GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đ gvuminh249@yahoo.com Lượng Giác A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1) Hệ thức cơ bản : ; 22 sin cos 1 αα += sin tan cos α α α = ; cos cot sin α α α = tan .cot 1 α α = 1 cot tan 1 tan cot α α α α ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 2 2 1 1tan cos α α =+ ; 2 2 1 1cot sin α α =+ 2) Các cung liên kết : t : 0914449230 Email : n 1 A/ Hai cung đối nhau : & x x− , ta có cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x − = −=− −=− −=− sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x π − x x π π π B/ Hai cung bù nhau : & x x π − , ta có x x x x = −=− −=− −=− C/ Hai cung phụ nhau : & 2 x x π − : …………………………. D/ Hai cung hơn 2 π : & 2 x x π + …………………………….……………………………. …………………………….……………………………. …………………………….……………………………. …………………………….……………………………. Chú ý : …………………………………………………………………….……………………………. …………………………………………………………………….…………………………….………… ………………………………………………………….…………………………….…………………… Rút gọn các biểu thức sau : ()() 21π A cos x cos 1000π x cos 2013π x 2 ⎛⎞ =++ −+ + ⎜⎟ ⎝⎠ ()() 7π 3π B2cos12π x3cosπ x5sin x cot x 22 ⎛⎞⎛ =+−−+−+ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ − ⎟ ⎠ () π 3π 5π C 2sin x sin 5π xsin x cot x 222 ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ =++−++++ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 2 B. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC : 1/ CÔNG THỨC CỘNG : ………………………………………………………………… HỆ QUẢ : sin cos 2 sin 4 cos sin 2 cos 4 aa a aa a π π ⎧ ⎛⎞ ±= ± ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎝⎠ ⎨ ⎛⎞ ⎪ ±= ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ m ………………………………………………………… ………………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 2/ CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI : 3/ Tổng thành Tích : ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… cos cos 2cos .cos 22 cos cos 2sin .sin 22 sin sin 2sin .cos 22 sin sin 2cos .sin 22 ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab + − += + − −=− +− += +− −= nhận xét : ……………………………………………………………………………. VD : ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 4/ Tích Thành Tổng : 1 cos .cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin .sin [cos( ) cos( )] 2 1 sin .cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos .sin [sin( ) sin( )] 2 α βαβαβ α βαβα αβ αβ αβ αβ αβ αβ =++− =− + − − =++− =+−− β nhận xét : ……………………………………………………………………………. GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 3 VD : ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 5/ Hạ Bậc : 2 1 cos2u sin u 2 = ; 2 1 cos2u cos u 2 = VD : ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I/ Phương trình Lượng Giác cơ bản ; 2 sin sin ( ) 2 uvk uv k uvk π ππ =+ ⎡ =⇔ ∈ ⎢ =−+ ⎣ Z Z 2 cos cos , ( ) 2 uvk uv k uvk π π =+ + ⎡ =⇔ ∈ ⎢ =− + ⎣ tan tan ;( ) cot cot uv uvk kZ uv π = ⎫ ⇒=+ ∈ ⎬ = ⎭ khi giải ta cần qui về cơ bản nếu ko gặp các dạng này v cos cos( )uv đưa về π =+ v sin sinu = − đưa về sin sin( )uv=− cos cosu=− tan tanu=− v v v đưa về tan tan( )u=− cot cotu = − đưa về cot cot( )uv=− Chú ý 1 : Chú ý 2 : …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 4 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… A.Phương trình cơ bản : 1) 1 sin(2 ) 32 x π −= 2) 3 cos(2 ) 32 x π −= 3) 2 sin(2 ) 42 x π −=− 4) sin 5 sin 3 x x= 5) 1 sin( 20 ) 2 o x + 6= ) 2 1 sin ( ) 42 x π − = 7) 1 tan 3 3 x =− 8) 9) tan(3 12 ) tan 60 oo x += tan(4 ) 3 0 5 x π + += 10) si 11) n(2 1) sin( 3)xx−= + 3 sin 1 5 x = 12) 3 cot 2 1 x = 13) 2sin7 3 0x −= 14) cos 4 cos3 0xx + = 15) sin(2 ) sin 3 x x π −=− 16) sin 17) 2 cos3 0xx−= 4 cos 1 x = 18) 2sin3 3 0x −= 19) cos 2 sin x x= 20) 3tan2 3 0x − = 21) 1 sin(2 ) 32 x π −= 22) c 23) os3 sin4 0xx−= 4sin .cos .cos 2 1 x xx = 24) 16 sin .cos .cos 2 cos 4 2xx x x= 25) 2 1 sin 2 4 x = 26) 27) 2 cos ( 30 ) 1 o x −= 2 3 cos ( ) 64 x π − = 28) 2sin( ) 3 34 x π += II/ Phương trình bậc 2 ( hoặc cao hơn ) đối với hàm số LG : Dạng : , 2 2 2 2 .sin .sin 0 .cos .cos 0 .tan .tan 0 .cot .cot 0 axbxc axbxc axbxc axbxc ⎧ ++= ⎪ ++ ⎪ ⎨ ++ ⎪ ⎪ ++= ⎩ = = Cách giải : đặt sin ,( 1 1) cos ,( 1 1) tan ,( ) cot , ( ) tx t txt txtR txtR = −≤≤ ⎧ ⎪ = −≤≤ ⎪ ⎨ =∈ ⎪ ⎪ =∈ ⎩ Pt cho sẽ trở thành : 2 a.t b.t c 0++= tx⇒⇒ Ví dụ . Giải phương trình: 2 x cos2x 3cosx 4cos 2 −= Giải : phương trình đã cho 2 x 1cos2 2 2cos x 3cosx 4 2 ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔−= 2 2cos x 5cosx 3 0 ⇔ −−= () 12π cosx x k2π kZ 23 ⇔=−⇔ =±+ ∈ B.Đặt ẩn phụ : 1) 2) 2 2cos 3cos 5 0xx+−= 2 2cos 3cos 5 0xx + −= 3) 2 4sin 4 cos x x=− 4) 2 2sin 2 5sin2 3 0xx − −= 5) 6) 2 tan 2 tan 3 0xx+−= 2cos2 cos 1 x x + = 7) 2 8) 6sinx.cosx cos 4x−= 2 2cos 5 3cos5 1 0xx − += 9) 2 4cos 2( 3 1) cos 3 0xx−+ += 10) 2 tan (1 3) tan 3 0xx + −−= 11) 5cos 2sin 3 0 2 x x −+= 12) 2 cot 4 cot 3 0xx − += 13) 14) cos 42 tan 4 tan 3 0xx−+= 2 9cos 5 0xx + += 15) 16) 2 cos sin 1 0xx−−−= 2 cos2xsinx2cosx10 + ++= (CĐ SPHN – 97) GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 5 17) 22 1 sin 2 sin 2 x x−= 18) 44 5 cos x sin x cos 2x 4 += 19) 20) 4cos x cos2x++=10 3 43228cos x sin x cos x+= 21) 44 2 1 222 4 sin x cos x cos x sin x+−+ −=0 20= 22) (D1 – 2008) () 44 44sin x cos x cos x sin x+++ III/ Phương trình đối xứng với sinx và cosx : a.sinu b.cosu c±= ; đk có nghiệm : 22 abc 2 + ≥ Cách giải : chia 2 vế phương trình cho 22 ab + Phương trình cho trở thành : 22 22 22 .sin cos ab uu ab ab ab ±= c + ++ Đặt 22 22 cos sin ab ab ab ϕ ϕ =⇒ = ++ , bằng tư duy ta đưa về Công thức : sin( ) sin .cos cos .sin cos( ) cos .cos sin .sin ab a b a b ab a b a b ±= ± ±= m sau đó giải bình thường tức là 22 22 sin .cos cos .sin sin( ) cc uu u ab ab ϕϕ ϕ ±=⇔±= + + BT 3 : Giải các phương trình LG 1) sinx 3cosx 1+= 2) cos2x 3sin2x 2−= 3) sin3x cos3x 2−= 4) 3sin3x cos3x 2 − = 5) 2 xx sin cos 3cosx 2 22 ⎛⎞ ++ ⎜⎟ ⎝⎠ = (ĐH Khối D – 2006) 6) 3sin2 cos2 2xx+= (ĐH Huế - KD – 99) 7) 22 cos x 3sin2x 2cosx sin x−=+ 8) cos 7 .cos 5 3 sin 2 1 sin 7 .sin 5 x xxx−=− x ( ĐH Mỹ Thuật Hà Nội – 96) 9) sin 3 3 cos3 2sin 2 x x−=x (CĐ – 2008 ) 10) sin 2 3 cos 2 2sin x xx+= x 12) ( ) sin 3 cos 3 cos3 sin x xx−= +11) 3 sin 4 cos 4 sin 3 cos x xx−=− x 13) 44 cos x 3sin2x 2sin x sin x+=+ 14) ( ) 44 4 sin x cos x 3sin4x 2 + += (ĐH Văn Lang – 98) 15) (Dự Bị Khối B – 2006) ()( ) cos2x 1 2cosx sinx cosx 0++ − = (soạn) 2 cos 3 sin 2 1 sin 2 x x−=+x ( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ - 2000) (soạn) sinx 3cosx 1−= Ví dụ . Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 Giải : 3 sin cos 2 cos3 0xx x++ = ⇔ cosx cos 3 π + sinx sin 3 π = – cos3x. ⇔ cos cos3 3 x x π ⎛⎞ −=− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ cos cos( 3 ) 3 x x π π ⎛⎞ −= − ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ 32 ( 3 k x k xk ππ π π ⎡ =+ ⎢ ) ∈ ⎢ ⎢ =+ ⎣ Z ⇔ x = 32 k π π + (k∈Z) GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 6 IV/ Phương trình đẳng cấp đối với sinx & cosx : (1) 22 a.sin u b.sinu.cosu c.cos u d++= Cần nhớ : 2 2 sin 2 2sin .cos 1 1tan cos uu u u = ⎧ ⎪ ⎨ =+ ⎪ ⎩ u Cách giải : TH 1 : Xét 2 cos 0 sin 1 x x=⇒ = , nếu VT = VP thì cosx = 0 là 1 nghiệm của pt, nếu ko thỏa thì cosx = 0 ko fải là nghiệm TH 2 : Xét , chia 2 vế phương trình (1) cho cos 0x ≠ 2 cos x và nhớ 2 2 .(1 tan ) cos d dx x =+ hay 22 cos )x x+(sindd= , sau đó đưa về phương trình bậc 2 theo tanx và giải Ví dụ 4 . Giải phương trình: − += 22 sin x 6sinxcosx cos x 2− (*) Giải : Thi 1 : xét cosx = 0 hay π x π 2 =+k thay vào phương trình (*) ta được : 1 = -2 (vô lý) nên π x π 2 =+kkhông phải là nghiệm của phương trình (*) Thi 2 : cosx hay 0≠ π x π 2 ≠+k, chia 2 vế của phương trình (*) cho ta được : 2 cos x 22 222 sin x sinx.cosx cos x 2 (*) 6 cos x cos x cos x cos x ⇔− +=− 2 () 22 tan x 6tanx 1 2 1 tan x⇔−+=−+ () 2 π 3tan x 6tanx 3 0 tanx 1 x kπ kZ 4 ⇔−+=⇔=⇔=+∈ BT 4 : Giải các phương trình LG 1) 2) 2 sin x sin2x 3cos 3x++ = 2 22 6sin x 7 3sin2x 8cos x 6 + −= 3) 4) 22 2sin 2 5sin 2 cos 2 cos 2 2xxxx−−=− 22 1 sin sin 2 2cos 2 xx x + −= 5) 2 2cos 3 3sin2 4sin 4xxx−− 2 =− 6) 22 4sin x 3sin2x 2cos x 4 + −= 7) 22 2sin (3 3)sin cos ( 3 1)cos 1xxx++ + − =−x = ) 8) 4224 3cos 4sin cos sin 0xxxx−+ 9) ĐHQG Hà Nội – 1998 ( 33 55 2sin x cos x cos x sin x+= + 10) ( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM – KB,D – 98) 32 cos sin 3sin .cos 0xx xx+− = 11) 33 22 sin 3 cos sin cos 3 sin cos x xxx x−= − x (ĐH Khối B – 2008) F.Bài tập tổng hợp : Bài 1 : giải các phương trình LG sau 1) 2cos2 0 x = ; 2) cos 2 .tan 0xx = 1sin2x− 3) sin ; 4) 3 cos 5 0xx−= 2 1sin2 1tan2 cos 2 x x x − += 5) ; 6) 32 tan tan 3tan 3xx x+− = 22 sin 2 cos 2 3 7 cos 0xx x + −+ = ; GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 7 7) c 8) os9 2cos6 2xx−= 32 2 cos cos 4cos 0 2 x xx + −= 9) 3 cos 2 sin( ).cos 2 x xx π π ⎛⎞ += + ⎜⎟ ⎝⎠ 10) 3 2sin cos2 sin 0xxx − −= Bài 2 : Tổng hợp các đề thi ĐH gần đây : 5) 1 os2 8cos 7 cos xx2c x −+= ( ĐH Nông Nghiệp – 2000 ) 6) sin ( ĐH Bách Khoa Hà Nội – 2001 ) 2 2 tan 3xx+= 22 2 sin sin 3 3cos 2 7) x x+=x ( ĐH Tài Chính Kế Toán Hà Nội – 2001 ) 10) tìm nghiệm [;3] 2 x π π ∈ của phương trình : 57 sin 2 3cos 1 2sin 22 x xx ππ ⎛⎞⎛⎞ +− −=+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 14) 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1tan 2 x x x x −= + − + x( KA – 2003 ) 15) 2 cot tan 4sin 2 sin 2 xx x x −+ = ( KB – 2003 ) 16) 222 sin .tan cos 0 24 2 x x π ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ x = ( KD – 2003 ) 17) 2 5sin 2 3(1 sin ).tan x x−= − x ( KB – 2004 ) 19) ( KA – 2005 ) 2 cos 3 .cos 2 cos 0xx x− 2 = sin cos sin 2 cos 2 0xx x x+++ + = 20) 1 ( KB – 2005 ) 21) 44 3 cos sin cos .sin 3 0 44 xx x x ππ ⎛⎞⎛ ⎞ ++ − −−= ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ 2 ( KD – 2005 ) 22) 66 2(cos sin ) sin cos 0 22sin xxxx x +− = − ( KA – 2006 ) 24) 22 (1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2 x xxx+++=+x ( KA – 2007 ) 26) 11 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x π π ⎛ += ⎜ ⎛⎞ ⎝⎠ − ⎜⎟ ⎝⎠ ⎞ − ⎟ ( KA – 2008 ) 29) cos 33 sin sin cos x xx−=−x ( ĐH Đà Nẵng – Khối A + D – 99 ) 30) 2 2 tan cot 3 sin 2 xx x +=+ ( ĐH Ngoại Thương TPHCM – KD – 97) 31) ( ĐH An Ninh + ĐH Cảnh Sát – KA – 97) tan cot 4xx+= 32) 2 53sin 4cos 12cos x x−−=−x = ( ĐH Hàng Hải – Cơ Sở 2 – 96) 34) sin ( ĐH Đà Nẵng – KA – 97) 3 2cos 2 2 0xx+− 35) 1 3sin cos cos xx x += ( ĐH An Ninh – 98) 37) sin 3 sin 2 5sin x x+=x (ĐH Y Hải Phòng – 2000) 41) 3 3sin3 3cos9 1 4sin 3 x x−=+ in2 cos2 7sin 2cos 4 x( ĐH Mỏ - Địa Chất – 95) 42) 2s x xxx−=+− 43) )cot(tan 2 1 2 cossin 44 xx x sìn xx += + Bài 3 : định tham số m để pt sau đây có nghiệm : 1) ( 22 os 0xx+= − + 3)sin ( 3)sin cos cmxmx+++ 2 2) cos ( 1) sin 2 1mxmx−−+ 2) (5 = 22 2 2)sin 4sin cos 3mxxxm++ = 3) ( (đưa về bậc nhất đối với sin, cos và dùng đk có nghiệm) GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 8 Bài 5 : bài tập chỉ thuần về các công thức tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc : 1) cos .cos5 cos 2 .cos 4 x xx= x 2) cos5 .sin 4 cos3 .sin 2 x xxx = 3) sin 2 sin 4 sin 6 x x+=x 3) sin sin 2 cos cos 2 x xx x + =+ 4) 222 sin 4 sin 3 sin 2 sin 2 x xx+=+x Bài 6 : Đề thi ĐH – CĐ năm 2009 và 2010 1) (1 2 sin ). cos 3 xx− = (1 2sin )(1 sin )xx+− ( Khối A – 2009 ) Đs : 2 18 3 k π π −+ 2) 3 cos .sin 2 3 cos3 2(cos 4 sin )xx x x x++=+ ( Khối B – 2009 ) Đs : 2 2; 642 kk 7 π ππ π −+ + x sin 3 cos5 2 sin 3 cos 2 sin 0xxx−−x= 2 2 sin ) cos 1 sin cos ( Khối D – 2009 ) 3) 4) (1 x xxx+=++ ( Cao Đẳng – 2009 ) Đs : 5 2; ; 21212 kkk π ππ π ππ −+ + + 5) (1 sin cos 2 ). sin( ) 1 4 cos 1tan 2 xxx x x π ++ + = + ( Khối A – 2010 ) Đs : 7 2; 2 66 kk π π π π −+ + 6) (si ( Khối B – 2010 ) n 2 cos 2 )cos 2cos 2 sin 0xxx xx++−= = 7) sin ( Khối D – 2010 ) Đs : 2 cos 2 3sin cos 1 0xxxx−+−− 5 2; 2 66 kk π π π π ++ 8) 53 4cos cos 2(8sin 1) cos 5 22 xx xx+−= ( Cao Đẳng – 2010 ) Bài 8 : Giải phương trình Câu 5: 44 11 2 52 2 82 sin x cos x cot x sin x sin x + =− 0= Dự bị A2 - 2002 Câu 6: 44 11 2 52 2 82 sin x cos x cot x sin x sin x + =− 0= Dự bị A2 – 2002 Câu 7: Tìm các nghiệm trên khoảng ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 ;0 π của pt : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 4 3 cos212 2 sin3 2 sin4 22 ππ π xx x Bài 9 : phương trình lượng giác trong đề thi cao đẳng các năm trước Câu 1 : CĐKTế Cần Thơ_2005 sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x Câu 2 : CĐSP Vĩnh Long_2005 Giải phương trình: x x x xx 2tan 2 1 sincos sincos 22 66 = − + Câu 3 : Giải phương trình: sin3x + sinx = sin2x.cosx – cos2x Câu 4 : CĐSP Hà Nam_2005 Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2sin 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 42 5 π x – 2cos 2 2 9x Câu 5 : CĐ Kinh tế-Tài chính_2005 Giải phương trình: 1+ sinx + cosx + tanx = 0 Câu 6 : CĐSP Hà Nội_2005 Cho phương trình: 4cos3x + (m-3)cosx – 1 = cos2x Giải phhương trình khi m = 1 Câu 8 : CĐSP Quảng Nam_2005 3cosx + 2cos2x = cos3x + 2sinx.sin2x – 1 Câu 9 : CĐYT Thanh Hoá_2005 tan 2 x + 8cos2x.cot2x = cot 2 x Câu 10 : CĐSP Quảng Bình_2005 (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos 2 x Các Ví Dụ có lời giải Ví dụ 1. Giải phương tình: sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x (1). GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 9 Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8 22 22 x xx−−++ +=+ x ⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 ⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 ⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0 5 10 5 2 cos5 0 cos 2 0 2 , ( , , ) 242 cos 0 22 π kπ π x xkπ x ππlπ xxkπ xkl x ππ xkπ xnπ ⎡ ⎡ =+ =+ ⎢ ⎢ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔=⇔=+⇔=+ ∈ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ =+ =+ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ n  Ví dụ 3. Giải phương trình lương giác: 2sin 3 x – cos2x + cosx = 0 (5) Ta có (5) ⇔ 2(1− cos 2 x)sinx + 2 – 2 cos 2 x + cosx – 1 = 0 ⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0 ⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos 1 2 , ( ) 2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) xxkπ k xxxx =⇔ = ∈ ⎡ ⇔ ⎢ ++ += ⎣  Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện || 2t ≤ , khi đó phương trình (*) trở thành: 2t + t 2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t = 0 0 sin - cos ,( ) 2( 4 t π xxx nπ n tlo = ⎡ ⇔⇔=⇔=−+ ⎢ =− ⎣  ¹i) ∈ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 4 π xnπ=− + ; 2, (, ) xkπ nk = ∈  Ví dụ 4. Giải phương trình: 63 4 82cos 22sin sin3 62cos 1 0xxx x+−−= (3). 33 3 22 2 (3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0 2cos .2cos cos 3 2sin .2sin sin 3 2 (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2 2 2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 ) 2 22 cos 2 .cos 2 cos 2 428 xxx xx xxx xxxx xx x xx x xxx x x π xx x x ⇔−+− ⇔+= ⇔+ + +− − = ⇔+ =⇔ += ⇔=⇔=⇔=±,( )kπ k = + ∈  Ví dụ 6. 2sinx(1 + cos2x) + sin2x=1 + 2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2( ) 43 xkx kk π π ππ =+ ∨=± + ∈ Ví dụ 7. sin2x + cos2x = 1 + sin x– 3cosx (1). (1) ⇔2sinxcosx+2cos 2 x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos 2 x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. ⇔2cos 2 x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t = cosx, ĐK 1t ≤ , ta được: 2t 2 +(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. Δ=(2sinx+3) 2 +3.2.(sinx+2)=(2sinx+5) 2 . ⇒ () 1 1 2 cos 2 sin - 2 t x tx ⎡ = ⎢ ⇒= ⎢ = ⎢ ⎣ loaïi …(biết giải) Ví dụ 8. 2sinx + cot x= 2sin2 x+ 1. HD: 2(1–2cosx)sin 2 x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK 1t ≤ . 2(1–2cosx)t 2 –t+cosx=0 … Δ=(4cosx–1) 2 . Ví dụ 9. () 2cos sin 1 tan cot 2 cot 1 x x xx x − = +− Điều kiện: ( ) cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 xxxx x x +≠⎧ ⎪ ⎨ ≠ ⎪ ⎩ GV : Nguyễ Tài Liệu Lượng Giácn Vũ Minh Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 10 Từ (1) ta có: () 2cos sin 1cos.sin 2sin sin cos 2 cos cos 1 cos sin 2 sin xx xx2 x xx x x xx x − =⇔= +− 2sin .cos 2sin x xx⇔= () 2 2 4 cos 2 2 4 xk xk xk π π π π ⎡ =+ ⎢ ⇔=⇔ ∈ ⎢ ⎢ =− + ⎢ ⎣  So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là () 2 4 xkk π π =− + ∈ Ví dụ 10. Giải phương trình: () 44 sin cos 1 tan cot sin 2 2 xx x x x + =+ Giải ( 44 sin cos 1 tan cot sin 2 2 xx ) x x x + =+ (1) Điều kiện: sin 2 0x ≠ 2 1 1sin2 1sin cos 2 (1) sin 2 2 cos sin x x x x xx − ⎛⎞ ⇔=+ ⎜⎟ ⎝⎠ 2 2 1 1sin2 11 2 1sin21sin2 sin 2 sin 2 2 x xx xx − ⇔=⇔−=⇔0= Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 11. Giải phương trình: cosx = 8.sin 3 6 x π ⎛⎞ ⎟ + ⎜ ⎝⎠ ⇔ cosx=8sin 3 6 x π ⎛⎞ ⎟ + ⎜ ⎝⎠ ⇔ cosx = () 3 3sin cos x x+ ⇔ 32 23 3 (3) 3 sin 9sin cos 3 3 sin cos cos cos 0xxx xxxx++ +−= Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) ⇔ 32 3 3 tan 8 tan 3 3 tan 0xx x+= + tan 0 x xk π ⇔=⇔= Ví dụ 12. Giải phương trình lượng giác: ( ) 2cos sin 1 tan cot 2 cot 1 x x xx x − = +− Giải Điều kiện: () cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 xxxx x x +≠⎧ ⎪ ⎨ ≠ ⎪ ⎩ Từ (1) ta có: () 2cos sin 1cos.sin 2sin sin cos 2 cos cos 1 cos sin 2 sin xx xx2 x xx x x xx x − =⇔= +− 2sin .cos 2sin x xx⇔= () 2( ) 2 4 cos 2 2 4 x k loai xk xk π π π π ⎡ =+ ⎢ ⇔=⇔ ∈ ⎢ ⎢ =− + ⎢ ⎣  Ví dụ 13. Giải phương trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos ) x xx+= − − x Giải Phương trình ⇔ (cosx–sinx) 2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos sin 1 cos sin 5 ( cos sin 2) xx x x loai vi x x −=− ⎡ ⇔ ⎢ −= −≤ ⎣ ( ) ( ) 2 2 2sin 1 sin sin ( ) 444 2 xk x xk xk Z π π πππ ππ ⎡ =+ ⎢ ⇔−=⇔−=⇔ ⎢ =+ ⎣ ∈ Ví dụ 16. Giải phương trình: 4.sin 2 x + 1 = 8sin 2 x.cosx + 4cos 2 2x HD : 4sin 2 x + 1 = 8sin 2 xcosx + 4cos 2 2x ⇔ 5 – 4cos 2 x = 8cosx – 8cos 3 x + 16cos 4 x – 16cos 2 x + 4 ⇔ 16cos 4 x – 8cos 3 x − 12cos 2 x + 8cosx - 1 = 0 ⇔ (2cosx – 1)(8cos 3 x – 6cosx + 1) = 0 ⇔ (2cosx – 1)(2cos3x + 1) = 0 Ví dụ 17. Giải phương trình: 1 + 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0 [...]... 3 ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ 2 cos2 ⎜ x − ⎟ = 3cos ⎜ x − ⎟ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 0 v cos ⎜ x − ⎟ = (loaïi) 6⎠ 6⎠ 2 6⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 2π π π ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ , k ∈ Z 6 2 3 Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là x = k π ,k ∈Z 2 Ví dụ 23 Giải phương trình lượng giác: 2sin 2 x − sin 2 x + sin x + cos x − 1 = 0 Phương trình cho ⇔ 2sin 2 x − (2 cos x − 1) sin x + cos x − 1 = 0 Δ = (2 cos x − 1) 2 − 8(cos x − 1) = (2...GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác ⎡ ⎤ Phương trình đã cho tương đương với ( 3 s inx + sin 2 x) + ⎣ 3 cos x + (1 + cos2 x) ⎦ = 0 ⇔ ( 3 s inx + 2s inx.cos x) + ( 3 cos x + 2cos 2 x) = 0 ⇔ s inx( 3 + 2 cos x) + cos x( 3 + 2 cos x)... 8(cos x − 1) = (2 cos x − 3) 2 VËy sin x = 0,5 hoÆc sin x = cos x − 1 5π π + 2kπ sin x = 0,5 ta cã x = + 2kπ hoặc x = 6 6 11 Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác 3π π⎞ 2 ⎛ ⎛ π⎞ + 2kπ sin x = cos x − 1 ta có sin x − cos x = −1 ⇔ sin⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ suy ra x = 2kπ hoặc x = 2 4⎠ 2 ⎝ ⎝ 4⎠ π⎞ ⎛ 2 sin ⎜ 2 x + ⎟ = 3sin x + cos x + 2 4⎠ ⎝ PT ⇔ sin 2 x +... = 3sin x + cos x + 2 ⇔ 2sin x cos x − 3sin x + 2 cos 2 x − cos x − 3 = 0 ⇔ ( 2 cos x − 3) sin x + ( cos x + 1)( 2 cos x − 3) = 0 ⇔ ( sin x + cos x + 1)( 2 cos x − 3) = 0 Ví dụ 24 Giải phương trình lượng giác: 3 Khi: cos x = (VN ) 2 π ⎡ x = − + k 2π 1 π⎞ ⎛ Khi : sin x + cos x = −1 ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = − ⇔⎢ 2 ⎢ 4⎠ 2 ⎝ ⎣ x = π + k 2π KL: nghiệm PT là x = − π 2 + k 2π , x = π + k 2π ⎛π ⎞ Ví dụ 25 Giải phương... dụ 31 Giải phương trình: 2sin 2 ⎛ x − π ⎞ = 2sin 2 x − t anx ⎜ ⎟ 4⎠ ⎝ 12 Đt : 0914449230 π 2 (k, m ∈ Z) + k 2π , k ∈ Z Điều kiện: cosx ≠ 0 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác π⎞ π⎞ sinx ⎛ ⎛ pt cho ⇔ 2sin 2 ⎜ x − ⎟ = 2sin 2 x − t anx ⇔ 1 − cos ⎜ 2 x − ⎟ = 2sin 2 x − 4⎠ 2⎠ cos x ⎝ ⎝ 2 ⇔ cos x − sin 2 x.cos x − 2sin x.cos x + sinx ⇔ cos x + sinx − sin 2 x ( cos x + sinx... trình x⎞ 3π ⎞ ⎛ ⎛π ⎞ ⎛ 4sin 2 ⎜ π − ⎟ − 3 sin ⎜ − 2x ⎟ = 1 + 2 cos 2 ⎜ x − ⎟ 2⎠ 4 ⎠ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎝ Giải : pt cho tương đương : Đt : 0914449230 13 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác 3π ⎞ ⎛ 1 + cos ⎜ 2x − ⎟ 1 − cos ( 2π − x ) 2 ⎠ ⎝ − 3 cos ( 2x ) = 1 + 2 4 2 2 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ 2 (1 − cos x ) − 3 cos ( 2x ) = 2 − cos ⎜ 2x − ⎟ ⇔ −2 cos x − 3 cos ( 2x ) = − cos ⎜ 2x − ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ 1 . ⎛⎞⎛⎞ =++−++++ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 2 B. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC : 1/ CÔNG THỨC CỘNG : ………………………………………………………………… HỆ QUẢ. GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 8 Bài 5 : bài tập chỉ thuần về các công thức tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc : 1) cos .cos5. GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Đ gvuminh249@yahoo.com Lượng Giác A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1) Hệ thức cơ bản : ; 22 sin cos 1 αα += sin tan cos α α α =