Tích phân liên kết Trong một số bài toán tính tích phân I = ( ) b a f x dx ∫ – ta tìm đến tích phân K= ( ) b a g x dx ∫ và tính I trong các mối ràng buộc với K ( K được gọi là tích phân liên kết với I ) . Ta đi xác lập các đẳng thức liên hệ giữa I và K : mI nK a pI qK b + =   + =  Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn I , K ta tính được I và cả K . Ta thường gặp trường hợp : * I = K khi đó tính I+K từ đó suy ra I . * K là một tính phân được tính đơn giản , khi đó từ đẳng thức : mI +nK =a ta suy ra I (và K) Việc tìm đến tích phân liên kết K , tùy thuộc vào kinh nghiệm của bạn . Thường biểu thức các tích phân (liên kết ) f(x) ,g(x) có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau . Chúng ta hãy tìm hiểu qua một số ví dụ : Bài 1: Tính I = 6 2 0 cos 2 .x sin xdx π ∫ Có thể tính trực tiếp tích phân này – Một cách tính gián tiếp ? Vì sin 2 x + cos 2 x =1 , ta xét tích phân tương tự : K = 6 2 0 cos 2 . osx c xdx π ∫ Ta có : I +K = 6 0 cos 2xdx π ∫ = 1 2 sin2x | 6 0 π = 3 4 (*) Mặt khác : K-I = 6 2 2 0 cos 2 (cos )x x sin x dx π − ∫ = 6 2 0 cos 2xdx π ∫ = 6 0 1 (1 cos4 ) 2 x dx π + ∫ = 6 0 1 1 1 3 1 3 ( sin 4 ) | ( ) ( ) 2 4 2 6 8 4 3 4 x x π π π + = + = + (**) Từ (*) (**) suy ra : I = 1 3 3 ( ) 8 4 3 π − Bài 2: Tính I = 2 0 sin sin cos 1 x dx x x π ∫ + + Xét bài toán (tích phân) tương tự : K = 2 0 os sin cos 1 c x dx x x π ∫ + + Bằng phép thay biến x = π/2-t Ta có : dx =-dt , x = 0 → t= π/2 , x = π/2→ t= 0 Khi đó : I = = K Ta có : I + K = 2 0 cos sin sin cos 1 x x dx x x π + ∫ + + = 2 0 1dx π ∫ - 2 0 1 sin cos 1 dx x x π ∫ + + = π/2 - 2 0 1 sin cos 1 dx x x π ∫ + + Tính 2 0 1 sin cos 1 dx x x π ∫ + + = 2 0 1 1 sin( / 4) sin( / 4) 2 dx x π π π ∫ + + = 2 0 1 1 2 2 sin( ) os( ) 2 4 2 dx x x c π π ∫ + = 2 0 os[( ) ( )] 1 2 4 2 2 sin( ) os( ) 2 4 2 x x c dx x x c π π π + − ∫ + 2 0 1 [cot( ) tan( )] 2 2 4 2 x x dx π π = + + ∫ = /2 0 [ln sin( ) ln os( )]| 2 4 2 x x c π π + − = /2 0 sin( ) 2 2 4 ln | ln 2 ln ln 2 2 os( ) 2 x x c π π + = − = Ta có : I=K và I+K = ln2 → I=K = ln 2 2 Chú ý : + Bạn có thể không thay biến , tính I-K = = 0 → I=K . Bài 3: I = 3 2 4 4 0 cos sin sin cos x x dx x x π ∫ + 2 Nếu tính được I = 3 2 4 4 0 cos sin sin cos x x dx x x π ∫ + thì ta cũng tính được K = 3 2 4 4 0 sin cos sin cos x x dx x x π ∫ + . Biểu thức của K là biểu thức của I trong đó : sinx được thay bởi cosx và cosx được thay bởi sinx . Bằng phép thay biến x = π/2-t Ta chứng minh được I = K Ta có : I+K = 2 4 4 0 sin cos sin cos x x dx x x π ∫ + = 2 2 0 sin 2 1 cos 2 x dx x π ∫ + Đặt t = cos2x → dt = -2sin2xdx x = 0 → t=1 , x = π/2 → t= -1 I+K = 1 2 1 1 1 2 1 dt t − ∫ + = = π/4 Suy ra : I = π/8 Chú ý : (cos 4 x )’= -4 cos 3 xsinx - xét đến (sin 4 x )’= 4 sin 3 xcosx Ta có: (sin 4 x + cos 4 x )’= - sin4x Khi đó : 4(I-K) = 2 4 4 0 sin 4 sin cos x dx x x π ∫ + = - ln( 4 4 sin cosx x+ )| /2 0 π = 0 → I= K Bài 4: I = 1 2 0 3 x dx e ∫ + * Chọn K = 2 1 2 0 3 x x e dx e ∫ + Ta có : 1 0 3 1I K dx+ = = ∫ (1) * Tính K . Để ý (e 2x +3 )’= 2 e 2x . Khi đó : K = 1 0 2 2 1 2 2 0 1 2 1 1 3 ln( 3)| ln( ) 2 3 2 2 4 x x x e dx e e e + = + = ∫ + (2) Từ (1) (2) suy ra : I = 2 1 1 3 ln( ) 3 6 4 e + − . Bài 5: 4 1 6 0 1 1 x I dx x + = ∫ + 3 Liên hệ đến hằng đẳng thức : x 6 +1 = (x 2 +1) ( x 4 - x 2 +1) , ta chọn 2 1 6 0 1 x K dx x = ∫ + Ta có : I - K = 2 4 1 6 0 1 1 x x dx x − + ∫ + = 1 2 0 1 1 dx x ∫ + Đặt x = tant → dx = (1+tan 2 t)dt ; x = 0 → t =0 , x = 1 → t = π/4 Khi đó : I-K = /4 0 1 4 dt π π = ∫ và 2 2 1 0 1 1 6 6 6 0 0 1 3 1 1 ln( 1) | ln 2 1 3 1 3 3 x x K dx dx x x x = = = + = ∫ ∫ + + suy ra : I = 1 ln 2 3 + 4 π . Đây là nội dung còn nhiều điều tìm hiểu – vấn đề chọ tích phân liên kết đòi hỏi khả năng tư duy linh hoạt của bạn . Bạn suy nghĩ tìm tòi thêm nhé . Mời bạn cùng giải một số bài tập sau : Bài tập đề nghị : Bài 1: a/ 2 4 0 sin 2 . osx c xdx π ∫ b/ 2 4 0 os2 . osc x c xdx π ∫ Bài 2: a/ 3 6 sin cos sin x dx x x π π + ∫ b/ 2 2012 2010 0 sin osxc xdx π ∫ c/ 2 2 0 sin os n n xc xdx π + ∫ d/ 2 4 0 sin os n n xc xdx π + ∫ Bài 3: a/ dx x x I ∫ = 6 0 2 2cos cos π b/ 2 0 2sin 3cos sinx cos 1 x x dx x π − ∫ + + Bài 4: a/ 2 0 2sin 1 sin cos 1 x dx x x π + ∫ + + b/ 2 4 1 os sin cos 1 c x dx x x π π + ∫ − + Bài 5: a/ 2 0 2sin 3cos sinx cos x x dx x π − ∫ + b/ 3 6 2cot 3tan cotx tan x x dx x π π − ∫ + Bài 6: a/ * 2 3 0 sin 3 sinx cos x dx x π ∫ + b/ 2 2 0 os sin cos 1 c x dx x x π ∫ + + 4 Bài 7 a/ 3 6 2 1 1 (1 ) dx x x+ ∫ b/ 1 4 1 1 2 x x dx − + ∫ c/ 1 2 2 0 ( 2) x x e dx x + ∫ Bài 8 : a/ * 3 6 os5 sin 2 c x dx x π π ∫ b/ * 3 6 sin 5 os x dx c x π π ∫ Và bạn có thể đề xuất thêm nhiều bài toán mà khi giải nó ta phải xét đến tích phân liên kết phải không nào. Chúc bạn vui – thành công. 17/6/2012 5 . dx x = ∫ + Ta có : I - K = 2 4 1 6 0 1 1 x x dx x − + ∫ + = 1 2 0 1 1 dx x ∫ + Đặt x = tant → dx = (1+tan 2 t)dt ; x = 0 → t =0 , x = 1 → t = π/4 Khi đó : I-K = /4 0 1 4 dt π π = ∫ và