SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐẾ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (3 điểm) Cho 1 3 2 3 2 2( 3 1) x = − − + . Tính giá trị của biểu thức: 2013 2012 2 4(x 1)x 2x 2x 1 A 2x 3x + − + + = + . Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình: ( ) 2 2 2x 2x 1 2x 3 ( x x 2 1). + + = + + + − Bài 3. (3 điểm) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: ( ) ( ) 2 2 3 3 2y 2x 1 2x 2y 1 1 x y .+ − + + = Bài 4. (3 điểm) Cho đa thức P(x) = ax 2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0. Chứng minh rằng: 5a 3b 2c 1. a b c − + > − + Bài 5. (3 điểm) Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N. Chứng minh: PM = PN = PA. Bài 6. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C, có · 0 BAC 30 = . Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 2 2 2 3BD 5AD 5CD DC 2DA. = + ⇔ = Bài 7. (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 a (1 2b) b (1 2c) c (1 2a) P . b c a − − − = + + Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh : 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Gồm 04 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 Cho 1 3 2 3 2 2( 3 1) = − − + x .Tính giá trị của biểu thức: 2013 2012 2 4( 1) 2 2 1 2 3 x x x x A x x + − + + = + . 3.0 4 2 3 4 2 3 4 2 − − = =x 0.5 2 ( 3 1) 3 1 2 2 − − = = 0.5 3 1 2 − =x là nghiệm của phương trình: 2x 2 +2x-1=0 0.5 2 2012 2 2(2 2 1) 2 1 (2 2 1) 1 + − + + = + − + + x x x x A x x x 0.5 2 1 1 2 1 1 + = = − + + x x x 0.5 2 2( 3 1) 2 2 2 3 1 3 3 2 3 1 − = − = − = − + = − + Vậy 3 3.= −A 0.5 Câu 2 Giải phương trình: ( ) 2 2 2x 2x 1 2x 3 ( x x 2 1) (1) + + = + + + − 3.0 Đặt 2 2 2 t x x 2 x t x 2= + + ⇒ = − − Thay vào pt(1) ta có pt: ( ) 2 2 x 2x 1 t x 2 2x 3 (t 1)+ + + − − = + − 0.5 ( ) 2 t 2x 3 t (x 1)(x 2) 0⇔ − + + + + = t x 1 t x 2 = +  ⇔  = +  0.5 Với t x 1 = + ta có pt: 2 x x 2 x 1+ + = + ( ) 2 2 x 1 x x 2 x 1 ≥ −   ⇔  + + = +   0.5 2 2 x 1 x x 2 x 2x 1 x 1 x 1 x 1 ≥ −  ⇔  + + = + +  ≥ −  ⇔ ⇔ =  =  0.5 Với t x 2= + ta có pt: 2 x x 2 x 2+ + = + ( ) 2 2 x 2 x x 2 x 2 ≥ −   ⇔  + + = +   0.5 2 2 x 2 x 2 2 x 3x 2 3 x x 2 x 4x 4 ≥ − ≥ −   − ⇔ ⇔ ⇔ =   = − + + = + +   Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm 2 x 1, x . 3 − = = 0.5 2 Câu 3 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: ( ) ( ) 2 2 3 3 2y 2x 1 2x 2y 1 1 x y (1) + − + + = 3.0 Ta có (1) 3 3 4xy(x y) 2(x y) 1 x y ⇔ − − − + = 0.5 Đặt a x y b xy = −   =  vì x, y nguyên nên a, b nguyên. Khi đó ta có pt : 3 4ab 2a 1 b − + = với a, b nguyên 0.5 3 b 1 2a 2b 1 − ⇔ = − (vì b nguyên nên 2b - 1 0) ≠ 0.5 2 7 16a 4b 2b 1 2b 1 ⇔ = + + − − 0.5 Vì a, b nguyên, nên 2b – 1 phải là ước của 7 b 1 a 0 2b 1 1 1 b 0 a (L) 2b 1 1 2 2b 1 7 9 b 4 a (L) 2 2b 1 7 b 3 a 2 = ⇒ =   − =   = ⇒ =  − = −   ⇔ ⇔   − = = ⇒ =   − = −    = − ⇒ =  0.5 Với a = 0, b = 1 ta có hệ x y 0 x y 1 xy 1 − =  ⇔ = = ±  =  0.25 Với a = 2, b = -3 ta có hệ 2 y x 2 x y 2 (VN) xy 3 x 2x 3 0 = − − =   ⇔   = − − + =   KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là : x = y = 1, x = y = -1 0.25 Câu 4 Cho đa thức P(x) = ax 2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0. Chứng minh rằng: 5 3 2 1 (1). − + > − + a b c a b c 3.0 Từ giả thiết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0 suy ra được 2 4 > b c a 0.5 Vì P(x) > 0 với mọi x thuộc R nên P(-1)>0 0.5 Suy ra a – b + c > 0. 0.5 Vậy 5 3 2 1 5 3 2 4 2 − + > ⇔ − + > − + ⇔ + > − + a b c a b c a b c a c b a b c 0.5 Ta có 2 4 4 4 + > + b a c a a 0.5 Áp dụng BĐT Côsi ta có 2 b 4a 2 b 2b 4a + ≥ ≥ 4 2 ⇒ + > a c b Vậy (1) đúng. 0.5 Câu 5 Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N. Chứng minh: PM = PN = PA. 3.0 3 K d N I M A O C B P Chứng minh được PM=PN 0.5 Gọi I=OA∩d, K=OA∩BC, chứng minh được IA=IK 0.5 Có PA 2 = AI 2 + PI 2 = AI 2 + PO 2 – OI 2 (Pitago) 0.5 = PO 2 – (OI – AI)(OI + AI) = PO 2 – OK.OA (vì IA = IK) 0.5 = PO 2 – OC 2 ( hệ thức trong tam giác vuông OAC) 0.5 = PO 2 – ON 2 = PN 2 ( vì tam giác PNO vuông tại N) Vậy PA=PM=PN 0.5 Câu 6 Cho tam giác ABC vuông tại C, có · 0 30BAC = . Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 2 2 2 3BD 5AD 5CD DC 2DA. = + ⇔ = 3.0 R 30 ° C A O B D Tính được 3,= =AC R BC R 0.5 Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Pơtoleme ta có: AD.BC+AB.CD=AC.BD 0.5 AD.R CD.2R BD.R 3 AD 2CD BD. 3 ⇒ + = ⇒ + = 0.5 2 2 2 3BD AD 4CD 4AD.CD⇒ = + + 0.5 Vậy ta có: 2 2 2 2 2 2 2 3BD 5AD 5CD AD 4CD 4AD.CD 5AD 5CD = + ⇔ + + = + 0.5 2 2 2 4AD 4AD.CD CD 0 (2AD CD) 0 CD 2AD ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = 0.5 Câu 7 Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) . − − − = + + a b b c c a P b c a 2.0 4 Từ giả thiết chứng minh được 3+ + ≥a b c 0.5 Do a, b, c ∈(0;1) nên a(1-a), b(1-b), c(1-c), 1 1 1 , , 0 − − − > a b c a b c 0.25 Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương ta có : 2 2 2 (1 ) (1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 ) − + − ≥ − − + − ≥ − − + − ≥ − a b b b a b b b c c c b c c c a a a c a a 0.25 Cộng vế với vế của 3 bđt trên ta có: 2( ) 2( )+ + + ≥ + + − + +P a b c a b c ab bc ca 0.25 ( ) 2⇔ ≥ + + −P a b c vì 1+ + =ab bc ac 0.25 Theo CMT 3 3 2+ + ≥ ⇒ ≥ −a b c P 0.25 Dấu bằng xảy ra khi 1 3 = = =a b c Vậy 3 2= − Min P 0.25 Hướng dẫn chung: + Trên đây là các bước giải bắt buộc và biểu điểm tương ứng, thí sinh phải có lời giải chặt chẽ, chính xác mới công nhận cho điểm. + Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa. + Chấm từng phần. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn, tính đến 0.25 điểm ST: Phạm Văn Vượng 5 . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐẾ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (3 điểm) Cho 1 3 . Số báo danh : 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Gồm 04 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 Cho 1 3 2 3 2 2( 3 1) =. 2 (VN) xy 3 x 2x 3 0 = − − =   ⇔   = − − + =   KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là : x = y = 1, x = y = -1 0.25 Câu 4 Cho đa thức P(x) = ax 2 + bx + c . Biết P(x) >