Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là một tài liệu hiếm có về việc sử dụng MTBT trong khi giải đề thi Đại học môn Toán một thao tác mà học sinh hiện nay ít chú ý tới. Tài liệu này rất đầy đủ vì được tác giả sưu tầm từ nhiều nguồn khác nhau đồng thời bổ sung, sáng tạo thêm các kỹ thuật. Hi vọng phiên bản thứ 2 này khi ra mắt sẽ được bạn đọc đón nhận nhiều hơn vì đây là một tài liệu khá bổ ích cho việc thi Đại học.
Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 1 SỬ DỤNG MTBT TRONG LÀM ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Lâm Hữu Minh (TTMT) “Việc kết hợp trí tuệ máy tính với trí óc con người sao cho hiệu quả là cả một môn khoa học, gọi là khoa học về phương pháp” TTMT Các kỹ thuật sau đây được TTMT sưu tầm (khoảng 1 2 dung lượng của chuyên đề) và tự sáng tạo, bao gồm cả kỹ thuật giải tay lẫn sử dụng MTBT, phương pháp chính quy lẫn không chính quy. Các kỹ thuật về MTBT trong này dùng cho đề thi ĐH - CĐ, chỉ một số ít có thể dùng để thi HSG giải toán trên MTBT. Trong đó, có 2 tác giả của các kỹ thuật mà TTMT sưu tầm nhiều nhất, đó là: _ Bạn Bùi Thế Việt (nthoangcute): phần lớn là các kỹ thuật về sử dụng MTBT. _ Thầy Trần Phương: các kỹ thuật tính tích phân. Số còn lại sưu tầm từ nhiều tác giả khác nhau, chủ yếu về các kỹ thuật sử dụng MTBT. Lưu ý: loại MTBT dùng ở đây là CASIO fx-570ES, các loại máy khác có màn hình hiển thị tương tự thì thao tác sẽ khác một vài chi tiết nhỏ. Tuy cấu trúc đề thi ĐH - CĐ có thể thay đổi theo thời gian, nhưng kiến thức là vĩnh cửu, do đó việc cấu trúc câu ở đây khác đề thi thật hay không không quan trọng. Ngoài ra, có những kỹ thuật vượt khỏi phạm vi kiến thức THPT thì không nhất thiết phải tìm hiểu, nhưng luôn có thể áp dụng được vì chúng được dùng để truy nhanh những kết quả mà đề thi không yêu cầu trình bày cách giải, miễn người đọc có khả năng áp dụng. Chỉ cần chúng ta vẫn nắm vững được phương pháp giải và trình bày bài toán, thì chúng ta có thể tự tin giao cho máy tính giải quyết những chi tiết nhỏ nhặn, thời gian còn lại sẽ góp phần để mở rộng vốn kiến thức của bản thân. Tài liệu này nên được bổ sung phát triển theo hướng sát với đề thi ĐH - CĐ mỗi năm, bởi bất kì người học nào có năng lực. Câu 1. a) (khảo sát hàm số) Tính trước các giá trị để biết trước kích cỡ của BBT trước khi kẻ vào. Dùng MODE TABLE của MTBT để tìm các điểm thuộc đồ thị trước khi vẽ (dùng cho cả việc tính các giá trị của hàm với nhiều giá trị biến liên tiếp nhau để biết được sự biến thiên trong 1 khoảng, hay tìm khoảng chứa nghiệm). Vì đồ thị vẽ ở bên không cùng mặt giấy với quá trình khảo sát trước đó nên phải giữ lại bảng giá trị (MODE TABLE) để nhìn vào và vẽ (đỡ phải lật giấy lại liên tục để xem tọa độ các điểm hay phải ghi ra nháp). b) (câu hỏi phụ) Nhớ 2 công thức tính nhanh: 0 2 2 0 0 ( ) 0 0 2 ' (dx e) ( ) '( ) ( ) '( ) x adx aex be cd y f x f x y g x g x (x 0 là nghiệm y’ = 0) dùng cho hàm 2 ( ) ( ) f x ax bx c y g x dx e Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 2 Chia y cho y’: 1 2 ' ( ) ( ) y y f x f x PT đường qua cực trị 2 ( ) y f x tính nhanh được 0 ( ) 2 0 ( ) x y f x với x 0 là nghiệm PT y’ = 0 Khi đề cho hàm số 3 ( , )y f x m (ở câu a), mà để làm được câu này ta phải tìm (biểu diễn) được nghiệm của PT 3 ( , ) 0 f x m . Lúc này nên thử xem PT đó có nghiệm 0 x x R (không chứa m) hay không. Nhập vào máy f 3 (X) rồi gán m = 0 (đơn giản nhất) cho máy giải tìm X. Nếu máy cho nghiệm xấu không làm rõ được (hoặc biết được nhưng phức tạp) thì chắc chắn đó không phải x 0 cần tìm, cho máy giải lại tìm nghiệm đẹp (thường là nguyên). Nếu đã tìm được nghiệm đẹp, quay lại PT, áp dụng “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất” (xem Câu 2a) để kiểm tra biểu thức khi thay đổi m. Tuy nhiên để đề phòng nghiệm có dạng x = am + b, ta gán m = 1000 cho máy giải. Nếu 0 0 100 x x thì đó là nghiệm x = am + b. Lúc này ta chọn a, b thỏa mãn 10 , 10a b sao cho 1000a + b = x 0 thì ta được nghiệm x = am + b. Lúc này thử lại kết quả bằng cách chọn m bất kì (nhỏ thôi) xem máy giải PT 3 ( , ) 0 f x m có luôn ra x = am + b không (bản chất của cách làm này là kỹ thuật phân tích đa thức 2 ẩn thành nhân tử, được tổng quát ở Câu 2b). Câu 2. a) (PT lượng giác) Với mọi PT: nếu có thể rút gọn nhanh các biểu thức của PT mà vẫn giữ nguyên ĐKXĐ thì nên nhập PT rút gọn cho máy giải (trước khi bắt tay vào làm, trừ phi bài quá dễ). Nguyên tắc thử giá trị tốt nhất (sẽ dùng cho 1 vài kỹ thuật phía sau): nếu một dạng khác của biểu thức f(x) là g(x) được tìm ra nhờ MTBT mà khi ta gán các giá trị X (trên MTBT): _ Là số siêu việt (như ; ;e …) nếu f(x) là hàm nguyên (VD: hàm đa thức ( ) n f x ). _ Là số thập phân hữu hạn (như 1,364; 5,2235;…) nếu f(x) là hàm vô tỉ. để tính ( ) ( )f X g X mà kết quả luôn bằng 0, thì dạng g(x) được tìm ra là đúng (các giá trị X ở đây phải thuộc TXĐ của f(x)). Dùng MTBT kiểm tra xem đẳng thức lượng giác ( ) ( )f x g x (1 vế là đại lượng có trong bài toán) nhớ có đúng không: nhập vào máy ( ) ( )f x g x rồi dùng “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất”) để kiểm tra, sai thì sửa lại biểu thức và thử tiếp. Tìm nhân tử (khi nháp chưa ra): giả sử PT ( ) 0F x bấm máy được nghiệm x = x 0 (nên nhập các giá trị dự đoán ban đầu (gọi là G x ) là các số đẹp, hay xảy ra là 0; ; ; ; 6 3 2 4 cho máy giải), dự đoán và thử tính 0 ( )f x với ( )f x là hàm lượng giác có liên quan mật thiết đến PT đang giải (nhưng trước tiên nên chọn các hàm cơ bản là sinx, cosx, tgx), nếu 0 ( ) 0 f x thì ( )f x có thể là 1 nhân tử của PT. Đến đây có 2 cách tìm nhân tử chính xác: _ Giải PT nhân tử ( ) 0f x tìm nghiệm, đối chiếu ĐK (nếu có) ta được các nghiệm x 0 , x 1 , x 2 ,… Thay lại các nghiệm này vào F(x), giả sử có 1 ( ) 0 F x , thì ( )f x không phải là nhân tử cần tìm (ngược lại thì coi như đã xong 1 nửa). _ x 0 có thể thuộc họ nghiệm 0 x x kc với 1 1 2 1; ; ; 2 3 3 c (những số thường rơi vào), do đó ta lưu 0 x A rồi lập chương trình kiểm tra nghiệm: : ( )X A C F X . Dùng CALC gán Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 3 vào C 4 giá trị trên xem C nào làm cho ( ) 0F X (có thể dựa vào 0 a x b để đoán thêm giá trị có liên quan đến a b để kiểm tra), khi đó PT có thể có họ nghiệm 0 x x kC . Từ đó ta sửa lại chương trình: : ( )X A BC F X rồi dùng CALC gán các giá trị B (C giữ nguyên, số giá trị B cần gán phụ thuộc vào C đã tìm được) để kiểm tra chắc chắn tính chính xác của họ nghiệm trên. Bấy giờ mới lập nhân tử dưới dạng ( ) sin( ) ( , ) f x mx n m n (hoặc cos( )mx n ) chứa nghiệm 0 x x kC , rồi dùng công thức cộng ta được nhân tử chính thức là: sin cos sin cos ( ) cos cos sin sin mx n n mx f x mx n mx n Nếu thử 2 cách trên khoảng 5; 6 lần mà chưa ra thì phải giải tay. Cách lưu nghiệm nhanh hơn cho mọi PT ( ) ( )f x g x : nhập vào máy ( ) ( )f x g x (bỏ “= 0”) để giải. Sau khi ra nghiệm, quay lại PT, ấn (đương nhiên kết quả là 0) để lưu PT (nếu phải tính nhiều phép tính khác nhưng liên quan đến PT này, thì cứ khoảng 3; 4 phép tính lại quay lại lưu PT 1 lần), rồi lưu nghiệm trong X sang biến nhớ khác. Quay lại PT cho máy giải tiếp tìm nghiệm khác. Khi máy cho nghiệm xấu (trong PT lượng giác là nghiệm có dạng a b (phân số a b tối giản) mà ấn S D không chuyển được sang dạng đẹp), chia nghiệm đó cho thường xác định được a b Nghiệm đẹp nhất trong họ a x kc b ứng với k = 0, đôi khi máy không hiển thị được nghiệm dạng đẹp dù a b đẹp, vì nghiệm đó ứng với k mà |k| khá lớn, lấy nghiệm đó trừ (hoặc cộng) dần với n ( 1 ;1;2 2 n tuỳ độ lớn nghiệm) để tìm a b , từ n có thể biết được c Đổi góc lượng giác từ độ Radian khi không nhớ công thức: ở chế độ “D” (độ), viết 1 giá trị lượng giác của , VD sin , ấn . Chuyển sang chế độ “R”, ấn sin SHIFT Ans . Hoặc ở chế độ “R”, nhập o (ấn 1SHIFT Ans nhập “ o ”), ấn . Chuyển từ Radian độ làm ngược lại. b) (phương – bất phương – hệ phương – trình đại số) Nếu không muốn đặt ĐKXĐ cho PT (trừ phi ĐK có thể giúp 1 phần trong việc giải) thì cứ giải bình thường rồi mang các nghiệm thử lại vào PT đầu (nếu dùng cho PT lượng giác thì phải lưu ý tính tuần hoàn của họ nghiệm, vì có vô số nghiệm). Đổi số thập phân 1 2 1 2 1 2 , ( ) m n p P a a a b b b c c c máy hiện thành phân số: Số thập phân vô hạn tuần hoàn: _ Cách 1: dùng MTBT: Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 4 + Nếu 7m n p thì nhập P vào với ít nhất 3 lần chu kì, nhập phải dài hơn phần mà máy hiển thị được, ấn , máy cho ra phân số. Lưu ý: điều kiện “ 7 ” chỉ là mức tối đa mà máy có thể làm được, không phải P cứ có điều kiện đó là đổi được. + Nếu 1 2 1 2 ,( ) m p P a a a c c c với p khá lớn, ta chỉ cần cho máy đổi 1 2 0,( ) p c c c thành phân số, rồi cộng với 1 2 m a a a ngoài nháp. Áp dụng định lí: mọi số thập phân dạng 1 2 0,( ) ( 14) p c c c p , máy tính dòng ES trở lên luôn tìm được dạng phân số của nó từ số 1 2 14 0, c c c , và ngược lại, nếu máy có thể đổi được 1 2 14 0, c c c thành phân số a thì chứng tỏ 1 2 14 0, c c c là số thập phân được cắt từ 15 chữ số đầu của một số thập phân vô hạn tuần hoàn có dạng 1 2 0,( ) p c c c (lúc này không nhất thiết 14p ) mà dạng phân số của nó chính là a _ Cách 2: áp dụng công thức đổi số thập phân tuần hoàn tổng quát: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ( ) ( , 1) 10 10 (10 1) p n m n p m n n p c c c b b b a a a b b b c c c a a a m p Dạng đơn giản nhất: 1 2 1 2 0,( ) 10 1 p p p c c c c c c Số thập phân hữu hạn: nếu máy không đổi được ngay nó sang phân số thì chứng tỏ dạng tối giản của phân số đó vi phạm ít nhất 1 trong các điều sau: _ Tổng chữ số của tử và mẫu vượt quá 9 _ Tổng chữ số của tử và mẫu bằng 9 nhưng số chữ số của tử lớn hơn của mẫu (lúc này ta trừ đi phần nguyên để đổi phần thập phân). Giả sử số thập phân hữu hạn 1 2 1 2 , m n P a a a b b b cần tìm dạng phân số, ta dùng phương pháp chuyển đổi từng phần để tìm dạng phân số của 1 2 0, n b b b . Lần lượt nhập vào máy 1 2 0, i b b b ( )i n để thử chuyển đổi, nếu máy cho được dạng phân số của 1 2 0, i b b b là b thì ta tiếp tục chuyển đổi phần tiếp theo là 1 1 2 1 0, 0,0 0 0 10 i n i i n i b b b b thành phân số bằng cách chuyển đổi 1 0, i n b b giống như 1 2 0, i b b b , được phân số c. Cuối cùng 1 2 10 m i c a a a a b (cộng ngoài nháp). Nếu những cách trên không thành thì P là số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn), máy không đổi được. Lúc này có 1 phương pháp khác (có nói phía dưới) có thể truy được P từ dạng thập phân về dạng căn thức bậc 2 (nếu P là như vậy) thông qua PT bậc 2 nhờ MODE TABLE. Tính nhanh giới hạn: vì đề thi ĐH không bắt trình bày cách tính lim ( )f x nên ta có thể làm bất cứ cách gì miễn tính được nhanh nhất, và chỉ phải dùng cách này ở các hàm số sinh bởi việc giải PT khi không nhẩm ngay được đáp án: _ Dạng 0 0 : tính 0 ( ) lim ( ) x x f x g x với 0 0 0 ( ; ) ( ) ( ) 0 x a b f x g x ( ( ), ( )f x g x liên tục trên [ ; ]a b ): Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 5 + Quy tắc L’Hospital: nếu '( ), '( ) 0f x g x trong lân cận x 0 và 0 '( ) lim '( ) x x f x L g x (hữu hạn), thì 0 ( ) lim ( ) x x f x L g x (nếu 0 x thì cũng áp dụng được, chỉ cần lim ( ) lim ( ) 0 lim '( ) 0 x x x f x g x g x là được). Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần liên tiếp, tức là 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) n n x x x x f x f x g x g x (miễn có đủ các điều kiện). + Đạo hàm: nếu 0 0 '( ), '( )f x g x hữu hạn, 0 '( ) 0 g x thì 0 0 0 00 0 0 0 ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim ( ) ( ) ( ) '( ) x x x x f x f x f x f x x x L g x g x g x g x x x . Do đó bấm máy biểu thức 0 0 ( ( ))| ( ( )) | x x x x d f X dx d g X dx là xong. Nếu máy báo “Math ERROR” thì chắc chắn 0 ( ) lim ( ) x x f x g x (trong đề thi ĐH không có loại không tồn tại giới hạn), lúc này nhìn bảng biến thiên của ( ) ( ) f x g x là biết _ Dạng : ta vẫn dùng quy tắc L’Hospital như trên, chỉ khác lúc này 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x _ Dạng 0. : khi tính 0 lim ( ) ( ) x x f x g x mà 0 0 lim ( ) 0 lim ( ) x x x x f x g x và f(x), g(x) là 2 trong 3 hàm , , log x m a a x x ( 1, 0)a m , thì 0 lim ( ) ( ) x x f x g x sẽ tính theo hàm có độ tăng mạnh nhất. Khi x thì độ tăng của chúng xếp theo thứ tự log x m a a x x (tức hàm x a nhanh nhất), nhờ đó có thể đoán được ngay kết quả. _ Giản ước giới hạn về dạng đa thức bằng cách sử dụng: + Vô cùng bé (VCB): nếu 0 lim ( ) 0 x x f x thì f(x) là VCB trong quá trình 0 x x . Từ đó ta có: khi 0x thì: 2 sin ; cos 1 ; tan ; log (1 ) ; 1 ln ; 2 ln x a x x x x x x x x a x a a 1 1 2 1 1 (1 ) 1 ; ( ) a n n n n n x ax f x a x a x a a ( ( ) n f x là đa thức). + Vô cùng lớn (VCL): suy từ VCB dựa vào: nếu ( )h x là VCB thì 1 ( )h x là VCL. Áp dụng quy tắc: nếu ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x G x g x khi 0 x x thì 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x F x f x G x g x (x 0 có thể là ). Nhẩm nghiệm PT 1 1 1 0 n n k k k a x dạng đặc biệt: Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 6 _ Nếu 1 1 0 1 n k k a x là 1 nghiệm. _ Nếu 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 n n i j i j a a x là 1 nghiệm. _ Khi ( 1; 1) k a Z k n , nếu nghiệm là p x Q q thì 1 1 n a p a q Cách tối ưu hóa việc tìm nghiệm của MTBT: _ Cách 1: thử giá trị x G phù hợp. Cách để máy dễ tìm ra các nghiệm nhất là thử lần lượt với 10; 10; 0 G G G x x x _ Cách 2: giả sử máy giải f(X) = 0 được X = x 0 , ta lưu nghiệm đó vào A rồi bấm quay lại đầu PT, chèn f(X) lên tử số của phân thức bằng cách bấm ( SHIFT DEL , rồi sửa biểu thức thành ( ) ( ) f X X A . Tiếp tục SHIFT CALC cho máy giải nghiệm, máy sẽ phải tìm nghiệm khác (nếu có), không thể hiển thị nghiệm A được. Nếu có nghiệm thứ 2 (lưu vào B), ta lại sửa biểu thức thành ( ) ( )( ) f X X A X B rồi làm tương tự. Hết nghiệm máy sẽ báo “Can’t Solve”. Nếu f(x) là PT lượng giác thì với mỗi X giải được tiếp theo, phải coi nó có cùng họ với nghiệm trước không (vì có vô số nghiệm). Với PT bất kì lúc bắt đầu cho máy giải nên chọn 1 0 G x , sau khi đã có 1 nghiệm x 0 thì chọn 2 G x X (giá trị đối). Dựa vào chiều từ 2 0 G x x (hướng về hay ) để nhập tiếp 3 G x (để tìm nghiệm khác) hướng theo chiều đó, và 3 0 G x x Nếu máy giải PT đa thức 1 1 2 1 ( ) 0 n n n n f x a x a x a không ra nghiệm đúng x 0 (hoặc cho số gần đúng dạng 10 ( ) b a a cùng với yêu cầu (có hoặc không) “Continue: [=]”), ta cần xác định và thu hẹp khoảng nghiệm bằng các định lí (ĐL): _ ĐL 1: nếu 1 2 0 1 2 ( ) ( ) 0 ( ; ) n n f x f x x x x , ta thu hẹp khoảng này bằng cách tiếp tục so dấu 1 2 2 n x x f với 1 2 ( ); ( ) n n f x f x (nên dùng MODE TABLE để nhanh hơn). _ ĐL 2: nếu 1 1 2 0 1 1 1 2 max | 1; 1 max | 2; 1 i n n k m a i n a m x m a a m a k n _ ĐL 3: nếu 0 0 1 min max | 0; 1; 1 0: 1 {1;2; ; 1}: 0 i i k k a a a i n a x x a k n a Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 7 Thỉnh thoảng PT có nghiệm đẹp nhưng hàm solve cho “ ,99999998 X a ” (vì máy dùng thuật toán lặp Newton để xấp xỉ nghiệm), thì hiểu nghiệm đúng là x = a + 1, còn nếu hiện “ ,000000012 X a ” thì x = a (MODE EQN rất hiếm khi mắc lỗi này). Loại máy CASIO fx-570ES trở xuống, MODE EQN không thể hiển thị nghiệm dạng căn thì với PT bậc 2, dùng 2 lệnh: 2 4 2 B B AC A và 2 4 2 B B AC A ở MODE COMP để giải. Kỹ thuật khai triển đa thức f n (x) hệ số nguyên ra dạng rút gọn bằng MTBT: _ Cách 1: Dùng CALC tính f n (1000) được kết quả K 1 . Vì nhìn qua f n (x) biết được n nên ta xấp xỉ K 1 thành số tròn chục gần nhất: 3 1 1 1 10 ( ) n K a a (do ta gán X = 1000 = 10 3 ) a 1 là hệ số x n (có thể xảy ra a 1 = 0). Quay lại biểu thức f n (X), nhập thêm ta được “ 1 ( ) ( n n f X a X ” (biểu thức mới này có bậc 1n ), ấn , được kết quả K 2 (nếu làm đúng thì K 2 phải ngắn hơn K 1 ít nhất 2 số, nếu 2 10 ( ) c K b b thì c phải kém ít nhất 2 đơn vị so với 3n). Tương tự ta xấp xỉ: 3( 1) 2 2 2 2 10 ( ) n K a a a là hệ số 1n x , cứ như vậy tìm được các hệ số của f n (x). Cuối cùng dùng “nguyên tắc thử giá trị tốt nhất” (chỉ cần 1 giá trị là đủ) để kiểm tra lại kết quả với biểu thức 1 1 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n f X a X a X a f x a x a x a . Cách này có thể trục trặc nếu 6n ở những hệ số cuối, gần cuối. _ Cách 2: tính giới hạn theo vô cùng bé. Vì 1 1 1 2 1 0 lim n n n i i i n i x a x a x a x a x nên bằng cách gán 10 0 ( ) k X k , ta tính được a i . Nhưng đầu tiên phải tính 1 (0) n n a f , sau đó mới tính các hệ số bắt đầu từ phía sau: 1 1 1 2 0 0 ( ) ( ) lim ; lim ; n n n n n n n X X f X a f X a a X a a X X … Giá trị 10 10X được gán đầu tiên để tính a n , sau đó sửa biểu thức và ấn tiếp, nhưng nếu kết quả là 0 thì phải giảm k xuống và thử lại, vì hệ số chưa chắc đã là 0 (lỗi ngay cả với 1 0 lim n n X a X X ). Tuy nhiên nếu để hệ số phân số để khai triển thì kết quả không hiển thị được ở dạng phân số, nhưng vì là số thập phân hữu hạn và nhỏ, hoặc có chu kì, nên có thể đổi được sang phân số nhanh chóng (chi tiết xem phía trên). Cách này hoạt động tốt nhất với 4n (lúc này có thể cố định 10 10X rồi ấn ). _ Cách 3: tính giới hạn theo vô cùng lớn. Vì 1 1 2 1 1 lim n n n n x a x a x a a x , nên bằng cách gán 10 ( ) k X k , ta tính được a 1 . Sau đó quay lại biểu thức ( ) n n f X X , sửa thành 1 1 ( ) n n n f X a X X , lại tiếp tục tính giới hạn để tìm a 2 , cứ như thế ta tìm được các hệ số của ( ) n f x . Nếu n càng lớn, chỉ khoảng 2; 3 hệ số đầu là chắc chắn, càng về sau càng sai lệch khó đoán, do đó để tính được ( ) lim n n x f x x hiệu quả nhất, ta dùng các quy tắc: Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 8 + Tính a 1 luôn gán X = 10 15 , 2 giá trị tiếp theo (để tìm a 2 , a 3 ) là 10 10 ; 10 7 , các giá trị sau đó cứ lấy 1 2 số mũ của 10 ở giá trị phía trước. + Nếu thấy kết quả bằng 0 thì thay đổi k của X = 10 k đến khi được kết quả khác 0 (nếu mãi vẫn bằng 0 thì nhận hệ số đang tìm là 0). + Nếu thấy kết quả dạng phân số thì làm tròn rồi thử. Lưu ý: để tìm hệ số tự do, ta chỉ cần tính 1 1 2 ( ) 1 n n n n f X a X a X a X với giá trị X bất kì, không cần giới hạn nữa, lúc này nên gán X là số siêu việt để kết hợp cả việc kiểm tra kết quả (nguyên tắc thử giá trị tốt nhất), nếu kết quả nguyên thì đó là a n+1 , ngược lại tức là có hệ số phía trước không đúng. _ Cách 4: được sử dụng để tìm nốt những hệ số còn lại nằm ở giữa của f n (x) bởi vì những cách trên kết hợp lại có thể cũng chỉ tìm được các hệ số phía đầu và cuối. Giả sử cần tìm 1 , (3 2) i i a a i n nằm giữa của f n (x) khi ta đã xác định được 1 2 1 2 1 , , , , , , i i n a a a a a , tức là tìm các hạng tử 1 1 , n i n i i i a x a x , ta có: 1 2 1 1 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) n i n i n n i n i n i i n i i n n i i n i f x A a x a x f x a x a x a x a f x A a x a x Do đó, ta gán 2 1 1 1 1 1 2 1 1 n n i n i i i n A a X a X a X a rồi mới tính 1 1 1 ( ) n n i f X A b X (để tránh nhập cồng kềnh hoặc dung lượng màn hình không đủ do biểu thức quá dài). Lại gán X = X 2 rồi tính tương tự, ta được hệ 1 1 1 1 2 2 1 2 ( , 0) i i i i a X a b X X a X a b , đến đây có thể dùng MODE EQN hoặc MODE TABLE (xem Câu 5 (hình học tọa độ phẳng) để rõ hơn) để tìm 1 , i i a a . Ta có thể xác định được tối đa 4 hệ số qua cách này (ở Câu 4 (hình học không gian thuần tuý và tọa độ) có cách giải hệ 4 ẩn bằng MTBT), nhưng tốt nhất vẫn là 3 trở xuống. _ Cách 5: ứng dụng đạo hàm tại điểm. Trước hết dùng CALC tính (0) n f được kết quả là a n+1 . Ta có 1 2 1 2 '( ) ( 1) n n n n f x na x n a x a . Do đó quay lại đầu biểu thức ( ) n f X , chèn ( ) n f X vào chức năng đạo hàm tại điểm bằng cách ấn ( SHIFT DEL (bật chế độ chèn) rồi SHIFT , trên màn hình hiện (( ( )) | n x d f X dx , chỉnh lại ( ( )) | n x d f X dx rồi ấn (lợi dụng lỗi “Syntax ERROR”) để con trỏ nằm vào chỗ giá trị x, sửa thành ( ( )) | n x X d f X dx . Ấn (đang có X = 0) được tiếp kết quả là a n . Quay lại biểu thức đã nhập, nhập thêm ta được: ( ( )) | n x X n d f X a dx , tiếp tục dùng CALC tính biểu thức với 1n giá trị X , đối nhau qua 0 (từ nhỏ đến lớn: 1; 2; 3; ), từ đó ta được hệ 1n PT, ứng 1n ẩn: Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 9 1 2 1 2 1 ( 1) '( ) 1; 1 n n i i i n n i n nx a n x a x a f x a i n . Giải tay (để đưa về hệ 3 ẩn) hoặc giải máy (giải hệ 3 ẩn) tìm được các ( 1; 1) i a i n , từ đó dễ tìm ra a n+1 . _ Cách 6: dùng số phức (trong MODE CMPLX). Giả sử cần khai triển f 4 (x), ta coi rằng: 4 3 2 4 1 2 3 4 5 ( ) f x a x a x a x a x a . Tính 4 (0)f với CALC được a 5 , rồi tiếp tục tính 4 3 2 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 5 4 2 1 1 ( ) ( ) f i a i a i a i a i a a a i a a i a a a a a a i m n i và 4 1 2 3 4 5 1 3 5 4 2 2 2 (2 ) 16 8 4 2 16 4 (2 8 ) f i a a i a a i a a a a a a i m n i (i là đơn vị ảo). Như vậy ta được hệ: 1 3 5 1 1 3 1 5 1 3 5 2 1 3 2 5 16 4 16 4 a a a m a a m a a a a m a a m a và 4 2 1 4 2 2 2 8 a a n a a n , xử lí 2 hệ này trong MODE EQN thu được kết quả. Tuy nhiên bất cập là nếu trong f n (x) có chứa g m (x) thì máy sẽ không tính được ( ) k m g i với 4k (nghĩa là với 4 ( )f x trên, ta phải nhập 3 i i để tính 4 i thay vì nhập trực tiếp 4 i ), xem Câu 7b (số phức) để rõ hơn cách xử lí. Cách này hoạt động tốt nhất với 6n (làm tương tự trên). _ Cách 7: dùng SOLVE giải PT f n (X) = 0 (nhập nguyên dạng chưa khai triển). Nếu PT có n nghiệm (nhìn qua f n (X) có thể xác định ngay được n, nghiệm bội h cũng coi là h nghiệm đơn) thì lưu các nghiệm vào biến rồi dùng hệ thức Viet: 1 1 1 1 1 2 1 1 ( , , k n k l k l i n i j i j a x a k i n a x a k lẻ, i chẵn, hệ có n phương trình, đây là dạng tổng quát) để suy ra 1 1 2 1 ( ) n n n n n f x a x a x a x a . Cách này tốt nhất cho n = 2, không những khai triển được mà còn biết được nghiệm. Nếu f n (x) có hệ số phân số thì ta triệt mẫu số bằng cách nhân thêm s (là BCNN của các mẫu số, nhằm đưa về đa thức hệ số nguyên) rồi khai triển sf n (x) bằng các cách trên, cuối cùng chia ngược lại các hệ số cho s. Đối với cách 7 thì không cần làm vậy, vì ta khai triển gián tiếp. Kỹ thuật khai triển đa thức ( , ) n F x m bằng MTBT: _ Cách 1: dùng khi biết tham số m có bậc cao nhất bằng 1. Ta sẽ khai triển đa thức thành dạng ( ) ( )f x mg x sau đó gộp lại theo x. Vào MODE 2 (CMPLX), xem m là số ảo i, nhập vào máy ( , ) n F X i , ấn CALC , gán X = 1000 (theo cách 1), ấn được kết quả: (1000) (1000) (1000) (1000) f a K a bi f mg g b . Từ đó tìm được các đa thức f(x), g(x) _ Cách 2: giả sử sau khi khai triển thì 1 1 2 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n F x m f m x f m x f m x f m . Nhập ( , ) n F x m vào máy (dùng 2 biến X, M; lưu ý triệt mẫu số của các phân số trong ( , ) n F x m trước khi nhập), ấn CALC , gán 0 1000 X M thì kết quả là 1 (1000) n f , từ đó xác định được 1 ( ) n f m (hệ số tự do của ( , ) n F x m ). Tiếp theo, tính 0 ( ( , )) | n x d F X M dx với 1000M được kết quả là (1000) n f , xác định được ( ) n f m . Vì trong đề thi ĐH, các ( ) ( 1; 1) i f m i n chỉ có bậc Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com 10 tối đa là 3 (nếu có thường chỉ có 1 đa thức ( ) i f m mang bậc 3), nên ta làm tiếp như sau: dùng CALC tính ( , ) n F X M với 1000 1;2 X M ta được tương ứng 4 kết quả (1000, 1;2) n F . Từ đó ta xác định được: 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1: ( , 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0: ( ,0) (0) (0) (0) 1: ( ,1) (1) (1) (1) 2: ( ,2) (2) (2) (2) n n n n n n n n n n n n n n n n m F x f x f x f m F x f x f x f m F x f x f x f m F x f x f x f Áp dụng định lý: nếu biết k + 1 điểm ( ; ( )) ( 1; 1) j k j x f x j k thuộc đồ thị hàm số ( ) k f x thì ta sẽ xác định được hàm số đó, ta xác định các ( ) ( 1; 1) i f m i n dựa vào điểm ( ; ( ) ) i m f m với 1;2 m . Việc này có thể thực hiện trong MODE 3 (STAT), nhảy xuống Câu 5 để xem cách tìm ra ( ) ( 1; 1) i f m i n từ các điểm ( ; ( ) ) i m f m . Do ta đã chuyển các hệ số của ( , ) n F x m về dạng tuyến tính (không có phân thức, phân số), nên nếu ( ) i f m ( {1;2; ; 1})i n mà các hệ số của ( ) i f m không nguyên, hoặc điểm (2; (2) ) i f không thuộc đồ thị hàm số đi qua 3 điểm ( 1; ( 1) ), (0; (0) ), (1; (1) ) i i i f f f thì ( ) i f m có bậc 3 và không thể xác định được trong MODE STAT (vì hàm đa thức trong này chỉ có bậc 1; 2), do đó ta xác định ( ) i f m này ở MODE COMP. Ở MODE COMP, ta nhập vào máy ( , ) ( , ) n F X M G X M trong đó G(X,M) chính là dạng khai triển của ( , ) n F X M nhưng bị khuyết hạng tử 1 ( ) n i i f M X (đang cần xác định). Ấn CALC tính biểu thức trên với 1 1000 X M thì kết quả chính là (1000) i f , từ đó xác định được ( ) i f m Phương pháp Viet để tìm nhân tử bậc 2 từ nghiệm của máy (khi có ít nhất 2 nghiệm): lấy 2 nghiệm bất kì (lưu trong A, B), tính S A B P AB . Nếu S, P là số đẹp, PT có nhân tử 2 x Sx P , nếu không, thử tiếp với các cặp nghiệm khác. Lưu ý: nếu cho EQN giải PT bậc 3 ra 3 nghiệm vô tỉ thì cách này vô dụng. Mọi PT đa thức khác nếu gặp phải TH này (khi giải bằng solve) thì thường phải viện đến lượng giác hóa để giải (bằng tay). Với các PT vô tỉ, do TXĐ nên nghiệm vô tỉ có thể bị loại dẫn đến thiếu nghiệm để dùng phương pháp Viet, ta có thể xử lí bằng những cách khác đề cập phía dưới. Nếu máy giải f n (X) = 0 cho nghiệm xấu x = A (lưu vào A), ta có thể giả sử A là nghiệm của g 2 (x) = x 2 + bx + c trong phân tích f n (x) = g 2 (x)h(x), rồi sử dụng MODE TABLE để tìm ra nhân tử g 2 (x). Ta nhờ MODE TABLE tính g 2 (x) với các giá trị b nguyên (còn x = A), từ đó tìm ra c. Do đó ta nhập vào MODE TABLE f(X) = A 2 + XA (ở đây X chính là các giá trị b nguyên sẽ dò, A là nghiệm x đã giải được, vì MODE này chỉ dò với biến X). Do A là nghiệm [...]... biến đổi f ( x)dx k g ( x)dx (với tích phân thì bỏ qua cận, coi như nguyên hàm) để làm nhanh hơn, lúc trình bày mới tính toán viết vào Với bài toán f ( x) dx ? khi chưa tìm ra nguyên hàm cuối cùng thì không được viết thêm “+ C” (hằng số bất kì của mỗi nguyên hàm trong họ) Nếu phải tìm f ( x)dx bằng 1 phương pháp nhất định (thường chỉ có trong quá trình học) mà khó giải thì nên tìm bằng... 2: f ( X )dx F ( A) F ( B) , kiểm tra như trên (giá trị thử có thể chính là 2 cận trong A b bài toán f ( x)dx ? đang làm) a Câu 4 (Hình học không gian thuần tuý và tọa độ) Vẽ hình nháp trước khi vẽ vào bài để xác định đúng các yếu tố: có nhiều yếu tố chỉ sau khi đã giải (1 phần hay toàn bộ bài toán) mới vẽ được đúng (thường là xác định đường cao) Dùng “tư duy động” trong quan sát hình:... các dữ kiện khác giữ nguyên mà làm cho kết luận cần c/m bị thay đổi thì đó là dữ kiện cần để c/m kết luận, và ngược lại 23 Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com Với mọi bài toán hình: vạch ra quy trình giải ngoài giấy nháp để tránh lủng củng, thi u sót: A B C D , dấu “ ” cho biết thứ tự giải các phần không có liên quan trực tiếp đến nhau (A, B, …) của bài toán, dấu “ ” cho biết sự suy... chứa) đại lượng k ( x, y ) ax 2 bxy cy 2 , thì thử phân tích k ( x, y ) (mx ny )( px qy ) (trừ phi PT at 2 bt c 0 vô nghiệm) có thể ra hướng làm Kỹ thuật phân tích đa thức hệ số nguyên f(x,y) thành nhân tử: trước hết nếu f(x,y) có chứa hệ số phân số thì ta nhân sf(x,y) sao cho mất hết phân số (vì chỉ làm việc với đa thức hệ số nguyên) Tiếp đến nếu bậc y lớn hơn (ngược lại làm tương... máy B b1 B = BX + A với input X x0 , dùng CALC , thu được b j ( j 2; n) ứng với A ai (i 2; n) Aa 2 Kỹ thuật tìm nhân tử PT vô tỷ: _ PT chứa 1; 2 căn của nhị thức bậc nhất: 11 Lâm Hữu Minh - sherlockttmt@gmail.com t2 b t2 b được PT mới g , t 0 (hay g(t) a a = 0) Dùng kỹ thuật phân tích g(t) thành nhân tử bằng MTBT (giả sử PT g(t) = 0 có 2 nghiệm) ... thành công của từng phương pháp khi làm đề thi ĐH): đổi biến tích phân từng phần tích phân theo tính chất tích phân liên kết Nên dùng các phép thử: k ( x) F ( x) F ( x) _ Với ( F1 ( x) là dx , tính K '( x) k ( x) với K ( x) G ( x ) xem có xảy ra k ( x ) F1 ( x) G ( x) nhân tử của F(x)) f ( x) h(a ) 0 f ( x ) h( x ) _ Biến đổi (chủ yếu với hàm lượng giác) khi biết được ... 1 + Nếu các nghiệm giải được không liên hợp với nhau thì với mỗi nghiệm mà máy giải ta tìm ra 1 nhân tử chứa nó, và coi như PT chứa chừng ấy nhân tử (mỗi nhân tử cho 1 nghiệm) để phân tích Trong cách phân tích đa thức fn(x) thành nhân tử đã nêu, sau khi tìm được 1 nhân tử bậc 2 là f ( x) g2(x) ta chia n g n 2 ( x) bằng kỹ thuật khai triển đa thức trên MTBT để xác định g n2 ( x) g 2 ( x) k Nhưng... khác có những điểm tương tự với yếu tố đó Với mọi bài hình có số liệu: nếu số liệu cho càng ít thì bất cứ số liệu nào tìm được thêm cũng sẽ dự phần vào việc tìm ra đáp án cuối cùng, và ngược lại Nếu các dữ kiện đề cho nhìn qua thấy ít (hoặc không) có liên quan đến nhau thì phải vẽ thêm 1 số yếu tố phụ (cách vẽ là duy nhất hoặc được suy từ nhau ra) để kết nối chúng lại với nhau Nếu thấy quỹ tích... M rồi n n n n dùng CALC gán X = w) Dùng CALC tính biểu thức lần lượt với M 0; n 1 được n căn bậc n của w (thi thường hay gặp n = 2) Với dạng PT tìm số phức z đơn giản (tức là trong PT không xuất hiện các yếu tố: | z |, z.z , z k (k , k 2) ), thì máy tính có thể giúp ta giải được (ngoài việc dùng để thử lại nghiệm) Ta giả sử z = X + Yi, tiếp theo đó xử lí phân số (hoặc... đại lượng nào đó tương ứng trong F(x) khi đã khai triển hoàn toàn) rồi đồng nhất không hoàn toàn (chỉ nhằm xác định dạng, bậc của biểu thức) để được mối liên hệ công bội giữa u ( x) j , w( x)i (VD u ( x) j aw( x)i với a R , chưa cần xác định rõ a) Từ đó tìm ra liên hệ công bội giữa các hệ số của u ( x) j , w( x)i trong mỗi nhân tử l f ( x)i u ( x) j v( x) j w( x)i , nhằm giảm số đại . 1 SỬ DỤNG MTBT TRONG LÀM ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Lâm Hữu Minh (TTMT) “Việc kết hợp trí tuệ máy tính với trí óc con người sao cho hiệu quả là cả một môn khoa học, gọi là khoa học về phương. không chính quy. Các kỹ thuật về MTBT trong này dùng cho đề thi ĐH - CĐ, chỉ một số ít có thể dùng để thi HSG giải toán trên MTBT. Trong đó, có 2 tác giả của các kỹ thuật mà TTMT sưu tầm nhiều. là các kỹ thuật về sử dụng MTBT. _ Thầy Trần Phương: các kỹ thuật tính tích phân. Số còn lại sưu tầm từ nhiều tác giả khác nhau, chủ yếu về các kỹ thuật sử dụng MTBT. Lưu ý: loại MTBT dùng