Trng THPT Qu Hp I thi hc sinh gii lp 11 nm hc 2012-2013 Mụn: Toỏn - Khi: 11 Thi gian: 150 phỳt Bi 1(2,0 im).: Bi 2 (2,0 im). 1. Cho dóy s ( ) n u bit: 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2 n n n u = + + + + . Tớnh lim n u 2. Cho dóy s ( ) n u xỏc nh bi : ( ) 1 1 1 , , 1,2, 3 2 3 1 n n n u u u n n u + = = = + + Tớnh tng: 2012 1 2 3 2012 S u u u u= + + + + Bi 3(3 điểm) 1) Giải phơng trình: 2 2 2tan cot tan sin 2 x x x x + = + 2) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm ( ; ) 8 4 x 4 4 6 6 2 4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4x x x x x m+ + = Bi 4 (2 điểm) : Giải bất phơng trình: 2 2 4 3 2 3 1 1x x x x x + + Bi 5(1 điểm) : Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB , Trên đờng thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1 ==========Ht========== Trng THPT Qu Hp I 1 Đáp Án Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm học 2012-2013 Bài 1 Bài 2 Bài 2 (2,0 điểm). • Cho dãy số ( ) n u biết: 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2 n n n u − = + + + + . Tính lim n u • Cho dãy số ( ) n u xác định bởi : ( ) 1 1 1 , , 1,2, 3 2 3 1 n n n u u u n n u + = = = + + Tính tổng: 2012 1 2 3 2012 S u u u u= + + + + Bài giải Bài 2: (2,0 điểm) 1. ( ) ( ) 2 3 2 3 1 1 3 5 2 1 3 5 7 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − = + + + + ⇒ = + + + + n n n n n n u u . Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được 2 2 1 1 1 2 1 2 3 2 3 , 2 2 2 2 2 2 n n n n n n u n − − +   = + + + + − = − ≥  ÷   1 2 3 3 lim lim 3 3 lim lim 3 2 2 2 n n n n n n u − +     = − = − + =  ÷  ÷     2 2. Cú 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3, 1,2, 4 4 3 n n n n n n n n n n u u u u u + + + = + = = + = + + hay ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 4 3 1 3 2 1 3 n u n n n n n n + = = = ữ + + + + + + . Do ú 1 1 1 , 1,2, 2 2 n u n n n = ữ + Vy 2012 1 2 3 2012 1 1 1 1 1 2 2 2013 2014 S u u u u = + + + + = + = ữ Bi 3 (3điểm) 3) Giải phơng trình: 2 2 2tan cot tan sin 2 x x x x + = + 4) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm ( ; ) 8 4 x 4 4 6 6 2 4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4x x x x x m+ + = B i gi i +) Điều kiện +) Tìm đợc tanx = 1 hoặc tanx = 0 +) GiảI đúng và loại nghiệm đúng. ĐS: 4 x k = + +) Đa PT về dạng: 2 2cos 4 cos4 2 1x x m = + (1) +) Đặt t = cos4x với ( ; ) 8 4 x t (-1; 0) +) Xét f(t) = 2t 2 + t trên (-1; 0) có bảng biến thiên Và PT (1) có nghiệm khi đờng thẳng y = 2m +1 (song song hoặc trùng 0x )cắt f(t) trên (-1; 0) +) ĐS: 1 ( ;1) 2 m Bi 4 Giải bất phơng trình: 2 2 4 3 2 3 3 1x x x x x + + B i gi i +) Điều kiện: 2 2 3 4 3 0 1 2 3 1 0 1 2 x x x x x x x + = + +) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm +) Với 3x suy ra BPT ( 3)( 1) ( 1)(2 1) 1x x x x x 3 chỉ ra vô nghiệm +) Với 1 2 x suy ra BPT (1 )(1 2 ) (1 )(3 ) 1x x x x x . Chỉ ra nghiệm 1 2 x +) Kết luận: BPT có nghiệm 1 1 2 x x = Bi 5 Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB , Trên đờng thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1 Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song song với BI và mặt phẳng chứa SA và song song với BI Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P Qua A kẻ A F // BI (F thuộc BC) , CK cắt S F tại Q Vậy PQ // BI Ta có I, E là các trung điểm của AC và SI 1 3 SP SA = Mà 1 1 3 3 PQ SP PQ AF AF SA = = = Ta có 2 3AF BI= = Vậy 3 3 PQ = 4 . của tứ diện có độ dài bằng 1 ==========Ht========== Trng THPT Qu Hp I 1 Đáp Án Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm học 2012-2013 Bài 1 Bài 2 Bài 2 (2,0 điểm). • Cho dãy số ( ) n u biết: 2 3 1. Trng THPT Qu Hp I thi hc sinh gii lp 11 nm hc 2012-2013 Mụn: Toỏn - Khi: 11 Thi gian: 150 phỳt Bi 1(2,0 im).: Bi 2 (2,0 im). 1. Cho dóy s ( ) n u . 2 4 3 2 3 1 1x x x x x + + Bi 5(1 điểm) : Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB , Trên đờng thẳng AS và CK ta chọn các điểm