Ks Nguyễn Duy Hồng VỂ ĐẸP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2004) Cho a, b, c dương thỏa mãn . Chứng minh rằng Giải: Tương tự (1) ta có: Mặt khác theo Cô – si ta có: Mặt khác ta có: Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: Dấu đẳng thức đạt khi: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 1 Ks Nguyễn Duy Hồng Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2005) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: Tương tự ta có: Cộng các vế của (1), (2) và (3) lại ta được: Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009) Cho các số thực không âm x, y và z thỏa mãn: Chứng minh rằng: Giải: Theo đề bài ta có: Theo Cô – si ta có: Mặt khác: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 2 Ks Nguyễn Duy Hồng Tương tự ta có: (4) Cộng các vế các bất đẳng thức (2), (3) và (4) lại ta được: Kết hợp (1) ta được: Dấu đẳng thức đạt tại x = y = z Bài 4: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012) Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Nhận thấy x, y, z có vai trò bình đẳng nên P đạt GTNN khi x = y = z = 0 Khi đó x – y = 0, y – z = 0 và z – x = 0 do đó ta đánh giá theo điều kiện xảy ra dấu đẳng thức như sau: Mặt khác ta có: Ta có: Từ (2) và cộng (3), (4) và (5) lại ta được Từ (6) và (7) ta có: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 3 Ks Nguyễn Duy Hồng Từ (1) và (8) ta có: Dấu bằng đạt được khi: x = y = z = 0 Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có: Giải: Đặt: Bất đẳng thức trở thành: Áp dụng Cô-si ta có: Cộng các vế các bất đẳng thức lại ta được: Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có: Giải: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 4 Ks Nguyễn Duy Hồng Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được: Áp dụng Cô – si ta có: Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có: Giải: Áp dụng Cô – si ta có: Tương tự ta có: Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được: Mặt khác ta có: Từ (4) và (5) ta có: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 5 Ks Nguyễn Duy Hồng Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có: Giải: Áp dụng Cô-Si ta có: Tương tự ta có: Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: Cuối cùng ta đi chứng minh: Thật vậy ta có: Áp dụng Cô – si ta có: Tương tự ta có: Cộng các vế của (6), (7)và (8) lại ta được: Dấu “=” đạt tại: a = b = c > 0 Vẻ đẹp của bất đẳng thức 6 Ks Nguyễn Duy Hồng Chú ý: Với mọi số dương a, b, c ta có (Bạn đọc tự chứng minh) Bài 9: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng Giải: Ta có: Cộng các bất đăng thức (1), (2) và (3) lại ta có: Áp dụng Cô – si ta có: Từ (4) và (5) ta được: Dấu bằng đạt khi a = b = c = 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài 10: Cho a, b, c dướng tìm GTNN của biểu thức Giải: Từ bất đẳng thức quen biết sau: Xét hàm số: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 7 Ks Nguyễn Duy Hồng Bài 11: Cho a, b, c dương chứng minh rằng Giải: Mặt khác áp dụng Cô – si ta có: Theo Cô – si ta có: Vậy ta có: Dấu bằng đạt khi a = b = c. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Chú ý: Với mọi a, b, c dương ta có: (Bạn đọc tự chứng minh) Bài 12: Cho a, b là các số dương, tìm GTNN của biểu thức: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 8 Ks Nguyễn Duy Hồng Giải: Ta có: Áp dụng Cô – si ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi: Bài 13: Cho a, b, c dương chứng minh rằng: Giải: Ta có: Tương tự ta có: Cộng các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được: Mặt khác ta lại có: Từ (4) và (5) ta có: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 9 Ks Nguyễn Duy Hồng Dấu đẳng thức xảy ra khi: Bài 14: Cho a, b, c dương chứng minh rằng: Giải: Áp dụng Cô – si ta có: Tương tự (1), (2) và (3) ta có: Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được: Dấu đẳng thức đạt được tại a = b = c = 1 Bài 15*: Cho các số thưc không âm đôi một khác không Tìm GTNN của biểu thức Giải: Ta có: Theo Cô – si ta có: Theo Cô – si ta lại có: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 10 [...]...Ks Nguyễn Duy Hồng Vậy Dấu đẳng thức đạt khi Thân tặng các bạn học sinh khá giỏi Chúc các bạn học tập đạt kết quả cao Ks Nguyễn Duy Hồng duyhong_xd@yahoo.com nguyenduyhong.ksxd@gmail.com Vẻ đẹp của bất đẳng thức 11 . ta có: Cộng các vế các bất đẳng thức lại ta được: Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có: Giải: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 4 Ks Nguyễn Duy Hồng Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2). có: Dấu đẳng thức đạt khi: Vẻ đẹp của bất đẳng thức 1 Ks Nguyễn Duy Hồng Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2005) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: Tương tự ta có: Cộng các vế. Hồng Tương tự ta có: (4) Cộng các vế các bất đẳng thức (2), (3) và (4) lại ta được: Kết hợp (1) ta được: Dấu đẳng thức đạt tại x = y = z Bài 4: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012) Cho x,