ð CƯƠNG BÀI GI NG H C PH N GI I TÍCH TỐN H C (3 TÍN CH ) - DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH ð I H C SƯ PH M TOÁN M CL C CHƯƠNG Chu i s CHƯƠNG Dãy hàm chu i hàm CHƯƠNG 15 ð o hàm vi phân hàm s có nhi u bi n s 15 CHƯƠNG IV 26 Tích phân ph thu c tham s 26 CHƯƠNG V 32 Tích phân b i 32 CHƯƠNG Chu i s S ti t: 08 (Lý thuy t: 06 ti t; Bài t p 02 ti t) A) M C TIÊU: Sinh viên hi u nh ng ki n th c b n v khái ni m chu i s v n ñ liên quan ñ n chu i s như: s h i t , t ng c a chu i s , ñi u ki n h i t , d u hi u h i t , chu i h i t t ñ i chu i bán h i t Sinh viên thành th o vi c kh o sát s h i t , phân kì c a chu i s Tính t ng c a m t s chu i s b n thư ng g p B) N I DUNG 1.1 Các khái ni m b n Ph n trình bày v khái ni m chu i s m t s ñi u ki n ban ñ u liên quan ñ n s h i t c a 1.1.1 Các đ nh nghĩa ð nh nghĩa 1.1: Ta g i chu i s bi u th c hình th c: ∞ a1 + a2 + ⋯ + an + ⋯ = ∑ an (1.1) n =1 Các s an ñư c g i s h ng th n c a chu i s n ð nh nghĩa 1.2: ð t Sn = ∑ ak k =1 (i) Ta g i dãy (Sn) dãy t ng riêng c a chu i (1.1) (ii) N u t n t i gi i h n h u h n: lim Sn = s chu i (1.1) đư c g i chu i h i t n →∞ ∞ s ñư c g i t ng c a chu i Kí hi u s = ∑ ak k =1 (iii) N u gi i h n lim S n = ∞ ho c không t n t i chu i (1.1) đư c g i chu i n →∞ phân kỳ ð nh nghĩa 1.3: N u an > ( ∀ n ≥ 1) chu i (1.1) ñư c g i chu i s dương ∞ ð nh nghĩa 1.4: Chu i ∑ ak (1.2) ñư c g i ph n dư th n c a chu i (1.1) hay k = n +1 ph n dư sau s h ng th n đư c kí hi u rn Nh n xét: Chu i (1.1) h i t hay phân kỳ ñ ng th i v i ph n dư c a chu i (1.1) h i t ph n dư h i t đ n 0: lim rn = ðó lý nhi u trư ng h p n →∞ nghiên c u s h i t c a chu i ta thư ng thay b ng ph n dư ho c ch c n xét s h ng chu i ng v i ch s ñ l n 1.1.2 Các tính ch t ð nh lý 1.1: ð chu i (1.1) h i t ñi u ki n c n là: lim an = n →∞ *) Chú ý: (i) ði u ngư c l i nhìn chung khơng đúng, nghĩa n u lim an = chu i (1.1) n →∞ chưa ch c ñã h i t (ii) ði u ki n ñ ñ chu i (1.1) phân kỳ là: lim an ≠ n →∞ Tiêu chu n Cauchy Hoàn toàn tương t dãy s , ta có u ki n sau v s h i t c a chu i ð nh lý 1.2: ði u ki n c n ñ ñ chu i (1.1) h i t là: ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ* : ∀n > N v i m i s t nhiên P b t ñ ng th c sau ñư c tho mãn: Sn + P − Sn = an +1 + an + + ⋯ + an + P < ε Chu i u hồ t ng qt đư c g i chu i u hồ t ng quát Trong trư ng h p P = P n =1 n ∞ Chu i s ∑ chu i u hồ t ng qt đư c g i chu i u hồ ð nh lý 1.3: Chu i u hồ t ng qt h i t P > 1, phân kì P ≤ 1.1.2 Các d u hi u h i t c a chu i s dương ∞ Ph n s nghiên c u s h i t c a chu i s dương ∑ an , (1.3) n =1 ∞ a) Chu i tr i: N u an ≤ cn , ∀ n ≥ chu i ∑ cn (1.4) n =1 ñư c g i chu i tr i c a chu i (1.3) Nh n xét: (i) N u chu i (1.4) h i t chu i (1.3) h i t (ii) N u chu i (1.3) phân kì chu i tr i (1.4) phân kì b) So sánh chung ∞ n =1 an = c Khi đó: n →∞ bn ∞ n =1 ð nh lý 1.4: Cho hai chu i s dương ∑ an , ∑ bn th a mãn lim (i) N u c ≠ h u h n hai chu i cho h i t hay phân kỳ; ∞ ∞ (ii) N u c = ∑ bn h i t ∑ an h i t ; n =1 n =1 ∞ ∞ n =1 n =1 (iii) N u c = ∞ ∑ bn phân kỳ ∑ an phân kỳ ð nh lý 1.5(D u hi u Cauchy): Gi s t n t i lim n an = q Khi đó: n →∞ (i) N u q < chu i h i t ; (ii) N u q > chu i phân kỳ; (iii) N u q = chưa th k t lu n v s h i t hay phân kỳ c a chu i an +1 = d Khi đó: n →∞ an ð nh lý 1.6(D u hi u D’Alembert): Gi s t n t i lim (i) N u d < chu i h i t ; (ii) N u d > chu i phân kỳ; (iii) N u d = chưa th k t lu n v s h i t hay phân kỳ c a chu i 1.2 Chu i v i d u b t kì 1.2.1 Chu i h i t t đ i chu i h i t có ñi u ki n ð nh nghĩa 1.5: ∞ ∞ n =1 n =1 (i) Ta nói r ng chu i ∑ an h i t t ñ i n u chu i ∑ an h i t ∞ ∞ ∞ n =1 n =1 n =1 (ii) N u chu i ∑ an h i t chu i ∑ an phân kỳ ta nói r ng chu i ∑ an h i t có u ki n hay chu i bán h i t *) Chú ý: Ngư i ta ñã ch ng minh ñư c r ng: (i) N u m t chu i h i t t đ i s h ng c a chu i có th ñ i ch cho theo th t b t kỳ mà t ng c a chu i v n khơng thay đ i (ii) N u chu i h i t có u ki n b ng cách đ i ch thích h p s h ng c a chu i, ta có th nh n đư c m t chu i m i có t ng b ng s cho trư c b t kỳ (không lo i tr ±∞ ) 1.2.2 D u hi u Leibniz ð nh lý 1.7: N u an = (-1)nbn; bn ≥ dãy (bn) b t ñ u t m t ch s ñó ñơn ∞ u, ti n t i khơng chu i ∑ an h i t Ngồi ra, đ i v i ph n dư c a chu i ta có c n =1 n lư ng: Rn ≤ ( −1) θ nbn +1 , ( ≤ θ n ≤ ) 1.2.3 D u hi u Abel ∞ ∞ n =1 n =1 ð nh lý 1.8: Chu i ∑ anbn h i t n u chu i ∑ an h i t {bn } dãy ñơn ñi u b ch n C) TÀI LI U H C T P: [1] Tr n ð c Long, Nguy n ðình Sang, Hồng Qu c Tồn Giáo trình gi i tích, t p 2, NXB ð i h c Qu c Gia Hà N i, 2005 [2] Tr n ð c Long, Nguy n ðình Sang, Hoàng Qu c Toàn Bài t p gi i tích, t p 2, NXB ð i h c Qu c Gia Hà N i, 2002 B) CÂU H I, BÀI T P, N I DUNG ÔN T P VÀ TH O LU N 1) Tính t ng c a chu i sau a) 1 1 + + + +⋯ 1.3 3.5 5.7 7.9 b) 1 + + +⋯ 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2) Ch ng minh s h i t (b ng ñ nh nghĩa) c a chu i tìm t ng c a chúng a) 1 + +⋯ + +⋯ 1.4 4.7 (3n − 2)(3n + 1) b) q sin α + q sin 2α + ⋯ + q sin nα + ⋯ ( q < ) n ∞ ∞ n =1 n =1 3) Ch ng minh r ng n u s h ng c a chu i ∑ an dương chu i ∑ An nh n đư c ∞ b ng cách nhóm s h ng c a chu i h i t , chu i ∑ an h i t n =1 ∞ ∞ 4) Ch ng minh r ng n u chu i ∑ an ∑ bn h i t chu i sau ñây h i t : n =1 ∞ ∞ a) ∑ | anbn | b) ∑ (an + bn ) n =1 n =1 | an | n =1 n ∞ c) ∑ n =1 5) Xét s h i t c a chu i s dương sau: 1 + +⋯ + +⋯ n 1 1 1 b) + − + − + − +⋯ 1 1 c) + + +⋯ + +⋯ 1.2 2.3 3.4 n.(n + 1) a) + 6) S d ng d u hi u h i t x t s h i t c a chu i sau: a) 4.7 4.7.10 + + +⋯ 2.6 2.6.10 (1!) (2!) (3!) ( n!) b) + + +⋯ + n +⋯ 2 2 1 n ∞  c) ∑ an đó: an =  n =1 1  n2  n = m (m s t nhiên) n ≠ m 7) S d ng d u hi u so sánh xét s h i t c a chu i sau: n =1 n =1 n ∞ a) ∑ ∞ b) ∑ ( n + − n + 2n a  d) ∑  cos  n =1 n  en c) ∑ n =1 n ∞ ∞ n n −1 ∞ e) ∑ n =1 (2n + n + 1) f) n +1 n2 + − + − + +⋯ 8) S d ng d u hi u h i t xét s h i t c a chu i : n − 1) n 2  n  a) +   + ⋯ +   +⋯ 5  2n +  n2 b) ∑ n n =1 1  2+  n  1000 1000 1002 1000 1002 1004 1000⋯ (998 + 2n) + + +⋯ + +⋯ c) 1 4 1.4⋯ (3n − 2) ∞ 1.3…( 2n − 1) n =1 3n n! ∞ d) ∑ 9) Nghiên c u tính h i t c a chu i  + cos n  b) ∑   n =1 + cos n   n3 ( + (−1) n ) n a) ∑ n =1 3n ∞ ∞ n!en c) ∑ n + p n =1 n ∞ 2n-lnn n! ∞ d) ∑ n =1 p  1.3.5… (2n − 1)  e) ∑   p n =1  2.4.6… (2n)  n ∞ ( + 1)( + )⋯( + n )  p( p + 1)⋯ ( p + n − 1)   p n =1  n n ∞ f) ∑  10) Ch ng minh s h i t c a chu i tìm t ng c a chúng a) − + − +⋯ ∞ b) ∑ ( −1) n n =1 n 11) Xét s h i t h i t t ñ i c a chu i sau ∞ a) ∑ ( −1) n −1 n =1 ∞ c) ∑ ( −1) n =1 n −1  2n +     3n +  2n + n(n + 1) n ∞ b) ∑ n =1 ∞ ( −1) n 6n − d) ∑ ( −1) n =1 n −1 n ( n −1) n100 nn CHƯƠNG Dãy hàm chu i hàm S ti t: 12 (Lý thuy t: 10 ti t; t p, th o lu n: 02 ti t) A) M C TIÊU: Sinh viên hi u nh ng ki n th c b n v dãy hàm chu i hàm bao g m: s h i t , gi i h n c a dãy hàm, t ng c a chu i hàm, ñi u ki n h i t , h i t ñ u, d u hi u h i t , chu i h i t t ñ i, chu i lũy th a khai tri n hàm s thành chu i Sinh viên bi t v n d ng ki n th c ñã h c đ tính t ng, kh o sát s h i t c a chu i hàm bi u di n hàm s theo chu i lũy th a, chu i Fourier B) N I DUNG 2.1 Dãy hàm 2.1.1 Các khái ni m b n ð nh nghĩa 2.1: Cho hàm f, f1, f2, , fn, xác ñ nh X Dãy hàm (fn) ñư c g i h i t v hàm f X n u ∀ x0 ∈ X , dãy s {fn(x0)} h i t v f(x0) T c là: f n ( x0 ) − f ( x0 ) < ε ∀ε > 0, ∃N (ε , x0 ) ∈ ℕ* , ∀n > N (ε , x0 ) : ð nh nghĩa 2.2: Dãy hàm (fn) ñư c g i h i t ñ u v hàm f X n u ∀ε > 0, ∃N (ε ) ∈ ℕ* , ∀n > N (ε ) : Kí hi u: f n ( x ) f n ( x) − f ( x) < ε , ∀ x ∈ X f ( x) ∀x ∈ X 2.1.2 ði u ki n h i t ñ u ð nh lý 2.1.(Tiêu chu n Cauchy) ði u ki n c n ñ ñ dãy hàm {fn(x)} h i t ñ u X v i m i ε > t n t i s t nhiên n0 (ch ph thu c vào ε ) cho v i m i m, n > n0, v i m i x ∈ X ta ln có: | fn(x) – f(x) | < ε ð nh lý 2.2 Dãy hàm {fn(x)} h i t ñ u X ch lim sup | f n ( x) − f ( x) |= n →∞ X 2.1.3 Tính ch t hàm gi i h n c a dãy hàm ð nh lý 2.3.(Tính liên t c) Gi s i) Dãy hàm fn(x) (n =1,2,…) h i t ñ u X v hàm f(x) ii) fn(x) liên t c X v i m i n ≥ Khi f(x) liên t c X ð nh lý 2.4.(Tính kh tích) Gi s i) Dãy hàm fn(x) (n =1,2,…) h i t ñ u [a, b] v hàm f(x) ii) fn(x) kh tích [a, b] v i m i n ≥ Khi f(x) kh tích [a, b] b b b a n →∞ a lim ∫ f n ( x)dx = ∫ lim f n ( x)dx = ∫ f ( x)dx n →∞ a H qu 2.1 N u m i hàm c a dãy hàm fn(x) (n =1,2,…) ñ u liên t c [a, b] dãy h i t ñ u [a, b] v hàm f(x) f(x) kh tích [a, b] b b a a b lim ∫ f n ( x)dx = ∫ lim f n ( x)dx = ∫ f ( x)dx n →∞ n→∞ a ð nh lý 2.5 (Tính kh vi) Gi s i) Các hàm f n ( x) : (a, b) → ℝ kh vi (a, b) ∀ n ≥ 1; ii) Dãy hàm { f n ( x)} h i t t i m t ñi m x0 ∈ (a, b); iii) Dãy ñ o hàm { f n/ ( x )} h i t ñ u (a, b) v hàm g ( x) Khi a) Dãy hàm { f n ( x)} h i t ñ u (a, b) v hàm f ( x) b) Hàm f ( x) kh vi (a, b) f / ( x) = g ( x), ∀x ∈ (a, b) hay ( ) / lim f n ( x) = lim f n/ ( x) n →∞ n →∞ 2.2 Chu i hàm 2.2.1 Mi n h i t mi n h i t ñ u ð nh nghĩa 2.3: Cho dãy {un ( x)} hàm xác ñ nh t p X ⊂ ℝ Chu i hàm t ng hình th c ∞ u1 ( x) + u2 ( x) + + un ( x) + = ∑ un ( x) n =1 N u t i x0 ∈ X chu i s ∞ ∑ un ( x0 ) h i t ta nói x0 m h i t c a chu i hàm n =1 ∞ ∑ u ( x) , hay chu n i hàm h i t t i x0, n u chu i s ∞ ∑ un ( x0 ) phân kỳ ta nói x0 ñi m n =1 n =1 ∞ phân kỳ c a chu i hàm ∑ u ( x) , hay chu n i hàm phân kỳ t i x0 n =1 T p h p t t c ñi m h i t c a m t chu i hàm ñư c g i mi n h i t c a chu i ∞ ∞ n =1 n =1 hàm ∑ un ( x) , v i m i x ∈X chu i ∑ un ( x ) có t ng S(x) Như v y ∞ S ( x) = ∑ un ( x) ∀x ∈ X n =1 ∞ M t ñ nh nghĩa khác: Chu i hàm ∑ un ( x) ñư c g i h i t t i hàm s(x) t p X n =1 n n u dãy t ng riêng Sn(x) = ∑ uk ( x) c a h i t X t i s(x): lim Sn ( x) = s ( x ) n →∞ k =1 ∞ ð nh nghĩa 2.4: Chu i hàm ∑ un ( x ) ñư c g i h i t ñ u t i hàm s(x) t p X n =1 n u dãy t ng riêng {Sn(x)} c a h i t ñ u t i hàm s(x) t p X ∞ Ví d 2.1 Xét chu i ∑ x n n =1 ∞ n ∑ x có t ng riêng th n Ta có v i m i x mà | x |< chu i s n =1 n S n ( x) = ∑ xi = x i =1 − xn x xn → → 1− x 1− x V i m i x mà | x | ≥ chu i phân kỳ ∞ Như v y mi n h i t c a chu i hàm ( – ; 1) ∑ x n = n =1 ∞ Ví d 2.2 Xét chu i ∑ (−1) n +1 n =1 x 1− x x2 (1 + x ) n V i m i x ∈ ℝ chu i dã cho chu i u hịa đan d u nên chu i h i t , th nên chu i có mi n h i t ℝ Áp d ng b t ñ ng th c (1 + x ) n > nx ⇒ +∞ | rn ( x) |= ∑ (−1) k +1 k = n +1 x2 < , ta có n n (1 + x ) x2 x2 ≤ < k n n (1 + x ) (1 + x ) 1 Khi v i ε > cho trư c, ta ch n n0 =   + v i m i n ≥ n0 ta ln có ε  | rn ( x) |< < ε , ∀x ∈ ℝ n V y chu i h i t ñ u ℝ b D u hi u xét s h i t ñ u ∞ ð nh lý 2.6(Tiêu chu n Cauchy): ði u ki n c n ñ ñ chu i ∑ un ( x ) h i t ñ u n =1 t p X p ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ* , ∀n > N , ∀p > : ∑ un +i ( x) < ε ∀x ∈ X i =1 ∞ ð nh lý 2.7(D u hi u Weierstrass): Cho chu i hàm ∑ un ( x ) g m hàm xác ñ nh n =1 ∞ t p X N u t n t i m t chu i s dương ∑ an h i t cho un ( x) ≤ an∀n, ∀x ∈ X , n =1 chu i ñã cho h i t t ñ i ñ u t p X ð nh lý 2.8(D u hi u Dirichlet): Cho hai dãy hàm {an ( x)}, {bn ( x)} xác ñ nh t p X Gi s : ∞ i) Dãy t ng riêng An ( x ) c a chu i hàm ∑ an ( x) b ch n ñ u X, t c t n t i n =1 m t s dương M cho CHƯƠNG V Tích phân b i S ti t: 16 (Lý thuy t: 14 ti t; t p, th o lu n: 02 ti t) A) M C TIÊU: Sinh viên hi u ñ nh nghĩa, tính ch t, cách tính c a tích phân hai l p, ba l p Sinh viên bi t v n d ng ki n th c ñã h c ñ nghiên c u toán liên quan ñ n tính tích phân b i như: tính tích phân b i ñ c bi t nh ng tích phân hai l p, ba l p; ng d ng tích phân hai l p, ba l p tốn tính di n tích, tính th tích, tính kh i lư ng 5.1 Tích phân hai l p 5.1.1 Khái ni m tích phân hai l p f ( x, y ) xác ñ nh mi n đóng, b ch n đo đư c D Chia mi n D Cho hàm s b i phép phân ho ch π thành n mi n đóng, đo đư c khơng có m chung σ , σ ,…, σ n Kí hi u di n tích m i mi n σ j ∆σ j , j = 1, n Trên m i mi n σ j , j = i, n (k c biên) l y m t ñi m b t kỳ M j (ξ j ,η j ) l p t ng: n σ (π ) = ∑ f (ξi ,η j )∆σ j (1) j =1 T ng (1) ñư c g i t ng tích phân c a hàm f ( x, y ) ng v i phân ho ch G i kho ng cách l n nh t gi a hai ñi m biên c a mi n π mi n D σ j , j = 1, n đư ng kính c a kí hi u: d j = d (σ j ) ð t d (π ) = maxd j 1≤ j ≤ n Gi i h n c a t ng (1) (n u có) d (π ) → (gi i h n khơng ph thu c vào phép phân ho ch π cách ch n ñi m M j ) đư c g i tích phân hai l p (hay tích phân kép) c a hàm f ( x, y ) mi n D kí hi u ∫∫ f ( x, y ) dxdy Khi hàm f ( x, y ) D đư c g i kh tích mi n D mi n D ñư c g i mi n l y tích phân 5.1.2 ði u ki n kh tích Kí hi u M j = sup f ( x, y ) ; σj n S (π ) = ∑ M j ∆σ j ; j =1 Darboux c a hàm f m j = inf f ( x, y ) G i t ng: σj n s(π ) = ∑ m j ∆σ j l n lư t t ng Darboux t ng dư i j −1 ng v i phân ho ch π ð nh lý 5.1: N u hàm f ( x, y ) kh tích mi n D b ch n D ð nh lý 5.2: ði u ki n c n ñ ñ hàm f ( x, y ) kh tích mi n D lim ( S (π ) − s (π )) = d ( π )→0 32 ð nh lý 5.3: M i hàm s f ( x, y ) liên t c mi n ñóng, b ch n ño ñư c D ñ u kh tích mi n 5.1.3 Các tính ch t 1) Ký hi u S(D) di n tích c a mi n đóng, b ch n D Khi đó: ∫∫ dxdy = S ( D ) D 2) N u f1(x, y) f2(x, y) hàm kh tích mi n đóng, b ch n D, hàm s f1(x, y) + f2(x, y) kh tích D và: ∫∫ [ f1 ( x, y ) + f ( x, y ) ] dxdy = ∫∫ f1 ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy D D D 3) N u f(x, y) hàm kh tích mi n đóng, b ch n D, hàm s α f(x, y) kh tích D và: ∫∫ α f ( x, y )dxdy = α ∫∫ f ( x, y ) dxdy ( ∀ α ∈ R) D D 4) N u f(x, y) hàm kh tích mi n đóng, b ch n D, ∫∫ f ( x, y ) dxdy ≤ ∫∫ f ( x, y ) dxdy D D 5) N u f(x, y) hàm kh tích mi n đóng, b ch n D D ñư c chia thành hai mi n D1, D2 f(x, y) kh tích D1, D2, ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x, y ) dxdy + ∫∫ f ( x, y ) dxdy D D1 D2 6) N u f(x, y) hàm kh tích mi n đóng, b ch n D, S(D) di n tích mi n D m ≤ f ( x, y ) ≤ M , ∀( x, y ) ∈ D , : m.S ( D ) ≤ ∫∫ f ( x, y ) dxdy ≤ M S ( D ) D 7) N u f(x, y) hàm liên t c mi n đóng, b ch n D, S(D) di n tích mi n D, ∃(ξ ,η ) ∈ D cho: ∫∫ f ( x, y ) dxdy = f (ξ ,η ).S ( D) D 5.1.4 Cách tính ð nh lý 5.4 (Fubini): Gi s D = {( x, y ) ∈ R ; a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d } gi s R hàm s kh tích D Khi đó: a) N u v i m i x ∈ [a, b], hàm s y f: D → ֏ f(x, y) kh tích [c, d] hàm s d x ֏ I ( x) = ∫ f ( x, y )dy kh tích [a, b] c b b a a ( d ) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ I ( x) dx = ∫ ∫ f ( x, y )dy dx D c b) N u v i m i y ∈ [c, d], hàm s x ֏ f(x, y) kh tích [a, b] hàm s b ֏ J ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx kh tích [c, d] a 33 y d d c c ( ) b ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ J ( y ) dy = ∫ ∫ f ( x, y ) dx dy D a H qu : N u f(x, y) liên t c mi n D = [a, b] x [c, d] b ( ) d d ( ) b ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ f ( x, y )dy dx = ∫ ∫ f ( x, y )dx dy D a c c a D = {( x, y ) ∈ R ; a ≤ x ≤ b; v( x) ≤ y ≤ u ( x)} , v(x) u(x) hai ð nh lý 5.5: Gi s hàm s kh tích [a, b], v(x) ≤ u(x) v i m i x ∈ [a, b] Gi s hàm f m t hàm s kh tích D N u v i m i x ∈ [a, b], hàm s y ֏ f(x, y) kh tích [v(x), u(x)] hàm s u ( x) x ֏ I ( x ) = ∫ f ( x, y ) dy kh tích [a, b] v( x) b b u( x) a a v( x) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ I ( x )dx = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy D D = {( x, y ) ∈ R ; h( y ) ≤ x ≤ k ( y ); c ≤ y ≤ d } , h(y) k(y) hai ð nh lý 5.6: Gi s hàm s kh tích [c, d], h(y) ≤ k(y) v i m i y ∈ [c, d] Gi s hàm f m t hàm s kh tích D N u v i m i y ∈ [c, d], hàm s x ֏ f(x, y) kh tích [h(y), k(y)] hàm s k ( y) y ֏ J ( y ) = ∫ f ( x, y ) dy kh tích [c, d] h( y)  k ( y) c  h( y)   d d k ( y) c h( y) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y ) dx  dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx D 2 Ví d Tính I = ∫∫ ( x + y )dxdy , mi n D gi i h n b i ñư ng y =x; y =1 ; D y = x+ 1; y = Ta có mi n D gi i h n b i: ≤ y ≤ 3, y – ≤ x ≤ y Do y 3 1  I = ∫∫ ( x + y )dxdy = ∫ dy ∫ ( x + y ) dx = ∫  y − y +  dy = 14 1 D y −1 3 y =1/x; y Ví d Tính I = ∫∫ xydxdy , mi n D gi i h n b i ñư ng x = 2; D = x Ta có mi n D gi i h n b i: ≤ x ≤ 2, 1/x ≤ y ≤ x Do x 1/ x I = ∫∫ (3x) dxdy = ∫ dx ∫ (3 x) dy = ∫ ( 3x − 3) dx = D x Ví d Tính I = ∫∫ D 2 (1 + x + y ) dxdy , ñó mi n D gi i h n b i ≤ x ≤ , ≤ y ≤ Ta có I = ∫∫ D x (1 + x + y ) 1 dx = ∫  − 0 2 y +1  (1 + x + y ) dxdy = ∫ dy ∫ x 34   dy y2 +    y + y2 +  2+ = ln   = ln   1+  y+ y +20 Ví d Tính I = ∫∫ y − x dxdy , mi n D hình trịn x2 + y2 ≤ D Ta có mi n D gi i h n b i: - ≤ x ≤ 1, - − x ≤ y ≤ − x Do 1 − x2   y3 − x2  dx = I = ∫∫ y − x dxdy = ∫ dx ∫ y − x dy = ∫  D −1 −1  − 1− x − 1− x   41 32 = ∫ (1 − x ) dx = 30 45 2 1− x 2 2 x2 Ví d Tính I = ∫∫ dxdy , mi n D hình elip + y2 ≤ D Ta có mi n D gi i h n b i: - ≤ x ≤ 2, - − 1− x2 x2 ≤y≤ I = ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ − D −2 − 1− −2 x2 1− x2 Do x2 dx = π 5.1.5 ð i bi n s tích phân hai l p a) ð i bi n s trư ng h p t ng quát Xét tích phân ∫∫ f ( x, y )dxdy D ñó f(x, y) hàm s liên t c D Gi s t n t i hàm hai bi n x = x(u , v); y = y (u , v) th a mãn: ' i) x = x(u , v ); y = y (u , v ) liên t c có đ o hàm riêng liên t c mi n đóng D c a m t ph ng Ouv ; ' ii) Tương ng (u , v ) ֏ ( x, y ) m t song ánh t D → D ; ∂x D( x, y ) ∂u iii) ð nh th c Jacobi J = = D(u , v) ∂y ∂u ∂x ∂v ≠ t i m i ñi m (u , v) ∈ D ' ∂y ∂v Khi ñó ta có ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f [ x(u , v ), y (u , v ) ] J dudv D D′ b)Tích phân hai l p h to ñ c c 35 (5.18) Công th c liên h gi a t a ñ Decartes (x, y) t a ñ c c (r, ϕ ) c a m t  x = r.cosϕ N u r > ; ≤ ϕ ≤ 2π cơng th c xác ñ nh m t song ánh  y = r.sin ϕ ñi m  gi a t a ñ Decartes t a ñ c c Riêng ñi m g c O(0, 0) có t a đ c c r = 0, ϕ tùy ý Xét công th c m t phép ñ i bi n s , ta có: i) x = x( r ,ϕ ); y = y (r ,ϕ ) liên t c có đ o hàm riêng liên t c mi n đóng D c a ' m t ph ng Orϕ ii) Tương ng (u ,ϕ ) ֏ ( x, y ) m t song ánh t D → D ' ∂x D( x, y ) ∂r iii) ð nh th c Jacobi J = = D(r ,ϕ ) ∂y ∂r ∂x ∂ϕ cos ϕ − r sin ϕ = = r ≠ t i m i ñi m ∂y sin ϕ + r cosϕ ∂ϕ ( r ,ϕ ) ∈ D ' Khi đó: ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) rdϕ dr D/ D Công th c v n ñúng mi n D ch a g c N u mi n D ñư c xác ñ nh b i α ≤ ϕ ≤ β , r1( ϕ ) ≤ r ≤ r2( ϕ ) β r2 ( ϕ ) α r1 ( ϕ ) ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) rdr D Ví d ∫∫ ( x + y )dxdy , mi n D gi i h n b i ñư ng: y = - x; y = - x + 3; y = 2x D – 1, y = 2x + Th c hi n phép bi n ñ i u = x + y  x = / 3(u + v) ⇔  v = −2 x + y  y = / 3(2u + v) ñây m t ánh x n tính t R2 vào R2 ð nh th c c a ma tr n c a ánh x là: 1 =3≠0 −2 Ánh x m t song ánh bi n mi n D lên mi n D’ gi i h n b i ñư ng: u =0; u = 3; v= -1; v = Vì J = − 3 = , nên áp d ng cơng th c đ i bi n s , ta có: 3 13 30 ∫∫ ( x + y )dxdy = ∫∫ ududv = ∫ udu ∫ dv = D D' 36 −1 Ví d Tính ∫∫ e x− y x+ y dxdy , D mi n xác đ nh b i: x, y ≥ 0, x + y ≤ D Th c hi n phép bi n ñ i u = x − y  x = 1/ 2(u + v) ⇔  v = x + y  y = 1/ 2(v − u ) m t ánh x n tính t R2 vào R2 ð nh th c c a ma tr n c a ánh x là: −1 =2≠0 1 Ánh x m t song ánh bi n mi n D lên mi n D’ gi i h n b i ñư ng: ≤ v ≤ 1; - v ≤ u ≤ v Vì J = − 2 , nên áp d ng cơng th c đ i bi n s , ta có: = 2 ∫∫ e x− y x+ y D u 11 v u 1 v dxdy = ∫∫ e dudv = ∫ dv ∫ e v du = (e − ) D' −v e Ví d ∫∫ ( y − x )dxdy , mi n D gi i h n b i ñư ng: y = x + 1; y = x - 3; D 3y + x - = 0, 3y + x – 15 = Th c hi n phép bi n ñ i u = y − x  x = / 4(v − 3u ) ⇔  v = y + x  y = / 4(v + u ) ñây m t ánh x n tính t D’ gi i h n b i ñư ng: u = 1; u = -3; v= 7; v = 15 −3 Vì J = R2 vào R2 Ánh x m t song ánh bi n mi n D lên mi n 1 = − , nên áp d ng cơng th c đ i bi n s , ta có: 4 15 11 ∫∫ ududv = ∫ udu ∫ dv = −8 D' −3 dxdy ∫∫ ( y − x) dxdy = D Ví d Tính tích phân I = ∫∫ D + x2 + y2 , ñó mi n D m t ph n tư hình trịn đơn v n m góc ph n tư th nh t Chuy n sang t a ñ c c, bi u th c dư i d u tích phân gi i h n b i ≤ r ≤ 1, ≤ ϕ ≤ π /2 Do 37 rdrdϕ 1+ r2 , mi n D’ ñư c π dxdy I = ∫∫ 1+ x + y D rdr = ∫ dϕ ∫ 1+ r π = ( − 1) x + y dxdy , mi n D đư c xác đ nh b i x ≥ y ≥ Ví d Tính tích phân I = ∫∫ D 2 2 0, x + y – 2y ≥ 0, x + y – ≤ Chuy n sang t a ñ c c, bi u th c dư i d u tích phân r drdϕ , mi n D’ ñư c gi i h n b i 2sin ϕ ≤ r ≤ 1, ≤ ϕ ≤ π /6 Do π π 16 I = ∫∫ x + y dxdy = ∫ dϕ ∫ r dr = ( + 3 − ) 2sin ϕ D Ví d Tính tích phân I = ∫∫ ( x + y )dxdy , mi n D ñư c xác ñ nh b i y ≥ 0, , x2 D 2 + y = 1, x + y = Chuy n sang t a ñ c c, bi u th c dư i d u tích phân r (cos ϕ + sin φ )rdrdϕ , mi n D’ ñư c gi i h n b i ≤ r ≤ 2, ≤ ϕ ≤ π Do π π 1 I = ∫∫ ( x + y ) dxdy = ∫ dϕ ∫ r (cos ϕ + sin ϕ ) rdr = ∫ (cos ϕ + sin ϕ )dϕ ∫ r dr = D 2 14 Ví d Tính tích phân I = ∫∫ R − x − y dxdy , mi n D n a c a hình D R R2 tròn ( x − ) + y ≤ R − r drdϕ , mi n D’ Chuy n sang t a ñ c c, bi u th c dư i d u tích phân ñư c gi i h n b i ≤ r ≤ R cos ϕ , ≤ ϕ ≤ π /2 Do π R cosϕ 0 I = ∫∫ R − x − y dxdy = ∫∫ R − r rdxdy = ∫ dϕ ∫ r R − r dr 2 2 D D 5.1.6 π R R π ( − ) ∫ (1 − sin ϕ ) dϕ = 3 3 = ng d ng c a tích phân hai l p a) Tính di n tích (S) c a mi n ph ng D : S ( D ) = ∫∫ dxdy D Ví d Di n tích S hình elip x + y ≤ b ng tích phân I = ∫∫ dxdy , mi n D D x2 hình elip + y ≤ Vì mi n D gi i h n b i: - ≤ x ≤ 2, - 38 1− x2 ≤y≤ 1− x2 Do 1− x2 x2 S = I = ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ − dx = π −2 −2 D x − 1− 2 2 Ví d Di n tích S hình trịn x + y ≤ b ng tích phân I = ∫∫ dxdy , mi n D D 2 hình trịn x + y ≤ Vì mi n D gi i h n b i: - ≤ x ≤ 1, - − x2 ≤ y ≤ 1− x −1 − 1− x − x Do ñó −1 S = I = ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ − x dx = π D b) Tính th tích v t th : Th tích c a v t th hình tr mà m t xung quanh m t tr có đư ng sinh song song v i tr c Oz, đáy mi n D đóng, b ch n m t ph ng Oxy, phía gi i h n b i m t cong z = f(x, y) ≥ liên t c D ñư c cho b i công th c: V = ∫∫ f ( x, y )dxdy D Ví d Tính th tích v t th gi i h n b i m t ph ng x = 0, y = 0, z = 0, m t z = x2 + xy + ðó v t th hình tr có đáy mi n D gi i h n b i ñư ng x = 0, = Trên D ta có z > 0, v y: x + y = y = 0, x + y x3 x V = ∫∫ ( x + xy + 1)dxdy = ∫ dx ∫ ( x + xy + 1) dy = ∫ (− − + 1)dx = 0 D 2 1− x Ví d Tính th tích v t th V c a ph n hình tr gi i h n b i m t x2 + y2 = 2x n m m t c u x2 + y2 + z2 = Vì tính đ i x ng nên ta có: V = 4∫∫ − x − y dxdy D 2 D n a hình trịn x + y ≤ 2x , y ≥ ϕ ≤ π /2, ≤ r ≤ 2cos ϕ ð i sang t a ñ c c, v i mi n D’ ñư c xác ñ nh ≤ Do π 2cosϕ 0 V = 4∫∫ − x − y dxdy = ∫ dϕ ∫ 2 D − r rdr π 82 π = ∫ (1 − sin ϕ )dϕ = ( − ) 30 3 c) Tính di n tích m t cong: Gi s m t S m t m t cong gi i h n b i m t ñư ng cong kín, phương trình c a m t z = f ( x, y ) , f ( x, y ) hàm s liên t c có đ o hàm riêng liên t c G i D hình chi u c a S m t ph ng Oxy Khi di n tích c a m t S đư c tính sau: 39 S = ∫∫ + f x'2 ( x, y ) + f y'2 ( x, y )dxdy D Ví d Tính di n tích c a ph n m t c u x2 + y2 + z2 = n m bên m t tr x2 + y2 = 2x Vì tính đ i x ng nên ta ch c n xét ph n c a m t c u n m góc ph n tám th nh t Khi z = − x − y , z x/ = − x − x2 − y y / ; zy = − − x2 − y , Do S = 4∫∫ D − x2 − y2 dxdy D n a hình trịn x2 + y2 ≤ 2x , y ≥ ð i sang t a ñ c c, v i mi n D’ ñư c xác ñ nh ≤ ϕ ≤ π /2, ≤ r ≤ 2cos ϕ Do π S = 4∫∫ − x2 − y D rdr 2cos ϕ dxdy = ∫ dϕ ∫ π − r2 π = 16 ∫ (1 − sin ϕ )dϕ = 16( − 1) Ví d Tính di n tích m t Paraboloide tròn xoay tròn x2 + y2 = 2z n m gi a hai m t ph ng z = 0, z = Ta có / z = ( x + y ), z x/ = x; z y = y , Do S = ∫∫ + x + y dxdy D 2 D hình trịn x + y ≤ ð i sang t a ñ c c, v i mi n D’ ñư c xác ñ nh ≤ ϕ ≤ π , ≤ r ≤ Do 2π 0 S = ∫∫ + x + y dxdy = ∫ dϕ ∫ + r rdr = D 2π (5 − 1) 5.2 Tích phân ba l p 5.2.1 Khái ni m tích phân ba l p Cho hàm s f ( x, y, z ) xác đ nh mi n đóng, b ch n ño ñư c V Chia mi n V b i phép phân ho ch π thành n mi n đóng, đo đư c tuỳ ý th tích c a chúng V1 ,V2 , ,Vn cho hai mi n đơi m t khơng có ñi m chung Trong m i mi n Vi , i = 1, n ta l y ñi m M i (ξi ,ηi , ζ i ) tuỳ ý l p t ng: 40 n D (π ) = ∑ f (ξi ,ηi , ζ i ).Vi i =1 T ng ñư c g i t ng tích phân c a hàm f ( x, y, z ) ng v i phân ho ch π mi n V G i d (π ) ñư ng kính l n nh t c a mi n Vi , i = 1, n Gi i h n c a t ng D (π ) n u có d (π ) → (gi i h n không ph thu c vào phép phân ho ch π cách ch n ñi m M i ∈Vi ) đư c g i tích phân ba l p c a hàm s f ( x, y, z ) mi n V ñư c kí hi u ∫∫∫ f ( x, y, z )dzdydz Khi hàm f ( x, y, z ) đư c g i kh tích V V ñư c g i V mi n l y tích phân 5.2.2 ði u ki n kh tích n M j = sup f ( x, y, z ) ; m j = inf f ( x, y, z ) G i t ng: S (π ) = ∑ M jV j ; V Kí hi u Vj j =1 j n s(π ) = ∑ m jV j l n lư t t ng Darboux t ng dư i Darboux c a hàm f ng v i j −1 phân ho ch π ð nh lý 5.1: N u hàm f ( x, y, z ) kh tích mi n V b ch n V ð nh lý 5.2: ði u ki n c n ñ ñ hàm f ( x, y, z ) kh tích mi n V lim ( S (π ) − s (π )) = d ( π )→0 ð nh lý 5.3: M i hàm s f ( x, y, z ) liên t c mi n đóng, b ch n đo đư c V đ u kh tích mi n 5.2.3 Các tính ch t 1) Ký hi u V th tích c a mi n đóng, b ch n V Khi đó: ∫∫∫ dxdydz = V V 2) N u f1(x, y, z) f2(x, y, z) hàm kh tích mi n đóng, b ch n V, hàm s f1(x, y, z) + f2(x, y, z) kh tích V và: ∫∫∫ [ f1 ( x, y, z ) + f ( x, y ) ] dxdydz = ∫∫∫ f1 ( x, y , z ) dxdydz + ∫∫∫ f ( x, y , z ) dxdydz V V V 3) N u f(x, y, z) hàm kh tích mi n đóng, b ch n V, hàm s α f(x, y, z) kh tích V và: ∫∫∫ α f ( x, y , z ) dxdydz = α ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz ( ∀ α ∈ R) V V 4) N u f(x, y, z) hàm kh tích mi n đóng, b ch n V, ∫∫∫ f ( x, y )dxdydz ≤ ∫∫∫ f ( x, y ) dxdydz V V 5) N u f(x, y, z) hàm kh tích mi n đóng, b ch n V V ñư c chia thành hai mi n V1, V2 f(x, y z) kh tích D1, D2, ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz + ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz V V1 V2 41 6) N u f(x, y, z) hàm kh tích mi n đóng, b ch n V, V th tích c a m ≤ f ( x, y ) ≤ M , ∀( x, y, z ) ∈V , : mV ≤ ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz ≤ M V V 7) N u f(x, y, z) hàm liên t c mi n đóng, b ch n V, V th tích c a mi n đó, ∃( x0 , y0 , z0 ) ∈V cho: ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = f ( x0 , y0 , z0 ).V V 5.2.4 Cách tính tích phân ba l p a) Tích phân ba l p trư ng h p t ng quát Xét tích phân ba l p I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz , V f ( x, y , z ) hàm s liên t c mi n V Gi s V hình tr b gi i h n dư i b i m t z = ψ ( x, y ) gi i h n b i m t z = ψ ( x, y ) gi i h n xung quanh b i m t tr có ñư ng sinh song song v i tr c Oz (Trư ng h p riêng: M t xung quanh có th ch m t ñư ng, ch ng h n ñ i v i m t c u) G i Dxy hình chi u c a V xu ng m t ph ng Oxy V i gi thi t ψ ( x, y );ψ ( x, y ) xác ñ nh liên t c mi n đóng, b ch n đo đư c Dxy Khi : ψ ( x, y ) ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫ dx.dy ∫ V f ( x, y, z )dz ψ1 ( x , y ) Dxy Trư ng h p đơn gi n c a cơng th c trên: Khi V hình h p ch nh t V = {( x, y, z ) : a·≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d ; e ≤ z ≤ g} thì: b d g a c e ∫∫∫ f ( x, y, z )dzdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x, y, z )dz V b) ð i bi n s tích phân ba l p Vi c ñ i bi n s tích phân ba l p tương t tích phân hai l p Ngồi ra, cịn có th s d ng phép chuy n sang to ñ c u ho c to ñ tr *) ð i bi n s to ñ tr : To ñ tr c a m t ñi m M(x, y, z) không gian Oxyz b ( r ,ϕ , z ) , (r, ϕ ) t a đ c c c a hình chi u M’ c a ñi m M m t ph ng Oxy H th c liên h gi a to ñ Decartes ( x, y , z ) t a ñ tr  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ , ≤ ϕ < π , ≤ r, z ∈ R z = z  Khi 42 cos ϕ J = sin ϕ − r sin ϕ r cos ϕ 0 0 =r J ≠ v i r ≠ Do ∫∫∫ f ( x, y, z ) dzdydz = ∫∫∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ , z ) rdrdϕ dz V* V V ' mi n bi n thiên c a to ñ tr tương ng c a V *) ð i bi n s to ñ c u: To ñ c u c a m t m M(x, y, z) khơng gian Oxyz b ( r ,α ,ϕ ) , r = OM, ϕ góc gi a tr c Ox v i OM ' , M’ hình chi u c a M m t ph ng Oxy, α góc gi a tr c Oz OM V i m i ñi m M ( x, y , z ) ta có  x = r sin α cosϕ   y = r sin α sin ϕ , ≤ ϕ ≤ 2π ;0 ≤ α ≤ π , ≤ r < +∞  z = r cos α  Khi ñó sin α cos ϕ r cos α cos ϕ J = sin α cos ϕ r cos α sin ϕ cos ϕ − r sin ϕ − r cos α sin ϕ r sin α cos ϕ = r sin α J ≠ v i r ≠ 0, sin α ≠ V y ta có: ∫∫∫ f ( x, y, z )dzdydz = ∫∫∫ f ( r sin α cos ϕ , r sin α sin ϕ , r cos α )r sin α drdα dϕ V' V *) Chú ý: ðôi ngư i ta cịn l y α góc gi a OM OM v i d u c ng n u z > ' l y d u tr n u z < Khi − π ≤ϕ ≤ π công th c c n thay sin ϕ , cos ϕ l n lư t b i cos ϕ , sin ϕ Ví d Tính I = ∫∫∫ V dxdydz , V mi n gi i h n b i m t ph ng t a ñ m t (1 + x + y + z )3 ph ng x + y + z = Mi n V ñư c xác ñ nh: ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ – x , ≤ z ≤ – x – y Do I = ∫∫∫ V 1− x − y 1− x dxdydz dz = ∫ dx ∫ dy ∫ 3 (1 + x + y + z ) (1 + x + y + z ) 0 1− x  1  x 1   dy = ∫  − − = ∫ dx ∫  −  dx = ln −  0 0 4 1+ x  16  (1 + x + y )  x2 y z Ví d Tính I = ∫∫∫ x dxdydz , V gi i h n b i m t elipsoide + + = V a b c Ta có 43 a I = ∫∫∫ x dxdydz = ∫ x dx ∫∫ dydz , −a V S ( x) ∫∫ dydz b ng di n tích c a thi t di n S(x) Vì S(x) mi n gi i h n b i ñư ng elip S ( x) y2 z2 y2 z2 x2 + = − hay + = 1, 2 b2 c a     x x b −  c −  a  a        nên di n tích c a S(x)  π bc 1 −  x2   Do a2   x2  I = ∫∫∫ x dxdydz = ∫ x dx ∫∫ dydz = π bc ∫ x 1 −  dx = π a 3bc V S ( x) −a −a 15  a  a 2 a 2 2 2 Ví d Tính I = ∫∫∫ ( x + y ) dxdydz , V gi i h n b i x + y + z ≤ R ; z ≥ V Chuy n sang t a ñ c u, v i V’ ñư c xác ñ nh: ≤ r ≤ R, ≤ ϕ ≤ 2π , ≤ α ≤ π /2, ta có π 2π R 0 I = ∫∫∫ ( x + y ) dxdydz = ∫ dϕ ∫ sin α dα ∫ r dr = V Ví d Tính I = ∫∫∫ V dxdydz x + y2 + z2 4π R 15 , V mi n gi i h n b i hai m t c u có phương trình x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + z2 = Chuy n sang t a ñ c u, v i V’ ñư c xác ñ nh: ≤ r ≤ 2, ≤ ϕ ≤ π , ≤ α ≤ π , ta có I = ∫∫∫ V dxdydz x2 + y + z 2π π 0 = ∫ dϕ ∫ sin α dα ∫ rdr = 6π Ví d Tính I = ∫∫∫ x + y z dxdydz , V mi n hình tr gi i h n b i m t x2 + y2 = V 2y, z = 0, z = a Chuy n sang t a ñ tr , v i D mi n tròn gi i h n b i đư ng trịn có phương trình 2 x + y = 2y hay r = 2sin ϕ Do a π 2sin ϕ ∫ dϕ ∫ r dr V π 4a 16a 2 = ∫ (1 − cos ϕ )sin ϕ dϕ = I = ∫∫∫ x + y z dxdydz = 5.2.3 ng d ng c a tích phân ba l p a) Tính th tích v t th : V = ∫∫∫ dx.dy.dz V b) Tính kh i lư ng c a v t th : m(V ) = ∫∫∫ µ ( x, y , z ) dx.dy.dz V 44 ( µ ( x, y, z ) hàm bi u th kh i lư ng riêng c a v t th V t i ñi m M ( x, y, z ) ) c) Tính to đ tr ng tâm c a v t th : G i ñi m M ( xo , yo , zo ) to ñ tr ng tâm c a v t th V Ta có cơng th c sau: x0 = ∫∫∫ xµ ( x, y , z )dxdydz m (V ) V y0 = ∫∫∫ y µ ( x, y , z )dxdydz m (V ) V z0 = ∫∫∫ z µ ( x, y , z )dxdydz m (V ) V ( µ ( x, y, z ) hàm bi u th kh i lư ng riêng c a v t V t i ñi m M ( x, y, z ) c a V ) *) Chú ý: N u v t th đ ng ch t to ñ tr ng tâm c a v t th ñư c tính theo cơng th c đơn gi n (vì µ ( x, y, z ) khơng đ i t i m i ñi m): x0 = ∫∫∫ xdxdydz v (V ) V y0 = ∫∫∫ ydxdydz v (V ) V z0 = ∫∫∫ zdxdydz v (V ) V *) Tài li u h c t p: [1] Tr n ð c Long, Nguy n ðình Sang, Hồng Qu c Tồn (2006), Giáo trình gi i tích t p 2, NXB ðHQG Hà N i [2] Nguy n Văn Khuê, Ph m Ng c Thao, Lê M u H i, Nguy n ðình Sang (1997), Toán cao c p, t p 2, Nhà Xu t b n Giáo d c, Hà N i *) Câu h i, t p, n i dung ôn t p th o lu n 1) Tính tích phân ∫∫ xydxdy , D = {( x, y ) : ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ 1} b ng cách coi gi i D h n c a t ng tích phân Chia mi n l y tích phân thành hình vng b ng nh ng ñư ng th ng x = i j , y = (i, j = 1, n − 1) ch n giá tr c a hàm dư i d u tích phân t i đ nh n n bên ph i c a nh ng hình vng 2) Thay đ i th t l y tích phân tích phân sau: a) ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy −2 x e ln x b) ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy 45 2− x −6 x −1 c) ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy 3) Tính tích phân sau: a) ∫∫ ( x + y ) dxdy , D hình ch nh t gi i h n b i: x = 1; x = 2; y = 0; y = D 2 b) ∫∫ x ( y − x )dxdy , D mi n ñư c gi i h n b i ñư ng y = x ; x = y D 4) B ng cách chuy n sang to ñ c c, thay th tích phân hai l p sau b i tích phân m t l p: 2 a) ∫∫ f ( x + y )dxdy , D x  dx.dy ,  y b) ∫∫ f  D D = {( x, y ) ; x + y ≤ 1} D = {( x, y ) : x + y ≤ x} 46 ... 32 = ∫ (1 − x ) dx = 30 45 2 1− x 2 2 x2 Ví d Tính I = ∫∫ dxdy , mi n D hình elip + y2 ≤ D Ta có mi n D gi i h n b i: - ≤ x ≤ 2, - − 1− x2 x2 ≤y≤ I = ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ − D ? ?2 − 1− ? ?2 x2... Oxy Khi di n tích c a m t S đư c tính sau: 39 S = ∫∫ + f x ''2 ( x, y ) + f y ''2 ( x, y )dxdy D Ví d Tính di n tích c a ph n m t c u x2 + y2 + z2 = n m bên m t tr x2 + y2 = 2x Vì tính đ i x ng... 0 D 2 1− x Ví d Tính th tích v t th V c a ph n hình tr gi i h n b i m t x2 + y2 = 2x n m m t c u x2 + y2 + z2 = Vì tính đ i x ng nên ta có: V = 4∫∫ − x − y dxdy D 2 D n a hình trịn x + y ≤ 2x