MỤC LỤC Chương Đại cương đồ thị 1.1 Giới thiệu 1.2 Định nghĩa đồ thị 1.3 Một số thuật ngữ 1.4 Đường đi, chu trình đồ thị liên thơng 1.5 Biểu diễn đồ thị máy tính 10 1.5.1 Biểu diễn đồ thị ma trận kề 10 1.5.2 Ma trận liên thuộc đỉnh cạnh 11 Chương Đại cương đồ thị 1.1 Giới thiệu Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu có từ lâu có nhiều ứng dụng ngành cơng nghệ thông tin Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đề xuất vào năm đầu kỷ 18 nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sỹ: Leonhard Euler Chính ơng người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng cầu thành phố Konigberg Những ứng dụng đồ thị như: - Xác định tính liên thơng mạng máy tính: hai máy tính truyền liệu cho khơng - Tìm đường ngắn mạng giao thơng - Giải tốn tối ưu: lập lịch, phân bố tần số cho trạm phát thanh, truyền hình - Giải tốn tơ màu đồ: tìm số màu để tơ quốc gia cho hai quốc gia kề phải tô khác màu -… 1.2 Định nghĩa đồ thị Một cách trực quan, ta hình dung đồ thị cấu trúc rời rạc gồm tập hợp đỉnh tập hợp cạnh nối đỉnh Có nhiều loại đồ thị khác biểu diễn cho đối tượng khác ứng dụng khác Người ta phân loại đồ thị dựa đặc điểm cạnh nối Cụ thể ta xét tốn cụ thể có sử dụng đồ thị để mơ hình hóa tốn: “Mơ hình hệ thống giao thông thành phố xây dựng ứng dụng tìm đường đi, tìm kiếm địa chỉ, …” Để mơ hình hệ thống giao thơng trên, ta biểu diễn địa điểm (giao lộ, trung tâm, …) điểm đường nối giao lộ cạnh hình đây: Trong cách biểu diễn này, ta thấy nhiều có đường nối hai địa điểm trực tiếp với nhau, đường hai chiều khơng có đường nối địa điểm với Và đồ thị biểu diễn mơ hình phải thỏa mãn tính chất Dạng đồ thị gọi là: đơn đồ thị vô hướng Định nghĩa 1.1 Một đơn đồ thị vơ hướng G=, đó: - V ≠ Ø tập hợp hữu hạn gồm đỉnh đồ thị - E tập hợp cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Như vậy, theo định nghĩa trên, đơn đồ thị có cặp cạnh nối cặp đỉnh (do E tập hợp nên khơng thể có cặp trùng nhau), cạnh không phân biệt thứ tự nên cạnh [u,v] cạnh [v,u] coi cạnh nhất, điều phù hợp với việc biểu diễn đường chiều, hiển nhiên khơng có cặp [u,u] E Ví dụ 1.1 a Đơn đồ thị vơ hướng b Khơng phải đơn đồ thị vơ hướng có cặp cạnh nối cặp đỉnh c Không phải đơn đồ thị vơ hướng có cạnh nối đỉnh với Tuy nhiên, thực tế, hệ thống giao thơng tồn nhiều đường nối hai địa điểm, có đường để từ địa điểm lại quay (đây đường nội trung tâm mua sắm, …) Khi đó, tính chất đơn đồ thị vơ hướng định nghĩa khơng cho phép biểu diễn hệ thống giao thông trường hợp Muốn vậy, ta phải dùng loại đồ thị tổng quát chút: đa đồ thị vô hướng Định nghĩa 1.2 Đa đồ thị vơ hướng G=, - V ≠ Ø tập hợp hữu hạn gồm đỉnh đồ thị - E họ cặp khơng có thứ tự V gọi cạnh Lưu ý: - Khi ta nói E họ nghĩa có cặp trùng (khác với khái niệm tập hợp) - Các cạnh nối cặp đỉnh gọi cạnh song song - Các cạnh nối từ đỉnh với gọi khun Ví dụ 1.2 Điểm chung hai loại đồ thị định nghĩa tính chất vơ hướng (hai chiều) cạnh Trong thực tế, có ta phải trọng đến tính có hướng cạnh nối (chẳng hạn biểu diễn đường chiều) Từ đó, ta có thêm loại đồ thị: Đơn đồ thị có hướng đa đồ thị có hướng Về bản, hai loại tương tự hai loại mà ta định nghĩa trên, thêm khác biệt tính chất có thứ tự cạnh Định nghĩa 1.3 Đơn đồ thị có hướng G=, đó: - V ≠ Ø tập hợp hữu hạn gồm đỉnh đồ thị - E tập hợp cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Ví dụ 1.3 Định nghĩa 1.4 Đa đồ thị có hướng G=, - V ≠ Ø tập hợp hữu hạn gồm đỉnh đồ thị - E họ cặp có thứ tự V gọi cung Các cung nối cặp đỉnh gọi cung song song Ví dụ 1.4 Chú ý: - Đồ thị sau coi đơn đồ thị có hướng e1và e2, e3 e4 cung song song (do khác hướng) - Một số tài liệu tách đa đồ thị thành loại: đa đồ thị (chỉ có cạnh/cung song song mà khơng có khun) giả đồ thị (có cạnh/cung song song có khuyên) Tuy nhiên, để bớt phức tạp, gộp hai loại thành gọi tên chung đa đồ thị - Đa đồ thị dạng tổng quát đơn đồ thị, nghĩa đơn đồ thị coi đa đồ thị, ngược lại không - Mặc dù tổng quát đa đồ thị lại khó biểu diễn xử lý máy tính Chính phần lớn ứng dụng người ta tìm cách biến đa đồ thị cách thêm số đỉnh vào cạnh/cung song song hay khuyên Khi đó, đa đồ thị trở thành đơn đồ thị - Cũng lý trên, nội dung giới thiệu học phần chủ yếu đơn đồ thị Để đơn giản, gọi “đồ thị” thay cho “đơn đồ thị” Phần sau giới thiệu cho số thuật ngữ thường dùng đồ thị 1.3 Một số thuật ngữ Định nghĩa 1.5 Cho đồ thị vô hướng G= - Hai đỉnh u v đồ thị gọi kề (u,v) cạnh đồ thị - Nếu e=(u,v) cạnh đồ thị ta nói cạnh liên thuộc với hai đỉnh u v Cạnh nói nối đỉnh u v Đỉnh u v gọi đỉnh đầu cạnh e Định nghĩa 1.6 Cho đồ thị vô hướng G= Bậc đỉnh v đồ thị, ký hiệu deg(v), số cạnh liên thuộc với Đỉnh có bậc gọi đỉnh lập, đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Ví dụ 1.5 Cho đồ thị vơ hướng G = sau: ● V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ● E = {(1,2), (2,3), (1,4), (1,5), (2,5), (4,5), (2,4)} ● Bậc đỉnh: ■ deg(1) = deg(2) = deg(3) = ■ deg(4) = deg(5) = deg(6) = ● Đỉnh đỉnh treo ● Đỉnh đỉnh lập Định lý sau đề cập đến tính chất bậc đỉnh Định lý 1.1 Cho G = đồ thị vơ hướng Khi ta có tổng số bậc đỉnh đồ thị hai lần số cạnh Nói cách khác, ta có: Việc chứng minh định lý khơng khó Ý tưởng q trình xác định bậc đỉnh cạnh đếm lần Hệ 1.1 Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ số chẵn Chứng minh Theo định lý trên, tổng bậc tất đỉnh số chẵn (2|E|), tổng bậc đỉnh bậc lẻ số chẵn Và vây, số đỉnh bậc lẻ phải số chẵn Định nghĩa 1.7 Cho đồ thị có hướng G= - Hai đỉnh u v đồ thị gọi kề (u,v) cung đồ thị - Nếu e=(u,v) cung đồ thị ta nói cung khỏi đỉnh u vào vào đỉnh v Đỉnh u gọi đỉnh đầu cung e đỉnh v gọi đỉnh cuối cung e Định nghĩa 1.8 Cho đồ thị có hướng G= - Bán bậc đỉnh v đồ thị, ký hiệu deg +(v), số cạnh khỏi v - Bán bậc vào đỉnh v đồ thị, ký hiệu deg -(v), số cạnh vào v Ví dụ 1.6 Xét đồ thị có hướng G = sau: Tương tự đồ thị vô hướng, đồ thị có hướng ta có kết gần tương tự bậc đỉnh đồ thị Định lý 1.2 Cho G = đồ thị có hướng Tổng bán bậc đỉnh tổng bán bậc vào đỉnh số cạnh đồ thị Cách chứng minh ý nghĩa định lý tương tự định lý đồ thị vô hướng Trong ứng dụng đồ thị, tốn đường đi, tính liên thơng chiếm vị trí lớn Phần đề cập đến số khái niệm mở đầu nội dung 1.4 Đường đi, chu trình đồ thị liên thông Định nghĩa 1.9 Cho đồ thị *G = (* ký hiệu cho dùng chung đồ thị vơ hướng có hướng) Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v (n số nguyên dương) dãy: * Ta dùng thuật ngữ đồ thị để chung cho đồ thị vơ hướng đồ thị có hướng Đường nói cịn biểu diễn dãy cạnh/cung: Đỉnh u gọi đỉnh đầu đường đi, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng (u=v) gọi chu trình Ví dụ 1.7 Cho đồ thị vô hướng sau: Một số đường từ đỉnh đến đỉnh 7: - Đường d1: (đường độ dài 3) - Đường d2: (đường độ dài 6) - Đường d3: 4 (đường độ dài 6) Một số chu trình đồ thị trên: - Chu trình C1: (chu trình có độ dài 3) - Chu trình C2: (chu trình có độ dài 7) - Chu trình C3: (chu trình có độ dài 6) Định nghĩa 1.10 Cho đồ thị G = - Đường hay chu trình G gọi đơn khơng có cạnh bị lặp lại đường - Đường hay chu trình G gọi sơ cấp khơng có đỉnh bị lặp lại đường Ví dụ 1.8 Xét đường chu trình ví dụ trên, ta thấy: - Đường d1là đường sơ cấp (cũng đường đơn) - Đường d2 đường đơn (chỉ bị lặp đỉnh 3, không lặp cạnh) - Đường d3 không đường đơn (cũng khơng đường sơ cấp) có lặp lại cạnh (3,4) - Chu trình C1 chu trình sơ cấp (cũng chu trình đơn) - Chu trình C2 chu trình đơn (chỉ bị lặp lại đỉnh 3, khơng lặp cạnh) - Chu trình C3 khơng chu trình đơn (cũng khơng chu trình sơ cấp) có lặp lại cạnh (3,4) Khi dùng đồ thị để biểu diễn hệ thống đó, chẳng hạn hệ thống máy tính kết nối với nhau, điều ta quan tâm liệu hai máy tính nối với hay khơng? Đây tính chất liên thơng mạng, tính liên thơng khơng đảm bảo mạng máy tính khơng thể hoạt động Định nghĩa 1.11 Đồ thị vô hướng G = gọi liên thơng ln tìm đường hai đỉnh Ví dụ 1.9 Xét đồ thị vô hướng sau: Trong đồ thị G1là đồ thị liên thơng, cịn G2 khơng phải đồ thị liên thơng hai đỉnh không tồn đường Định nghĩa 1.12 Cho đồ thị G = (V,E) Đồ thị H = gọi đồ thị G W € V F € E Trong trường hợp đồ thị vơ hướng G khơng liên thơng, phân thành đồ thị độc lập chúng liên thông Mỗi đồ thị gọi thành phần liên thông G Ví dụ 1.10 Đồ thị G2 ví dụ đồ thị có thành phần liên thơng Thành phần liên thông thứ gồm đỉnh: 1, 4, Thành phần liên thông thứ hai gồm hai đỉnh: Định nghĩa 1.13 Cho đồ thị vô hướng G = Đỉnh v đồ thị gọi đỉnh rẽ nhánh việc loại bỏ v cạnh liên thuộc với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e đồ thị gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Ví dụ 1.11 Xét đồ thị sau: Trong đồ thị trên, đỉnh đỉnh rẽ nhánh việc loại đỉnh với cạnh (2,3), (2,1), (2,6) làm đồ thị có thành phần liên thơng Cạnh (2,3) cầu Các cạnh cịn lại khơng phải cầu Đối với đồ thị có hướng khái niệm liên thơng khó thỏa mãn cung bị hạn chế chiều Từ đó, bên cạnh khái niệm liên thông đề cập đồ thị vô hướng, ta đưa thêm khái niệm liên thông nhẹ hơn: liên thông yếu Định nghĩa 1.14 Cho G = đồ thị có hướng a G gọi liên thơng mạnh ln tìm đường hai đỉnh b G gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng với (đồ thị vơ hướng có cách biến cung chiều thành cạnh hai chiều) đồ thị vô hướng liên thông Ví dụ 1.12 Xét đồ thị có hướng sau: - Đồ thị G1 đồ thị liên thông mạnh - Đồ thị G2 không đồ thị liên thông mạnh từ đỉnh đến đỉnh không tồn đường G2 đồ thị liên thông yếu biến cung có hướng thành cạnh vơ hướng đồ thị liên thơng 1.5 Biểu diễn đồ thị máy tính Lý thuyết đồ thị ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Để sử dụng đồ thị hiệu nhanh chóng hơn, phải biểu diễn xử lý đồ thị với máy tính Cách biểu diễn thơng thường hình vẽ mơ tả tập hợp không phù hợp với cách thức lưu trữ liệu xử lý máy tính Chúng ta phảitìm cấu trúc liệu thích hợp để biểu diễn đồ thị máy tính.Có nhiều phương pháp khác để biểu diễn đồ thị máy tính Sau tìm hiểu số phương pháp thông dụng 1.5.1 Biểu diễn đồ thị ma trận kề Định nghĩa 1.15 Cho đồ thị G = , với tập đỉnh V = {v 1, v2, , vn} Ta gọi ma trận kề đồ thị ma trận A, kích thước nxn xác định sau: Ví dụ 1.13 a Xét đồ thị vơ hướng sau: Ma trận kề đồ thị là: b Xét đồ thị có hướng sau: Ma trận kề đồ thị là: Nhận xét - Chúng ta nhận thấy rằng, ma trận kề đồ thị vô hướng luôn mà trận đối xứng Cịn ma trận đồ thị có hướng khơng có tính chất - Đối với đồ thị vô hướng, tổng phần tử dòng i (hay cột i) bậc đỉnh vi đồ thị - Đối với đồ thị có hướng, tổng phần tử dịng i (tương ứng, cột i) bán bậc (bán bậc vào) đỉnh vi đồ thị 1.5.2 Ma trận liên thuộc đỉnh – cạnh: Định nghĩa 1.16 Cho G = đồ thị vô hướng với tập đỉnh V = {v 1, v2, , vn} tập cạnh E = {e 1, e2, , em} Ma trận liên thuộc đỉnh cạnh biểu diễn đồ thị G ma trận có kích thước nxm xác định sau: Ví dụ 1.14 Ma trận liên thuộc đỉnh-cạnh đồ thị là: Định nghĩa 1.17 Cho G = đồ thị có hướng với tập đỉnh V = {v 1, v2, , vn} tập cung E = {e1, e2, , em} Ma trận liên thuộc đỉnh - cạnh biểu diễn đồ thị G ma trận có kích thước nxm xác định sau: Ví dụ 1.15 Ma trận liên thuộc đỉnh-cạnh đồ thị vô hướng là: Nhận xét - Ma trận liên thuộc đỉnh - cạnh tiết kiệm nhớ đồ thị có cạnh/cung - Trong ma trận đồ thị vô hướng, số số dòng i bậc đỉnh v i Trong ma trận đồ thị có hướng, số số dòng i bán bậc đỉnh vi, số số -1 dòng i bán bậc vào đỉnh vi  ...Chương Đại cương đồ thị 1.1 Giới thiệu Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu có từ lâu có nhiều ứng dụng ngành công nghệ thông tin Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đề xuất vào năm đầu kỷ 18 nhà toán. .. với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e đồ thị gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thơng đồ thị Ví dụ 1.11 Xét đồ thị sau: Trong đồ thị trên,... ứng với (đồ thị vơ hướng có cách biến cung chiều thành cạnh hai chiều) đồ thị vô hướng liên thơng Ví dụ 1.12 Xét đồ thị có hướng sau: - Đồ thị G1 đồ thị liên thông mạnh - Đồ thị G2 không đồ thị