BÀI TẬP CHUỖI LŨY THỪA Bài tập 1. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi sau: ( ) 2 3 2 2 2 1 ) n n n n n a x n n ∞ = + − − ∑ ( ) ( ) ( ) 1 0 1 ) 2 2 !! n n n b x n ∞ + = − − ∑ ( ) 1 1 1 ) 1 1 n n n c x n ∞ − =   − −  ÷   ∑ 2 1 ) 3 . n n n x d n ∞ = ∑ ( ) 2 1 2 ) 1 8 3ln n n n n e x n ∞ + = + + ∑ 2 2 3 1 2 1 ) 2 n n n n n f x n − + ∞ = −    ÷ +   ∑ Hướng dẫn ( ) 2 3 2 2 2 1 ) n n n n n a x n n ∞ = + − − ∑ 2/3 1/2 1 lim lim | | 1 2 1 2 n n n n n n n n n R a →∞ →∞ − = =   + −  ÷   2 1 /3 1 2 / / 1 lim 2 1 2 1 2 n n n n n n →∞ − = =     + −    ÷       ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 !! ) 2 n n n x n b ∞ + = − − ∑ ( ) ( ) 1 2 2 !! 1 lim lim . 2 !! n n n n n a n R a n n →∞ →∞ + + − = = ( ) 1 = lim . 2 2 n n n n →∞ − + = +∞ ( ) 1 1 2 ) 1 1 n n n c x n ∞ − =   − −  ÷   ∑ 2 1 ) 3 . n n n x d n ∞ = ∑ 2 1 n n n a x ∞ = = ∑ 1 lim n n n R a →∞ = lim3 n n n →∞ = 3= 1 2 1 lim lim . 1 1 n n n n a n n R a n n →∞ →∞ + − + = = = − 1 2 1 8 3ln lim lim n n n n n n n n R a n + →∞ →∞ + = = ( ) 2 1 2 1 8 3ln ) n n n n x n e ∞ + = + + ∑ 1/ 2 ln 8 8 3 8 lim n n n n n n →∞   +  ÷   = 0 8.8 8 1 = = 2 2 3 1 2 1 ) 2 n n n n n x n f − + ∞ = −    ÷ +   ∑ 2 2 3 1 2 lim 1 n n n n n n − + →∞ +   =  ÷ −   1 lim n n n R a →∞ = 2 2 3 1 3 lim 1 1 n n n n n − + →∞   = +  ÷ −   2 3 2 3 1 . 1 1 3 3 lim 1 1 n n n n n n n − + − − →∞       = +  ÷   −     6 e= 2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: ( ) ( ) 0 1 ) 2 5 .3 n n n n x a n ∞ = − + ∑ ( ) 1 3 ) 1 2 1 n n n n b x n ∞ = +   −  ÷ +   ∑ ( ) 2 0 ) 2 5 n n n c x ∞ = + ∑ 1 2 1 2 3 ) 3 n n n n n d x n ∞ + =   +  ÷   ∑ ( ) ( ) 2 1 8 ) ! n n n x e n ∞ = − ∑ Hướng dẫn ( ) ( ) 1 1 2 3 ) 5 . n n n n a x n ∞ = − + ∑ Khoảng hội tụ: ( ) 3,3− 3x = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 5 .3 2 5 n n n n n n n ∞ ∞ = = − − = + + ∑ ∑ Chuỗi phân kỳ vì cùng bản chất với 1/2 1 1 n n ∞ = ∑ 3R = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 5 .3 2 5 n n n n n n n n ∞ ∞ = = − − = + + ∑ ∑ ( ) ( ) 1 1 2 5 .3 n n n n x n ∞ = − + ∑ 3x = ( ) 1 0 2 5 n a n = ↓ + Chuỗi đan dấu với Chuỗi ht theo tc Leibnitz. ( ] : 3,3MHT D = − [...]... +1   5 5    =  1 + ÷  2n + 1     ⇒ an → 0 5 n 2 n +1 n →∞  e5/2 → Chuỗi pk theo đk cần n n  n+3  ∑  2n + 1 ÷ ( x − 1)  n =1  ∞ x =3 n n ∞ n+3  n 2n + 6    ∑  2n + 1 ÷ 2 = ∑  2n + 1 ÷ = ∑ an   n =1  n =1  n =1 ∞ ⇒ an → 0 ∞ Chuỗi pk theo đk cần MHT : D = ( −1,3) c) ∞ ∑ 2 ( x + 5) n2 n n =0 Chuỗi chỉ hội tụ tại: R =0 x = −5 ∞  2n 3n  n +1  2n.n 2 + 9n d ) ∑  n + 2 ÷x... =2 n − 1 ∞ −1 < −2 x ≤ 1 4 Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau: 1 a) f ( x ) = , x0 = 3 x −1 π b) f ( x ) = sin x , x = 2 π π  c ) f ( x ) = arctan  x − ÷, x = 4 4  4 Tính tổng của các chuỗi lũy thừa sau: ∞ xn 1) ∑ , x ∈ ( −1,1) n =1 n ( n + 1) ( n + 2 ) n ( x + 3) 2) ∑ (n + 1)! n =1 ∞ n −1 Hướng dẫn ∞ xn 1) ∑ , x ∈ ( −1,1) n =1 n ( n + 1) ( n + 2 ) ∞ 1 1 1  n 1 1 S ( x ) = ∑ − + ÷x... !   1 1   = 3  sin − ÷ 3 3  2 n +1 ) 1  ÷ ÷ ÷  4) ∞ ∑ ( −3) n =1 ∞ =∑ 1 n (2n )!! 1 −3) 2n.n! n =1 ( ∞ =∑ n =1 n ( −1/ 6 ) n! n = e −1/6 − 1 ∞ 1 5) ∑ n =1 n ( n + 1) ( n + 2 ) Không dùng chuỗi lũy thừa, chỉ qua giới hạn của dãy tổng riêng phần Sn 1 11 1 1 1 = − + n ( n + 1) ( n + 2 ) 2 n n + 1 2 n + 2 Sn = a1 + a2 + + an 1 1 1 1 S n = 1 + + + + ÷ 2 2 3 n  −   1 +  2 11 2k 1 1 1... +1 ∞ ( x + 3) 1 1 x +3 = ( e − 1) − x + 3 2 ∑ n! x +3 ( ) n =2 ∞ n 1 1 x +3 = e − 1) − e x +3 − 1 − x − 3 ) ( 2 ( x +3 ( x + 3) ∞ n −1 n.0 1 S ( −3) = ∑ = 2 n =1 ( n + 1) ! x ≠ −3 4 Tính tổng của các chuỗi số sau: 1) ∞ ∑ ( −3) n =1 3) 1 n ∞ ∑ ( −3) n =1 (n + 1)! 1 n (2n + 1)! ∞ 2) ∞ 4 − 3n ∑ ( −7 ) n =1 4) ∞ ∑ ( −3) n =1 1 5) ∑ n =1 n ( n + 1) ( n + 2 ) n 1 n (2n )!! 1) ∞ ∑ n =1 ∞ =∑ n =1 1 ( −3) n . ) ( ) ) 2 ln 1 2c f x x x = − − ( ) 2 ) 3 x d f x x = + Hướng dẫn ( ) 2 s) infa x x= ( ) 1 1 cos2 2 x= − ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 1 1 1 2 2 2 ! n n x n ∞ =   = − −  ÷  ÷   ∑ ( ) ( ) 2 2 ) 1 x fb