Chuyén dé3 GIAI TOAN HINH HOC KHONG GIAN BANG PHUONG PHAP TOA DO Chúng ta biết rằng, nói chung, kiện Hình học khơng gian thể theo cách thức Hình học giải tích Do đó, giải tốn Hình học khơng gian cách toạ độ hố để chuyển thành tốn Hình học giải: tích Việc chuyển đổi bao gồm bước sau : Bước: ï : Chọn hệ toạ độ Bước dễ dàng thực tốn Hình học khơng gian xét có sắn góc tam diện vng, hai mặt phẳng vng góc với hay có quan hệ vng góc khác Tuy vậy, khơng trường hợp ta phải tự kẻ thêm đường phụ để gây nên góc tam diện vng Trong chọn góc tam diện vng để gắn với hệ toạ độ, ta cần lưu ý để bước sau thuận lợi Bước : Tính toạ độ điểm đề theo hệ toạ độ vừa chọn Thực cần tính toạ độ điểm liên quan tới giả thiết kết luận toán Đối với toán Hình học khơng gian mà đề có sắn số liệu việc tính toạ độ điểm nói chung dựa trực tiếp vào hình vẽ Đối với toán mà đề chưa cho số liệu trước hết cần tự đưa số liệu vào tốn sau dựa vào hình vẽ để tính toạ độ điểm dựa theo số liệu ` Bước : Thể giả thiết tốn theo cách thức Hình học giải tích Nói chung kiện Hình học giải tích tìm đường tính tốn Do đó, giả thiết Hình học giải tích nên để dạng ràng buộc số liệu Bước : Giải kết luận toán theo cách thức Hình học giải tích Ở đây, Bước 3, lần cần phải “phiên dịch” từ ngơn ngữ tốn Hình học khơng gian sang tốn Hình học giải tích Cần lưu ý kiện Hình học khơng gian nói chung thể theo cách thức Hình học giải tích, mức độ khó, dễ khác Điều dẫn tới việc có nhiều tốn Hình học khơng gian gặp nhiều khó khăn chuyển sang tốn Hình học giải tích Phương pháp toạ độ hố tốn Hình học khơng gian hữu hiệu việc giải tốn Hình học khơng gian, khơng nên tuyệt đối hố 207 Trước định giải toán Hình học khơng gian cụ thể phương pháp toạ độ, ta nên xét khó khăn gặp bước Để làm rõ bình luận trên, ta xét ví dụ sau : Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'BC'D' đổi đoạn thẳng BD AD' cho DM = AN Các điểm M, N thay a) Xác định vị trí hai điểm X, N để MN nhỏ Chứng minh MN vng góc với BD AI b) Chứng minh MN vng góc với đường thẳng cố định Lời giải (h.65) Chọn hệ trục toạ độ Ĩxyz có gốc ƠĨ trùng điểm A, tia Óx, Óy, Óz trùng ; A’ tia AB, AD, AA’ Giả sử cạnh hình lập phương có độ dài Đ—] bang a Dat AN = DM =1(0 1=[ 2:1] 2v=4z+3=0 Mặt cầu (S) có ban kinh R = IC = fe Vay (8): (-;] +(»-4) +(z- = > Bài tập Cho tứ diện OABC vng Ĩ Các mặt phang (OBC), (OCA), (OAB) tao véi mặt phẳng (ABC) góc ø, Ø, y tuong tng Goi Sy, 5x, Š;, S%c diện tích mặt đối diện với đỉnh Ó, A, B8, C tứ diện Chứng minh : a) l OH l l OA OB 7a (ABC) s†+ ÓC với H hình chiếu vng góc cua O b) Sy” = Sy? + Sp’ + Se” c) sin’a@ + sin? B + sin? y = Cho tứ diện OABC vuông Ĩ Điểm P thuộc mặt phẳng (ABC) Gọi ø góc đường thẳng ĨP mp(ABC) Chứng minh : Hi ——I AO) +| BPY \BØ} —| (cPŸỶ (CO +|——|] = 2+ cotan“ø 219 Cho hình chit nhat ABCD cé AB =a, AD = b Các tia Am Cn hướng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Các điểm M, N thay đổi tia Am, Cn cho (MBD) L (NBD) Chứng minh AM.CN khơng đổi Cho hình chóp S.ABCD, đáy có cạnh a Goi Ä⁄, N trung điểm SA 8C, Ó tâm đáy ABCD Biết MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 30” a) Chứng minh : SỞ = MN b) Tính góc MN (SBD) Cho hình chóp S.ABC có $4 vng góc với mặt (ABC) Tam giác ABC vuông 8, AB = a, BC = b Đường thang SC tao véi mat phang (ABC) géc 60° Tinh thể tích hình chóp bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cho hình chóp S.AĐC, đáy có cạnh a Ä⁄, N trung điểm SA, $C Biết 8M AN Tính thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABC Cho điểm M nằm góc tam diện vuông Oxyz Mặt phẳng (ơ) thay đổi qua M cắt tia Óx, Óy, Óz điểm phân biệt A, B, C Tim giá trị nhỏ thể tích tứ diện OABC Cho hai đường thẳng chéo ¿, b-vng góc với nhau, nhận AB làm đoạn vng góc chung (A thuộc ø¿, B thuộc b) Các điểm Mí, N thay đổi a, b cho MN = AM + BN Chimg minh rang khoảng cách từ trung diém O đoạn A8 tới đường thăng MN không đổi Từ suy MN ln tiếp xúc với mặt cầu đường kính A8 Trong khơng gian toạ độ cho điểm A(0 ; 0; 1), D(0; 2; 0) Các điểm B va C thay đổi truc Ox cho (ACD) L (ABD) Xác định vị trí B € để thể tích tứ diện ABCD nhỏ Ứng với vị trí đó, viết phương trình mặt phẳng (z) chứa AD tạo với mặt (ACD), (ABD) góc 10 Trong khơng gian toạ độ Ĩxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' C(2:1;0), 8(2;-1;2), có A(0; ¬] ;0), D(0;1;2) Các điểm 4, N thay đổi đoạn A'8' 8C cho D'M L AN a) Chứng minh MN ln vng góc với đường thẳng cố định b) Khi trung điểm A'P', viết phương trình mặt phang (DMN) 220 Loi giai Chon toa độ Ĩvyz hình 74 Giả sit OA =a, OB = b, ÓC = c, O =(0;0;0),A = (a;0;0), B = (0;b;0),C = (0;05c) a) Mặt phẳng (ABC) có phương trình : +—=1 => = OH? + OA? Hinh 74 + OB? OC? b) Do tam gidc OAB, OAC, OBC 1a cac tam giác vuông tai O nén : Si = Sopc = [sosoc] Cae Tương tự ta có : S2 => => Si = bˆc? P ah? Sẽ =—— Mặt khác: S.;pc = 225 AC] -3 Ree ee + ee => 82 = Supe = Sh + Sh + Se €) Ta CĨ: cosa = „ĨA ¬— n be Al Vb? 0? 4a +ab* (n= l5 ; b ; 4) vectơ pháp tuyén cia mat phang (ABC)), a C 221 Mặt khác : ane bắc,= nậẩ ty (arf AO = a — a +1, a seh wietwoW ed eked 2m, BO CP Pin be xy + Yo b + (z Cc _ c) 2 % = b + ye C + Z — 22 Cc ( , +1, ) (4) Từ (1), (2), (3) (4) ta (2——| Ï AO BP Ï BO CP ) CO +|/—] +|—]| =2+cotan‘g Chọn hệ trục toạ độ Ĩxyz hình 76, : A = (0;0;0), B = (4;0;0), D = (0;6;0),C =(a;b;0) Giả sử : AM =m, CN = n{m,n > 0) Ta có M = (0;0;m),N = (a;b;n) Mặt phẳng (MBD) có vectơ pháp tuyến : lễ I -) b m Z N HÌ —;—ÿ— ‡ a4 Mặt phẳng (ND) có vectơ pháp tuyến : ri = | NB, ND | O=A X^ Do NB = (0;—b; —n), ND = (-a;0;-n) nén Hinh 76 n' = (bn, an, —ab) = an( 2st -+} ; abon — — (MBD) (NBD) > n.n' = > ~>I +>1 - — Ị = Dodo , a — mn =“TT a‘b b mn b2 2p2 => AMV(CN =mn =“—— at+hb = const 223 Chon truc toa độ Ĩxyz hình 77, : av2 O = (0;0;0), ¬ N = a 2.4 ol 4, 0:0), ` a= 0.2 2.0, Giả sử SỐ = h (h > 0) Khi S=(0;0;h), M 0, 2h w(đ,=,_!è a) Mt phng n(O 50; 1), 2 (ABCD) suy sin30° Hình 77 có phương n.MN = trình z = có vectơ pháp tuyến (vi MN tao véi (ABCD) géc 30°) Do dé II|MN h I 2a’ 242 he > 2 h |sa? +2/ -= | = 12 => pay n= 430 Vay SO=h= = 6 30 Mặt khác : MN = av2 + av2 2 (2) 2 [29 = dễ @ 2 Sat 24 _ 30 Vay SO = MN b) Mặt phẳng (SBD) có phương trình : y = Ư có vectơ pháp tuyến n'(0 ;1;0) — MN 224 = 2,2, ; ; i) 12 Goi a 1a géc MN (SBD), ta có : n.MN sinø =;= = jalan = aV30 TG Chon toa dé Oxyz nhu hinh 78 Gia sir SA =h, dé: B = (0;0;0), A =(a;0;0), C =(0;5;0), S =(a;0;h) => SC = (-a;b;-A) Mặt phẳng (ABC) cé phuong trinh : z = ¡ = (0;0;1) vectơ pháp tuyến (ABC) Do SC tao với (48C) góc 60° nên sin60° h = n.SC Gila h sc v3 => —=————— = _— — \a2+bˆ+hˆ h= 3(a? + b°), Giả sử /(3g ; vọ ; zạ) tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta có : IA? = IB* = IC? = IS? — xp + yo t+ = (sy - a) +96 +2 =32 + — bŸ +3 =x + y+ (4 - J32 + Py) | a = Xu =ằ—, 02 b Xo = 5% = J3 + ;?) Gọi # bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta có R =1B = vhậ + vệ + 22 = Va? +b 225 Gọi V thể tích hình chóp, ta có : 1 na V =—SA.S,„„e = —§A.BA.BC = —ab l3(a2 + bˆÌ.) AABC 6 ( Goi O 1a tam tam giác ABC K trung điểm BC, : ox = Lax - 3, ao = 3, KB = KC =“ Gia sit SO = h (h > 0) Chon toa Oxyz nhu hinh 79 (Ox//BC) Khi : mm B=|—;= =(0;0;0), C= 2.8 3.0) a3 0| a= 0; 493.9), A4 Do BM LAN nen BM.AN =0 © -=8 ah v42 Gọi V thể tích hình chóp, ta có: v=lsos °° MBC _ aVa2 a3 _ a4 3° 6°) -( ¿x42 24 ` Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, dễ thấy ƒ e SĨ nên = (0;0;m) Tac6 IA2 = IS? tm —m | 2 om arg om=—4 2442: Vậy R = IA = 226 +e Fg 168 2442 Nam + me Chon toa d6 Oxyz nhu hình 80 Z Giả sử M = (xo ; vụ ;zạ) mặt phẳng (2) C cắt Ox, Oy, Óz điểm : A(a; 0;0), B(0 ; b; 0), C(0;0; c} Khi đó, mặt phẳng (ø) có phương trình : o “+ Cư], abe Taco: Vi M Voagc Hinh 80 « (a) nén “o , X04 70 2], a b Cc (bất đẳng thức Cô-si) abe abc A = abe Suy > 33 02020, => ` => > 27 Xy¥y2y Woapc 27 = > a = 3X Di" xây rap ®=- WH!) 3, - ] a » a b Cc c= 32 Ké Ay//b Dé thay Ay L a, Ay L AB Chọn hệ toạ độ Axyz hình 81 Giả sử AB =h, AM = m, BN =n (h,m,n > 0) Khi đó: A(0;0;0), 8(0;0;0), M(m;0;0), N(0;n;h), Theo giả thiết MN Vm Ta có : MN ofo:0:5} = AM + BN +n? +h? = (-m;n;h), OMi nên ta có : =mtin© Hình 81 hˆ = 2mm =[m:0:=5] = [aw Oni] = (mn) 2 227 ...Trước định giải tốn Hình học không gian cụ thể phương pháp toạ độ, ta nên xét khó khăn gặp bước Để làm rõ bình luận trên, ta xét ví dụ sau : Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A''BC''D'' đổi đoạn thẳng... 6i] so:-5:0] Dnủ nên có phương trình đoạn chắn : (saB): 2% - 224 “2-1