h p t ng quát bi n d ng l n (h u h n) bi n d ng dài ενν theo phương ν nghi m c a (4.33) ph thu c vào ds ds12 Theo mô t Lagrange xi = xi ( X i , t ) , th i ñi m ban ñ u t=0 ño n th ng phân t ds có hình chi u dXi th i ñi m t chi u dài phân t ds1 có hình chi u dxi ds = dX i dX i ds12 = dxi dxi , xi = xi ( X i , t ) , nên dxi = ∂xi dX j ∂X j Thay xi b i chuy n v xk = uk + X k sau bi n ñ i ta nh n ñư c ds − ds12 = 2GijdX i dX j ∂u ∂u ∂uk  ∂u Trong Gij = G ji =  j + i + k  ∂X ∂X 2 i ∂X i ∂X j j Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng (4.36)   thành ph n c a tenxơ bi n d ng Green:   Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i  G11 G12 TG = G21 G22  G31 G32  Tóm t t gi ng G13  G23   G33   (4.37) D ng khai tri n c a tenxơ bi n d ng Green: 2 ∂u1  ∂u1   ∂u2   ∂u3   G11 = +   +  +   ∂X  ∂X   ∂X   ∂X     2 ∂u2  ∂u1   ∂u2   ∂u3   G22 = +   +  +   ∂X 2  ∂X   ∂X   ∂X     2 ∂u  ∂u   ∂u   ∂u   G33 = +   +   +    ∂X  ∂X   ∂X   ∂X     ∂u   ∂u ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3   ∂u + + G12 =  +  +    ∂X ∂X   ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X  G13 =  ∂u3 ∂u1   ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3  + + +  +    ∂X ∂X   ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X  G12 = (4.38)  ∂u2 ∂u3   ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3  + + +  +    ∂X ∂X   ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X  Các thành ph n ñư ng chéo c a tenxơ bi n d ng Green ñ c trưng cho bi n d ng dài theo phương tr c to ñ , thành ph n l i d c trưng cho bi n d ng góc m t ph ng vng góc v i tr c to đ 4.9.2 Theo to đ khơng gian Euler Ta có dX i = ∂X i dx j , thay Xk b i chuy n v X k = xk − uk , sau bi n ñ i: ∂x j ds − ds12 = Aijdxi dx j (4.39)  ∂u ∂u ∂u ∂u  Trong đó: Aij = Aji =  j + i + k k  thành ph n c a tenxơ bi n d ng Almansi:  ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j     A11 TA =  A21   A31  A12 A22 A32 A13  A23   A33   D ng khai tri n c a tenxơ bi n d ng Almansi: Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i 2 ∂u1  ∂u1   ∂u2   ∂u3   A11 = −   +  +   ∂x1  ∂x1   ∂x1   ∂x1     2 ∂u  ∂u   ∂u   ∂u   A22 = −   +   +    ∂x2  ∂x2   ∂x2   ∂x2     2 ∂u  ∂u   ∂u   ∂u   A33 = −   +   +    ∂x3  ∂x3   ∂x3   ∂x3      ∂u ∂u   ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u  G12 =  +  −  1 + 2 + 3   ∂x2 ∂x1   ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2   ∂u ∂u   ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u  G13 =  +  −  1 + 2 + 3   ∂x1 ∂x3   ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x1  G12 = Tóm t t gi ng (4.40)  ∂u2 ∂u3   ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3  + + +  −    ∂x3 ∂x2   ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x3  Các thành ph n ñư ng chéo c a tenxơ bi n d ng Almansi ñ c trưng cho bi n d ng dài theo phương tr c to ñ , thành ph n l i d c trưng cho bi n d ng góc m t ph ng vng góc v i tr c to đ Tenxơ bi n d ng Green tenxơ bi n d ng Almansi hai cách mô t tr ng thái bi n d ng t i m t ñi m c a môi trư ng, chúng g m hai thành ph n: n tính phi n c a ñ o hàm b c nh t thành ph n chuy n v 4.9.3 Trư ng h p bi n d ng bé Trong trư ng h p bi n d ng bé, thành ph n phi n tenxơ bi n d ng Green ∂u   ∂u Almansi có th b qua Lúc tenxơ bi n d ng bé Lagrange có d ng: Lij =  j + i   ∂X i ∂X j     ∂u ∂u  Tenxơ bi n d ng bé Euler có d ng: Eij =  i + j   ∂x j ∂xi    So sánh hai trư ng h p, ta th y xét bi n d ng bé đ o hàm theo bi n Lagrange Euler nhau, v y lúc không c n phân bi t cách mô t Như v y:  ∂u ∂u j  Lij = Eij = ε ij =  i +   ∂x j ∂xi    Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng (4.41) .. .Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Cơ h c v t r n bi n d ng Chương Lý thuy t ñàn h i, SBVL, CHKC, CH ch t l ng Lý thuy t d o Lý thuy t t bi n Cơ h c phá hu Cơ h c v... ( σ − σ ) + (σ − σ ) + ( σ − σ ) (3.27b) Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn h i Tóm t t gi ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t đàn h i Tóm t t gi ng Tr ng thái bi n d ng... - bi n d ng Lý thuy t ñàn h i phi n: xây d ng quan h phi n tính ng su t - bi n d ng (phi n v t lý) Tóm t t gi ng - Tr n Minh Tú - Đ i h c Xây d ng Cơ s Cơ h c Môi trư ng liên t c & Lý thuy t ñàn