Hệ phương trình Trường THPT Lý Thõ¬ng KiÖt Mét Vµi HÖ Ph¬ng Tr×nh Thêng GÆp Phần I : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BAC NH ẤT HAI ẨN Dạng toán thường gặp: 1 - Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2 - Hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước 3 - Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất giải các bài toán: a) Hai phương trình bậc hai có nghiệm chung b) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng c) Biện luận GTNN của biểu thức chứa hai ẩn Dạng I: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn I - Phương pháp: Giải và biện luận hệ phương trình: 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =   + =  (I) Ta thực hiện việc giải hệ phương trình (I) bằng cách tính định thức cấp hai 1 1 2 2 1 2 2 1 . . a b a b D a b a b= = − ; 1 1 2 2 1 2 2 1 . . c b x c b D c b c b= = − ; 1 1 2 2 1 2 2 1 . . a c y a c D a c a c= = − 1- Nếu 0D ≠ : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: vµ y x D D x y D D = = 2 - Nếu 0D = : Xét các trường hợp * Nếu 0 0 x y D D ≠   ≠  , thì hệ phương trình vô nghiệm. * Nếu 0 x y D D= = , thì hệ phương trình có vô số nghiệm. Kết luận: - Với 0D ≠ , hệ phương trình có nghiệm duy nhất: vµ y x D D x y D D = = - Với 0 x y D D D= = = , thì hệ phương trình có vô số nghiệm. - Với 0D = và 0 x D ≠ hoặc 0 y D ≠ thì hệ phương trình vô nghiệm. II – Bài tập minh hoạ: Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình ( ) ( ) (2 ) (2 ) a b x a b y a a b x a b y b + + − =   − + + =  Giải: Ta có 2 2 2 2 x y 6 ; D 2 ; D 2 2D ab a b b ab a= = + = + − TH 1 : Nếu 0D ≠ 0 6 0 0 a ab b ≠  ⇔ ≠ ⇔  ≠  Hệ có nghiệm duy nhất 2 2 2 2 2 2 2 vµ 6 6 a b b ab a x y ab ab + + − = = TH 2 : Nếu D = 0 ⇔ 6ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0 Tháng 11 năm 2011 1 Hệ phương trình Trường THPT Lý Thõ¬ng KiÖt * Với a = 0, suy ra D x = D y = b 2 - Khi b = 0 thì D x = D y = 0, hệ có vô số nghiệm. - Khi b 0≠ thì 0 x D ≠ , hệ vô nghiệm. * Với b = 0, suy ra D x = 2a 2 và D y = -2a 2 - Khi a = 0 thì D x = D y = 0, hệ có vô số nghiệm. - Khi a 0≠ thì 0 x D ≠ , hệ vô nghiệm. Kết luận: - Với a 0≠ và b 0≠ , hệ có nghiệm 2 2 2 2 2 2 2 vµ 6 6 a b b ab a x y ab ab + + − = = - Với a = b = 0 , hệ có vô số nghiệm. - Với a = 0 và b 0≠ , hệ vô nghiệm. - Với a 0≠ và b = 0, hệ vô nghiệm. * Nhận xét: Việc phân tích tham số trong bài toán giải và biện luận hệ pt bậc nhất có thể được liên kết vớí việc sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác. Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: .sin 2 (1 os2 ) = sin2 (1 os2 ) - y.sin2 = 0 x y c x c α α α α α + +   +  , với α là tham số. a) Giải và biện luận hệ pt ? b) Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y của hệ không phụ thuộc vào α ? Giải: a) Ta có: sin2 1 + cos2 1 os2 - sin2 2(1 os2 ) c D c α α α α α + = = − + sin2 1 os2 2 0 - sin2 sin 2 c x D α α α α + = = − sin2 sin2 1 os2 0 sin 2 .(1 os2 ) y c D c α α α α α + = = − + Xết các trường hợp: TH 1 : Nếu 0D ≠ 2(1 os2 ) 0 os2 1 , 2 c c k k π α α α π ⇔ − + ≠ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ + ∈¢ Hệ có nghiệm duy nhất 1 1 (1 os2 ) vµ y = sin2 2 2 x c α α = − TH 2 : Nếu D = 0 2(1 os2 ) 0 os2 1 , 2 c c k k π α α α π ⇔ − + = ⇔ = − ⇔ = + ∈¢ Với 0 2 x y k D D π α π = + ⇒ = = , hệ có vô số nghiệm. Tháng 11 năm 2011 2 Hệ phương trình Trường THPT Lý Thõ¬ng KiÖt * Kết luận: - Với , , 2 k k π α π ≠ + ∈¢ có nghiệm duy nhất 1 1 (1 os2 ) vµ y = sin2 2 2 x c α α = − - Với , , 2 k k π α π = + ∈¢ hệ có vô số nghiệm. b)Từ cặp nghiệm (x, y) ta có: 2 os2 = 1 - 2x (1 2 ) (2 ) 1 sin2 = 2y c x y α α  ⇒ − + =   Đó là hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y không phụ thuộc vào α . III – Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho hệ phương trình: (2 1) 1 ( 1) 1 a x y x a y − − =   + + = −  a) Xté nghiệm của hệ với a = 0, a 1 2 = ? b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số a ? Bài 2: Cho hệ phương trình 0 1 x my mx y m − =   − = +  a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m ? b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x, y không phụ thuộc tham số m ? Bài 3: Cho hệ phương trình: .sin . os sin . os + y.sin os x y c x c c α α α α α α + =   =  a) Giải và biện luận hệ phương trình theo α ? b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x, y không phụ thuộc vào α ? Bài 4: Hãy xác địng tất cả các giá trị của a, b sao cho nghiệm của bất phương trình: 2 1 1x a b− + ≤ + Là đoạn [-2; 5]. Dạng II: Hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước I - Phương pháp: Cho hệ phương trình: 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =   + =  (I) Tìm nghiệm của hệ phương trình thoả mãn điều kiện K ? Phương pháp: Ta thực hiện việc giải hệ phương trình (I) bằng cách tính định thức cấp hai 1 1 2 2 1 2 2 1 . . a b a b D a b a b= = − ; 1 1 2 2 1 2 2 1 . . c b x c b D c b c b= = − ; 1 1 2 2 1 2 2 1 . . a c y a c D a c a c= = − Xét các khả năng: Tháng 11 năm 2011 3 Hệ phương trình Trường THPT Lý Thõ¬ng KiÖt a) - Với 0D ≠ , hệ phương trình có nghiệm duy nhất: vµ y x D D x y D D = = b)- Với 0 x y D D D= = = , thì hệ phương trình có vô số nghiệm. c)- Với 0D = và 0 x D ≠ hoặc 0 y D ≠ thì hệ phương trình vô nghiệm. Trong các trường hợp a, c phải so sánh các giá trị của nghiệm với điều kiện K nếu có để tìm được kết luận đúng. II – Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm m nguyên để hệ phương trình 2 3 1 mx y m x y m + =   + = +  Có nghiệm nguyên ? Giải: Ta có : 2 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3; 2 3; 2 m m m m x m y m D m D m D m m + + = = − = = − − = = + Xét các trường hợp: TH 1 : Nếu 3 0 2 3 0 2 D m m= ⇔ − = ⇔ = Với 3 2 m = ta có 6 0 x D = − ≠ , hệ vô nghiệm. TH 2 : Nếu 3 0 2 D m≠ ⇔ ≠ , hệ có nghiệm duy nhất 6 6 1 ; 2 2 3 2 3 y x D D x y m D m D m = = − − = = + + − − Vậy để hệ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi m nguyên và 2m – 3 là ước của 6. Mà các ước của 6 là: 1, 2, 3, 6± ± ± ± So sánh các điều kiện ta có Với m = 0; 1; 2; 3 thì hệ có nghiệm nguyên. Nhận xét: Điều kiện về nghiệm của hệ có thể là các điều kiện thông thường như: Hệ có nghiệm, hệ vô nghiệm, hệ có vô số nghiệm, …Tuy nhiên trong các bài toán liên kết với hệ phương trình của các hàm số như hàm Lượng giác hoặc hàm Mũ,… thì điều kiện sẽ được làm chặt hơn. Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: 3 2 1 x my m mx y m + =   + = +  (I) a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ? b) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: sinx + m.cosx = 3m m.sinx + cosx = 2m + 1    (II) Giải: Tháng 11 năm 2011 4 Hệ phương trình Trường THPT Lý Thõ¬ng KiÖt a) Ta có: 1 m 2 3 m 2 1 3m 2 1 x 2 1 1 y 2m+1 1 ; D 2 2 ; D 3 2 1 m m m m D m m m m m + = = − = = − + = = − + + TH 1 : Nếu 0 1D m≠ ⇔ ≠ ± , hệ luôn có nghiệm duy nhất. TH 2 : Nếu 2 0 1 0 1D m m= ⇔ − = ⇔ = ± * Với 1 0 x y m D D= ⇒ = = , hệ có vô số nghiệm. * Với 1 4 0 x m D= − ⇒ = − ≠ , hệ vô nghiệm. KL: Vậy với 1m ≠ − thì hệ pt luôn có nghiệm. b) Đặt ẩn phụ: 2 2 sin , § : 1 cos X x K X Y Y x =  + =  =  (*) Hệ (II) có dạng: 3 2 1 X mY m mX Y m + =   + = +  (III) Xét hệ phương trình (III) ta có: 1 m 2 3 m 2 1 3m 2 1 x 2 1 1 y 2m+1 1 ; D 2 2 ; D 3 2 1 m m m m D m m m m m + = = − = = − + = = − + + TH 1 : Nếu 2 0 1 0 1D m m= ⇔ − = ⇔ = ± * Với m = 1, hệ (III) có dạng: 3 3 X Y X Y + =   + =  , vô nghiệm vì: 2 sinx + cosx 2X Y− ≤ + = ≤ * Với m = -1, hệ (III) vô nghiệm. TH 1 : Nếu 0 1D m≠ ⇔ ≠ ± , hệ (III) luôn có nghiệm duy nhất: 2 3 1 ; D 1 D 1 y x D D m m X Y m m + = = = = + + Nghiệm thoả mãn điều kiện (*) khi: 2 2 0 2 3 1 1 1 1 1 3 m m m m m m =  +      + = ⇔  ÷  ÷  + + = −      KL: Vậy hệ (II) có nghiệm khi 1 0 hoÆc 3 m m − = = Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: 1 1 .3 2 2 3 .2 1 x y x y m m m m + +  + =   + = +   (I) a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ? b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên ? Giải: Đặt: 1 3 , §K: u 3,v>0 2 x y u v +  =  ≥  =   Hệ (I) trở thành: . 2 1 m u v m u mv m + =   + = +  Ta có: Tháng 11 năm 2011 5 Hệ phương trình Trường THPT Lý Thõ¬ng KiÖt 1 2 2 1 2 2m 2 1 m u 1 m y 1 m + 1 1; D 2 1; D m m m m D m m m m m + = = − = = − − = = − a) Hệ có nghiệm duy nhất: 2 0 1 0 1 2 1 3 3 2 1 2 1 D 1 1 0 0 0 1D u v D m m D m u m m m m m D m v m     ≠ − ≠ ≠ ±    +    ⇔ = ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ < ⇔ − ≤ < −    +    < − ∨ >    > = >   +   Vậy hệ có nghiệm khi : 2 1m− ≤ < b) Với m nguyên ta có m = - 2, khi đó hệ có là: 1 3 0 3 3 1 1 2 1 1 2 2 x y u x x v y y +   = =  = + =   ⇔ ⇔ ⇔     = = = =       Vậy với m = -2 thì hệ có nghiệm nguyên là (0;1). III – Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho hệ phương trình: ( 2) 2 (2 1) 2 5 m x my m m x y m − + =   − − = +  a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m? b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x, y không phụ thuộc m ? c) Khi hệ có nghiệm duy nhất, tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên ? Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m: a) 2 .3 3 .2 3 2 1 x y x y m m m m  + =   + = +   b) 4 lg .lg 1 ( 6)lg 2lg 3 x m y m m x y m − = − −   + + = +  Bài 3: Giải sử hệ phương trình : ax + by = c bx + cy = a cx + ay = b      Có nghiệm. CMR: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc ? Bài 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 1 1 mx y x my x y m + =   + =   + =  Bài 5: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m : 1 1 1 2 m x y m x m y  + + = +   + + =   Dạng III: Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất: (1) Áp dụng 1: Xét hai phương trình bậc hai có nghiệm chung. Tháng 11 năm 2011 6 Hệ phương trình Trường THPT Lý Thõ¬ng KiÖt I - Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện để hai phương trình sau có nghiệm chung 2 2 . 0 vµ '. ' ' 0a x bx c a x b x c+ + = + + = Phương pháp: Bước 1: Xét hệ phương trình tạo bởi hai phương trình bậc hai: 2 2 . 0 '. ' ' 0 a x bx c a x b x c  + + =   + + =   (I) Bước 2: Đặt 2 x y= , ta được hệ: (I) trở thành: ' ' ' ax by c a x b y c + =   + =  (II) Bước 3: Để hai phương trình có nghiệm chung thì hệ (II) phải có nghiệm thoả mãn 2 x y= , ta có điều kiện: 2 0 0 y x x y D D D D D D D D  ≠        =   ÷       = = =  Bước 4: Thử lại. II- Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Với giái trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung: 2 2 2 1 0 vµ 2 0x mx mx x+ − = − + = Giải: Các phương trình đã cho có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 2 2 2 1 0 2 0 x mx mx x  + − =   − + =   (I) Đặt 2 x y= , ta được hệ: (I) trở thành: 2 1 2 mx y x my + =   − =  (II) Ta có: 2 2 1 2 1 1 -m 2 -m 1 2 2; 4; 2 1 m m x y D m D m D m= = − − = = − − = = − Vì 0,D m≠ ∀ , hệ có nghiệm duy nhất: 2 2 4 1 2 ; 2 2 m m x y m m + − = = + + Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm thoả mãn 2 x y= , nên ta phải có: 2 3 2 2 4 1 2 6 7 0 1 2 2 m m m m m m m + −   = ⇔ + + = ⇔ = −  ÷ + +   Thử lại ta có: Với m = -1 thì hai phương trình có nghiệm chung là x = 1. Ví dụ 2: CMR nếu hai phương trình 2 2 1 1 2 2 0 vµ 0x p x q x p x q+ + = + + = Tháng 11 năm 2011 7 Hệ phương trình Trường THPT Lý Thõ¬ng KiÖt Có nghiệm chung thì: 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( )( ) 0q q p p p q p q− + − − = (*) Giải: Các phương trình có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm: 2 1 1 2 2 2 0 0 x p x q x p x q  + + =   + + =   Đặt 2 x y= , ta được hệ: 1 1 2 2 p x y q p x y q + = −   + = −  Ta có: 1 2 2 1 2 1 1 2 ; ; x y D p p D q q D p q p q= − = − = − TH 1 : Nếu 1 2 0D p p≠ ⇔ ≠ , hệ có nghiệm duy nhất: 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 vµ q q p q p q x y p p p p − − = = − − Do 2 x y= , nên ta phải có : 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 q q p q p q p p p p   − − = ⇔  ÷ − −   2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( )( ) 0q q p p p q p q− + − − = Khi đó (*) đúng. TH 2 : Nếu 1 2 0D p p= ⇔ = . Hệ có nghiệm 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0 0 0 x y q q q q D D p q p q p p − = =   = = ⇔ ⇔   − = =   Khi đó (*) đúng. Vậy: Hai phương trình có nghiệm chung thì: 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( )( ) 0q q p p p q p q− + − − = (đpcm) III – Bài tập đề nghị: Bài 1: Với giá trị nào của m thì các cặp phương trình sau có nghiệm chung: a) 2 2 2 5 0 vµ 2 4 25 0x x m x mx m m+ + = + + − + = b) 2 2 2 (3 1) 9 0 vµ 6 (7 1) 19 0x m x x m x+ + − = + − − = Bài 2 (ĐH Thái Nguyên 2000): Với giá trị nào của m thì các cặp phương trình sau có nghiệm chung: 2 2 1 0 vµ 1 0mx x x mx+ + = + + = (2) Ứng dụng 2: Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng: I - Bài toán tổng quát: Cho hai đường thẳng: d 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 và d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 Biện luận theo các giá trị của tham số vị trí tương đối của hai đường thẳng ? Phương pháp: Bước 1: Xét hệ phương trình tạo bởi d 1 và d 2 : 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c + + = + = −   ⇔   + + = + = −   (I) Tháng 11 năm 2011 8 Hệ phương trình Trường THPT Lý Thõ¬ng KiÖt Bước 2: Dựa vào biên luận số nghiệm của hệ (I) ta có được vị trí tương đối của hai đường thẳng: * Nếu hệ (I) vô nghiệm 1 2 ( )//( )d d⇔ * Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất 1 2 ( ) ( ) ( ; ) D y x D D d d M D   ⇔ ∩ =     * Nếu hệ (I) vô số nghiệm 1 2 ( ) ( )d d⇔ ≡ II – Ví dụ minh hoạ: Ví dị 1: Cho hai đường thẳng d 1 và d 2 có phương trình: (d 1 ): kx – y + k = 0 và (d 2 ): 2 2 (1 - k )x + 2ky - (1 + k ) = 0 a) Với mỗi giá trị của k, hãy xác định giao điểm của d 1 và d 2 ? b) Tìm quĩ tích giao điểm đó khi k thay đổi ? Giải: a) Xét hệ phương trình tạo bởi d 1 và d 2 là: 2 2 kx - y + k = 0 (1 - k )x + 2ky - (1 + k ) = 0    Ta có: D = 1 + k 2 , D x = 1 – k 2 , D y = 2k Vì 2 1 2 2 2 1 2 0, ; 1 1 k k D k d d I k k     −   ≠ ∀ ⇒ ∩ =    ÷ + +       . Vậy với mọi giá trị của k thì d 1 luôn cắt d 2 tại điểm I. b) Từ toạ độ giao điểm I ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 k x k k k x y k k k y k  − =    −    + ⇒ + = + =   ÷  ÷ + +      =  +  Vậy: quĩ tích giao điểm I của d 1 và d 2 thuộc đường tròn: x 2 + y 2 = 1. III – Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho a 2 + b 2 > 0 và hai đường thẳng có phương trình: d 1 : (a – b)x + y = 1 và d 2 : (a 2 – b 2 )x + ay = b a) Hãy xác định giao điểm của d 1 và d 2 ? b) Tìm điều kiện của a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành ? Bài 2: Cho a 2 + b 2 > 0 và hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình: d 1 : ax + by = a + b và d 2 : bx + ay = a – b a) Xác định giao điểm của d 1 và d 2 ? b) Tìm quỹ tích toạ độ giao điểm khi a, b thay đổi ? (3) Áp dụng 3: Biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai ẩn: I – Bài toán tổng quát: Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( )F a x b y c a x b y c= + + + + + Phương pháp: Bước 1: Xét hai đường thẳng Tháng 11 năm 2011 9 Hệ phương trình Trường THPT Lý Thõ¬ng KiÖt 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 : ( ) vµ d : ( )d a x b y c a x b y c+ + + + Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của d 1 và d 2 . Bước 2: Xét hệ phương trình tạo bởi d 1 và d 2 có dạng: 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + = −   + = −  Xác định D, D x , D y . Bước 3: Xét hai trường hợp: TH 1 : Nếu 0D ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất : ; y x D D x y D D = = Khi đó d 1 cắt d 2 do đó minF = 0. TH 2 : Nếu D = 0 Đặt : t = a 1 x + b 1 y + c 1 , ta được: F = 2t 2 + At + B 4 ∆ ≥ − Khi đó minF = 4 ∆ − , đạt được khi t = 4 A − hay a 1 x + b 1 y + c 1 = 4 A − Bước 4: Kết luận: Với C, minF = 0 , đạt được khi ; y x D D x y D D = = Với D = 0, minF = 4 ∆ − , đạt được khi x, y thuộc đường thẳng có phương trình: a 1 x + b 1 y + c 1 = 4 A − . II – Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của : F = (x + y – 2) 2 + (x + ay – 3) 2 , theo tham số a . Giải: Xét hai đường thẳng: d 1 : x + y – 2 = 0 và d 2 : x + ay – 3 = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của d 1 và d 2 . Xét hệ phương trình tạo bởi d 1 và d 2 có dạng: 1 1 2 1 1 2 1 a x 3 a y 1 3 x + y = 2 x + ay = 3 Víi: D = = a-1, D = = 2a - 3 , D = = 1    TH 1 : Nếu 0 1 0 1D a a≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ Hệ có nghiệm duy nhất: 2 3 1 1 1 x y D a x D a D y D a −  = =   −   = =  −  Khi đó d 1 cắt d 2 do đó minF = 0. Tháng 11 năm 2011 10 [...]... ( x + )2 + +3> 0 2 4 x3 = 3x 2 x = 1, x2 = 2 (1;1) (*) 1 (2; 2) x = y x = y x y + sin x = 2 VD8 giải hệ phơng trình (*) y + sin y = 2 x (day la he doi xung loai 2 nhung giai theo Phuong phap thong thuong xe phuc tap ta se giai bang Phuong phap danh gia) neu : xy < 0 sin x > 2,sin y > 2 (*)vno vay : xy > 0 : y y xet : x > y < 1 2 > 1 sin y > 1 (*)vno x x x x xet : x < y < 1 2 >... thì hệ phơng trình x 2 y + m = y 2 2 xy + m = x 2 có nghiệm duy nhất Thỏng 11 nm 2011 28 Trng THPT Lý Thừơng Kiệt H phng trỡnh Gợi ý: Trừ theo vế, xét PT hệ quả theo PT đồ thị Bài 5: Cho hệ phơng trình: 2 m2 2x = y + y (m là tham số) 2 m 2 2y = x + x a) Giải hệ đã cho với m = 1 b) CMR nếu m 0 thì hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất Một số VD Khác x 2 = 3x + 2 y (1) VD1 giải hệ phơng... 1 + x 2 x 2 + 21 = 0 nhanthay : (3)khongcono : x = 1 xet : f ( x) = x 1 + x 2 x 2 + 21; x > 1 1 x x f ' ( x) = + 2x vi : x > 1 2 x >0 2 x 1 x 2 + 21 x 2 + 21 f ' ( x) > 0 f ( x)db; x > 1 (3)no !: x = 2 (*) x = y = 2 log 2 1 + 3sin x = log 3 3cos y 11, giải hệ phơng trình log 2 1 + 3cos y = log 3 3sin x pp quy ve hptdxl2: chu y 2 dang sau co the dua ve hdxl2 ax + b = c( dx + e) 2 + x... trỡnh sau theo tham s a : Bi 3: Cho h phng trỡnh: x y + =a y x x + y = 8 x + xy + y = m + 2 2 2 x y + xy = m + 1 Thỏng 11 nm 2011 14 Trng THPT Lý Thừơng Kiệt H phng trỡnh a) Gii h phng trỡnh vi m = -3 ? b)Xỏc nh m h cú nghim duy nht ? Bi 3: Cho h phng trỡnh: x + y + xy = 2m 1 2 xy( x + y ) = m + m a) Chng t rng vi mi m thỡ h phng trỡnh luụn cú nghim ? b) Xỏc nh m h phng trỡnh cú nghim duy nht... 2/ Cách giải f ( x, y ) = 0 a/ Xét hệ đối xứng loại một g ( x, y ) = 0 Trong đó (x,y), g ( x, y ) là những đa thức đối xứng của hai ẩn x , y x + y = s (*) xy = p Đặt Chú ý điều kiện s24p Giải hệ phơng trình theo s và p, thay vào (*) x, y f ( x, y , z ) = 0 b/ Hệ phơng trìng g ( x, y, z ) = 0 h ( x , y , z ) = 0 Trong đó (x, y, z), g(x,y,z), h(x,y,z), là những đa thức đối xứng với các ẩn là... x + 1 = y x 2 + x (1 x ) = 2 x = 1 y = 1 1 x = 2 1 y= 2 x R y = 1 x x = 1 y = 1 x R y = 1 x b) Điều kiện cần: Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x, y, z) thì (theo nhận xét) x0=y0 PT: 2x2-mx+m=0 có nghiệm duy nhất =m2- 8m=0 m=0 ; m=8 Điều kiện đủ: * Với m=0 hệ PT đã cho x 2 + xy = 0 x = 0 ; x = y 2 y = 0 ; y = x y + xy = 0 x R Hệ phơng trình này có vô số nghiệm... 2)2 + [4x + 2(m 2)y - 1]2, theo tham s m ? Bi 2: Bin lun theo tham s a GTNN ca cỏc biu thc sau: a) F = (2x +y - 2)2 + (4x + ay 1)2 b) F = (x 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 Thỏng 11 nm 2011 11 Trng THPT Lý Thừơng Kiệt H phng trỡnh H PHNG TRèNH I XNG LOI I Dng toỏn thng gp 1) Gii h phng trỡnh 2) Nghim ca h phng trỡnh tho món iu kin cho trc 3) Mt s h phng trỡnh quy v h phong trỡnh bc hai i xng loi I Dng... 4 Tuy nhiờn nghim (xo; xo) cha chc ó l nghim duy nht ca h, vỡ vy vi mi giỏ tr m tỡm c cn kim tra tớnh duy nht ca nghiờm Xột cỏc trng hp: x + y + xy = 1 * TH1: Vi m = -1, h (I) tr thnh: 2 2 x y + xy = 2 H cú cỏc nghim (-1; 2), (2; -1) , (-1 ; -1) Vy giỏ tr m = - 1 khụng tho món yờu cu bi toỏn x + y + xy = 3 * TH2: Vi m = 3, h (I) tr thnh: H cú nghim duy nht (1; 1) TH3: Vi m = 5 , h (I) tr thnh:... 1) TH3: Vi m = 5 , h (I) tr thnh: 4 2 2 x y + xy = 2 5 x + y + xy = 4 x 2 y + xy 2 = 1 4 1 1 H cú nghim duy nht ; ữ Kt lun: 2 2 H (I) cú nghim duy nht khi m = 3 , m = 5 4 * Chỳ ý: Da vo tớnh cht ca h i xng loi (I) ta cú phng phỏp iu kin cn v gii bi toỏn tỡm iu kin h cú nghim duy nht iu kin cn : L h cú nghim (xo; yo) tho món:xo = yo iu kin l: Th li cỏc giỏ tr ca tham s tỡm c t iu kin... trình đối xứng loại II hai ẩn có nghiệm (,) thì hệ phơng trình có nghiệm (,) hệ có nghiệm duy nhất = dạng nghiệm (,) Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình x 2 + xy = m( y 1) ( I ) ở đó m là tham số 2 y + xy = m( x 1) a) Giải hệ phơng trình đã cho khi m=-1 b) Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất Giải: x 2 + xy = 1 y a) Với m=-1 (I) 2 y + xy = 1 x ( x y)( x + y 1) = 0 . trình theo m? b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x, y không phụ thuộc m ? c) Khi hệ có nghiệm duy nhất, tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên ? Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham. nghiệm duy nhất: vµ y x D D x y D D = = b)- Với 0 x y D D D= = = , thì hệ phương trình có vô số nghiệm. c)- Với 0D = và 0 x D ≠ hoặc 0 y D ≠ thì hệ phương trình vô nghiệm. Trong các. 2 3 .2 1 x y x y m m m m + +  + =   + = +   (I) a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ? b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên ? Giải: Đặt: 1 3 , §K: u 3,v>0 2 x y u v +  =  ≥  =   Hệ