PHẠM GIA HƯNG ĐẠI SỐ Bộ Môn Toán 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG 2 Mục lục Chương 1. Ma trận - Định thức 5 1. Tập hợp - Mệnh đề 5 1.1. Tập hợp 5 1.2. Mệnh đề 5 1.3. Số thực - Số phức 6 2. Ma trận 8 2.1. Các khái niệm về ma trận 8 2.2. Các dạng ma trận 8 2.3. Các phép toán trên ma trận 9 3. Định thức 12 3.1. Khái niệm về định thức 12 3.2. Các tính chất cơ bản của định thức 14 3.3. Công thức Laplace 16 Bài tập 17 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 21 1. Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính 21 2. Ma trận nghịch đảo - Hệ Cramer 21 2.1. Ma trận nghịch đảo 21 2.2. Hệ Cramer 24 2. Hạng của ma trận – Phương pháp Gauss 25 2.1. Hạng của ma trận 25 2.2. Phương pháp Gauss 27 Bài tập 32 Chương 3. Không gian vector 35 1. Không gian vector 35 1.1. Không gian 35 n \ 1.2. Không gian vector 35 1.3. Không gian con 36 2. Cơ sở - Tọa độ 37 2.1. Phụ thuộc tuyến tính - Độc lập tuyến tính 37 2.2. Cơ sở - Số chiều 39 2.3. Tọa độ của vector trong một cơ sở 40 2.2. Ma trận chuyển cơ sở - Công thức đổi tọa độ 42 3. Hạng của hệ vector 44 3.1. Không gian con sinh bởi hệ vector – Hạng của hệ vector 44 3.2. Cách tìm hạng của hệ vector 45 Bài tập 47 Tài liệu tham khảo 49 3 4 Chương 1. Ma trận - Định thức 1. Tập hợp - Mệnh đề 1.1 Tập hợp 1.1.1. Khái niệm. Tập hợp (gọi tắt là tập) và các phần tử của nó là những khái niệm cơ bản của toán học không được định nghĩa, chúng được làm cơ sở để định nghĩa các khái niệm khác. Nếu x là phần tử thuộc (/ không thuộc) tập thì ta viết xA A ∈ ( ) /xA∉ . Ta nói A là tập con của B , ký hiệu , nếu mọi phần tử của đều là phần tử của . Nếu AB và thì ta nói A và B bằng nhau, ký hiệu . Một tập không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. AB⊂ A B ⊂ BA⊂ AB= 1.1.2. Các cách diễn tả tập hợp. a) Liệt kê các phần tử của tập hợp trong hai dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết một lần. b) Chỉ ra tính chất chung của các phần tử trong tập hợp. c) Dùng hình phẳng giới hạn bởi một đường cong kín để minh họa tập hợp; mỗi điểm trong hình phẳng chỉ một phần tử của tập đó. 1.2.3. Các phép toán. a) Giao của hai tập A và B là tập được cho bởi {} ::AB xx Ax B∩= ∈∧∈ . b) Hợp của hai tập A và B là tập được cho bởi {} ::AB xx Ax B∪= ∈∨∈ . c) Hiệu của hai tập A và B là tập được cho bởi {} \: :AB xx A x B=∈∧∉ . d) Tích Descartes của n tập không rỗng là tập được cho bởi 12 , , , n AA A () {} 12 12 : , , , : , 1, nnii AA A aa a a Ai n××× = ∈ = . Nếu thì ta viết 12 n AA A A==== 12 : n n AAA A=×××. 1.2. Mệnh đề 1.2.1. Khái niệm. Mệnh đề (toán học) là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai. Sai hay đúng được gọi là chân trị của mệnh đề. 1.2.2. Các ký hiệu logic. Để diễn đạt thuận lợi các lập luận toán học người ta thường dùng các ký hiệu sau đây 5 • biểu thức: Định nghĩa p là biểu thức vế phải. :p = • p : Phủ định của mệnh đề , là mệnh đề đúng khi sai và ngược lại. p p • (đọc là và q ): Hội của hai mệnh đề và q , là mệnh đề đúng khi và q đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại. pq∧ p p p • (đọc là hoặc q ): Tuyển của hai mệnh đề và q , là mệnh đề sai khi và q đều sai và đúng trong các trường hợp còn lại. pq∨ p p p • (đọc là suy ra q ): Mệnh đề kéo theo mệnh đề , là mệnh đề đúng khi đúng q đúng. Khi đó ta cũng nói p là điều kiện đủ của q và q là điều kiện cần của p . pq⇒ p p q p • : Mệnh đề tương đương với mệnh đề , là mệnh đề được xác định bởi . Khi đó ta cũng nói là điều kiện cần và đủ của q . p⇔ q ) 1 , , n Px x ) p q ()( pq qp⇒∧⇒ p • Mệnh đề “với mọi thuộc tập , ta có ” được ký hiệu 1 , , n xx X () () 11 , , : , , nn xxXPxx∀∈ . • Mệnh đề “tồn tại thuộc tập , sao cho " được ký hiệu 1 , , n xx X ( 1 , , n Px x ( ) 11 , , : , , nn xxXPxx∃∈ . 1.2.3. Một số tính chất. • """pq pq∧⇔ ∨" • """pq pq∨⇔ ∧" • """pq pq⇔⇔ ⇔" • """pq q p⇒⇔⇒" • """pq pq⇒⇔∧" • ( ) ( ) 1111 , , : , , , , : , , nnnn xxXPxx xxXPxx∀∈ ⇔∃∈ , • ( ) ( ) 111 , , : , , , , : , , nnn xxXPxx xxXPxx∃∈ ⇔∀∈ 1n . 1.3. Số thực - Số phức 1.3.1. Số thực. Tập số tự nhiên, tập các số nguyên và tập các số hữu tỷ lần lượt được ký hiệu {} :1,2, =` , , {} : 0, 1, 2, =±±] :: , p pq q ⎧⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ =∈∈ ⎨⎬ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎭ _] ` . Số hữu tỷ bao gồm các số nguyên, số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là số vô tỷ. Tập gồm các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập các số thực, ký hiệu . \ Ví dụ. (v1) Các số hữu tỷ 5 5 1 = ; 1 0, 25 4 = ; 1 0,333 3 = 6 (v2) Các số vô tỷ 3,14159 26535 89793 ,π = 2, 7182818284 59045 e = , 2 1, 41421 356623 73095 = 1.3.2. Số phức. • Đơn vị ảo i là một số có tính chất . Số phức là số có dạng 2 1i =− zab=+i i với . ,ab∈ \ Ta gọi tương ứng là phần thực và phần ảo của z . Ký hiệu tập tất cả các số phức là ^ . ,ab Nhận xét. Ta có . Thật vậy, do ⊂\^ 0aaai∀∈ ⇒ = + ∈\^ . • Số phức liên hợp của số phức là số phức zab=+ :zab=−i 2 i i i . • Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau, nghĩa là 11 22 1 21 abiabia abb+=+⇔=∧= . • Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số phức được thực hiện giống như việc thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các nhị thức trong số thực với lưu ý 2345 1, , 1, , iiiii=− =− = = Ví dụ. Với và , ta có 1 23zi=+ 2 45zi=− ()( ) 12 24 35 62zz i+=++− =− ; ()() 12 24 35 28zz i−=−++ =−+ ; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 3 4 5 24 35 3425 23 2zz i i i i i= + − = ×−× + ×−× = + ; () 3 3322233 1 23 2 32 3 323 3 469zi iiii=+ =+××+×× + =−− ; ()() ()() 112 222 2345 722 41 4545 ii zzz i zzz ii ++ −+ == = −+ . • Phương trình bậc hai 2 0ax bx c++= với ,, , 0abc a∈≠\ có hai nghiệm thực phân biệt hay trùng nhau 2 b x a −± Δ = khi 2 40bacΔ= − ≥ và có hai nghiệm phức liên hợp nhau 2 bi x a −± −Δ = khi . 0Δ< 7 Ví dụ. (v1) Phương trình có Δ= nên có hai nghiệm phức là 2 320xx−+= 2 23 23i− = 123 6 i x ± = . (v2) Phương trình có nên có hai nghiệm phức là 2 25xx++=0 a . ij AA 2 44i ′ Δ=− = 12xi=− ± . 2. Ma trận 2.1. Các khái niệm về ma trận • Một ma trận cỡ m là một bảng các số, gồm hàng và cột, ký hiệu n× m n () 11 12 1 21 22 2 12 : : hay :::: : n n ij mn mm mn aa a aa a AA aa a × ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ == ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ • Phần tử nằm ở hàng thứ i và cột thứ của ma trận A được ký hiệu là hoặc ( . Ký hiệu hàng thứ và cột thứ của tương ứng là Tập các ma trận thực (/ phức) cỡ ký hiệu là (/ ) Dưới đây, để đơn giản ta chỉ xét trên tập các ma trận thực. j ij a ) ij A i j A ** , mn× mn× \ mn× ^ • Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu , mn AB × ∈ \ () () ;1,;1, ij ij ABimj=∀= =n . 2.2. Các dạng ma trận • Ma trận không (cỡ ) là ma trận mà mọi phần tử đều bằng không, ký hiệu là O (hoặc ). mn× mn O × • Ma trận cột hay vector cột là ma trận cỡ , dạng 1m × 1 :. m x X x ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Ma trận hàng hay vector hàng là ma trận cỡ 1 , dạng n× ( ) 1 , , n Yyy= . • Ma trận vuông cấp n là ma trận cỡ n , có dạng n× 8 11 12 1 21 22 2 12 : : :::: : n n nn nn aa a aa a A aa a ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ . Các phần tử của ma trận vuông A tạo nên đường chéo chính của A . 11 22 , , , nn aa a • Ma trận đơn vị cấp là ma trận vuông cấp có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 và các phần tử khác đều bằng 0, có dạng n n 10:0 01:0 : : ::: 00:1 n II ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ == ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ . • Ma trận tam giác trên hoặc dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm dưới hoặc trên đường chéo chính đều bằng 0, tương ứng có dạng 11 12 1 11 22 2 21 22 12 :0 0: : , : ::: : ::: 00: : n n nn n n nn aa a a aa aa AB aaa ⎛⎞⎛ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ == ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝⎠⎝ :0 0 a ⎞ ⎠ T ij ) . 2.3. Các phép toán trên ma trận 2.3.1. Chuyển vị ma trận. Cho ma trận . Ma trận chuyển vị của là ma trận cỡ , ký hiệu là A , nhận được từ bằng cách đổi hàng thành cột và cột thành hàng, với thứ tự của các hàng và các cột không thay đổi. mn A × ∈ \ A nm× A Nhận xét. () T T AA= và () () ,, T ji ij AA=∀ Ví dụ. Ta có 14 123 25. 456 36 T AA ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ =↔= ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎠ 2.3.2. Cộng ma trận. Cho . Tổng (/ hiệu) của hai ma trận và là một ma trận cùng cỡ m , ký hiệu là , được xác định bởi , mn AB × ∈ \ A B n× ( ,/ABAB+− ()()() ;, ij ij ij AB A B ij±= ± ∀. Ví dụ. Với 9 23 201 132 , 425 1 07 AB × ⎛⎞⎛⎞ − ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ == ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝⎠⎝⎠ \ ∈ 1 O , ta có 133 3212 AB ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ += ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ , . 33 52 2 AB ⎛⎞ −− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −= ⎟ ⎜ ⎟ −− ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Tính chất. Với mọi , ta có ,,, mn ABCO M × ∈ (t1) AB (t2) BA+=+ ()() ABC ABC++=++ (t3) AO (t4) với A+= () AA+− = ( ) ij Aa−=− ♦ Suy trực tiếp từ định nghĩa.♦ 2.3.3. Nhân ma trận với một số. Cho . Tích của số với ma trận là một ma trận cùng cỡ m , ký hiệu là , được xác định bởi mn A × ∈ \ λ A n× Aλ () () ; ij ij AAλλ= ,ij∀ . Ví dụ. Ta có 122 244 20 1 3 0 2 6 431 861 ⎛⎞⎛ −− ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ = ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ −− −− ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎠ λ . Tính chất. Với mọi ; , ta có ,, mn ABO × ∈ \ ,λμ∈ \ (t1) (t2) () AB A Bλλ+= + ( ) AAλμ λ μ+=+A A A (t3) (t4) 1. ()() () AAλμ λμ μλ== AA= (t5) () (t6) 0. 1 A−=− AO= (t7) (t8) () OOλ = T TT AB A Bλμ λ μ+=+ ♦ Suy trực tiếp từ định nghĩa. Chẳng hạn, ta chứng minh (t8) như sau ()() () () T j ij ji ij AB AB A Bλμ λμ λ μ ⎛⎞ ⎟ ⎜ +=+=+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ i ij () () ;, TTTT ij ij ij ABABλμ λμ ⎡ ⎤ =+=+∀ ⎢⎥ ⎣ ⎦ .♦ 2.3.4. Nhân ma trận. Cho và . Tích của và là ma trận có cỡ , ký hiệu AB , được xác định bởi mn A × ∈ \ np B × ∈ \ A B mp× () ()() 1 ;1,,1, n ij ik kj k AB A B i m j p = =∀= ∑ .= ≥ Ký hiệu 232 1 : . ; : . ; ; : . , 2 nn AAAAAAAAAn − == = . 10 [...]... + a12a21a 33 ) a 31 a 32 a 33 Để có ba số hạng mang dấu cộng ta lấy tích các phần tử trên đường chéo chính sẽ được số hạng thứ nhất; hai số hạng còn lại là tích của các phần tử trên các đỉnh của hai tam giác cân có một cạnh song song với đường chéo chính Để có ba số hạng mang dấu trừ ta lấy tích các phần tử trên đường chéo phụ sẽ được số hạng thứ nhất; hai số hạng còn lại là tích của các phần tử trên... đương với hệ (2.1) nhưng dễ giải hơn Định lý 2.6 (m1) Hệ (2.1) có vô số nghiệm (VSN) khi và chỉ khi r (A) = r (A) < số ẩn 28 (m2) Hệ (2.1) có duy nhất nghiệm (DNN) khi và chỉ khi r (A) = r (A) = số ẩn (m3) Hệ (2.1) vô nghiệm (VN) khi và chỉ khi r (A) < r (A) (r ) ♦ (m1) Nếu br +1 = 0 và r < n thì r (A) = r (A) < số ẩn và hệ (2.1) có vô số nghiệm vì từ hàng thứ r có thể xác định x k theo x k r r +1 , ,... được suy từ công thức (1.2) và định lý 1.3.♦ Định lý 1.5 Nếu nhân một hàng (/ cột) với một số, thì định thức được nhân lên số đó Nói cách khác, thừa số chung của một hàng (/ cột) có thể mang ra khỏi dấu định thức ♦ Dựa vào công thức (1.3) (/ công thức (1.4)).♦ Hệ quả 1.5.1 Định thức có một hàng (/ cột) gồm các số 0, thì bằng không Hệ quả 1.5.2 Định thức có hai hàng (/ cột) tỉ lệ với nhau thì bằng không... phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn Ta có m 1 1 1 1 1 2 2 Δ = 1 m 1 = (m + 2)(m − 1) , Δ1 = 1 m 1 = (m − 1) , 1 1 m 1 1 m m 1 Δ2 = 1 1 1 1 m 1 1 2 2 1 = (m − 1) , Δ3 = 1 m 1 = (m − 1) 1 m 1 1 1 * Th1: Δ ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 ∧ m ≠ −2 : hệ đã cho có duy nhất nghiệm x =y =z = 1 m +2 * Th2: Δ = 0 ⇔ m = 1 ∨ m = −2 : + Th2a: m = 1 Ta có r (A) = r (A) = 1 < số ẩn nên hệ có vô số nghiệm Khi đó hệ phương... thì bằng không Định lý 1.6 Định thức không thay đổi nếu ta cộng thêm vào một hàng (/ cột) với một hàng (/ cột) khác nhân với một số ♦ Dựa vào công thức (1.3) (/ công thức (1.4)) và hệ quả 1.3.1.♦ Định lý 1.7 Cho A ∈ n×n i+j và gọi Aij = (−1) n ∑a j =1 n ∑a i =1 Dij là bù đại số của aij Khi đó, ta có ⎧det A khi i = k ⎪ Aij = ⎪ (1.5) ⎨ kj ⎪0 khi i ≠ k ⎪ ⎩ ⎧det A khi j = k ⎪ Aij = ⎪ (1.6) ⎨ ik ⎪0 khi j... r = n thì r (A) = r (A) = số ẩn nên và hệ (2.1) có duy nhất nghiệm (r ) (m3) Nếu br +1 ≠ 0 thì r (A) < r (A) và hệ (2.1) vô nghiệm vì tương ứng với hàng thứ r + 1 là một phương trình vô nghiệm Hệ quả 2.6.1 Hệ phương trình thuần nhất AX = O gồm m phương trình với n ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r (A) < n Hệ quả 2.6.2 Hệ thuần nhất AX = O có số phương trình = số ẩn = n, có nghiệm không... ⎟ ⎜ = ⎜2 3 4⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ 15 ⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 15 ⎜ ⎜ 3 4 5 ⎟ ⎜ 3 −1 8 ⎟ ⎜0 15 30⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 2.2 Hệ Cramer Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và ma trận hệ số A ∈ n×n là không suy biến (det A ≠ 0) Định lý 2.3 (Cramer) Hệ Cramer luôn có duy nhất nghiệm cho bởi công thức 24 xj = Δj det A , j = 1, n trong đó Δ j là định thức cấp n nhận... cộng ma trận và nhân ma trận với một số là một không gian vector Vector không là ma trận khộng O = Om×n Phần tử đối của A là −A (v2) Tập F ⎡⎢⎣a, b ⎤⎥⎦ gồm các hàm số xác định trên ⎡⎢⎣a, b ⎤⎥⎦ ⊂ với hai phép toán ∀f , g ∈ F ⎡⎢⎣a, b ⎤⎥⎦ ; ∀λ ∈ : ( f + g )(x ) := f (x ) + g (x ) , (λ f )(x ) := λ f (x ), ∀x ∈ ⎡⎢⎣a, b ⎤⎥⎦ là một không gian vector Vector không là hàm số 0 cho bởi 0 (x ) = 0, ∀x ∈ ⎡⎢⎣a,... ⎟ ⎟ a2n b2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ : : ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ amn bm ⎠ ⎟ Không giảm tính tổng quát, giả sử hệ số a11 ≠ 0 , nếu không ta chỉ cần đổi chỗ các hàng cho nhau Thực hiện phép biến đổi Hi → Hi − ai 1 H 1 , i = 2, m a11 Khi đó các phần tử nằm ở hàng i (i = 2, m ) , cột 1 của ma trận sẽ bằng 0 Lưu ý rằng, các hàng đó có thể bằng 0 thêm một số cột, chẳng hạn cột 2, , k2 − 1 còn cột k2 có ít nhất một phần tử khác 0 trong... ⎟ ⎟ ⎜a ⎜ n⎠ ⎜ m⎠ amn ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ m 1 am 2 ⎝ ⎟ ⎝ ⎟ ⎝ a1n b1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ a2n b2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ : : ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ amn bm ⎠ ⎟ Ta gọi A là ma trận hệ số, A là ma trận mở rộng của hệ (2.1) Khi đó hệ (2.1) có thể viết dưới dạng ma trận AX = B • Nghiệm của hệ phương trình (2.1) là mọi bộ n số (x 1 , , x n ) thoả mãn hệ phương trình đó • Hệ (2.1) gọi là hệ thuần nhất nếu b1 = = bm = 0 hoặc B = O Trường hợp ngược lại, . , p pq q ⎧⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ =∈∈ ⎨⎬ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎭ _] ` . Số hữu tỷ bao gồm các số nguyên, số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là số vô tỷ. Tập gồm các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập các số. : , , , , : , , nnn xxXPxx xxXPxx∃∈ ⇔∀∈ 1n . 1.3. Số thực - Số phức 1.3.1. Số thực. Tập số tự nhiên, tập các số nguyên và tập các số hữu tỷ lần lượt được ký hiệu {} :1,2, =` , , {} :. • Đơn vị ảo i là một số có tính chất . Số phức là số có dạng 2 1i =− zab=+i i với . ,ab∈ Ta gọi tương ứng là phần thực và phần ảo của z . Ký hiệu tập tất cả các số phức là ^ . ,ab Nhận