SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán Ngày thi: 12 tháng 7 năm 2013 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2,0 điểm) 1. Cho phương trình 2 2 3 0x x+ − = với các hệ số 1; 2; 3a b c= = = − . a. Tính tổng: S a b c= + + b. Giải phương trình trên. 2. Giải hệ phương trình 3 2 2 3 4 x y x y − =   + =  . Câu 2: (2,0 điểm). Cho biểu thức 1 1 1 : 1 2 1 y Q y y y y y     + = +  ÷  ÷  ÷  ÷ − − − +     với 0; 1y y> ≠ a) Rút gọn biểu thức Q . b) Tính giá trị của Q khi 3 2 2y = − . Câu 3: (2,0 điểm) Cho đường thẳng : 2 1d y bx= + và parabol ( ) 2 : 2P y x= − . a) Tìm b để d đi qua ( ) 1;5B . b) Tìm b để đường thẳng d cắt parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 1 2 ,x x thỏa mãn điều kiện ( ) 2 2 1 2 1 2 4 4 0x x x x+ + + + = . Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính EF. Bán kính IO vuông góc với EF, gọi J là điểm bất kỳ trên cung nhỏ EI (J khác E và I), FJ cắt EI tại L, kẻ LS vuông góc với EF (S thuộc EF). a) Chứng minh tứ giác IFSL nội tiếp. b) Trên đoạn thẳng FJ lấy điểm N sao cho FN=EJ. Chứng minh rằng, tam giác IJN vuông cân. c) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại E. Lấy D là điểm nằm trên d sao cho hai điểm D và I nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng EF và . .ED JF JE OF= . Chứng minh rằng đường thẳng FD đi qua trung điểm của đoạn thẳng LS. Câu 5: (1,0 điểm) Cho , , 0a b c > thỏa mãn 3ab bc ca + + ≥ . CMR: 4 4 4 3 3 3 3 4 a b c b c c a a b + + ≥ + + + . Họ tên ……………………………… ……….……. Số báo danh ……………………………… Giám thị 1 ……………………………………….… Giám thị 2 ………………………………… ĐỀ CHÍNH THỨC Đề B Đáp án THAM KhO Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT tỉnh thanh hóa Năm học 2013-2014 (Đề B) Câu 1: 1) Cho phơng trình 2 2 3 0x x+ = với các hệ số 1; 2; 3a b c= = = . a) Tính tổng: S a b c = + + b) Giải phơng trình trên. 2) Giải hệ phơng trình 3 2 2 3 4 x y x y = + = . Giải: 1) a) 1 2 3 0S a b c= + + = + = b) Suy ra phơng trình có nghiệm 1 1x = và 2 3 c x a = = . 2) Ta có 3 2 3 6 2 2 3 4 2 2 0 x y x x x y x y y = = = + = = = . Vậy nghiệm của hệ là ( ) ( ) ; 2;0x y = . Câu 2: Cho biểu thức 1 1 1 : 1 2 1 y Q y y y y y + = + ữ ữ ữ ữ + với 0; 1y y> a) Rút gọn biểu thức Q . b) Tính giá trị của Q khi 3 2 2y = . Giải: a) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 1 1 . . 1 1 1 1 1 1 y y y y y y Q y y y y y y y y y y + + ữ ữ = + = = = ữ ữ ữ ữ + + b) Ta có ( ) 2 3 2 2 2 1 2 1y y= = = . Vậy 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 Q y = = = = . Câu 3: Cho đờng thẳng : 2 1d y bx= + và parabol ( ) 2 : 2P y x= . a) Tìm b để d đi qua ( ) 1;5B . b) Tìm b để đờng thẳng d cắt parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lợt là 1 2 ,x x thỏa mãn điều kiện ( ) 2 2 1 2 1 2 4 4 0x x x x+ + + + = . Giải: a) Ta có d đi qua ( ) 1;5B 5 2 1 2b b = + = . b) Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của phơng trình: ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 0 1x bx x bx = + + + = . Để d cắt parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x ( ) 2 2 ' 0 2 0 * 2 b b b > > > < Khi đó hai nghiệm 1 2 ,x x của (1) thỏa mãn hệ thức Vi ét: 1 2 1 2 1 2 x x b x x + = = Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 0 2 4 4 0x x x x x x x x x x+ + + + = + + + + = 2 2 1 1 4 4 0 4 3 0 3 b b b b b b = + = + = = . Kết hợp điều kiện (*) ta đợc 3b = . Câu 4: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính EF. Bán kính IO vuông góc với EF, gọi J là điểm bất kỳ trên cung nhỏ EI (J khác E và I), FJ cắt EI tại L, kẻ LS vuông góc với EF (S thuộc EF). a) Chứng minh tứ giác IFSL nội tiếp. b) Trên đoạn thẳng FJ lấy điểm N sao cho FN=EJ. Chứng minh rằng, tam giác IJN vuông cân. c) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại E. Lấy D là điểm nằm trên d sao cho hai điểm D và I nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng EF và . .ED JF JE OF= . Chứng minh rằng đờng thẳng FD đi qua trung điểm của đoạn thẳng LS. Giải: a) Vì I thuộc (O) nên ã 0 90EIF = . Vì LS EF nên ã 0 90LSF = . Từ đó suy ra ã ã 0 180EIF LSF+ = , do đó tứ giác IFSL nội tiếp. b) Ta có IO EF nên tam giác IEF là tam giác vuông cân tại I. Suy ra IE=IF (1). Ta lại có ã ã IEJ IFJ= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IJ ) (2) Theo giả thiết ta có FN=EJ (3) Từ (1), (2) , (3) suy ra IEJ IFN = (c-g-c). Do đó IJ=IN (4) và ã ã EIJ FIN= . Suy ra ã ã ã ã ã ã 0 90JIN EIJ EIN FIN EIN EIF= + = + = = (5) Từ (4) và (5) suy ra tam giác IJN vuông cân tại I. c) Đặt ( ) 0SE x x R= < < . Ta có tam giác LES vuông cân tại S nên LS x= . Gọi H là giao điểm của FD và LS. Vì D và L nằm cùng phía đối với EF nên H và L nằm cùng phía đối với S. Ta có FHS FDE : (g-g) nên 2 2 . 2 2 HS SF R x R x HS DE DE EF R R = = = (6) Theo giả thiết . . ED JE ED JF JE OF OF JF = = (7). Ta lại có FLS FEJ : (g-g) suy ra LS JE FS JF = (8). Từ (7) và (8) suy ra 2 2 ED LS ED x xR ED OF FS R R x R x = = = (9). Từ (6) và (9) suy ra 2 . 2 2 2 2 R x xR x LS HS R R x = = = . Do đó H là trung điểm của đoạn LS. Câu 5: Cho , , 0a b c > thỏa mãn 3ab bc ca + + . CMR: 4 4 4 3 3 3 3 4 a b c b c c a a b + + + + + . Giải: Theo bđt Cô si ta có ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 2 2 a b c a b b c c a ab bc ca ab bc ca + + = + + + + + + + = + + Mặt khác theo bđt Bunhiacopxki ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3a b c a b c a b c + + + + + + = + + . Lại theo bđt Bunhiacopxki ta có: ( ) 4 4 4 4 3 3 3 a b c a b c b c c a a b + + + + = + + + ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 3 3 3 3 3 a b c b c c a a b b c c a a b = + + + + + + + + + + ( ) 2 2 2 2 a b c + + . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 3 2 2 2 1 1 3 3 3 3 3 4 4 3 4 3 4 4 3 a b c a b c a b c a b c b c c a a b a b c a b c + + + + + + + + = = + + + + + + + d H D S L I E O F J N §¼ng thøc x¶y ra 1a b c⇔ = = = . (§iÒu ph¶i chøng minh) Thọ Xuân, ngµy 15 th¸ng 7 n¨m 2013 . SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán Ngày thi: 12 tháng 7 năm 2013 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2,0 điểm) 1 ……………………………………….… Giám thị 2 ………………………………… ĐỀ CHÍNH THỨC Đề B Đáp án THAM KhO Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT tỉnh thanh hóa Năm học 2013- 2014 (Đề B) Câu 1: 1) Cho phơng trình 2 2 3 0x x+ = với các hệ. với EF nên H và L nằm cùng phía đối với S. Ta có FHS FDE : (g-g) nên 2 2 . 2 2 HS SF R x R x HS DE DE EF R R = = = (6) Theo giả thi t . . ED JE ED JF JE OF OF JF = = (7). Ta lại có