ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN (ĐỀ A) TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC: 2013-2014 Câu Đáp án Biểu chấm Câu 1 1 a) Ta có: a + b +c = 1 + 3 +(-4) = 0 b) Theo câu a ta có: a +b +c = 0 => phương trình có hai nghiệm 1 2 1; 4x x= = − 2 2 3 4 4 1 1 3 2 1 3 2 1 3.1 2 1 1 x y x x x x y x y y y − = = = =     ⇔ ⇔ ⇔     + = + = + = = −     Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất: (x; y) =(1; -1) Câu 2: a) Với 0; 1x x> ≠ Ta có: 2 1 1 : ( 1) ( 1) ( 1) x x P x x x x x     + = +  ÷  ÷  ÷  ÷ − − −     2 1 ( 1) 1 . ( 1) 1 x x x x x x x + − − = = − + Vậy với 0; 1x x> ≠ thì 1x P x − = b) Với 2 3 2 2 ( 2 1)x = − = − thỏa mãn điều kiện 0; 1x x> ≠ Thay 2 3 2 2 ( 2 1)x = − = − vào P ta được 2 2 ( 2 1) 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 ( 2 1) P − − − − − = = = = − − − − Vậy với 3 2 2x = − thì 2P = − Câu 3: a) Để (d) đi qua A(1:5) ta thay x =1; y = 5 vào đường thẳng (d) ta được: 5 = 2.a.1 + 1 <=> a = 2 Vậy với a = 2 thì đường thẳng (d) đi qua A(1;5) b) Để (d) cắt (p) tại hai điểm phân biệt ta xét phương trình hoành độ: - 2x 2 = 2ax + 1 ⇔ 2x 2 + 2ax + 1 = 0 (1) Ta có ' ∆ = a 2 – 2 Để (d) cắt (p) tại hai điểm phân biệt thì PT (1) có hai nghiệm phân biệt => ' ∆ = a 2 – 2 >0 2 2 a a  > ⇔  < −   Theo định lí Viét ta có 1 2 1 2 1 . 2 x x a x x + = −    =   thay vào điều kiện đề bài 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 4( ) 4 0 ( ) 4( ) 4 2 0 ( 2) 2 0 1 ( 2) 2. 0 2 1( ) 3( ) x x x x x x x x x x x x x x a a KTM a TM + + + + = => + + + + − = => + + − = => − + − = =  =>  =  Vậy với a = 3 thì (d) cắt (p) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 ;x x thỏa mãn 2 2 1 2 1 2 4( ) 4 0x x x x+ + + + = Câu 4: A (d) H O B C M K E P N F a) Ta có · = 0 ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm o) Hay · = 0 HCB 90 Ta có · = 0 HKB 90 (Do ⊥HK AB ) Xét tứ giác CBKH có · · + = + = 0 0 0 HCB HKB 90 90 180 Vậy tứ giác CBKH nội tiếp. b) Ta có ⊥CO AB => AC = CB Xét ∆ MAC và ∆ EBC có AC = CB (C/m trên) · MAC = · EBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC) MA=EB (gt) => ∆ MAC = ∆ EBC (c.g.c) =>MC=EC => ∆ MEC cân (1) Do ∆ MAC = ∆ EBC => · · =MCA ECB mà · · · + = = 0 ACE ECB ABC 90 => · · + = 0 ACE MCA 90 => · = 0 MCE 90 => ∆MEC vuông (2) Từ (1) và (2) => ∆ MEC vuông cân. c) Gọi N là giao của BP và HK, P là giao của BM và (d) Theo đề ra: AP.MB = MA.OB => = AP MA OB MB và · · = PAM OBM (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây, góc nội tiếp cùng chắn cung AM) => ∆ APM ∆: OBM (c.g.c) mà ∆ OBM cân do OB=OM=R => ∆ PAM cân tại P => PM = PA Ta có ∆ FMA vuông, ∆ PAM cân tại P => ∆ PFM cân tại P => PF=PM=PA. Ta có:  ⊥ =>  ⊥  HK AB HK / /AF hay NH//FB; NK//AP FA AB Theo hệ quả của định lí Talet ta có: = BN NH do (NH//PF) BP PF = BN NK do (NK//PA) BP PA => = NK NH PA PF mà PA=PF (c/m trên) => NK = NH => N là trung điểm của KH. Vậy PB đi qua trung điểm của HK. Câu 5: Ta có:   + + − + + = − + − + − ≥   2 2 2 2 2 2 1 x y z (xy yz zx) (x y) (y z) (z x) 0 2 => + + − + + ≥ 2 2 2 x y z (xy yz zx) 0 => + + ≥ + + 2 2 2 x y z (xy yz zx) => + + ≥ 2 2 2 x y z 3 (1) Mặt khác ta có: (x+y+z) 2 ≥ + +3(xy yz zx) => (x+y+z) 2 ≥ 9 => + + ≥x y z 3 (2) Do x, y, z có vai trò như nhau giả sử: ≥ ≥x y z Theo BĐT Trebưsep ta có: + + = + + ≥ + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x x y z x y x A x . y . z . .( ) y 3z z 3x x 3y 3 y 3z z 3x x 3y => ≥ + + + + + 2 2 2 3 x y x A .( ) 3 y 3z z 3x x 3y => ≥ + + + + + 2 2 2 x y x A y 3z z 3x x 3y Áp dụng bất đẳng thức Schwartz (Svácxơ): + + + + ≥ + + ≥ = + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 x y x (x y z) (x y z) A y 3z z 3x x 3y y 3z z 3x x 3y 4(x y z) => + + ≥ ≥ x y z 3 A 4 4 Dấu “ = ” xảy ra khi:  =  =  => = = =  =   + + =  x y y z x y z 1 z x xy yz zx 3 Vậy = + + ≥ + + + 4 4 4 x y x 3 A y 3z z 3x x 3y 4 Dấu “ = ” xảy ra khi: = = =x y z 1 . 3y => ≥ + + + + + 2 2 2 3 x y x A .( ) 3 y 3z z 3x x 3y => ≥ + + + + + 2 2 2 x y x A y 3z z 3x x 3y Áp dụng bất đẳng thức Schwartz (Svácxơ): + + + + ≥ + + ≥ = + + + + + + + + + + 2 2 2 2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN (ĐỀ A) TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC: 2013-2014 Câu Đáp án Biểu chấm Câu 1 1 a) Ta có: a + b +c = 1 + 3 +( -4) = 0 b) Theo câu a ta có: a +b +c = 0 =>. ta có: (x+y+z) 2 ≥ + +3 (xy yz zx) => (x+y+z) 2 ≥ 9 => + + ≥x y z 3 (2) Do x, y, z có vai trò như nhau giả sử: ≥ ≥x y z Theo BĐT Trebưsep ta có: + + = + + ≥ + + + + + + + + 2 2 2 2