PHềNG GIO DC V O TO THNH PH UễNG B THI CHN HC SINH GII LP 8 CP THNH PH NM HC 2012-2013 MễN: TON Ngy thi: 24/4/2013 Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bài 1: (3,0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện abc =2013. Tính giá trị biểu thức: P = 2 2 2 2013 2013 2013 2013 1 a bc ab c abc ab a bc b ac c + + + + + + + + Bài 2: (3,0 điểm): Cho hai đa thức: P(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 7x x x x a + + + + + và Q(x) = 2 8 9x x + + Tìm giá trị của a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). Bài 3: (6,0 điểm): Giải các phơng trình: a. 2x 2 + 2xy + y 2 + 9 = 6x - 3y + b. 2 2 2 2 2 2 (2 2013) 4( 5 2012) 4(2 2013)( 5 2012)x x x x x x x x + + = + Bài 4: (6,0 điểm): Cho hình vuông ABCD, cạnh a, điểm N thuộc cạnh AB. Tia CN cắt tia DA tại E. Tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. a. Chứng minh CE = CF b. Chứng minh ba điểm M, B, D thẳng hàng c. Đặt BN = b. Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và b. Bài 5: (2,0 điểm): Cho x, y thoả mãn x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 6 + y 6 Hết H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Ch kớ giỏm th 1 Ch kớ giỏm th 2 CHNH THC hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi toán 8 Bài Lời giải sơ lợc điểm Bài 1 (3 điểm) P = 2 2 2 2013 2013 2013 2013 1 a bc ab c abc ab a bc b ac c + + + + + + + + = 2013 . 2013 2013 2013 1 a b c abc ab a bc b ac c + + ữ + + + + + + 0,5 điểm Thay abc = 2013 vào P ta có: P = abc. ++ + ++ + ++ 1cac c abcbbc b abcabcaab abca 1,0 điểm = abc. ++ + ++ + ++ 1)1.()1.( cac c accb b cacab abca 0,5 điểm = abc. ++ + ++ + ++ 11 1 1 cac c caccac ac 0,5 điểm = abc. 1 1 ++ ++ cac cac = abc = 2013 0,5 điểm Bài 2 (3 điểm) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 3 5 7 8 7 8 15 P x x x x x a x x x x a = + + + + + = + + + + + 0,5 điểm Đặt 2 8 9x x t+ + = Khi đó P(x) = (t 2)(t + 6) + a = 2 4 12t t a+ + = P(t) 1,0 điểm Chia 2 4 12t t a+ + cho t ta đợc 2 4 12t t a+ + = ( ) 4 12t t a+ + 0,5 điểm P(x) chia hết cho Q(x) 2 4 12t t a+ + chia hết cho t a 12 = 0 a = 12 0,75 điểm Vậy với a = 12 thì đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). 0,25 điểm Bài 3 (6 điểm) a. 2x 2 +2xy+y 2 +9 = 6x- 3y + 2x 2 +2xy+y 2 +9- 6x+ 3y + =0 0,5 điểm (x 2 +2xy+y 2 ) + (x 2 - 6x+9) + 3y + = 0 0,5 điểm (x+y) 2 + (x-3) 2 + 3y + = 0 (1) 0,5 điểm Vì (x+y) 2 0, (x-3) 2 0, 3y + 0 với mọi x, y nên 0,5 điểm (x+y) 2 + (x-3) 2 + 3y + 0 với mọi x, y 0,75 điểm Vậy (1) =+ = =+ 03 03 0 y x yx = = 3 3 y x 0,25 điểm Kết luận nghiệm b. Đặt 2 2 2 2013 5 2012 a x x b x x = + = 0,25 điểm Phơng trình đã cho trở thành: 2 2 2 4 4 ( 2 ) 0 2 0 2a b ab a b a b a b+ = = = = 1,25 điểm Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2013 2( 5 2012) 2 2013 2 10 4024x x x x x x x x+ = + = 2011 11 2011 11 x x = = 1,25 điểm Kết luận nghiệm 0,25 điểm Bài 4 (6 điểm) N A D C B E F M a. Chứng minh CDE CBF = CE = CF 2 điểm b. Vì M là trung điểm của EF nên ME = MF = MC = MA= 1 2 EF MA = MC. 1,0 điểm M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC Mà ABCD là hình vuông nên BD là đờng trung trực của đoạn thẳng AC M thuộc đờng thẳng BD hay 3 điểm M, B, D thẳng hàng 1,0 điểm c. Ta có BN = b AN = a - b S ACFE = S ACE + S ECF = 2 1 1 . 2 2 CD AE CE+ 0,5 điểm Tính AE: Ta có ( )AE AN AE a b a a b AE ED DC AE AD a b = = = + 0,5 điểm Ta có CE 2 = CD 2 + DE 2 = a 2 + (a+AE) 2 = a 2 + 4 2 a b 0,5 điểm Tính đợc S ACFE = 2 2 ( ) 2 a a b b + 0,5 điểm Bài 5 (2 điểm) Ta có A = x 6 + y 6 = ( ) ( ) 3 3 2 2 x y + = (x 2 +y 2 )(x 4 +y 4 - x 2 y 2 ) = x 4 +y 4 - x 2 y 2 (Vì x 2 + y 2 = 1) = (x 2 +y 2 ) 2 - 3 x 2 y 2 = 1 - 3x 2 y 2 0,75 điểm Vì x 2 y 2 0 với mọi x, y nên 3x 2 y 2 0 1-3x 2 y 2 1 với mọi x, y Hay A 1 0,25 điểm max A = 1 x 2 y 2 = 0 2 2 0 0 x y = = (1) Mà x 2 + y 2 = 1 nên (1) 0; 1 0; 1 x y y x = = = = 0,25 điểm 0,5 điểm Vậy max Q = 1 x = 0 ; y = 1 hoặc x = 1 ; y = 0 0,25 điểm Cỏc chỳ ý khi chm. 1. Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc mt cỏch gii. Bi lm ca hc sinh phi lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc mi c cho im ti a. 2. Vi cỏc cỏch gii ỳng nhng khỏc hng dn chm, t chm trao i v thng nht im chi tit nhng khụng c vt quỏ s im dnh cho cõu hoc phn ú. Mi vn phỏt sinh trong quỏ trỡnh chm phi c trao i trong t chm v ch cho im theo s thng nht ca c t. 3. im ton bi l tng s im ca cỏc phn ó chm, khụng lm trũn im. . biểu thức A = x 6 + y 6 Hết H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Ch kớ giỏm th 1 Ch kớ giỏm th 2 CHNH THC hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi toán 8 Bài Lời giải sơ lợc điểm Bài 1 (3 điểm) P. PHềNG GIO DC V O TO THNH PH UễNG B THI CHN HC SINH GII LP 8 CP THNH PH NM HC 2012-2013 MễN: TON Ngy thi: 24/4/2013 Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bài 1: (3,0 điểm) Cho. 2 (3 điểm) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 3 5 7 8 7 8 15 P x x x x x a x x x x a = + + + + + = + + + + + 0,5 điểm Đặt 2 8 9x x t+ + = Khi đó P(x) = (t 2)(t + 6) + a = 2 4 12t