ĐỀ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY BẬC THCS Cấp Huyện – Năm học: 2011 – 2012 Ngày thi: 06/12/2011 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Qui định: 1/ Nếu không nói gì thêm, hãy viết kết quả đủ 10 chữ số. 2/ Thí sinh được sử dụng các loại máy sau: Casio fx 500A, fx500MS, fx 570MS, fx 500ES, fx 570ES. 3/ Mỗi bài toán 5 điểm. Bài 1: a/ Phân tích biểu thức sau ra ba thừa số: 4 3 2 6 27 54 32x x x x− + − + b/ Chứng minh rằng: 4 3 2 6 27 54 32n n n n− + − + là số chẳn với mọi số nguyên n. Bài 2: Tính giá trị biểu thức:( đáp số ở dạng phân số tối giản) M = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 2010 2011 + + + + + + + + + Bài 3: Để đắp 60m đê chống lũ cần có 100 người. Nhóm thanh niên nam đắp 5m/người, nhóm thanh niên nữ đắp 3m/người, nhóm học sinh đắp 0,2m/người. Tính số người của mổi nhóm? Bài 4: Cho biết đa thức P ( ) 4 3 2 55 156x x mx x nx= + − + − chia hết cho 2x − và chia hết cho 3x − . Hãy tìm giá trị của m, n rồi tìm tất cả các nghiệm của đa thức. Bài 5: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x, y thoả mãn phương trình: 6 3 2 43828x x y y− + = Bài 6: Nếu hai tổ học sinh cùng làm vệ sinh một sân trường thì sau 1 giờ 30 phút sẽ xong.Nếu để tổ thứ nhứt làm trong 20 phút và tổ thứ hai làm trong 15 phút thì được 1 5 sân trường. Hỏi nếu mổi tổ làm riêng thì phải bao lâu mới xong? Bài 7: Cho tam giác ABC, trung tuyến AD và phân giác BE vuông góc với nhau cắt nhau tại F. Biết 2 14022011 EDF S cm ∆ = . Tính diện tích tam giác ABC? Bài 8: Cho đường tròn tâm O bán kính R = 3,15cm. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC ( B và C thuộc đường tròn (O)). Cho biết OA = a = 7,85cm. a/ Tính góc BOC ? b/ Tính diện tích S của phần mặt phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC. Bài 9: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB = 13 cm . Dây CD có độ dài 12 cm vuông góc với AB tại H. a/ Tính độ dài HA, HB. b/ Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CMHN. Bài 10: Cho tứ giác lồi ABCD. Các tia AB và DC cắt nhau tại E, các tia BC và AD cắt nhau tại F. Tính góc tạo bởi hai tia phân giác của · AED và · CFD . Biết · 0 ' " 75 2418BAD = và · 0 ' " 115 28 26BCD = . Bài 1: ( 5điểm) a/ Vì tổng các hệ số của đa thức 4 3 2 6 27 54 32x x x x− + − + bằng 0 nên nó có 1 nghiệm bằng 1, tức là nó chia hết cho 1x − . Vậy 4 3 2 6 27 54 32x x x x− + − + ( ) ( ) 3 2 1 5 22 32x x x x= − − + − 2đ Đa thức 3 2 5 22 32x x x− + − có nghiệm nguyên thì nghiệm phải là ước của 32 0,5đ + Thử 2x = . Do đó 2x = là một nghiện nữa. 0,5đ Vậy 4 3 2 6 27 54 32x x x x− + − + ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 16x x x x= − − − + 1,0đ b/ Với n là số nguyên thì ( ) ( ) 1 2n n− − là hai số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 0,5đ Vậy ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 6 27 54 32 1 2 3 16n n n n n n n n− + − + = − − − + là một số chẳn với mọi số nguyên n. 0,5đ Bài 2: (5điểm) Ta có : M = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 2010 2011       + − + + − + + + −  ÷  ÷  ÷       2,0đ M = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 2010 2011 + − + + − + + + − 1,0đ M = 1 1 2009 2 2011 + − 1,0đ M = 2009 8082207 2009 4022 4022 = 1,0đ Bài 3: ( 5điểm) Gọi x là nhóm thanh niên nam, y là nhóm thanh niên nữ ( ) ,x y Z + ∈ , Vậy nhóm học sinh là: 100 – x – y 1,0đ Theo đề bài ta có phương trình: ( ) 100 5 3 60 * 5 x y x y − − + + = 1,0đ ( ) * 25 15 100 300x y x y⇔ + + − − = 12 7 100x y⇔ + = 1,0đ Dùng thuật toán Euclide tìm nghiệm riêng: 12 7 100x y+ = được x = 6, y = 4, học sinh = 90. 1,5đ Vậy số thanh niên nam là 6, số thanh niên nữ là 4, số học sinh là 90. 0,5đ Bài 4: ( 5điểm) Theo giả thiết P(x) chia hết cho x – 2 và chia hết cho x – 3 khi P(2) và P(3) = 0. Suy ra: ( ) ( ) 2 16 8 220 2 156 0 3 81 27 495 3 156 0 P m n P m n = + − + − =   = + − + − =   1,0đ Hay: 8 2 360 4 180 2 27 3 570 9 190 172 m n m n m m n m n n + = + = =    ⇔ ⇔    + = + = =    1,0đ Đa thức P(x) chia hết cho x – 2 và chia hết cho x – 3 nên P(x) chia hết cho 2 5 6x x− + 0,5đ Thực hiện phép chia P(x) cho đa thức 2 5 6x x− + ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 6 7 26 2 3 7 26 P x x x x x P x x x x x = − + + − = − − − 1,0đ Giải phương trình 2 7 26x x+ − ta được: 3 4 2,684658438 9,684658438 x x ≈ ≈ − 1,0đ Trã lời đa thức P(x) có 4 nghiệm 0,5đ Bài 5: ( 5điểm) Ta có : 2 3 6 6 6 6 43828 0 4 175321 3 175312 y x y x x x x − + − = ∆ = − + ∆ = − + ( do x nguyên dương) Suy ra: 3 6 3 175312 2 x x y ± − + = + Điều kiện 1 6x ≤ ≤ + Tìm (x,y) trên máy + Kết quả được cặp số (x,y) = (6;202) và (6;14). ( đúng mổi cặp số được 2,5 đ) Bài 6: (5điểm) 1 giờ 30 phút 3 2 = ( giờ) Gọi thời gian tổ thứ I làm riêng xong sân trường là x ( giờ) Gọi thời gian tổ thứ II làm riêng xong sân trường là y ( giờ ). ( đk 3 , 2 x y > ) Trong 1 giờ tổ thứ I làm được 1/x ( sân trường) Trong 1 giờ tổ thứ II làm được 1/y (sân trường) Trong một giờ cả 2 tổ làm chung 1 1 x y + (sân trường) Hai tổ làm chung xong sân trường trong 1 giờ 30 phút hay 3/2 giờ. Vậy 1 giờ cả hai tổ làm được 2/3 sân trường. Do đó: 1 1 2 3x y + = (1) 1,0đ Trong 20 phút hay 1/3 giờ tổ thứ I làm được 1/3x ( sân trường) Trong 15 phút hay 1/4 giờ tổ thứ II làm được 1/4y (sân trường) Nếu tổ thứ I làm trong 20 phút và tổ thứ II trong 15 phút thì được 1/5 sân trường. Do đó ta có PT: 1 1 1 3 4 5x y + = (2) 1,0đ Ta có hệ phương trình: ( ) ( ) 1 1 2 1 3 1 1 1 2 3 4 5 x y x y  + =     + =   Giải ra ta được: y = 15/4 và x = 5/2 ( thoả đk) 2,0đ Vậy thời gian tổ thứ I làm riêng xong sân trường là 5/2 giờ hay 1 2 2 giờ. Thời gian tổ thứ II làm riêng xong sân trường là 15/4 giờ hay 3 3 4 giờ. 1,0đ Bài 7: ( 5 điểm) ABD∆ có BF là đường phân giác vừa là đường cao nên là đường trung trực. Suy ra: FA = FD, EA = ED. Do đó tam giác EAD cân tại E. Vậy: 1 2 EDF AED S S= 1,0đ Kẻ DG // BE. Vì D là trung điểm BC nên CG = GE (1) ADG ∆ có FA FD= và EF // DG. Suy ra: GE = AE (2) Từ (1) và (2) suy ra : 1 3 AE AC= 1,0đ Từ đó: 1 1 1 1 . 3 3 2 6 AED ACD ABC ABC S S S S= = = 1,0đ Vậy: 1 1 1 1 . 2 2 6 12 EDF AED ABC ABC S S S S= = = Hay: 2 12. 12.14022011 168264132 ABC EDF S S cm= = = 2,0đ Bài 8: (5điểm) a/ Đặt góc · · 1 2 BOC BOA α = = . Khi đó tam giác vuông AOB cho: · 0 ' " 3,15 cos cos 7,85 66 2031.78 OB R BOA OA a α α = = = = = Suy ra: · 0 ' " 2 132 413.56BOC α = = 2,5đ b/ Diện tích phần gạch chéo: 2 2. sin 180 BOA quatBOC R S S S aR π α α = − = − 2 11,16019935 xoc S cm= 2,5đ Bài 9: (5điểm) a/ Đường kính AB vuông góc dây CD nên: CH = 6 2 CD cm= ( Giả sử HA < HB) Áp dụng định lý Pitago tính được OH = 2,5cm Do đó: HB = 9cm, HA = 4cm 1,5đ b/ Ta có: . CMHN S HM HN= Ta lại có: ( ) . . . 2 AHC HA HC HM AC HA HC S HM AC = = ⇒ = . . . HB HC HN BC HB HC HN BC = ⇒ = Do đó: . . . CMHN HA HC HB HC S AC BC = Nhưng: 2 . , . .HA HB HC AC BC AB HC= = nên 4 3 2 16,61538462 . CMHN HC HC S cm AB HC AB = = = 3,5đ Bài 10: ( 5điểm) + Gọi I là giao điểm hai đường phân giác của góc E và góc F. Nối E với F. Xét 3 tam giác có chung cạnh EF là : , ,ECF EIF EAF∆ ∆ ∆ . 1,0đ A B C E D G F Ta có: · ( ) · · 2 2 2 m n n FEA FEC FEI m n + + + = + = = 1,0đ + Tương tự: · · · 2 EFA EFC EFI + = 1,0đ + Vì tổng số đo các góc trong một tam giác bằng 180 0 nên trong EIF∆ có : · · · · · ( ) · · ( ) 0 0 0 180 180 180 2 FEA EFA F EC EFC EIF FEI EFI − − + − − = − − = 1,0đ = · · 0 ' " 95 26 22 2 BAD BCD+ = 1,0đ Bài 10 Bài 9 N H O A B C D M Bài 8 O A C B E A F I D B C m m n . ĐỀ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY BẬC THCS Cấp Huyện – Năm học: 2011 – 2012 Ngày thi: 06/12/2011 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Qui định: 1/. toán Euclide tìm nghiệm riêng: 12 7 100x y+ = được x = 6, y = 4, học sinh = 90. 1,5đ Vậy số thanh niên nam là 6, số thanh niên nữ là 4, số học sinh là 90. 0,5đ Bài 4: ( 5điểm) Theo giả thi t P(x). 2011 + − 1,0đ M = 2009 8082207 2009 4022 4022 = 1,0đ Bài 3: ( 5điểm) Gọi x là nhóm thanh niên nam, y là nhóm thanh niên nữ ( ) ,x y Z + ∈ , Vậy nhóm học sinh là: 100 – x – y 1,0đ Theo đề bài ta