Chuyên đề: Khối Đa Diện – Thể Tích Sưu tầm và biên soạn CB 1 Dạng 1 : Thể tích khối chóp – khối lăng trụ: I. Thể tích khối chóp : 1 . 3 V B h = ( B diện tích đáy, h : chiều cao khối lăng trụ): Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng t ạ i B, AB = a 2 , AC = a 3 , c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SB = 3 a .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC. Đ/S: 3 2 6 a V = Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân t ạ i B, AC = a 2 , c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SB = 3 a .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC. Đ/S. 3 2 6 a V = Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đề u c ạ nh 2a, c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SB = 5 a .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC. ĐS. 3 3 3 a V = Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân t ạ i A, BC = 2a 3 ,  0 AC 120 B = ,c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SA =2a.Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC ĐS. 3 2 3 3 a V = Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình vng c ạ nh a 2 , c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SC = 5 a .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD. ĐS. 3 2 3 a V = Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình vng, c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SA = AC = a 2 .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD. ĐS. 3 2 3 a V = Bài 7. Cho hình chóp tam giác đề u S.ABC có c ạ nh đ áy b ằ ng a 3 , c ạ nh bên b ằ ng 2a.Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC. ĐS. 3 3 4 a V = Bài 8. Cho hình chóp t ứ giác đề u S.ABCD có c ạ nh đ áy b ằ ng 2a, c ạ nh bên b ằ ng 3 a .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD. ĐS. 3 4 3 a V = Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng t ạ i B, AB = a,  0 60 ACB = , c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SB t ạ o v ớ i m ặ t đ áy m ộ t góc b ằ ng 45 0 .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC. ĐS. 3 3 6 a V = Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình vng c ạ nh a, c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SC t ạ o v ớ i m ặ t đ áy m ộ t góc b ằ ng 60 0 .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD. ĐS. 3 6 3 = a V Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng t ạ i B, AB = 3 a , BC = a, c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy ; m ặ t bên (SBC) t ạ o v ớ i m ặ t đ áy (ABC) m ộ t góc b ằ ng 60 0 .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC. ĐS. 3 3 2 a V = Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đ áy ABC là tam giác vng cân t ạ i A, c ạ nh BC = 2 a , c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy ; m ặ t bên (SBC) t ạ o v ớ i m ặ t đ áy (ABC) m ộ t góc b ằ ng 45 0 .Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC. ĐS. 3 2 12 a V = Chuyên đề: Khối Đa Diện – Thể Tích Sưu tầm và biên soạn CB 2 Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = 3 a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN. ĐS. 3 3 6 a V = Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đề u c ạ nh 2a, c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SA = 3 a . G ọ i M, N l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a SB và SC. Tính th ể tích kh ố i chóp S.AMN và A.BCNM. ĐS. 3 S.AMN 3 V 6 a = , 3 A.BCNM 3 V 2 a = Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình vng c ạ nh a, c ạ nh bên SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng đ áy và SA = 2a . G ọ i I là trung đ i ể m SC. Tính th ể tích kh ố i chóp I.ABCD. ĐS. 3 3 a V = Bài 16. Cho hình chóp . S ABCD có đ áy ABCD là hình vng c ạ nh a, ( ) SA ABCD ⊥ và SA a = .Tính th ể tích kh ố i chóp . S BCD theo a. ĐS. 3 6 a V = Bài 17. Cho hình chóp t ứ giác đề u S.ABCD có c ạ nh đ áy là a; góc gi ữ a c ạ nh bên và đ áy là 0 60 . Tính th ể tích kh ố i chóp theo a ? ĐS. 3 6 6 = a V Bài 18. Cho kh ố i chóp tam giác đề u S.ABC có AB = a , góc gi ữ a c ạ nh bên và m ặ t đ áy b ằ ng 60 0 . Tính th ể tích kh ố i chóp theo a. ĐS. 3 3 12 a V = Bài 19. Cho hình chóp t ứ giác đề u S.ABCD có đ áy ABCD là hình vng c ạ nh a 2 , các c ạ nh bên b ằ ng 3 a . Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD theo a. ĐS. 3 2 2 3 a V = Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình ch ữ nh ậ t v ớ i , 2 AB a AD a = = ; ( ) SA ABCD ⊥ . C ạ nh bên SB b ằ ng 3 a . Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD theo a. ĐS. 3 2 2 3 a V = Bài 21. Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân t ạ i B, AC = 2a, ( ) SA ABC ⊥ , góc gi ữ a SB và m ặ t đ áy b ằ ng 60 0 . Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC. ĐS. 3 6 3 a V = Bài 22. Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABC), đ áy ABC là tam giác vng t ạ i B, AB a 3, AC 2a = = , góc gi ữ a c ạ nh bên SB và m ặ t đ áy (ABC) b ằ ng 0 60 . Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC. ĐS. 3 3 2 a V = Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có đ áy ABC là tam giác vng cân t ạ i C, AB = 2a, SA vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABC), c ạ nh SB t ạ o v ớ i đ áy m ộ t góc 30 0 . G ọ i M là trung đ i ể m SB. Tính th ể tích kh ố i chóp M.ABC. ĐS. 3 3 9 a V = Bài 24. Cho kh ố i chóp SABC có đ áy ABC là tam giác vng cân t ạ i A v ớ i BC = 2a , bi ế t SA (ABC) ⊥ và m ặ t (SBC) h ợ p v ớ i đ áy m ộ t góc 60 o . Tính th ể tích kh ố i chóp SABC. ĐS. 3 V a = Bài 25. Cho hình chóp tam giác đề u S.ABC, g ọ i M, N, K l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a AB, BC, CA. Tính t ỷ s ố th ể tích c ủ a hai kh ố i chóp SMNK và SABC. ĐS. 1 2 1 4 V V = Bài 26. Cho hình chóp S.ABC có SB = 2 a ,AB=AC = a,  0 60 BAC = , Hai m ặ t bên (SAB) và (SAC) cùng vng góc v ớ i (ABC). Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABC. ĐS. 3 3 12 a V = Chuyên đề: Khối Đa Diện – Thể Tích Sưu tầm và biên soạn CB 3 Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 3 4 a V = Bài 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB). ĐS. 3 3 , 2 3 AMB a V V d a S = = = △ Chuyên đề: Khối Đa Diện – Thể Tích Sưu tầm và biên soạn CB 4 II. Thể tích khối lăng trụ - khối hộp: Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao, hoặc cạnh đáy: Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB=a, AC=a 3 , cạnh A / B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS. 3 6 2 a V = Bài 2. Cho kh ố i l ă ng tr ụ đứ ng tam giác ABC. A'B'C' có đ áy ABC là tam giác vng cân t ạ i A cc ạ nh BC = a 2 và bi ế t A'B = 3a. Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ . ĐS. 3 2 V a= Bài 3. Cho kh ố i l ă ng tr ụ đứ ng tam giác ABC. A'B'C' có đ áy ABC là tam giác đề u c ạ nh a = 4 và bi ế t di ệ n tích tam giác A’BC b ằ ng 8. Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ . ĐS. 8 3 V = Bài 4. Cho l ă ng tr ụ đứ ng ABCD.A'B'C'D' có đ áy là t ứ giác đề u c ạ nh a bi ế t r ằ ng BD' a 6 = . Tính th ể tích c ủ a l ă ng tr ụ . ĐS : V = 2a 3 Dạng 2: Khối lăng trụ có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Bài 5. Cho l ă ng tr ụ ABC.A'B'C' có đ áy ABC là tam giác đề u c ạ nh 2a 3 , hình chi ế u vng góc c ủ a A / lên m ặ t ph ẳ ng (ABC) trùng v ớ i tr ọ ng tâm c ủ a tam giác ABC, c ạ nh A ' A h ợ p v ớ i m ặ t đ áy (ABC) m ộ t góc 30 0 . Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ . ĐS. 3 12 3 V a= Bài 6. Cho l ă ng tr ụ đứ ng ABC.A'B'C' có đ áy là tam giác đề u c ạ nh a. Đườ ng chéo BC' c ủ a m ặ t bên (BCC'B') t ạ o v ớ i m ặ t bên (ABB'A') m ộ t góc 30 o . Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ . ĐS : 3 6 / 4 V a= Bài 7. Cho l ă ng tr ụ ABC. ABC.A'B'C' có đ áy ABC là tam giác vng t ạ i A, A / A=A / B=A / C, AB =a , = AC 3 a , c ạ nh A / A t ạ o v ớ i m ặ t đ áy góc 30 0 . Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ . ĐS. 3 V=a / 6 Bài 8. Cho hình l ă ng tr ụ tam giác ABC.A'B'C' có đ áy ABC là tam giác đề u c ạ nh a và đỉ nh A' cách đề u các đỉ nh A, B, C. C ạ nh bên AA' t ạ o v ớ i đ áy 1 góc 60 o . Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ . ĐS : 3 3 4 a V = Bài 9. Cho l ă ng tr ụ đứ ng tam giác ABC A'B'C' có đ áy ABC là tam giác vng cân t ạ i B v ớ i BA = BC = a, bi ế t A'B h ợ p v ớ i đ áy ABC m ộ t góc 60 0 . Tính th ể tích l ă ng tr ụ . ĐS. 3 3 2 a V = Bài 10. Cho l ă ng tr ụ đứ ng ABCD.A'B'C'D' có đ áy ABCD là hình vng c ạ nh a và đườ ng chéo BD' c ủ a l ă ng tr ụ h ợ p v ớ i đ áy ABCD m ộ t góc 30 0 . Tính th ể tích và t ổ ng di ệ n tích c ủ a các m ặ t bên c ủ a l ă ng tr ụ . ĐS. 3 6 / 3 V a= , 2 S 4a 6 / 3 = Bài 11. Cho l ă ng tr ụ đứ ng tam giác ABC.A'B'C' có đ áy ABC là tam giác vng t ạ i A v ớ i AC = a,  = o ACB 60 , bi ế t BC' h ợ p v ớ i (AA'C'C) m ộ t góc 30 0 . Tính AC' và th ể tích l ă ng tr ụ . ĐS. 3 V a 6 = Bài 12. Cho hình h ộ p đứ ng ABCD A'B'C'D' có đ áy ABCD là hình thoi c ạ nh a và  BAD = 60 o bi ế t AB' h ợ p v ớ i đ áy (ABCD) m ộ t góc 30 o .Tính th ể tích c ủ a hình h ộ p. ĐS. = 3 3a V 2 Bài 13. Cho l ă ng tr ụ đứ ng ABC A'B'C' có đ áy ABC vng cân t ạ i B bi ế t A'C = a và A'C h ợ p v ớ i m ặ t bên (AA'B'B) m ộ t góc 30 o . Tính th ể tích l ă ng tr ụ . ĐS: 3 a 2 /16 V = Bài 14. Cho l ă ng tr ụ đứ ng ABC A'B'C' có đ áy ABC vng t ạ i B bi ế t BB' = AB = a và B'C h ợ p v ớ i đ áy (ABC) m ộ t góc 30 o . Tính th ể tích l ă ng tr ụ . ĐS: 3 a 3 2 V = Dạng 3: Khối lăng trụ có góc giữa hai mặt phẳng: Bài 15. Cho l ă ng tr ụ đứ ng ABC.A'B'C' có đ áy ABC là tam giác vng t ạ i B, AB=a, BC = 2 a , m ặ t ph ẳ mg (A / BC) h ợ p v ớ i m ặ t đ áy (ABC) m ộ t góc 30 0 .Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ . ĐS. 3 6 3 a V = Bài 16. Cho l ă ng tr ụ đứ ng tam giác ABC.A'B'C' có đ áy ABC là tam giác vng cân t ạ i B v ớ i BA = BC = a ,bi ế t (A'BC) h ợ p v ớ i đ áy (ABC) m ộ t góc 60 0 .Tính th ể tích l ă ng tr ụ . ĐS. 3 V a 3 / 2 = Chuyên đề: Khối Đa Diện – Thể Tích Sưu tầm và biên soạn CB 5 Bài 17. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60 o . Tính thể tích khối hộp chữ nhật. ĐS. 3 V a 6 2 = Bài 18. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60 o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30 o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. ĐS. 3 V 16a 2 / 3 = Bài 19. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vng cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45 o . Tính thể tích lăng trụ. ĐS: 3 V a 2 = Bài 20. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và  o BAC 120 = biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45 o . Tính thể tích lăng trụ. ĐS: 3 a 3 /8 V = Dạng 4 : Khối lăng trụ xiên: Bài 21. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60. a) Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật. b) Tính thể tích lăng trụ. Bài 22. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều A,B,C biết AA' = / 3 2a 3 .Tính thể tích lăng trụ. ĐS: 3 a 3 / 4 V = Bài 23. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vng góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a. a) Tính góc hợp bởi cạnh bên và đáy lăng trụ. b) Tính thể tích lăng trụ. ĐS: a) 30 o , b) 3 a 3 /8 V = Bài 24. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vng tại A,  60 o ABC = , cạnh AB = a. Hình chiếu vng góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Góc hợp bởi AA' và mặt phẳng (A'BC) là 30 o . Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên BC. Chứng minh  AA'H 30 o = và tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a. ĐS: 3 6 / 2 V a= Bài 25. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều canh a, hình chiếu vng góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (α) chứa BC và vng góc với AA', cắt lăng trụ ABC.A'B'C' theo một thiết diện có diện tích bằng 2 3 /8 a . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'. ĐS: 3 3 /12 V a= Bài 26. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vng tại B, AB = a, AA' = 2a, A'C =3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C', I là giao điểm của AM và AC'.Tính theo thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). ( Khối D_2009) ĐS: a) 3 4 9 a V = b) 2 5 5 a Bài 27. Cho hình l ă ng tr ụ ABC.A'B'C' có đ áy ABC là m ộ t tam giác đề u c ạ nh a. Chân đườ ng cao k ẻ t ừ A' xu ố ng đ áy ABC trùng v ớ i trung đ i ể m I c ủ a c ạ nh BC. C ạ nh bên AA' t ạ o v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABC) m ộ t góc 60 o . G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a c ạ nh AA'. Tính theo a : a) Th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ ABC.A'B'C'. b) Th ể tích kh ố i đ a di ệ n MBCA'B'C'. ĐS : a) 3 3 3 /8 V a = b) 3 5 3 /16 V a = Bài 28. Cho hình l ă ng tr ụ ABC.A'B'C' có đ áy ABC là tam giác vng t ạ i A,  60 o ABC = , c ạ nh AB = a. Hình chi ế u vng góc c ủ a A' trên m ặ t ph ẳ ng (ABC) trùng v ớ i tâm I c ủ a đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC. Góc h ợ p b ở i AA' và m ặ t ph ẳ ng (A'BC) là 30 o . G ọ i H là hình chi ế u vng góc c ủ a A trên BC. Ch ứ ng minh  AA'H 30 o = và tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ ABC.A'B'C' theo a. ĐS : 3 6 / 2 V a = Bài 29. Cho hình l ă ng tr ụ ABC.A'B'C' có đ áy ABC là m ộ t tam giác vng cân t ạ i A, AB = a. Góc gi ữ a c ạ nh bên và m ặ t đ áy b ằ ng 60 o . Chân đườ ng cao H h ạ t ừ B' xu ố ng m ặ t ph ẳ ng (ABC) trung v ớ i trung đ i ể m BC. Tính th ể tích kh ố i l ă ng tr ụ ABC.A'B'C'. ĐS : 3 6 / 4 V a = . Khối Đa Diện – Thể Tích Sưu tầm và biên soạn CB 1 Dạng 1 : Thể tích khối chóp – khối lăng trụ: I. Thể tích khối chóp : 1 . 3 V B h = ( B diện tích đáy, h : chiều cao khối lăng trụ) : Bài. Chuyên đề: Khối Đa Diện – Thể Tích Sưu tầm và biên soạn CB 4 II. Thể tích khối lăng trụ - khối hộp: Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao, hoặc cạnh đáy: Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. thể tích lăng trụ. Bài 22. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều A,B,C biết AA' = / 3 2a 3 .Tính thể tích lăng trụ.