TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM s0 z2 0s 30.0 00.00 10 10 .21 22 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM Biên soạn: LE KHANH LUAN - NGUYEN THANH SON LY THUYET ic %& A | A Danh cho sinh vién Dai hoc, Cao ding cdc tung khbi Kinh & Ngoai hương, Quan tri kink doanh Ua én thi Gao hoc hướng dẫn sit dung may tinh tay để giải toán thống kê NHÀ XUẤT BẢN DAI HOC QUOC GIA TP HO CHi MINH LỜI NÓI ĐẦU T; vài chục năm trở lại đây, môn Xác suất thống kê giẳng dạy rộng rãi môn học giai đoạn đầu tất trường đại học Kinh tế, Ngoại thương, Xã hội Nhân văn, Y dược, Kỹ thuật, Tự nhiên, tất hệ đào tạo Nhằm đáp ứng nhu cầu dạy học đó, qua kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm cho nhiều đối tượng khác nhau, biên soạn sách với hy vọng dành cho nhiều đối tượng độc giả Môn Xác suất thống kê môn học nghiên cứu kiện đại lượng ngẫu nhiên Nó trang bị cho công cụ để tìm hiểu quy luật tiêu chuẩn tập hợp đông đảo đối tượng nghiên cứu Và ta biết cách phân tích, nghiên cứu thơng qua giá trị đặc trưng Từ rút kết luận cần thiết cho công việc Mơn học xem khó người khơng chun tốn Do đó, sách này, chúng tơi cố gắng trình bày súc tích, ngắn gọn đẩy đủ khái niệm cốt lõi đưa ví dụ minh họa để độc giả dễ hiểu Các tập trình bày theo trình tự từ dễ đến khó Để giúp độc giả học tập tốt kiểm tra kết học tập mình, chúng tơi biên soạn giải tập Và để dễ nhớ, dễ theo dõi, đầu chương chúng tơi có tóm tắt giáo khoa Hy vọng sách lý thuyết giải tập giúp độc giả học tập hiệu Mặc dù cố gắng không tránh khỏi sai sót Mong đón nhận ý kiến đóng góp để lần tái sau hoàn chỉnh TP.HCM, ngày 10/10/2010 Các tác giả Chương 0: Tập hợp giải tích tổ hợp CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP §1 NHẮC LẠI TẬP HỢP & ÁNH XẠ TAP HOP: Khai niém tap hop: Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa mà chi mô tả họ hay lớp cá thể riêng khác có chung thuộc tính Mỗi cá thể tập hợp gọi phần tử tập hợp Ký hiệu: a € A: có nghĩa a phần tử tập hợp A a # À: có nghĩa a không phần tử tập hợp A Cách biểu thi tập hợp (có cách): a) Vé gidn dé b) Liệt kê: ce) Chỉ tính chất chung: A =({a,b,c, đ} B = {-4, -2, 0, 2, 4} B = (x| x số nguyên chẩn |x| < 2} Tâp trống: Là tập không chứa phần tử nào, ký hiệu Ø Chương 0: Tập hợp giải tích tổ hợp Tập con: A c A tập tậpB ký hiệu Tap A B_nếu phần tử phần tử B Ví dụ: A=(1,2,5) B={1,2, 3, 4, 5, 6} Ta có Ac B Các tập hợp số quen thuộc: = 0,1,2,3, } : tập hợp số tự nhiên ~2,—1,0,1,2, }: tập hợp số nguyên —|meZneN | seaphap ese sane R: tap hdp cdc số thực Nhân xét: NcNcZcQcR Các phép toán tập hợp: a) Giao: A giao B, ký hiệu A © B tập hợp phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Ví dụ 1: ={a,b,c, d, e} B= {c,d, e, f, g, h} tac6 AM B= {c,d,e} AnB b) Hợp: A hợp B, ký hiệu A v2 B tập hợp gồm phẫn tử thuộc A, thoặc thuộc B Với A, B ví dụ 1, ta có AtJ?B= {a, b, c, d, e, Ê, ø,h} ©) Hiệu: Hiệu tập A tập B, ký hiệu AWB tập gồm phần tử thuộc A mà không thuộc B Chương 0: Tập hợp giải tích tổ hợp A\B = {x € A|x ¢ B} Vi du 3: A= {a,b,c,d}, B={ce,d,e,f} thi A\B= {a,b} Các tính chất phép tốn (¬, VU, bi) a) Tính giao hốn: ANB=BQOA, AUB=BUA b) Tinhkéthop: (ANB) ANC=AN(BNOQ), (AUB)UCH=AU(BUC) c) Tinh phinbé: AN(BUC)=(ANB)U(ANO), AU(BoŒ)=(AOB)m(At2C) đ) Tính đối ngẫu (De- Morgan): AUB=ANB AQB=AUB tr ANH XA J Dinh nghia Một ánh xạ f từ tập A vào tập B phép gán theo quy tắc, với phần tử A, xe A gán với phần tử y e B, ghi y = f(x) Ký hiệu ƒ:A-+B xt f(x) Phần tử f(x) gọi ánh x f Ví ấu 1: Các phép gán sau, phép gán ánh xạ, phép không ánh xạ? f \_ | rl f: không ánh xạ A \ > ae = pe g: ánh xạ B Chương 0: Tập hợp giải tích tổ hợp Ảnh tập A f Ký hiệu f(A) định 0= {y cBly= f(a} Vidu 2: Theo vi du ta có: ƒ(4)={y;.w,.,} Tồn ánh Cho ánh xạ ƒ: 4> B Nếu f(A) = B ta nói f tồn ánh Nghĩa Vy e B, 3x e A: Ề f(x)=y Đơnánh Mọi x, xí e A x # xỈ f(x) # f(x) ta nói f đơn ánh Song ánh Khi ánh xạ f vừa toàn ánh vừa đơn ánh ta nói f song ánh Vi du 3: Các ánh xạ sau, ánh xa toần ánh, đơn ánh, song ánh? đơn ánh toàn ánh song ánh II TẬP ĐẾM ĐƯỢC: Định nghĩa: Cho X tập vơ hạn Nếu thiết lập song ánh tập số tự nhiên Ñ với tập X ta nói X tập đếm Nhân xét: Ñ,Z,Q tập đếm Chương 0: Tập hợp giải tích tổ hợp §2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP Ngun lý nhân Mội cơng việc tiến hành qua giai đoạn Nếu giai đoạn có mị cách, giai đoạn có mạ cách, số cách n để thực tồn cơng việc là: n=m, xm Vi du 1: Đoạn đường từ A đến C phải qua B Từ A tới B có lối đi, từ B tới C có lối Vậy ta có cách từ A tới C A< ®% >2 B Khi mị = 2, mạ = n= mị xmạ= 2x 3=6 Ví du 2: “Tại cửa hàng ăn sáng có ăn uống Tâm mẹ cho phép ăn uống Hồi có cách để Tâm lựa chọn Số cách để Tâm lựa chọn là: n= m¡ x mạ= x 4= 12 Tổng quát: Một công việc tiến hành qua k giai đoạn Giai đoạn l có mị cách, giai đoạn có m; cách, , giai đoạn k có mụ cách Thì số cách n để thực tồn cơng việc là: n=m,xXmxX xm Vidu 3: Cụ Huy c6é b6 quan áo mới, cà vạt đôi giầy Mỗi lần chơi cụ mặc quần áo mới, thắt cà vạt máng đôi giày Hỏi có cách để cụ Huy lựa chọn Giải: Số cách để cụ Huy lựa chọn là: n=m; x mạ; x mạ = x 4x =60 Chương 0: Tập hợp giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Một cách chọn khơng hồn lại (chọn khơng lặp, có thứ tự) k phần tử từ tập hợp có n phân tử khác nhau, gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Goi A‘ 1a số chỉnh hợp chập k n phân tứ Ta có: nÌ A‡ =n(n=1) -@—k+1)= (n—k)! Chứng mình: Để có chỉnh hợp chập k, ta chọn phân tử đứng đầu có n cách, phần tử đứng thứ hai có (n— 1) cách, , phần tử đứng thứ k có (n — k + 1) cách Vậy theo nguyên lý nhân ta có: _— A, _ =n(n-l) (n-k = +1) = n (aby Nhận xét: Hai chỉnh hợp khác nếu: —_ Có phần tử khác —_ Hay thứ tự xếp khác Ví dụ I: Biết biển số xe gắn máy TP.HCM có chữ số Hỏi có tối đa biển số có chữ số hồn tồn khác Giải: Bốn chữ số hoàn toàn khác biển số xe chỉnh hợp chập 10 phần tử {0, 1, 2, 9}, Nên số tối đa biển số chữ số hồn tồn khác là: AA = 101 — 101 = = 7x8x9%10 = 5040 Chương 0: Tập hợp giải tích tổ hợp Ví dụ 2: Có cách xếp người vào dãy có ghế Giải: Một cách xếp người vào ghế chỉnh hợp chập phần tử Vậy số cách xếp là: 4= 8! 8! =—=4x5x6ưx7x8§=6720 3! (8-5)! Ví dụ 3: Có cách chọn người làm công việc khác số người để cử Giải: Một cách chọn người làm công việc khác số người để cử chỉnh hợp chập phân tử Vậy số cách là: 6! 6! At =———— = — =3x4x5x6 = 360 (6-4)! 2! Hoan vi Một phép hốn vị tập có n phân tử khác xếp thứ tự n phần tử Goi P, số hốn vị n phần tử Ta có: P, = n! Chọn phần tử đứng thứ có n cách, đứng thứ có đứng thứ n có cách Áp dụng nguyên lý nhân Ta có số cách là: P,=nx(n-])x x3x2x1= nl (n - 1) cách, , ... phần tử Ta có: P, = n! Chọn phần tử đứng thứ có n cách, đứng thứ có đứng thứ n có cách Áp dụng nguyên lý nhân Ta có số cách là: P,=nx(n-])x x3x2x1= nl (n - 1) cách, , Chương 0: Tập hợp giải tích... Tau lửa có toa, có người lên tàu Hỏi lên tùy ý có cách lên tàu Giải: Người thứ có cách lên tàu Người thứ hai có cách lên tàu Người thứ năm có cách lên tàu Áp dụng nguyên lý nhân, ta có số cách... +C? +-. -+ C? =2" C?—C} +Œz — -+ (-J"Œ; =0 Ð_ C?+C?+C2+ =2}! C})+C}+CŒ? +- =2"'' 13 Chương 0: Tập hợp giải tích tổ hợp Chứng mình: a) b) viết thấy oc) ChaCha + nr (g—J)[n=(-D! kn)! _ mk—— nlz=(Œ-D]