BÀI TẬP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH DẠNG TOÁN CHỨNG MINH Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình vuông ABDE,ACFG lần lượt có tâm O,O’. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: Tam giác IOO’ là tam giác vuông cân. Bài tập 2: Cho tam giác ABC đều. Từ một điểm M thuộc miền trong của tam giác kẻ các đoạn IQ, PK, NJ lần lượt song song với các cạnh AB,BC,CA: N,P thuộc cạnh AB, I,J thuộc cạnh BC, Q,K thuộc cạnh AC. Chứng minh rằng: NI = PJ và góc hợp bởi hai đường thẳng NI,PJ bằng 60 0 . ( Góc hợp bởi hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo thành). Bài tập 3: Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’,C’ lần lượt là các điểm đối xứng của A qua B, của B qua C, của C qua A. I, I’ lần lượt là trung điểm của BC, B’A’ và G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1 ( ; ) 2 ( ') G V AC − = II’ Bài 4. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là BAE và CAF. Gọi I, M và J lần lượt là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng minh rằng: tam giác IMJ vuông cân. Bài 5. Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD. Giả sử · · MBC MDC= . Chứng minh rằng · · AMD BMC= Bài 6. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác một hình chữ nhật BCDE. Các đường cao xuất phát từ D và E lần lượt vuông góc với AB và AC và cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI và BC vuông góc nhau. Bài 7. Cho tam giác ABC. Gọi A 1 , B 2 và C 3 lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. Gọi O 1 , O 2 , O 3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và I 1 , I 2 , I 3 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác AB 1 C 1 , BA 1 C 1 , CA 1 B 1 . Chứng minh rằng hai tam giác O 1 O 2 O 3 và I 1 I 2 I 3 bằng nhau. Bài 8. Cho tam giác ABC. Gọi P và Q là hai điểm di động trên AB và AC sao cho AP=CQ. Xác phép quay biến AD uuur thành CQ uuur . Bài 9. Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M thuộc miền trong của tam giác này kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC và cắt các cạnh tại P, L, N, Q, H, K với PL//AB, P ∈ AC, L ∈ BC, QH//AC, Q ∈ AB, H ∈ BC, NK//BC, N ∈ AC, K ∈ AB. a. Chứng minh rằng QL=KH b. Gọi I=QL ∩ HK. Chứng minh rằng tứ giác BKIL nội tiếp đường tròn. Bài 10. Cho tam giác giác ABC có các đỉnh được kí hiệu theo hướng âm, dựng bên ngoài tam giác này hai hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm cạnh AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm đoạn FH. a. Xác định ảnh của hai vectơ BA uuur và BP uuur qua phép quay tâm B góc quay 90 0 . Chứng minh rằng DF=2BP và DF vuông góc với BP. Bài 11. Về phía ngoài hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh lần lượt là AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn tâm của hình vuông đó là bốn đỉnh của một hình vuông. Bài 12. Cho tam giác ABC. Vẽ phía ngoài tam giác này hai tam giác vuông cân tại A là ABE và ACF. Gọi M là trung điểm của BC và AM cắt EF tại H. Chứng minh rằng AH là đường cao của tam giác AEF. Bài 13. Cho tam giác ABC. Dựng bên ngoài tam giác này hai hình vuông ABDE và ACMN. Kẻ trung tuyến AF của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a. AF ⊥ MN b. NE=2AF Bài 14. Cho hai tam giác vuông cân là OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng GOG’ là tam giác vuông cân. Bài 15. Cho hai tam giác OAB và OA’B’ vuông cân tại O. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng OG=OG’. Bài 16. Trên các cạnh của tam giác ABC dựng các tam giác đều BAC’ và CAB’ nằm ngoài của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a. AA’=BB’=CC’ b. Ba đường AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O. Bài 17. Cho ba điểm thẳng hang A, B, C với điểm B nằm giữa A và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF. a. Chứng minh rằng AF=EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC là 60 0 . b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và FC. Chứng minh rằng tam giác BMN đều. Bài 18. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ, ABEF, ACMN và gọi O, P, Q lần lượt là tâm của chúng. Gọi D là trung điểm AB. a. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D b. Chứng minh rằng AO ⊥ PQ và AO=PQ Bài 19. Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình vuông ABDK, BCEF, CAGH lần lượt có tâm O 1 , O 2 , O 3 . a. Chứng minh rằng BG=KC và BG ⊥ KC. b. Chứng minh rằng IO 1 =IO 3 ( I trung điểm BC ) c. Chứng minh rằng AE=BH và AE ⊥ BH. Bài 20. Cho tam giác ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: AM BN CP MB NC PA = = . Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của AN và CM , AN và BP, MC và BP. Chứng minh rằng IJK là tam giác đều. . BÀI TẬP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH DẠNG TOÁN CHỨNG MINH Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình vuông ABDE,ACFG lần lượt có tâm O,O’. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh. lượt có tâm O 1 , O 2 , O 3 . a. Chứng minh rằng BG=KC và BG ⊥ KC. b. Chứng minh rằng IO 1 =IO 3 ( I trung điểm BC ) c. Chứng minh rằng AE=BH và AE ⊥ BH. Bài 20. Cho tam giác ABC đều. Trên. qua phép quay tâm B góc quay 90 0 . Chứng minh rằng DF=2BP và DF vuông góc với BP. Bài 11. Về phía ngoài hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh lần lượt là AB, BC, CD, DA. Chứng minh