PHẦN 1 : MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Hệ phương trình hai ẩn không chứa căn thức là một nội dung cơ bản trong chương trình đại số, mà học sinh được học ở lớp 10. Để giải loại toán này học sinh phải có kiến thức tổng hợp, khả năng phán đoán tốt. Thực sự đây là loại toán rèn luyện được nhiều phẩm chất tư duy cho học sinh .Bởi vậy các bài toán về hệ phương trình thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, các kỳ thi chọn học sinh giỏi. Qua kinh nghiệm nhiều năm dạy học, chúng tôi thấy học sinh thường dễ mất “phương hướng” khi giải hệ phương trình. Bởi vậy làm sao để học sinh có được một hướng đi đúng đắn khi giải hệ phương trình . Đó là điều mong mỏi của chúng tôi và các em học sinh. Với những kinh nghiệm có được trong thời gian dạy học. Chúng tôi chọn đề tài này để đáp ứng phần nào yêu cầu đó. II/ THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI : 1. Thuận lợi : + Hệ phương trình học sinh được học từ lớp 9 với hai phương pháp giải rất cơ bản là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Bởi vậy, bước đầu các em đã có những khái niệm cơ bản và những kỹ năng nhất định về giải hệ phương trình. + Học sinh trường THPT Long Khánh được thi tuyển nên đầu vào cũng tương đối đồng đều và có nhân tố tốt. 2. Khó khăn : + Số tiết luyện tập ít nên rèn luyện kĩ năng nâng cao là không thực hiện được. + Thực tế bài giải hệ phương trình lại yêu cầu khó, đa dạng , đòi hỏi có nhiều kỉ năng , kỉ xảo bởi vậy học sinh phải được luyện tập nhiều. + Số lượng bài tập tham khảo không đầy đủ và đồng bộ. + Thiếu các dấu hiệu nhận biết cách giải một cách rõ ràng và đầy đủ. III/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI : + Xây dựng được hệ thống các dấu hiệu dùng để nhận biết phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.Tập hợp các bài tập về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có hệ thống để học sinh luyện tập và các đồng nghiệp tham khảo. + Góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức , hứng thú trong học tập từ đó vận dụng để giải tốt các bài tập về hệ phương trình, đạt được các kết quả cao trong các kỳ thi vào đại học, thi chọn học sinh giỏi. IV/ ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : 1. Đối tượng nghiên cứu : Học sinh THPT 2. Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu qua tài liệu + Trao đổi với đồng nghiệp + Tiến hành thực nghiệm đối với học sinh. PHẦN 2 : NỘI DUNG I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN : 1. Vị trí của môn toán trong nhà trường Môn Toán là môn học có vai trò đặc biệt quan trọng trong nhà trường phổ thông . Là môn học có tác động đến hầu hết các môn học khác. Môn Toán có tác động rất lớn đến việc đào tạo các phẩm chất tốt cho người lao động sau này. 2. Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh Ở tuổi THPT học sinh rất hiếu động và thích tiếp thu cái mới, cái “chân lý”. Bởi vậy gắn việc học với việc tìm tòi lời giải là quá trình giúp cho học sinh khám phá, tìm tòi, sáng tạo. Bởi vậy dạy học bằng cách “lấy học sinh làm trung tâm” và người thầy đóng vai trò tổ chức, hướng dẫn học sinh tìm tòi, khám phá tri thức là nhiệm vụ của người thầy giáo. II/ CƠ SỞ THỰC TIỄN : Để học sinh tiếp thu bài học một cách hứng thú, có hiệu quả .Rõ ràng không thể áp đặt rồi bắt học sinh cứ áp dụng máy móc. Chìa khóa là hướng học sinh tìm tòi để tìm được hướng đi cho lời giải, đó là chất “men” để học sinh có hứng thú khi học bài. Thế nhưng dựa vào đâu để tìm tòi? Theo tôi đó là dấu hiệu của mỗi phương pháp. Chúng ta phải làm cho học sinh tiếp cận được với những dấu hiệu đó. Để phát hiện ra các dấu hiệu theo chúng tôi. - Phân tích mỗi phương trình để thấy được mối liên hệ giữa các ẩn . - Phân tích mỗi phương trình để tìm thấy nét đặc biệt trong các phương trình -Trả lời được câu hỏi định hướng của lời giải là gì ? III/ NỘI DUNG THỰC HIỆN : 1. Một số phép biến đổi tương đương của hệ phương trình . 1.1 Hệ haiphương trình tương đương Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. 1.2 Một số định lý * Định lý 1 : - Nếu thay một phương trình của hệ bởi một phương trình tương đương thì ta được một hệ phương trình tương đương. * Định lý 2 : - Cho hệ phương trình : 1 2 ( , ) 0 ( , ) 0 F x y F x y =   =  Nếu G(x;y) và H(x;y) ≠ 0 với mọi cặp số (x;y) thỏa mãn điều kiện của hệ phương trình, thì : 1 2 ( , ) 0 ( , ) 0 F x y F x y =   =  ⇔ 1 1 2 ( , ) 0 ( , ). ( ; ) ( ; ). ( ; ) 0 F x y F x y G x y F x y H x y =   + =  Hệ quả 1 : Với hai số C 1 ; C 2 ≠ 0 ta có 1 2 ( , ) 0 ( , ) 0 F x y F x y =   =  ⇔ 1 1 1 2 2 ( , ) 0 ( ; ) ( ; ) 0 F x y C F x y C F x y =   ± =  Hệ quả 2 : 1 2 ( , ) 0 ( , ) 0 F x y F x y =   =  ⇔ 1 1 2 ( , ) 0 ( ; ) ( ; ) 0 F x y F x y F x y =   ± =  * Định lý 3 : - Nếu phương trình 1 ( , ) 0F x y = ⇔ ( )x G y= thì 1 2 ( , ) 0 ( , ) 0 F x y F x y =   =  ⇔ 2 ( ) ( ; ) 0 x G y F x y =   =  Định lí 3 là cơ sở để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Ví dụ : Giải hệ phương trình : 2 2 2 3 11 2 5 x xy y y xy  − + =   − =   Nếu y = 0, từ (2) => vô lý Nếu y ≠ 0, (2) 2 5 2 y y x − ⇔ = Hệ phương trình 2 5 2 2 2 3 11 y y x x xy y −  =  ⇔  − + =   2 2 2 5 2 5 5 2 2 2 2 ( ) 3 . 11 y y y y y y x y y − − −  =  ⇔  − + =   2 5 2 4 2 24 25 0 y y x y y −  =  ⇔  + − =   Giải hệ ta có 2 nghiệm là (2;-1) và (-2;1) (1) (2) Chú ý : Khi giải hệ PT để khỏi mất nghiệm hoặc xuất hiện nghiệm ngoại lai, cần chú ý : + Nếu chia hai vế PT cho một biểu thức thì biểu thức đó phải khác không trong điều kiện của hệ. + Khi nâng cả hai vế của PT với lũy thừa bậc chẵn hoặc nhân cả hai vế của PT với một biểu thức chứa ẩn thì cần thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai. 2. Các dấu hiệu và phương pháp tìm tòi lời giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Định hướng ban đầu là các dấu hiệu để nhận biết cách giải. Bởi vậy trong quá trình dạy học sinh cách giải hệ phương trình, chúng tôi xây dựng bộ “tiêu chí” sau đây dùng để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. * Dấu hiệu 1 : Có 1 phương trình có ẩn là bậc nhất. Phương pháp : Rút ẩn là bậc nhất từ PT này rồi thế vào PT kia rồi giải PT theo ẩn đó. Ví dụ 1 Giải hệ PT sau 2 2 5 ( 1) 3(1) ( ) 1 0(2) x x x y x y + + =    + − + =   (Đề thi ĐH khối D/2009) Tìm tòi lời giải : Phương trình (1) là phương trình có ẩn y là bậc nhất. Từ PT (1) ta rút được y theo x thế vào (2) ta được PT một ẩn là x. Lời giải : Điều kiện : x ≠ 0 1) 3 1 x y x⇔ = − − . Thế vào (2), có PT 2 2 3 5 ( 1) 1 0 1; 2 x x x x− − + = ⇔ = = Nghiệm hệ là (1;1) và (2; 3 2 − ) Ví dụ 2 Giải hệ PT sau 2 4 3 2 2 2 6 6 2 2 9 x xy x x x y x y x  + = +   + + = +   (2) (Đề thi ĐH khối B/2008) Tìm tòi lời giải : Phương trình (1) là phương trình bậc nhất với y. Từ pt (1) rút được y theo x Lời giải : Nếu x = 0, (1) ⇒ Vô lý Nếu x ≠0, (1) ⇔ 2 6 6 2 x x x y − + + = , thế vào (2) Có x = -4; vậy y = 17 4 y = Nghiệm hệ là (-4; 17 4 y = ) Ví dụ 3 Giải hệ PT sau 2 2 2 ( 1)( 1) 3 4 1 1 x y x y x x xy x x  + + + = − +   + + =   Tìm tòi lời giải : Từ PT (2) ta phát hiện được y là bậc nhất .Vậy (2) ta rút được y theo x. Lời giải : Nếu x = 0, (2) ⇒ Vô lý Nếu x ≠0, (2) có 2 1 1 x x y − = − , thay vào (1) được 2 2 2 2 1 1 ( )( )3 4 1 x x x x x x x x − − + − + ⇔ 3 2 ( 1)(2 2 4 ) 0x x x x− + − = ⇔ x = 1; x = 2 Khi x = 1⇒ y = -1 x = -2 ⇒ 5 2 y = − Hệ có nghiệm là (1; -1) và (-2; 5 2 − ) (1) (1) (2) Nhận xét : Dấu hiệu có 1 PT có ẩn là bậc nhất chỉ là điều kiện có tính tương đối thôi. Mặc dù rút ra được nhưng còn tùy thuộc vào có giải ra PT sau khi thế vào hay không. Bởi vậy vẫn có nhiều hệ mặc dù rút ra được ẩn này theo ẩn kia nhưng vẫn không dùng được phương pháp thế. Cần phải làm rõ điều này đối với học sinh. Ví dụ như giải hệ phương trình : 3 3 3 6 (2 1) 18 2 ( 1) 0 x y xy x y x y x y  + + + − =   − + − =   Mặc dù từ PT (2) ta rút y theo x, nhưng khi thế vào thì phương trình mới không giải ra được. Do đó chúng tôi hướng học sinh tìm tòi cách giải khác. Bài tập tương tự Giải các hệ phương trình sau : 1) 3 2 4 2 1 1 x y x y x y + =    + + − + =   Đáp số : (2;-1) 2) 2 4 2 2 2 0 4 3 0 x xy x y x xy x y  − + + =   − + + =   Đáp số : (0;0); (1;1), (2;2) 3) 2 2 2 2 2 1 1 0 2 3 4 0 x y x xy x y x y  − + =   + − − − + + =   Đáp số : (1;2) 4) 2 3 2 2 5 9 3 2 6 18 x x y x x y xy x  + + =   + + + =   Đáp số : (1;3), (-3;15), (1- 7 ;6+3 7 ) (-1+ 7 ; 6 - 3 7 ) 5) 3 2 2 14 3 3 1 x xy y x x x y + + =   + + − =  Đáp số : (1;6), (-3;-10) (1) (2) Dấu hiệu 2 : Nếu đổi vị trí các ẩn cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia. Phương pháp : Lấy hai phương trình trừ nhau được một phương trình có dạng tích A.B = 0. Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau : 2 2 4 3 4 3 x x y y y x  − =   − =   Tìm tòi lời giải : Thay x và y cho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại lấy (1) trừ (2) ta được phương trình tích : Lời giải : (1) trừ (2), có (x-y)(x+y-1)=0 ⇔ x = y hoặc x = 1-y Thế x = y vào (1) có x = y = 0; x = y = 7 Thế x = 1-y vào (1) có 1 13 2 x + = và 1 13 2 x − = 1 13 2 x − = và 1 13 2 y + = Nghiệm hệ là (0;0); (7;7); ( 1 13 2 ± ; 1 13 2 ± ) Chú ý : Hệ phương trình nói trên là hệ phương trình đối xứng loại 2 : Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình sau : 5) 2 2 (4 2) 2 15 (4 2) 2 15 x y y x  + = +   + = +   (Đề thi học sinh giỏi TP.HCM – 2005) Tìm tòi lời giải : Hệ phương trình trên là hệ đối xứng loại 2. Lấy phương trình (1) trừ PT (2) Lời giải : (1) – (2) có (x-y) (8x + 8y + 9) = 0 8 9 8 x x y y + =   = −  (1) (2) ( (2) (1) Hệ có nghiệm là : 9 221 9 221 9 221 9 221 1 1 11 11 2 2 8 8 16 16 16 16 ( ; ),( , ),( ),( )( ; ) − − − + − + − − − − Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình sau 3 2 3 2 1 2( ) 1 2( ) x x x y y y y x  + = − +   + = − +   Tìm tòi lời giải : Hệ phương trình là hệ đối xứng loại 2 : Lấy (1) trừ (2) để phương trình tích Lời giải : (1) trừ (2) có (x-y)[x 2 +xy+y 2 -2(x-y)+4]=0 2 2 2( ) 4 0 x y x xy y x y =   + + − + + =  Kết hợp với (1) ; (3) có 1 5 2 1x y x y ± = = = = Kết hợp (1) và (4) có 3 2 2 2 2 2 1 2 2( ) 4 0 x x x x xy y x y y − + +  + + − + + =   =   6 5 4 3 2 3 2 2 2 2 2 4 10 14 16 10 13 0(*) ( 2 ) 2 (3 7 5) 6 10 13 0 x x x x x x x x x x x x x ⇒ − + − + − + = ⇔ − + − + + − + = Vì 3 2 2 2 2 2 ( 2 ) 0 2 (3 7 5) 0 6 10 13 0 x x x x x x x x x x − ≥ ∀ − + ≥ ∀ − + > ∀ Vậy phương trình (*0 vô nghiệm Nghiệm hệ là (1;1); 1 5 1 5 2 2 ( ; ) ± ± Bài tập tương tự Giải các hệ phương trình sau : 1) 2 1 2 1 1 1 y x x y y x  + = +   + = +   Đáp số : (1;1) (1) (2) (3) (4) 2) 3 3 3 8 3 8 x x y y y x  = +   = +   (Đề thi ĐHQGHN-1997) Đáp số : (0;0), ( 11; 11),( 11; 11)− − 3) 2 2 2 2 2 2 3 3 y x x y y x + +  =   =   (Đề thi ĐH khối B-2003) Đáp số : (1;1) 4) 2 2 2 2 2 4 3 5 2 4 3 5 x x y y y x  − = −   − = −   Đáp số : 7 7 11 11 5 5 5 5 ( 5; 5),(1;1),( ; ),( ; )− − − − 5) 2 2 2 2 ( 1)( 6) ( 1) ( 1)( 6) ( 1) x y y x y x x y  − + = +   − + = +   Đáp số : (2;2),(2;3),(3;2);(3;3) 6) 2 3 4 4 2 3 4 4 x y y x  + + − =   + + − =   Đáp số : 11 11 9 9 (3;3),( ; ) 7) Tìm a để hệ PT 2 3 2 2 3 2 4 4 y x x ax x y y ay  = − +   = − +   Có nghiệm duy nhất Đáp số : a) 25 4 Dấu hiệu 3 : Có một phương trình là phương trình bậc 2 với ẩn x hoặc y Phương pháp : Từ phương trình bậc 2, giải phương trình để rút x theo y hoặc theo x rồi thế vào phương trình còn lại. [...]... hiệu 6: Có một phương trình của hệ có dạng f(u(x))=f(v(y)) hoặc biến đổi về dạng nói trên Khi có một phương trình của hệ có dạng nói trên , đó là dấu hiệu để dùng tính chất đơn đi u của hàm số vào giải hệ phương trình Để thấy được dấu hiệu đó cần rèn luyện cho các em tìm mối liên hệ giữa các biến Phương pháp : tìm đi u kiện của hệ phương trình Phát hiện hàm đặc trưng f(t) là hàm đơn đi u trên một khoảng... tòi lời giải : Các phương trình (1) và (2) đều được coi là phương trình bậc 2 đối với x hoặc y, nhưng khi giải ra thì nghiệm được biểu thị dưới dạng căn bậc 2 Đi u này không giáp ta dùng phương pháp thế được, bởi lẽ phương trình mới còn chưa căn Nếu nhân phương trình (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1) ta có : (x +2y)2 + 3(x+2y) + 2 = 0 thì ta được phương trình bậc 2 Lời giải : Nhân phương trình. .. thay vào (1) có x = y = 3 7 2 Khi x = 2y thay vào (1) có x = 2; y = 1 Khi y = 2x thay vào (1) có x = -1; y = -2 Vậy hệ có nghiệm là : (2;1), ( −1; −2);( 3 7 ; 3 7 ) 2 2 Ví dụ 20 :Giải hệ phương trình sau ( x + y )(3xy − 4 x ) = −2   ( x + y )(3xy − 4 y ) = 2  (1) (2) (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 - Đồng Nai) Tìm tòi lời giải : Dễ dàng nhận thấy nếu cộng (1) với (2) ta được một phương trình dạng tích... 2y, thay vào (1) có y = 1 ⇒ x = 2 , vậy (2;1) là nghiệm của hệ Do đó hệ có nghiệm là : (−1; −2), (2;1);(0;0) Ví dụ 14 :Giải hệ phương trình sau : (1) (1)  x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9   2 2  x − 4 xy + 5 y = 5  (2) Tìm tòi lời giải : Nhân phương trình (1) với 5 và phương trình (2) với 9 rồi trừ cho nhau có phương trình đẳng cấp là : 4 x 2 − 26 xy + 30 y 2 = 0 Lời giải : (1) và (2) có 4 x 2 − 26 xy +... Hệ có nghiệm là (o;-3) và ( > 0∀t Vậy f(t) đồng biến ∀t 1 3 10 1 ; ) 3 3 NHẬN XÉT : 1)Để xây dựng được hàm đặc trưng ta phải tìm thấy có mối liên hệ giữa các biến Có những bài phải có sự biến đổi như chia phương trình hoặc phải kết hợp các phương trình lại với nhau 2)Cần nhấn mạnh cho các em chú ý đến đi u kiện của tính đơn đi u hàm số trên một khoảng Ví dụ qua bài toán sau đây Giải hệ phương trình. .. của hệ 3 Nếu ( y + 1−2 x ) 2 + 3 ( x − 1) = 0 4 ⇔ x = 1 và y = 1 Vậy (1;1) là nghiệm của hệ Do đó hệ có nghiệm là (1;1); (-2;1) Ví dụ25 : Giải hệ phương trình sau  x 3 − y 3 = 35   2 2 2 x + 3 y = 4 x − 9 y  (1) (2) Tìm tòi lời giải : Nhân phương trình (2) với 3 rồi lấy (1) trừ đi kết quả sau khi nhân ta xuất hiện lũy thừa 3 Tại sao lại nhận phương trình (2) với 3 ? Do ta liên kết (1) và (2) có. ..Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau :  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 )   x 2 y − y x −1 = 2x − 2 y  (1) (2) Tìm tòi lời giải : Ta thấy phương trình (1) là phương trình bậc hai với biến x, giải phương trình (1) để rút x theo y Lời giải : ⇔ x 2 − ( y + 1) x − 2 y 2 − y = 0 (1) ⇔ x = − y; x = 2 y + 1 Do đi u kiện x ≥ 0; y ≥ ≥ nên x = -y ⇔ x + y = 0 là vô lý Khi x = 2y + 1 thay vào (2) có ( y + 1) 2... nghiệm là (1 ; 1 ) Ví dụ 28 : Giải hệ phương trình sau 3 x  x3 + x e + ln = e y + x  y   x + xy − y = 2  (1) (2) Tìm tòi lời giải Với đi u kiện của hệ là x>0 và y>0 Phương trình (1) được viết lại : ex 3 +x + ln x = e y 3 +y + ln y Đây là dấu hiệu xuất hiện hàm đặc trưng f(t) = et +t + ln t với t >0 3 Lời giải Với đi u kiện của hệ là x>0 và y>0 Phương trình (1) được viết lại : ex 3 +x + ln x... (1) có : (x+2y)2 + 3 (x + 2y) + 2 = 0 ⇔ x + 2 y = −1; x + 2 y = −2  x = −(1 + 2 y ) ⇔  x = −2( y + 1) (3) (4) Lần lượt kết hợp (3) với (2) và (4) với (2) giải ra ta có nghiệm hệ là : (−3 − 2 2;1 + 2), ( −3 + 2 2;1 − 2) (−3 + 5; 1−2 5 ), ( −3 − 5; 1+2 5 ) Nhận xét : Khi phương trình bậc hai 2 có ∆ là một số có dạng bình thường thì phương pháp mới có tác dụng Bài tập tương tự : Giải các hệ phương trình. .. lời giải : Từ phương trình (2) có : 6 x 2 − 15 xy + 6 y 2 = 0(*) (*) là phương trình đẳng cấp cấp 2 đối với x và y Lời giải : (2) ⇔ 6 x 2 − 15 xy + 6 y 2 = 0 Nếu y = 0 ⇒ x = 0 (0;0) thỏa hệ phương trình Vậy (0;0) là 1 nghiệm của hệ 2 Nếu y ≠ 0, (*) 6( x ) − 15( x ) + 6 = 0 y y ⇔ x = 1; x = 2 y 2 y  y = 2x Hay  x = 2 y Với y = 2x, thay vào (1) có x = -1 ⇒ y = −2 vậy (-1;-2) là nghiệm của hệ phương trình . năm dạy học, chúng tôi thấy học sinh thường dễ mất phương hướng khi giải hệ phương trình. Bởi vậy làm sao để học sinh có được một hướng đi đúng đắn khi giải hệ phương trình . Đó là đi u mong. ẩn cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia. Phương pháp : Lấy hai phương trình trừ nhau được một phương trình có dạng tích A.B = 0. Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau : 2 2 4. lý * Định lý 1 : - Nếu thay một phương trình của hệ bởi một phương trình tương đương thì ta được một hệ phương trình tương đương. * Định lý 2 : - Cho hệ phương trình : 1 2 ( , ) 0 ( , ) 0 F