CỘNG HOÀ XĂ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - hạnh phúc _ _ ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SƠ YẾU LÍ LỊCH Họ tên : Nguyễn Thị Hồng Nhật Sinh ngày: 09 tháng 10 năm 1980 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THPT ứng Hồ A – Hà Nội Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm chun ngành Tốn – Tin Hệ đào tạo: Chính Quy Bộ mơn giảng dạy: Tốn Trình độ ngoại ngữ: Trình độ C (Tiếng Anh) Trình độ trị: Sơ cấp Khen thưởng: Sở khen năm học 2006 – 2007 Chiến sĩ thi đua cấp sở năm 2007-2008 Chiến sĩ thi đua cấp sở năm 2009-2010 Chiến sĩ thi đua cấp sở năm 2010-2011 Tên đề tài: DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC CHO HỌC SINH LỚP 10 MỤC LỤC SƠ YẾU LÝ LỊCH……………………………………………………………………….1 ĐẶT VẤN ĐỀ………………………………………………………………………… A B C D Cơ sở lý luận……………………………………………………… ……………….3 Cơ sở thực tiến……………………………… …………………………………… Mục đích SKKN………………………………………………………………………3 Đối tượng nhiên cứu………………………………………………………………… NƠI DUNG:…………………………………………………………………………… Chương I: Tóm tắt kiến thức liên quan Chương II: Phương pháp biến đổi tương đương Chương III: Phương pháp đặt ẩn phụ Chương IV: Phương pháp tọa độ véc tơ Chương V: Bài tập áp dụng ĐẶT VẤN ĐỀ A Cơ sở lý luận Dậy học phân loại dạng toán theo chủ đề áp dụng phổ biến Với việc phân loại dạng toán giúp học sinh tiếp cận kiến thức dễ Phân loại dạng toán giúp cho học sinh nhìn nhận vấn đề cách tổng quan Các tài liệu lý luận dạy học khẳng định trương phổ thong dạy toán dậy hoạt động tốn học Đối với học sinh xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Hoạt động giải tập toán điều kiện thực mục đích dậy tốn trường phổ thong Bài toán phương tiện hiệu thay việc giúp học sinh nắm vứng kiến thức; phát triển tư duy, hình thành kỹ kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn B Cơ sở thực tiễn C Mục đính SKKN Đưa số phương pháp giải bất phương trình chứa thức bậc hai vào giảng dậy, giúp em học sinh nâng cao giải toán bất phương trình nói chung giải tốn khác D Đối tượng nghiên cứu E Kế hoạch: Khảo sát toàn học sinh lớp 10A4 sau học xong chương bất đẳng thức, bất phương trình Phân tích kết quả, phát nguyên nhân, đưa biện pháp khắc phục Kết khảo sát trước thực đề tài Số học sinh nắm vững kĩ giải bất phương trình 51 12 Kết khảo sát trước thực đề tài Tổng số Số học sinh chưa nắm vững kĩ giải bất phương trình 39  Số học sinh nắm vứng kiến thức giải bất phương trình  Số học sinh nắm vứng kiến thức giải bất phương trình CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trước hết cần làm cho học sinh nẵm vững việc giải bất phương trình chữa thức bậc hai cần phải đặt điều kiện cho thức bậc hai Giáo viên cần dạy cho học sinh phép biến đổi tương đương phương trình sau: Công ( Trừ) P(x) < Q(x) P(x) + Q(x) < Q(x) + F(x) Chú ý biểu thức F(x) phải có điều kiện xác định với bất phương trình ban đầu Nhân ( Chia) P(x) < Q(x) ⇔ ⇔ P(x) Q(x) < Q(x) F(x) Nếu F(x) > với x thuộc TXĐ bất phương trình P(x) < Q(x) ⇔ P(x) Q(x) > Q(x) F(x) Nếu F(x) < với x thuộc tập xác định bất phương trình Chú ý: Đây phép biến đổi mà học sinh hay nhầm lẫn làm theo thói quen giải phương trình, Giáo viên cần nhấn mạnh điều kiện phát triển rõ phép biến đổi tương đương Bình phương P(x) < Q(x) ⇔ P2(x) < Q2(x) P(x) Q(x) ∀ x Đặc biệt lưu ý học sinh ta thường dùng phép biến đổi tương đương để giải bất phương trình khơng sử dụng phép biến đổi hệ Để thực tốt phép biến đổi tương đương rèn luyện kĩ biến đổi biểu thức giáo viên nêu số đồng biêu thức có điều kiện thường gặp dạnh bảng sau: Đồng thức Điều kiện A=A A0 AB = A B A0 B0 A = B A A B B A B A0 B0 B= A2 B A0 B0 B = − A2 B A = B AB A = − AB B ≤ A B0 A0 B0 ≤ A B0 CHƯƠNG II GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I Các dạng Học sinh cần nẵm vững giải thành thạo hai dạnh sau: Dạng F ( x) < G ( x) (1) Cách giải: Bất phương trình (1)  F ( x) ≥  G ( x ) ≥  ⇔  F ( x) ≥ Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu rõ bất phương trình hệ Ví dụ1: Giải bất phương trình: 3x + < x + Lời giải: −1   x≥   3x + ≥  x ≥ −1   x +1 ≥ x2 − x > 3 x + < x + 1)   ⇔ Bất phương trình cho tương đương với: −1   x≥   x ≥ −1 x − x >  ⇔ ⇔ Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  −1 x ≥  x ≥ −1   x < x ≥1  ⇔  −1   ;0   [1;+∞)   x + ≥ 2( x − 1) Ví dụ2: Giải bất phương trình: Lời giải  2( x − 1) ≥  x +1 ≥   2 ⇔ x + ≥ 2( x − 1) ⇔ 2( x − 1) ≤ ( x + 1) Bất phương trình (1) −1  ≤x [ G ( x )] Bất phương trình Giáo viên giải thích rõ trường hợp hướng dẫn học sinh tách hai trường hợp để giải đơn giản − x2 + 4x − > 2x − VD3: Giải bất phương trình: Lời giải: ⇔ (1)   2x − <    − x + x − ≥ 2x − ≥  ( 2)  (2 x − 5) < − x + x −  Bất phương trình Giải (1):   x<  1≤ x < ⇔ 1 ≤ x ≤ ⇔  (1) Giải: (2):  x≥   5 x − 24 x + 28 < ⇔ ⇔   x≥  14 14 2 < x < ≤x< ⇔  (2)  14  1;    Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S = Khi học nắm vững hai dạng giáo viên nêu rõ việc giải bất phương trình chữa bậc hai khác ta thường dùng phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ để đưa hai dạng phương trình II Phương pháp bình phương liên tiếp Nguyên tắc để giải bất phương trình chứa thức bậc khử thức Một cách khử thức sử dụng phép bình phương dạng Tuy nhiên có bất phương trình, phương trình ta cần phải sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp đưa bất phương trình dạnh khơng cịn chữa thức Lưu ý: Là bình phương hai vế bất phương trình phải nhớ đặt điều kiện để hai vế khơng âm( Cũng đặt điều kiện để hai vế dấu) x + + x − ≤ 5x + Ví dụ4: Giải bất phương trình sau: ( Đề thi CĐ Khối A 2009) Lời giải: x≥2 Điều kiện: Với điều kiện, hai vế bất phương trình cho khơng âm bình phương hai vế ta bất phương trình: x − + ( x + 1)( x − 2) ≤ x + ⇔ ⇔ −2≤ x ≤3 ( x + 1)( x − 2) ≤ ⇔ ( x + 1)( x − 2) ≤ ⇔ ( x − x − ≤ [ 2;3] Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình cho S = 5x −1 + x −1 > x − Ví dụ 5: Giải bất phương trình: ( Đề thi ĐH Khối A 2005) x≥2 Lời giải: Điều kiện: ⇔ x − 1+ > x − + x − Bất phương trình Bình phương hai vế khơng âm bât phương trình ta x − > x − + ( x − 1)( x − 4) ⇔ ( x − 1)( x − 4) < x + 2 ⇔ ( x − 1)( x − 4) < ( x + 2) x≥2 Vì x+2≥0 nên ⇔ x − 10 x < ⇔ < x < 10 [ 2;10) Vậy tập nghiệm là: S = Lưu ý: Trong ví dụ phương trình ta bình phương hai vế ln, để phương trình hệ thử lại nghiệm bất phương trình ta buộc phải chuyển vế để phương trình có hai vế khơng âm thực bình phương − 1− x > − x Ví dụ 6: Giải bất phương trình: Lời giải: x ≤1   x ≤1   4 − − x ≥ ⇔  − x ≤ ⇔  x ≤1   x ≥ −15 ⇔ − 15 ≤ x ≤ Điều kiện: − 1− x > − x ⇔ − 1− x > − x ⇔ Bất phương trình tương đương với:  x < −4  − x < x + ⇔ − x < ( x + 2) ⇔ x + x + > ⇔  x > −1 ( − 15;−4)  ( − 1;1] Kết hợp điều kiện tập nghiệm bất phương trình cho S = III Phương pháp chia khoảng, xét dấu Ta thường sử dụng phương pháp bất phương trình vơ tỷ dạng tích thương Sử dụng phép biến đổi tương đương nhân chia với biểu thức F(x) cần biết rõ dấu F(x) dương hay âm 15 − x − x x Bất phương trình (nhân hai vế với x  − − 19 x <  ⇔ x + x − 15 > ⇔  − 1− 19 Kết hợp điều kiện suy < x≤3  19  ;3  ( − 5;0)   − +   Vậy tập nghiệm bất phương trình: S = (4 x − 3) x − 3x + ≥ x − Ví dụ7: Giải bất phương trình: x2 - 3x + ≥ ∀x ∈ R Lời giải: ĐK: x − 3)( x − x + − ≥ Bất phương trình cho tương đương với x= Trường hợp 1: Với nghiệm bất phương trình 3  x ∈  − ∞;  4  Trường hợp 2: Với ⇔ x − 3x + ≤ ⇔ x − 3x + ≤ Bất phương trình: ⇔ x − 3x ≤ 0≤x< Kết hợp điều kiện suy ⇔ 0≤ x≤3 Trường hợp 3: Với 3  x ∈  ;+∞  4  ⇔ x ≤  x − 3x + ≥ ⇔ x − 3x ≥ ⇔  x ≥ Bất phương trình: x≥3 Kết hợp điều kiện:  3 0;  ∪ [ 3;+∞ )   Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = Ví dụ 8: Giải bất phương trình: ( x − x) x − x − ≥ ( Đề thi đại học khối D 2002) Lời giải: −1  x ≤ (2 x − x − 2) ≥ ⇔  x ≥  Điều kiện: x =  x − 3x = ⇔  x = Ta có Lập bảng xét dấu vế trái ta có x x – 3x x − 3x − Vế trái −∞ − 2 +∞ Dựa vào bảng xét dấu tập nghiệm bất phương trình cho − 1   − ∞;   [ 3;+∞ )  { 2} 2  S= Ví dụ 9: Giải bất phương trình: x − 3x + + x − x + ≥ x − 5x + Lời giải: x ≥  x ≤1  Điều kiện: x = x =1  Trường hợp 1: nghiệm bất phương trình x>4 Trường hợp 2: ⇔ x − + x −3 ≥ x − Bất phương trình: ⇔ x − ( x − 2)( x − 3) ≥ 4( x − 4) ⇔ ( x − 2)( x − 3) ≥ (2 x − 11)  x>4 11  x − 11 ≤ ⇔ < x ≤ ⇔ x>4   x − 11 >  4( x − x + 6) ≥ (2 x − 11)  ⇔ 11  x> 11  x> 4 x ≥ 97 ⇔  ( 4;+∞) Trong trường hợp 2, bất phương trình có nghiệm: ⇔ x−2 + x−3 ≥ x−4 Trường hợp 3: x < 1, bất phương trình ⇔ − x + − x + ( x − x + ) ≥ 4( − x ) ⇔ ( x − x + 6) ≥ 11 − x)  x ⇔  t ≥ 2 Bất phương trình trở thành t≥4 Kết hợp điều kiện 2x +1 + − 2x > Do đó: ⇔ 10 + (2 x + 1)(9 − x) > 16 ⇔ ( x + 1)(9 − x) > ⇔ (16 x − x > ⇔ (0 < x < Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( 0;4) Từ dạng ta mở rộng cho bất phương trình tương tự Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x − + x − ≤ x − + x − x + > 13 Lời giải: x ≥1 Điều kiện t = 3x − + x − t≥0 Đặt t = x − 3x + 3x − 5x + Bất phương trình cho trở thành t ≤ −2  t ≤ t2 − ⇔ t2 −t − ≥ ⇔  t ≥ t ≥3 kết hợp với điều kiện 3x − + x − ≥ ⇔ x − + x − x + ≥ ⇔ Do đó:   x ≥1 (1)   6 − x ≤  x ≥1  (2)  − 2x >    ⇔ 3x − x + ≥ (6 − x) Giải (1) (1) x ≥1  ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ Giải (2) 3x − x + ≥ − x (2) x ≥1   x≤3  1≤ x ≤    x − 19 x + 34 ≤ ⇔ ⇔ 2 ≤ x ≤ 17 ⇔ ≤ x ≥ [ 2;+∞ ) Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S= x − + − x ≥ x − x + 11 Ví dụ 4: Giải bất phương trình: Lời giải: 2≤ x≤4 Điều kiện: x−2 + 4− x =t t≥0 Đặt 2 ⇔ t = + − x + 6x − ⇔ x2 + 6x − = ( t2 − 2 t2 − 2 ) x + x + 11 = −( ) +3 ⇔ 2 Bất phương trình trở thành: t2 − 2 t ≥ −( ) +3 ⇔ t + 4t + 4t − ≥ ⇔ (t − 2)(t + 2t + 4) ≥ (t + 2t + 4) ≥ ⇒ t ≥ t≥0 Với x−2 + 4− x ≥ 2 ⇔ + − x + 6x − ≥ ⇔ − x2 + 6x − ≥ Do : ⇔ − x + x − ≥ ⇔ ( x − 3) ≤ ⇔ x = x=3 Vậy bất phương trình có nghiệm là: I Dạng 3: P(x) Bất phương trình có dạnh đẳng cấp Q(x) P( x) + bQ( x) > c P ( x).Q( x) Dạng: Cách giải: Q( x) = - Xét t= Q( x) ≠ - P( x) Q ( x) ⇒ F (t , x ) = , chia hai vế cho Q(x) đặt Xét ẩn x điều kiện t Giáo viên minh họa vài ví dụ dạng bất phương trình trên: 3( x − 1) + 2( x + x + > ( x − 1)( x + x + 1) 2( x − x + 1) − ( x + x + 1) > ( x − x + 1)( x + x + 1) 2( x + 1) − 3( x + x + 1) > ( x + 1)( x − x + 1) Nhưng thực tế đề thường cho dạng biểu thức rút gọn mà ta phải phân tích thành dạng x + x − > x − 1) Ví dụ 5: Giải bất phương trình: Lời giải: (1) x ≥1 Điều kiện: 2 ⇔ 3( x − 1) + 2( x + x + > ( x − 1)( x + x + 1) Bất phương trình x =1 Trường hợp1: nghiệm bất phương trình x >1 Trường hợp1: x −1 > chia hai vế bất phương trình cho x2 + x +1 x2 + x + +3>7 x −1 x −1 t= đặt ta x2 + x +1 2 x −1 ⇒ x + (1 − t ) x + + t = ∆ x = t − 6t − >  t≥0  ⇔ t ≥ 3+ Để có nghiệm x ta phải có t >  t < 2 2t + > 7t ⇔ 2t − 7t + > ⇔  Ta có phương trình trở thành: x2 + x + >9 x −1 t >3 Với ta có Loại x −1 > x > +  ⇔ x − x + 10 > ⇔  x < − [1;4 − )  (4 + 6;+∞ ) Kết luận tập nghiệm bất phương trình là: S = x − = ( x − 1)( x + x + 1) Nhận xét: Dễ thấy x2 + x + Đặt Q(x) = x-1, P(x) = Mẫu chốt lời giải phân tích vế trái bất phương trình (1) sau: Vế trái(1) = 2(P(x) + Q(x) học sinh tinh ý thấy hệ số x2 vế trái(1) từ suy Ta làm theo phương pháp tổng quát sử dụng phương pháp hệ số bất định x + x − = P( x + x + 1) + Q( x − 1) Đồng hệ số tìm hệ số P=2; Q = Ví dụ 6: Giải bất phương trình: 2x2 + 9x − − x − ≥ x2 + x + (1) Lời giải: x ≥1 Điều kiện: (1) ⇔ 2x2 + 9x − ≥ x − + x2 + x + 2 ⇔ x + x − ≥ 4( x − 1) + x + x + + ( x − 1)( x + x + 1) 2 ⇔ x + x − ≥ ( x − 1)( x + x + 1) 2 ⇔ x + x + + 3( x − 1) ≥ ( x − 1)( x + x + 1) Trường hợp 1: x=1 nghiệm bất phương trình Trường hợp2: x>1 chia hai vế cho x-1>0 Ta bất phương trình: x2 + x + x2 + x + +3≥ x −1 x −1 t= x2 + x + x −1 đặt t ≥ 3+ Tương tự ví dụ điều kiện t : t ≤  t + ≥ 4t ⇔ t − 4t + ≥ ⇔ t ≥ (1) Bất phương trình trở thành: t ≥3 Với , tương tự VD5 ta tìm tập nghiệm bất phương [1;4 − ]  [4 + 6;+∞ ) trình : S = Nhận xét: Trong ví dụ ta phải chuyển vế, bình phương đưa dạnh Như với cách hướng dẫn học sinh giải toán vậy, giáo viên coc thể hướng dẫn học sinh đề toán toán khác dạng toán IV Dạng Sử dụng khả phân tích, tổng cộng nhận dạng bất phương trình để thực đặc tính chung, tìm mối liên hệ biểu thức bất phương trình để đưa cách chọn ẩn phụ Ví dụ 7: Giải bất phương trình: x+ x < 2x + +4 2x Lời giải: Điều kiện: x>0 ⇔ 5( x+ x t≥ ) < 2( x + + 2) 4x ) Bất phương trình: t= x+ ( x Đặt : với t2 = x + +2 4x Suy ra: t <  t> 2  5t < 2t ⇔ 2t − 5t > ⇔  (1) Bất phương trình trở thành: t≥ Với  + 17  x>  5 − 17  x< x+ > ⇔ 2x − x + > ⇔  x  ta có  21 + 17 x >  21 − 17 x <    21 − 17   21 + 17   0;   ;+∞      8     Vậy tập nghiệm bất phương trình: S = a+ Nhận xét: Trong ví dụ ta thấy mối quan hệ quen thuộc t= x+ x+ x Do dẫn tới việc đặt ta biểu diễn a a2 + a2 1 = x2 + 4x (2 x ) theo t Ví dụ 8: Giải bất phương trình: x + + x2 − 4x + ≥ x Đề thi ĐH khối B 2012 Lời giải: 0≤ x≤2− Điệu kiện: x≥2+ Với x = nghiệm bất phương trình cho Với x>0, bất phương trình tương đương với x+ t= x+ Đặt 1 + x+ −4 ≥3 x x 3−t <   − t ≥  2 t − ≥ − t ⇔ t − ≥ (3 − t ) x t >0 bất phương trình trở thành ⇔  x ≥2  1 x+ ≥ 0< x≤  x≤ x 2⇔ ⇔ Do Vậy tập nghiệm bất phương trình: S = t≥ x≥4  1 0;   [ 4;+∞ )   Nhận xét: Trong ví dụ địi hỏi học sinh có khả phân tích nhận xét quan hệ biểu thức để từ dẫn đến việc chia x hai vế cho chọn biểu thức làm ẩn phụ CHƯƠNG IV: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VEC TƠ Các bất đẳng thức véc tơ I a = ( x1 ; y1 ) b = ( x2 ; y2 ) Cho ; Ta có: a.b = x1 y1 + x2 y2 a = x2 + y2 Các bất đẳng thức a b ≥ ab dấu xẩy hai véc tơ a b hướng ⇔ x1 y = =k >0 x2 y a b + ≥ a+b đẳng thức xẩy hai véc tơ a b hướng ⇔ x1 y = =k >0 x2 y a b - ≥ a+b x1 y = =k0 x2 y Chú ý: Ta quy ước đẳng thức xẩy dấu có mẫu tử 0: II Các tốn áp dụng x + x − ≥ x − 10 x + 16 Ví dụ 1: Giải bất phương trình: Lời giải: (1) x ≥1 Điều kiện ⇔ x − + x − ≥ x − 10 x + 16 Ta có (1) a = Xét véc tơ b Ta có ( x − 3; = x −1 (2) ) (1;1) u v = ( x − + x − 1) u v ≥ ( x − 3) + ( x − 1) = 2.x − 10 x + 16 u.v ≥ u v Suy bất phương trình (2) có dạng u.v ≤ u v Mặt khác ta ln có u.v = u v ⇔ u x−3 = ⇔ v để bất phương trình có nghiệm hai véc tơ hướng ( x − 1) = x − x −1  >0 x>3 ⇔ ⇔  x − x + 10 =  x>3 ⇔  ⇔ x=5 x=5 Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 2: Giải bất phương trình  x =   x =  x>3  x− x − 2( x + x + 1) ≥1 (1) Lời giải: x2 + x + = ( x − )2 + Ta có: 2( x + x + 1) = 2( x − ) + ≥ 2 ⇒ − 2( x + x + 1) < Suy >1 x≥0 điều kiện bất phương trình: ⇔ x − x ≤ − 2( x + x + Bất phương trình (1) ⇔ 2( x − x + ≤ − x + x (2) a = (1 − x; x ) Xét b = (1;1) 1− x + x ab Ta có = 12 + 12 (1 − x ) + ( x ) 21 = 2( x − x + 1) a b = a b ≤ ab Bất phương trình (2) có dạng a b = ab Do bất phương trình có nghiệm ⇔a b hướng  3−  x = =0   3+ (1 − x) = x  x − 3x + =  x = 1− x x    = >0 x ≤1 x x − 8x − x + − x + ≤ − − 4x2 2x − x+5 − x+4 > x+3 11 ... Chuyển bất phương trình cho bất phương trình chứa ẩn phụ Giải bất phương trình chứa ẩn phụ đối chiếu với điều kiện ẩn phụ nêu để tìm nghiệm thích hợp bất phương trình + Tìm nghiệm bất phương trình. .. III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Một phương pháp khử thức đặt ẩn phụ, nhiều trường hợp giải phương trình vơ tỷ phương pháp biến đổi tương đương sử dụng phép bình phương hai vế dẫn đến bất phương trình. .. giải bất phương trình chữa bậc hai khác ta thường dùng phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ để đưa hai dạng phương trình II Phương pháp bình phương liên tiếp Nguyên tắc để giải bất phương