Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 tr PHềNG GIO DC V O TO THANH OAI TRNG THCS THANH THY SNG KIN KINH NGHIM HNG DN HC SINH GII CC BI TP V CC TR Lnh vc: Toỏn lp 9 Tỏc gi: V B NAM Chc v: Phú hiu trng Nm hc 2012 2013 Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 1 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 A. PHN M U Lí DO CHN TI 1. C s lý lun: Hc toỏn l gỡ? Dy toỏn l gỡ?. ú l ngi hc toỏn phi bit gii cỏc bi tp toỏn. Ngi dy toỏn l phi dy cho ngi hc bit gii cỏc dng bi tp toỏn. Cỏc dng bi tp toỏn thỡ li rt phong phỳ v a dng, i vi mụn toỏn lp 9 do l lp cui cp ca bc hc THCS thỡ cng phong phỳ v a dng hn, m thm trớ trong mt dng cng cú rt nhiu cỏch gii khin cho c ngi dy v ngi hc khụng ngng t duy sỏng to ngy cng t hiu qu hn trong hc tp cng nh ging dy mụn toỏn, chng hn dng bi tp Tỡm cc tr (bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht (max), bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht (min) ) ca mt biu thc no ú . Cỏc bi toỏn dng ny rt phong phỳ v th loi, v cỏnh gii. Nú ũi hi hc sinh phi bit vn dng tng hp rt nhiu kin thc v vn dng mt cỏch khộo lộo, hp lý nhiu khi phi c ỏo mi gii quyt c bi toỏn. Nh vy õy thc s l mt dng bi toỏn khú. Qua theo dừi cỏc cuc thi hc sinh gii lp 9 v thi vo lp 10 thỡ tụi thy hu nh nm no cng cú bi tp v cc tr, c bit l thi hc sinh gii lp 9 cỏc cp thỡ t l im ca bi tỡm cc tr chim mt t l im ỏng k. Ti k thi hc sinh gii lp 9 nm hc 2012 -2013 cp huyn vũng 1 ca huyn Thanh Oai thỡ cú ba ý v cc tr trong thi. Do vy vic giỳp hc sinh gii cỏc dng bi tp v cc tr l ht sc cn thit vo quan trng, c bit l i vi i tuyn. 2. C s thc tin Do bn thõn tụi l nhiu nm dy toỏn lp 9 v tham gia dy i tuyn, v nm nay tụi cng ang dy toỏn lp 9 v i tuyn toỏn ca nh trng, tụi thy c cỏc em thng hay b lỳng tỳng trong dng toỏn tỡm cc tr, qua d gi v trao i vi ng nghip thỡ cng thy mt s giỏo viờn cng cũn hn ch v dng toỏn ny. Gii bi toỏn cc tr thc ra l i gii bi toỏn tỡm GTNN hoc GTLN hoc c GTLN v GTNN ca mt biu thc no ú. Ngha l phi ch ra : * 1 ( ) ;f x K x TX ( K 1 = Const ) Tn ti 1 ( ) o f x K= mim 1 ( )f x K= khi v ch khi x = x 0 * 2 ( ) ;f x K x TX ( K 2 = Const ) Tn ti 2 ( ) o f x K= max 2 ( )f x K= khi v ch khi x = x 0 Nhng ch ra c iu ú thỡ rt l khú khn, nú ũ hi rt nhiu kin thc, k nng s dng kin thc. giỳp cỏc em hc sinh hc toỏn tt, gii c cỏc bi tp v cc tr, c bit l cỏc em hc sinh lp 9 v i tuyn i thi cỏc cp phi thnh tho nú. Nờn tụi ó chn ti sỏng kin nghim Hng dn hc sinh gii cỏc bi tp v cc tr. 3. Gii hn ca ti a. V kin thc Tỡn cc tr ca biu thc i s, i vi hc sinh cp THCS ch sa dng nh ngha v cc tr : Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 2 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 * 1 ( ) ;f x K x TX ( K 1 = Const ) 1 ( ) o f x K= mim 1 ( )f x K= khi v ch khi x = x 0 * 2 ( ) ;f x K x TX ( K 2 = Const ) 2 ( ) o f x K= max 2 ( )f x K= khi v ch khi x = x 0 b. V i tng ỏp dng Trang b cho hc sinh cú hc lc khỏ, gii, i tuyn v ụn tp cho hc sinh lp 9, ng thi dựng lm ti liu tham kho cho cỏc ng chớ giỏo viờn ging dy b mụn toỏn. c. Thi gian thc hin Sau khi hc sinh lp 9 ó hc ht chng I, thc hin trong 7 bui. B. PHN TH HAI QU TRèNH THC HIN TI I. Kho sỏt thc t Qua thc t ging dy, ụn tp cho hc sinh lp 9 nhiu nm v qua tham kho mt s ti liu bi dng mụn toỏn 9, tớch ly cỏc thi hc sinh gii mụn toỏn lp 9 cỏc cp, tụi thy : Cỏc bi tp v cc tr thng l khú i vi hc, thm tr khú c vi mt s giỏo viờn nu nh cha u t thi gian nghiờn cu, ó cú ti 90% cỏc em hc sinh khụng lm c cỏc bi tp v cc tr khi giao viờn giao bi cho trong cỏc thi hc sinh gii, thi vo lp 10, bi l l cỏc dng bi tp ny rt phong phỳ v cỏch gii, v phi sa dng nhiu kin thc phc tp, v cỏc em hay mc nhng sai lm v ng nhn khi gii toỏn, tụi ó thng kờ c 50% s cỏc em hay b ng nhn khi gii cỏc bi tp v cc tr. Dng bi tp v tỡm cc tr thỡ thng l cỏc em khú khn ngay t im sut phỏt khụng bit bt u t õu, hai l cha lm rừ bn cht ca cụng vic gii bi toỏn v cc tr, hoc cha cú k nng s dng cỏc bt ng thc c bn, t l ny ó chim 70%. i vi 9A ca tụi trc tip ging dy trong nm hc 2012 - 2013, thỡ kt qu ca 1 bi kim tra 45 phỳt i s trong ú cú 1 cõu tỡm cc tr c ghi li nh sau: S s S em lm c cõu cc tr S em lm b ng nhn S em khụng lm c cõu cc tr T l %lm c 34 5 5 24 15% II. Phng phỏp thc hin ti - Nghiờn cu k mt s ti liu: 1) Sỏch giỏo khoa i s 8; 9 Nh xut bn giỏo dc 1) Sỏch nõng cao i s 8 V Hu Bỡnh 2) Sỏch nõng cao i s 9 V Hu Bỡnh Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 3 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 3) Sỏch nõng cao i s 8 Vừ i Mau 4) Sỏch nõng cao i s 9 Vừ i Mau 5) Tuyn tp cỏc bi toỏn s cp V Hu Bỡnh 6) Tuyn tp cỏc bi toỏn s cp Vừ i Mau 7) 36 b ụn thi tt nghip THCS Vừ i Mau - Hng dn hc sinh cỏch c sỏch. - Xõy dng li cho hc sinh hiu bn cht lý thuyt ca vic gii bi toỏn cc tr, a ra mt s phng phỏp gii cỏc bi toỏn v cc tr. - Xõy dng mt h thng bi tp, trc tip trao i vi hc sinh trờn lp trong mt khong thi gian l 7 bui. C. PHN TH BA NI DUNG CA TI I. C s lý thuyt - nh ngha giỏ tr ln nht (GTLN) ca mt biu thc i s cho biu thc f(x,y, ) xỏc nh trờn min D : M c gi l GTLN ca f(x,y, ) trờn min |D nu 2 iu kin sau ng thi tho món : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2. (x 0 , y 0 , ) |D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M. Ký hiu : max f(x,y, ) = M (x = x o , y = y o , ) |D - nh ngha giỏ tr nh nht (GTNN) ca mt biu thc i s cho biu thc f(x,y, ) xỏc nh trờn min |D : M. c gi l GTNN ca f(x,y, ) trờn min |D nu 2 iu kin sau ng thi tho món : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2. (x 0 , y 0 , ) |D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M. Ký hiu : M = min f(x,y, ) (x = x o , y = y o , ) |D - Cỏc kin thc c bn thng dựng * Lu tha : a) x 2 0 x |R x 2k 0 x |R, k z - x 2k 0 Tng quỏt : [f (x)] 2k 0 x |R, k z - [f (x)] 2k 0 T ú suy ra : [f (x)] 2k + m m x |R, k z m - [f (x)] 2k m b) x 0 x 0 ( x ) 2k 0 x0 ; k z Tng quỏt : ( A ) 2k 0 A 0 (A l 1 biu thc) * Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i : a) |x| 0 x|R b) |x+y| |x| + |y| ; nu "=" xy ra x.y 0 c) |x-y| |x| - |y| ; nu "=" xy ra x.y 0 v |x| |y| Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 4 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 * Bt ng thc cụsi : ai 0 ; i = n,1 : n n n aaa n aaa 21 21 +++ nN, n 2. du "=" xy ra a 1 = a 2 = = a n * Bt ng thc Bunhiacụpxki : Vi n cp s bt k a 1 ,a 2 , ,a n ; b 1 , b 2 , ,b n ta cú : (a 1 b 1 + a 2 b 2 + +a n b n ) 2 ( ) ).( 22 2 2 1 22 2 2 1 nn bbbaaa ++++++ Du "=" xy ra i i b a = Const (i = n,1 ) Nu bi = 0 xem nh ai = 0 * Mt s Bt ng thc n gin thng gp c suy ra t bt ng thc (A+B) 2 0. a. a 2 + b 2 2ab b. (a + b) 2 4ab c. 2( a 2 + b 2 ) (a + b) 2 d. e. II. Mt s phng phỏp c bn gii bi toỏn v cc tr 1. S dng phộp bin i ng nht: Bng cỏch nhúm, thờm, bt, tỏch cỏc hng t mt cỏch hp lý, ta bin i biu thc ó cho v tng cỏc biu thc khụng õm (hoc khụng dng) v nhng hng s . T ú tỡm c giỏ tr ln nht hoc nh nht ca biu thc. + Cỏc vi d minh ho : Vớ d 1 : Tỡm giỏ tr nh nht ca A = x 2 + 4x + 7 Gii : Ta cú : A = x 2 + 4x + 7 = x 2 + 4x + 4x + 3 = (x + 2) 2 + 3 3 vỡ (x + 2) 2 0 vi x min A = 3 x + 2 = 0 x = -2 Vy min A = 3 x = -2 Vớ d 2 : Tỡm giỏ tr ln nht ca B = - x 2 + 6x - 15 Gii : Ta cú : B = -x 2 + 6x - 15 = - (x 2 - 6x + 9) - 6 B = - (x - 3) 2 - 6 - 6 do - (x - 3) 2 0 x |R max B = - 6 x - 3 = 0 x = 3 Vy max B = - 6 x = 3 Vớ d 3 : Tỡm giỏ tr nh nht ca C = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Gii : Ta cú : C = (x-1)(x- 4)(x - 5)(x- 8) + 2002 = (x-1) (x - 8) (x - 4) (x-5) + 2002 = (x 2 - 9x + 8) (x 2 - 9x + 20) + 2002 = {(x 2 - 9x + 14) - 6}.{(x 2 - 9x + 14) + 6} + 2002 Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 5 2+ a b b a baab + + 411 Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9 = (x 2 - 9x + 14) 2 - 36 + 2002 = (x 2 - 9x + 14) 2 + 1966 ≥ 1966 vì (x 2 - 9x + 14) 2 ≥ 0 ∀x ⇒ min C = 1966 ⇔ x 2 - 9x + 14 = 0 ⇔ 2 7 x x =   =  Vậy min C = 1966 ⇔ 2 7 x x =   =  Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = )1( 12 1102 2 2 ≠ +− −− x xx xx Giải : Ta có: D = 22 2 2 2 )1( 9 1 6 2 )1( 9)1(6)12(2 12 1102 − − − −= − −−−+− = +− −− x x x xxx xx xx = - 331 1 3 2 ≤+       + −x vì - x x ∀≤       + − 01 1 3 2 ⇒ max D = 3 ⇔ 01 1 3 =+ −x ⇔ x = -2 Vậy : max D = 3 ⇔ x = -2 Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của E = yx x y y x −−+ với x, y > 0 Giải : Ta có: E = yx x y y x −−+ = = −−+ xy xyyxyyxx xy yxyyxx )()( −−− E = xy yxyx )).(( −− = 2 ( ) .( )x y x y xy − + ≥0 ∀x,y > 0 ⇒ min E = 0 ⇔ 0=− yx ⇔ x = y Vậy : min E = 0 ⇔ x = y > 0 Ví dụ 6 : Cho x, y ≥ 0 và x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của F = x 2 + y 2 . Giải : Do x; y ≥ 0 và x + y = 1 ⇒ 0 ≤ x;y ≤ 1 ⇒ x 2 ≤ x, y 2 ≤ y ⇒ F = x 2 + y 2 ≤ x + y = 1 ⇒ Max F = 1 ⇔    = = 1 0 y x hoặc    = = 0 1 y x Mặt khác : x + y = 1 ⇒ (x + y) 2 = 1 ⇒ 1 = x 2 + 2xy + y 2 ⇒ x 2 + y 2 = 1 - 2xy Hay x 2 + y 2 = 1 1 2 2 2 xy− + = ( ) 2 2 x y+ - 2xy + 1 2 = 2 1 1 ( ) 2 2 x y+ − ⇒ F = x 2 + y 2 = 2 1 )( 2 1 2 1 2 ≥−+ yx do (x - y) 2 ≥ 0 với ∀x,y ⇒ min F = 2 1 ⇔ x - y = 0 ⇔ x = y = 2 1 Vậy : max F = 1 ⇔ 0 1 1 0 x x y y = =   ∨   = =   ; min F = 2 1 ⇔ x = y = 2 1 Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy 6 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 Vớ d 7 : Tỡm giỏ tr ln nht ca P = xy + yz + zx - x 2 - y 2 - z 2 Gii : Ta cú : P = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 = - 2 1 (2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2xz) P = - 2 1 {(x - y) 2 + (y - z) 2 + (z - x) 2 } 0 x,y,z max P = 0 x = y = z Vy : max P = 0 x = y = z Nhn xột : Phng phỏp gii toỏn cc tr i s bng cỏch s dng cỏc phộp bin i ng nht c ỏp dng cho nhiu bi tp, nhiu dng bi tp khỏc nhau. Song ụi khi hc sinh thng gp khú khn trong cụng vic bin i t c mc ớch, khú tỡm ra im xut phỏt. nhanh chúng tỡm im xut phỏt thỡ cỏc em phi nh v vn dng thnh tho cỏc hng ng thc v k nng tỏch to ra hng n thc.Mun vy thỡ cỏc em phi lm nhiu bi tp v xp chỳng vo mt nhúm. Cỏc bi tp t luyn : 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau : a. A = x 2 - 10x + 20 b. B = (x-1) 2 + (x-3) 2 c. C = 12 683 2 2 + + xx xx (x 1) d. D = x 3 + y 3 + xy bit x + y = 1 2. Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc : A = - x 4 + 2x 3 - 3x 2 + 4x + 2002 B = 1 2 2 2 + + x x ; C = 2510 196747 2 2 + + xx xx 3. Tỡm cc tr ca A = 32 64 2 2 ++ ++ xx xx 2. S dng cỏc bt ng thc c bn: Ta bit rng : T 1 bt ng thc, bng cỏch chuyn v bao gi ta cng a v 1 bt ng thc c bn v cỏc phộp bin i tng ng m mt v l hng s. Vỡ vy : S dng cỏc bt ng thc c bn v cỏc phộp bin i tng ng ta cú th tỡm c cc tr ca 1 biu thc no ú. Cỏc vớ d minh ha : Vớ d 1 : Cho a > b > 0. Tỡm GTNN ca A = a + )( 1 bab Gii : Ta cú : A = a + )( 1 bab = b + (a - b) + )( 1 bab 3. 3 ).( )( bab bab (theo Cụsi cho 3 s dng). Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 7 Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9 A ≥ 3 ⇒ min A = 3 ⇔ b = a- b = )( 1 bab − ⇔    = = 1 2 b a Vậy : min A = 3 ⇔    = = 1 2 b a Ví dụ 2 : Cho a, b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B = ab 1 + 22 1 ba + Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( yx 11 + ) ≥ 2 yx. . 2 xy 1 = 4 (với x, y > 0) ⇒ yx 11 + ≥ yx + 4 (1) Ta có : ab ≤ ( 2 ba + ) 2 = 4 1 ⇒ ab 1 ≥ 4 (2) do a + b = 1 ; a, b > 0 Áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có : B = 22222222 2 4 2 4 ) 1 2 1 ( 2 11 2 211 baabba abab ba ab ba ab ++ +≥ + ++= + += + + B ≥ 2 + 6 )( 4 2 = + ba do a + b = 1 ⇒ min B = 6 ⇔ a = b = 2 1 Vậy : min B = 6 ⇔ a = b = 2 1 Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của C = x 4 + y 4 + z 4 Giải : Do xy + xz + yz = 4 ⇒ 16 = (xy + xz + yz) 2 ≤ (x 2 +y 2 +z 2 ) (x 2 +y 2 +z 2 ) ⇔ 16 ≤ (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 ≤ (x 4 + y 4 + z 4 ) (1 2 +1 2 +1 2 ) (Bunhiacôpxki) ⇒ C = x 4 + y 4 + z 4 ≥ 3 16 ⇒ min C = 3 16 ⇔ x = y = z = ± 3 32 Vậy : min C = 3 16 ⇔ x = y = z = ± 3 32 Ví dụ 4 : Cho |a| ≤1; |b| ≤1 và | a+ b| = 3 . Tìm GTLN của D = 22 11 ba −+− Giải : Ta có : (a - b) 2 ≥ 0 ∀a;b ⇒ 2 22 22       + ≥ + baba (1) áp dụng (1) ta có : 2 1 2 )(2 2 11 2 11 22 22 22 2 22 ba ba baba + −= +− = −+− ≤         −+− Do 4 3 2 3 22 2 2 22 =         =       + ≥ + baba (do | a + b| = 3 ) ⇒ 2 22 2 11         −+− ba ≤ 1 - 4 3 = 4 1 ⇒ ( 111 22 ≤−+− ba ) Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy 8 Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vÒ cùc trj – To¸n líp 9 ⇒ D = 111 22 ≤−+− ba ⇒ max D = 1 ⇔ a = b = 2 3 Vậy : max D = 1 ⇔ a = b = 2 3 Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của E = | x + 7| + | x - 1995| Giải : Ta có : |x| + |y| ≥ | x + y| dấu "=" xảy ra ⇔ x,y ≥ 0 Do vậy : E = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | ≥ |x+7 + 1995 - x| = 2002 ⇒ min E = 2002 ⇔ (x + 7). (1995 - x) ≥ 0 ⇔ -7 ≤ x ≤ 1995 Vậy : min E = 2002 ⇔ -7 ≤ x ≤ 1995 Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của F = (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 với x 2 y + xy 2 ≥ 0 Giải : Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 ≥ 1 + 2001 (x 2 y + xy 2 ) ⇒ (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 ≥ 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001. ⇔ F ≥ 2002 ⇔ min F = 2002 ⇔ xy(x+y) = 0 ⇔ 0 0 x y x y =   =   = −  Vậy : min F = 2002 ⇔ 0 0 x y x y =   =   = −  Ví dụ 8 : Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của P = x 16 + y 16 + z 16 Giải : Cách 1 : Ta có : (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 ≥ 0 ∀a,b,c ⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : P = x 16 + y 16 + z 16 = (x 8 ) 2 + (y 8 ) 2 + (z 8 ) 2 ≥ x 8 y 8 + y 8 z 8 + z 8 x 8 ⇔ P≥ x 8 y 8 + y 8 z 8 + z 8 x 8 ⇔ P ≥ (x 4 y 4 ) 2 + (y 4 z 4 ) 2 + (z 4 x 4 ) 2 ≥ x 4 y 4 . y 4 z 4 + x 4 y 4 . z 4 x 4 + y 4 z 4 . z 4 x 4 ⇔ P ≥ x 4 y 8 z 4 + x 8 y 4 z 4 + x 4 y 4 z 8 ⇔ P ≥ (x 2 y 4 z 2 ) 2 + (x 4 y 2 z 2 ) 2 + (x 2 y 2 z 4 ) 2 ≥ x 6 y 6 z 4 + x 6 y 4 z 6 + x 4 y 6 z 6 ⇔ P ≥ (x 3 y 3 z 2 ) 2 + (x 2 y 3 z 3 ) 2 + (x 3 y 2 z 3 ) 2 ≥ x 5 y 6 z 5 + x 6 y 5 z 5 + x 5 y 5 z 6 ⇔ P ≥ (xyz) 5 .x + (xyz) 5 .y + (xyz) 5 .z = x + y + z = 3 (do xyz = 1 và x + y + z = 3) ⇒ min P = 3 ⇔ x = y = z = 1 Cách 2 : (Không sử dụng giả thiết xyz = 1) Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có : 3 = x + y + z ⇒ 9 = (x+ y + z) 2 ≤ (x 2 + y 2 + z 2 ).3 ⇔ 3 ≤ (x 2 + y 2 + z 2 ) ⇔ 9 ≤ (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ≤ (x 4 + y 4 + z 4 ).3 Vò B¸ Nam - THCS Thanh Thïy 9 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 3 x 4 + y 4 + z 4 9 (x 4 + y 4 + z 4 ) 2 (x 8 + y 8 + z 8 ).3 3 x 8 + y 8 + z 8 9 (x 8 + y 8 + z 8 ) 2 (x 16 + y 16 + z 16 ).3 P = x 16 + y 16 + z 16 3 . min P = 3 x = y = z = 1 Vy : min P = 3 x = y = z = 1 Nhn xột : Rừ rng khi ỏp dng mt s bt ng thc c bn, bi toỏn c gii quyt nhanh hn. Song vic vn dng bt ng thc no thun li cũn tu thuc vo gi thit bi toỏn v s vn dng linh hot cỏc bt ng thc ú. Mt vn t ra l : Hai phng phỏp va nờu vn cha gii quyt c ht cỏc bi toỏn cc tr i s THCS. Chớnh vỡ l ú nhu cu phi cú nhng phng phỏp khỏc ti u hn v thc hin c yờu cu bi toỏn. Mt s bi tp t luyn : 1. Cho a,b,c > 0 v a + b + c = 1 Tỡm GTNN ca A = (1+ a 1 ) (1+ b 1 ) (1+ c 1 ) 2. Cho a,b, > 0 v a + b = 1 Tỡm GTNN ca B = 22 32 ba ab + + 3. Cho a,b,c > 0 a) Tỡm GTNN ca C = ba c ac b cb a + + + + + b) Tỡm GTNN ca D = c ba b ac a cb ba c ac b cb a + + + + + + + + + + + 4. Cho x,y,z 4 3 v x + y + z = 1 Tỡm GTLN E = 343434 +++++ zyx 5. Cho a,b,c 0 v a + b + c = 1 Tỡm GTLN ca F = cbcaba +++++ 6. Cho 0 x 3 4 . Tỡm GTLN ca G = 4x 2 - 3x 3 7. Cho 0 x 3 ; Cho 0 y 4. Tỡm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y) 8. Cho x,y,z,t 0 v 2x + xy + z + yzt = 1 Tỡm GTLN ca I = x 2 y 2 z 2 .t 9. Cho x,y,z,t 0 v xt + xy + z + yzt = 1 Tỡm GTLN ca K = xyzt 10. Tỡm GTNN ca M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 | 3. S dng phng phỏp t bin ph: Bng cỏch t bin ph v s dng cỏc phộp bin i tng ng. S dng cỏc bt ng thc c bn ta cú th chuyn bin thc ó cho v biu thc n gin hn, d xỏc nh cc tr hn. Cỏc vớ d minh ha : Vớ d 1 : Tỡm GTNN ca A = x 4 + 6x 3 + 13x 2 + 12x + 12 Gii : Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 10 [...]... XC NHN CA TH TRNG N V Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng sao chộp ca ngi khỏc V Bỏ Nam ỏnh giỏ ca hi ng khoa hc cp trng Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 26 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 . ỏnh giỏ ca hi ng khoa hc cp huyn Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 27 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 ... vng cỏch gii bi toỏn v tỡm cc tr , t ú cỏc em ham thớch hc mụn toỏn hn v xay mờ Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 25 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 gii toỏn nhiu hn, tng kh nng t duy ca cỏc em nhiu hn, t tin hn khi bc vo cỏc k thi ca mụn toỏn i tuyn ca tụi ó c 3 em hc sinh gii cp huyn, em V Bỏ Sang c vo vũng 2 v em li tip tc vũng hai c vo i tuyn toỏn lp 9 ca huyn tham gia thi thnh... ; max E = y = 0 4 4 Cỏc bi tp t luyn : 1 Tỡm GTNN ca A = x2 + 4 - x + 1 x x +1 2 3 50 2 Tỡm GTLN ca B = a + 1 + 2a 3 + 50 3a vi a ; 2 3 Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 12 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 1 2 1 2 1 v a+ b + c = 1 2 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 3 Cho a - ; b - ; c Tỡm GTLN ca C = 4 Cho x,y > 0 Tỡm GTNN ca D = x y y2 x2 + 2 3 + + 4 y x 2 y x 5 Cho a,b,c... 2 + 2.x.2002 + 2002 2 = P2 = x x 2 2 x 2.x.2002 + 2002 + 4.x.2002 P2 = x 2 ( x 2002) + 4.2002 4.2002 = 8008 P2 = x (do ( x 2002) 2 0 x Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy x > 0) 13 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 min P2 = 8008 x = 2002 1 x = 2002 8008 1 min B = x = 2002 8008 1 Vy min B = x = 2002 8008 max P1 = Vớ d 3 : Cho a,b,c dng v a + b + c = 3 Tỡm GTLN ca C = 5a + 4b +... x + y + y + t + t 3 P 2 + 2 + 2 + 6 (theo cụsi) 2 P= P 15 min P = 15 x = y = t > 0 15 x=y=t 2 15 Vy min D = x=y=t 2 min D = Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 14 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 Vớ d 5 : Cho x, y > 0 v 7x + 9y = 63 Tỡm GTLN ca E = x.y Gii : t : P = 63.E ta cú : 2 7x + 9 y (theo cụsi) P = 63xy = 7x.9y 2 2 3969 3969 63 P = Max P = 4 4 ... x y y x 2 2 y x 2 x2 y2 x y ( x y) 2 0 P = 2 1 + 2 1 + + y x y x xy min P = 0 x = y > 0 Vy min G = 2 x = y > 0 Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 15 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 Cỏc bi tp t luyn : 1 Cho x,y, z > 0 v x2 + y2 + z2 = 1 xy yz zx Tỡm GTNN ca A = z + x + y 2 Cho x 0 Tỡm GTNN ca B = x8 + x 4 + 1 x4 3 Cho x 0 Tỡm GTLN ca C = x8 x 16 + x... x2 + 4x + 5 Gii : Gi y l mt giỏ tr ca f(x) Ta cú : y = x2 + 4x + 5 x2 + 4x + 5 - y = 0 (cú nghim) ' = 4 - 5 + y 0 y1 Vy min f(x) = 1 x = -2 Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 16 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 Vớ d 2 : Tỡm GTLN ca f(x) = - x2 + 2x - 7 Gii : Gi y l mt giỏ tr ca f(x) Ta cú : y = - x2 + 2x - 7 x2 - 2x + y + 7 = 0 (cú nghim) ' = 1 - y - 7 0 y-6 Vy min f(x) = -... 2(y + 1)x + y - 6 = 0 (cú nghim) 5 * Nu y = 1 x = 4 * Nu y 1 ' = (y + 1)2 - (y - 1)(y - 6) 0 y2 + 2y + 1 - y2 + 6y + y - 6 0 9y - 5 0 y 5 9 Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 17 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 5 5 7 < 1 nờn ta cú min y = x=9 9 2 5 7 Vy min f(x) = x = 9 2 x2 + 2 Vớ d 5 : Tỡm GTLN ca f(x) = 2 x +1 Do Gii : Do f(x) xỏc nh vi mi x Gi y l mt giỏ tr ca f(x) Ta cú :... 3x 4 2 x 2 + 6 Vớ d 7: Tỡm cc tr ca f ( x) = 4 x + x2 + 1 Gii: 2 f(x) xỏc nh vi mi x t x = m 0 Gi y0 l mt giỏ tr no ú ca f(x) suy ra phng trỡnh Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 18 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 3m 2 2m + 6 y0 = (*) phi cú nghim khụng õm (I) m2 + m + 1 (*) m 2 (3 y0 ) m(2 + y0 ) + 6 y0 = 0 cú = 3( y0 2)( y0 2 + y0 6 y0 P= ; 3 y0 3 y0 Hoc P 0 3 < y0 6... nghim khụng õm = y02 + 16 0 y02 16 4 y0 4 Vỡ y0 0 nờn 0 y0 4 2 Vi y0 = 4 thỡ v = 2 suy ra x = 2 ( tho món) Vy max f(x) = 4 vi x = 2 Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 19 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 Chỳ ý: vớ d 8 ta cng cú th tỡm c min ca f(x) bng cỏch tỡm iu kin h (*) cú nghim khụng õm v ta tỡm c iu kin ca y0 l 2 2 y0 4 Do ú min f(x) = 2 2 vi x = 6 hoc x = -2 Nhn . Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 tr PHềNG GIO DC V O TO THANH OAI TRNG THCS THANH THY SNG KIN KINH NGHIM HNG DN HC SINH GII CC BI TP V CC TR Lnh. thc Tỡn cc tr ca biu thc i s, i vi hc sinh cp THCS ch sa dng nh ngha v cc tr : Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 2 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 * 1 ( ) ;f x K x TX ( K 1 . NAM Chc v: Phú hiu trng Nm hc 2012 2013 Vũ Bá Nam - THCS Thanh Thùy 1 Hớng dẫn học sinh giải các tập về cực trj Toán lớp 9 A. PHN M U Lí DO CHN TI 1. C s lý lun: Hc toỏn l gỡ? Dy toỏn