PHẦN 1: MỞ ĐẦU A. Đặt vấn đề: I. Lý do chọn đề tài. Trong chương trình môn Toán lớp 11 nói riêng và trong bộ môn Toán nói chung thì Lượng giác chiếm một phần quan trọng. Đặc biệt phương trình lượng giác là phần kiến thức trọng tâm trong phần đại số lớp 11 của học kì I. Hơn nữa, phương trình lượng giác bao giờ cũng có mặt trong các đề thi đại học môn Toán, là câu cũng không phải là khó kiếm điểm. Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 11, khi dạy về phần phương trình lượng giác, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc này. Vậy, làm thế nào để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này? và từ đó giúp các em có thể làm tốt hơn khi giải phương trình lượng giác, tự tin hơn trong học tập. Chính vì những lý do trên mà tôi đã quyết định chọn đề tài “Kỹ thuật lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện ”, với hy vọng và mong muốn sẽ đem đến cho các em những kỹ năng, những phương pháp nhằm giúp các em khắc phục những trở ngại nói trên. Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập, giúp các em yêu thích và có hứng thú hơn trong học Toán. II. Mục đích nghiên cứu. Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp. Trong đề tài này tôi đề cập đến một số phương pháp lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện, qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán.Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn. III. Đối tượng nghiên cứu. Nghiên cứu về phương trình lượng giác có điều kiện. IV. Phạm vi nghiên cứu. - Làm tài liệu cho giáo viên. - Áp dụng cho học sinh khối 11, 12. Đặc biệt là học sinh lớp 12 tham gia thi đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp. V. Phương pháp nghiên cứu. Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm. 1 PHẦN 2 : NỘI DUNG B. Giải quyết vấn đề 2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu. 2.1.1. Các hằng đẳng thức lượng giác sin 2 x + cos 2 x = 1; 2 2 sin 2x 2sin x.cos os2x 2 os 1 1 2sin x c c x x = = − = − 2 2 1 1 tan ,( , ) cos 2 x x k k x π π + = ≠ + ∈¢ ; 2 2 1 1 cot ,( , ) sin x x k k x π + = ≠ ∈¢ ; tan .cot 1x x = . ( , 2 k x k π ≠ ∈¢ ). 2.1.2. Biểu diễn một cung lượng giác, một góc lượng giác trên đường tròn lượng giác. Khi biểu diễn một cung (góc) lượng giác bao giờ cũng chọn điểm đầu A, điểm cuối M tuỳ thuộc vào độ lớn và dấu của cung (góc) để ta biểu diễn cho đúng. 2 + 2 ,x k k α π = + ∈¢ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một điểm. + ,x k k α π = + ∈¢ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ. + 2 , , , 3 k x k n n n π α = + ∈ ≥¢ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi n điểm cách đều nhau tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn. 2.1.3. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. + 2 sin sin , 2 x k x k x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ ; + cos cos 2 ,x x k k α α π = ⇔ = ± + ∈¢ ; + tan tan ,x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ ; + cot cot ,x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ . 2.2. Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu. Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 11, khi dạy về phần phương trình lượng giác, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc này. Để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này và từ đó giúp các em có thể tự tin hơn, làm tốt hơn khi giải phương trình lượng giác. Hơn nữa, cùng một phương trình lượng giác, nếu dùng các phép biến đổi khác nhau có thể thu được các phương trình cơ bản khác nhau và từ đó thu được số họ nghiệm cũng như hình thức các họ nghiệm rất khác nhau. Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập. 2.3. Nội dung của các vấn đề nghiên cứu. 2.3.1. Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một hàm số lượng giác. Ví dụ 1 : Giải phương trình: tan x 3cot x 4(sin x 3 osx)c− = + (1) Lời giải : Điều kiện: os x 0 sin x 0 c ≠   ≠  . Khi đó 3 2 2 (1) sin 3 os 4sin .cos (sin 3 cos ) (sin 3 cos )(sin 3 cos ) 2sin 2x(sin 3 cos ) (sin 3 cos )(sin 3 cos 2sin 2x) 0 sin 3 cos 0 ( ) 2sin 2x sin 3 cos ( ) x c x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x b ⇔ − = + ⇔ − + = + ⇔ + − − =  + = ⇔  = −   *( ) sin 3 cos tan 3 ,( ) 3 a x x x x k k π π ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − + ∈¢ 1 3 *( ) sin 2 sin cos 2 2 sin 2x sin( ) 3 2 3 , ( ) 4 2 9 3 b x x x x x k k k x π π π π π ⇔ = − ⇔ = −  = − +  ⇔ ∈   = +   ¢ Đối chiếu với điều kiện os x 0 sin x 0 c ≠   ≠  , ta thấy các giá trị đều thoả mãn. Vậy phương trình (1) có nghiệm là: 4 2 , ,( ) 3 9 3 k x k x k π π π π = − + = + ∈¢ * Nhận xét: Trong pt(1), ta đã biến đổi điều kiện và nghiệm tìm được thông qua hàm số y = cos x. Từ đó chuyển việc đối chiếu điều kiện của x về đối chiếu điều kiện của y đơn giản hơn. Ví dụ 2 : Giải phương trình: (1 2sin ).cos 3 (1 2sin )(1 sin ) x x x x − = + − (2) Lời giải : Điều kiện: sin 1 1 sin 2 x x ≠    ≠ −   . Khi đó : 4 (2) (1 2sin ).cos 3(1 2sin )(1 sin ) sin 2x 3 os2x cos 3 sin os(2x ) os( ) 6 3 2 2 ,( ) 2 18 3 x x x x c x x c c x x k k k x π π π π π π ⇔ − = + − ⇔ + = − ⇔ − = +  = +  ⇔ ∈   = − +   ¢ Kết hợp với điều kiện trên, ta chọn được nghiệm: ( ) 2 , 18 3 k x k π π = − + ∈¢ 2.3.2. Phương pháp sử dụng phép biến đổi lượng giác Ví dụ 3 : Giải phương trình: 2 2 2 sin ( )tan os 0 2 4 2 x x x c π − − = (3) Lời giải : Điều kiện: cos 0 sin 1x x ≠ ⇔ ≠ ± . Khi đó: 2 2 2 2 1 sin 1 (3) 1 os( ) (1 cos ) 0 2 2 os 2 (1 sin )(1 os ) (1 cos )(1 sin ) 0 (1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0 sin x= 1 cos 1 tan 1 x c x x c x x c x x x x x x x x x π   ⇔ − − − + =     ⇔ − − − + − = ⇔ − + + =   ⇔ = −   = −  Đối chiếu với điều kiện trên ta chọn được: 2 cos 1 ,( ) tan 1 4 x k x k x x k π π π π = +  = −   ⇔ ∈   = − = − +   ¢ Vậy các nghiệm của pt (3) là: 2 , ,( ) 4 x k x k k π π π π = + = − + ∈¢ . Nhận xét: Trong pt (3), điều kiện cos 0x ≠ biến đổi thành sin 1x ≠ ± . Như vậy không phải tìm điều kiện cụ thể, ta vẫn có thể đối chiếu nghiệm với điều kiện và suy ra nghiệm của phương trình. 5 2.3.3. Phương pháp thử trực tiếp. Đối với phương trình mà điều kiện và nghiệm khó đưa về cùng một hàm số lượng giác, ta có thể tìm nghiệm cụ thể, rồi thay vào điều kiện để kiểm tra lại. Ví dụ 4 : Giải phương trình: 6 6 2( os sin ) sin .cos 0 2 2sin c x x x x x + − = − (4) Lời giải : Điều kiện: 2 sin 2 x ≠ . Khi đó 6 6 2 2 4 4 2 2 2 2 (4) 2( os sin ) sin .cos 0 2( os sin )( os sin sin . os ) sin .cos 0 3 1 2(1 sin 2x) sin 2x 0 4 2 3sin 2x sin 2x 4 0 sin 2 1 4 sin 2 ( ) 3 , ( ) 4 c x x x x c x x c x x x c x x x x x VN x k k π π ⇔ + − = ⇔ + + − − = ⇔ − − = ⇔ + − = =   ⇔  = −  ⇔ = + ∈¢ + Với k chẵn thì : 2 sin( ) 4 2 k π π + = (loại) + Với k lẻ thì : 2 sin( ) 4 2 k π π + = − (nhận) Vậy phương trình (4) có nghiệm là: , ( ) 4 x k k π π = + ∈¢ , với k lẻ. Ví dụ 5 : Giải phương trình: ( ) + + = − cos ( os x+2sin ) 3sin (sin 2) 1. 5 sin2 1 x c x x x x Lời giải : Điều kiện: ≠sin2x 1 . Khi đó ta có: 6 π π ⇔ + + + = − + − ⇔ + + + − + = ⇔ + + + − + − + = ⇔ − + + = ⇔ + + =  = −  ⇔  = −   = − + ⇔ = 2 2 2 (5) os 2sin .cos 3sin 3 2sin sin2x 1 1 os2x 1 os2x sin2x 3 3 2sin sin2x 1 0 2 2 1 os2x 2sin2x 3 3 os2x 6 2sin 2sin2x 2 0 os2x 3 2 sin 3 0 2sin 3 2 sin 2 0 sin 2 ( ) 2 sin 2 2 4 5 c x x x x x c c x c c x c x x x x VN x x k x π π   ∈   +   ¢, ( ) 2 4 k k Kết hợp với điều kiện ta chỉ có nghiệm 2 4 x k π π = − + thỏa mãn điều kiện trên. Vậy pt(5) có 1 nghiệm là : 2 ,( ) 4 x k k π π = − + ∈¢ 2.3.4. Phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượn giác. - Trên đường trròn lượng giác, những điểm không thoả mãn điều kiện đánh dấu “x”, những điểm nghiệm tìm được đánh dấu “o” - Những điểm đánh dấu “ o ” mà không trùng với điểm đánh dấu “x” đó là nghiệm của phương trình. + 2 ,x k k α π = + ∈¢ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một điểm. + ,x k k α π = + ∈¢ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm đối xứng nhua qua gốc toạ độ. + 2 , , , 3 k x k n n n π α = + ∈ ≥¢ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi n điểm cách đều nhau tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn. 7 Ví dụ 6 : Giải phương trình: cos sin 3x 0x + = (6) Lời giải: + ) Khi cos 0x ≥ thì 4 (6) cos sin 3x 0 ,( ) (*) 3 8 2 x k x k k x π π π π  = − +  ⇔ + = ⇔ ∈   = +   ¢ Biểu diễn (*) trên đường tròn lượng giác ta được 6 điểm đánh dấu “o”, trong đó chỉ có 3 điểm nằm bên phải trục Oy ( cos 0x ≥ ) hình dưới ứng với nghiệm : 1 2 3 3 2 ; 2 ; 2 , ( ) 4 8 8 x k x k x k k π π π π π π = − + = − + = + ∈¢ +) Khi cos 0x < thì 4 (6) cos sin 3x 0 ,( ) (**) 8 2 x k x k k x π π π π  = +  ⇔ − + = ⇔ ∈   = +   ¢ Biểu diễn (**) trên đường tròn lượng giác ta được 6 điểm trong đó có 3 điểm nằm bên trái trục Oy ( cos 0x < ) hình dưới ứng với nghiệm : 4 5 6 5 9 5 2 ; 2 ; 2 , ( ) 8 8 4 x k x k x k k π π π π π π = + = + = + ∈¢ 8 y x Vậy pt(6) có nghiệm là : x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 như trên. 2.4. Bài tập vận dụng Giải các phương trình sau: 1. 2 2 tan .sin 2sin 3(cos2x sin .cos )x x x x x− = + ; 2. 3 4 os2x 2 osxc c+ = ; 3. − + = 2 4 4 (2 sin 2x).sin3x tan 1 os x c x ; 4. − = + + 2 os (cos 1) 2(1 sin ) sin cos c x x x x x ; 5. π + + + = + (1 sin os2x)sin( ) os 4 1 tan 2 x c x c x x ; 6. + = − 1 os2x sin2 cos 1 os2 c x x c x ; 7. + + = + 2 1 sin2x os2x 2 sin .sin2x 1 cot c x x ; 9 x y 9 8 π 5 4 π 13 8 π 8 π 4 π 5 8 π x x 8. + − − = + sin2x 2 osx sin 1 0 tan 3 c x x ; 9. − = 2 3 cos3 4sin . os 3 cos x x c x x ; 10. ( ) − + − = − 1 cos 2cos 1 2sin 1 1 cos x x x x ; 11. π − + = + 2 sin( )(1 sin2x) 4 1 tan os x x c x ; 12. 2 1 2sin 3 2 sin sin2 1; 2sin .cos 1 x x x x x + − + = − 13. + = + 2sin cot 2sin2x 1;x x 14. − + + = 1 cos 1 cos 4sin ; cos x x x x 15. + − − = − 2 2 3 sin2x(1 os2x) 4 os2x.sin 3 0. 2sin2x 1 c c x 10 [...]...PHẦN 3: KẾT LUẬN I Ý nghĩa của đề tài - Mục đích quan trọng nhất của đề tài này là tôi muốn lấy đây làm một cuốn tài liệu phục vụ trong quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời cũng là cuốn tài liệu để các đồng nghiệp tham khảo trong giảng dạy - Giúp học sinh biết cách lấy nghiệm của bài toán giải phương trình lượng giác có điều kiện, đồng thời qua các phương pháp này nhằm phát triển tư... tiếp trên lớp 11B9 Kết quả đa số các em đã biết lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện Góp phần nâng cao kết quả học tập bộ môn Toán nói riêng, kết quả học tập của các em trong nhà trường nói chung - Kết quả thi học kì I, thi thử đại học lần 1 và thi thử đại học lần 2 của lớp 11B9 với 36 em, đa số các em đều làm được phần phương trình lượng giác Cụ thể như sau: số H/S Đợt thi Thi HKI Thi... từ thực nghiệm sư phạm, cho phép tôi kết luận rằng mục đích nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành và đề tài có tính khả thi cao - Tôi hy vọng rằng, đây là cuốn tài liệu mà các thầy cô giáo dạy Toán yêu thích, đồng thời giúp các em học sinh học tốt hơn phần giải phương trình lượng giác, qua đó góp phần nâng cao kết quả học tập của các em 11 II Những kiến nghị làm tăng tính khả thi Đề tài này có ý nghĩa... nghiên cứu và mở rộng hơn nữa để đề tài được hoàn chỉnh hơn và thực sự là cuốn tài liệu bổ ích Để đề tài được hiệu quả hơn thì: - Cần điều chỉnh phạm vi bài tập nhằm áp dụng trên nhiều đối tượng học sinh - Đầu tư thời gian, vật chất nghiên cứu thêm các chuyên đề khác có liên quan Tân Phú, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Người thực hiện Nguyễn Văn Đồng 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ... 2 Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Doãn Minh CườngĐỗ Mạnh Hùng-Nguyễn Tiến Tài, Đại số010 ban cơ bản, NXBGD, 2006 3 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn Bài giảng chuyên sâu toán THPT Giải Toán Lượng Giác 11 4 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ 13 . Toán đại số lớp 11, khi dạy về phần phương trình lượng giác, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc. tôi đã quyết định chọn đề tài Kỹ thuật lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện ”, với hy vọng và mong muốn sẽ đem đến cho các em những kỹ năng, những phương pháp nhằm giúp các em. (3), điều kiện cos 0x ≠ biến đổi thành sin 1x ≠ ± . Như vậy không phải tìm điều kiện cụ thể, ta vẫn có thể đối chiếu nghiệm với điều kiện và suy ra nghiệm của phương trình. 5 2.3.3. Phương