1 TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH, CĐ KHỐI A,B THANH TƯỜNG -THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG KHỐI 12 LẦN 1 NĂM HỌC: 2013-2014 Môn thi: TOÁN; Khối: A và B Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I (2,0 điểm) 1. Cho hàm số 3 2 6 9 1y x x x    ( )C . Đồ thị ( )C có 2 điểm cực trị ,A B . Tìm điểm M trên trục hoành sao cho tam giác MAB vuông tại .M 2. Cho hàm số 3 2 3 2y x x   ( )C . Gọi d là đường thẳng đi qua điểm ( 1; 2)M   với hệ số góc k . Tìm k để đường thẳng d cắt đồ thị ( )C tại 3 điểm phân biệt , ,A B M sao cho tiếp truyến của đồ thị ( )C tại , ,A B M có hệ số góc tương ứng là 1 2 3 , ,k k k thoả mãn 1 2 3 2 .k k k   Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 (sin cos ) cos 2 2 2 cos 1 cos2 x x x x x     . 2. Giải hệ phương trình 2 1 2 4 ( 1) 2 2( 1) x xy y xy x y x                 ( , )x y   . Câu III (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 1 1 2 1 x x x     ( )x   . 2. Giải bất phương trình ( 1 1)( 2 2)x x x     , ( )x   . Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,   0 2, , 90AB a AC a SBA SCA    . Gọi H là hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng ( ),ABC 3.SH a 1. Chứng minh tứ giác ABHC là hình chữ nhật. 2. Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( )SHM và ( )SAB . Câu V (2,0 điểm) 1. Tìm hệ số của 15 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn 2 3 12 n x nx              , ( 0)x  , trong đó n là số nguyên dương thoả mãn 2 2 1 3 1 n n n C A   . 2. Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho mỗi số lập được có đúng 2 chữ số chẵn và 2 chữ số chẵn luôn đứng cạnh nhau. Câu VI (1,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) xy x xy y y x y x x y                  ( , )x y   . 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy cho tam giác ABC vuông tại A , ( 1;1)A  , đỉnh ,B C lần lượt thuộc các đường thẳng 1 2 : 2 0, : 4 0.d x y d x y      Biết diện tích tam giác ABC bằng 5 và đỉnh B có hoành độ dương , viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác .ABC 3. Cho các số thực , , 0x y z  thoả mãn 4.x y z xyz    Tìm giá trị lớn nhất của 3 2 3 2 3 2 x y z P x y z y z x z x y          Hết Chú ý: Đáp án được cập nhật tại trang web http://www.violet.vn/Lucky999 2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 1 NĂM HỌC: 2013-2014 – MÔN TOÁN Câu Nội dung Điểm Tập xác định: .D   Ta có 2 ' 3( 4 3); y x x    ' 0 1 v 3y x x    . 0,25 Hai điểm cực trị là (1;3), (3; 1)A B  (2) 0,25 Giả sử ( ;0) .M a Ox ( 1; 3), ( 3; 1) AM a BM a        . 0,25 I-1 (1 đ) Tam giác MAB vuông tại M khi . 0 0 v 4AM BM a a      . Vậy (0;0), (4;0).M M 0,25 Phương trình đường thẳng : ( 1) 2.d y k x   0,25 Phương trình hoành độ giao điểm 3 2 2 1 3 2 ( 1) 2 ( ) 4 4 0 x x x k x g x x x k                   0,25 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình g(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1. Suy ra 0, 9.k k  Giả sử 1 2 ,x x là 2 nghiệm phân biệt của PT g(x) =0. Giả sử 1 2 ,x x là hoành độ của điểm ,A B . Theo ĐL Vi-ét 1 2 1 2 4 4 x x x x k              0,25 I-2 (1 đ) Hệ số góc: 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 6 ; 3 6 ; 9. k x x k x x k      Từ giả thiết: 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 3( ) 6 6( ) 6 1 k k k x x x x x x k           (Thoả mãn điều kiện). 0,25 Điều kiện cos 2 1 , .x x k k Z    0,25 Phương trình đã cho tương đương với 2 1 cos 2 2sin cos 2 2 cos 2 sin x x x x x    0,25 cos 1 2 2 cos sin x x x   0,25 II-1 (1 đ) sin 2 sin( ) 4 x x    . 2 2 , , . 4 4 3 k x k x k           (Thoả mãn điều kiện) 0,25 TH1: y=0. Hệ phương trình có nghiệm ( ; ) ( 1;0).x y   0,25 TH2: 0 1 0.y x    Hệ phương trình tương đương với 1 2 4 2 2 1 x xy y y xy x                    . Đặt 1 ; . x u v xy y    0,25 Hệ phương trình trở thành 2 4 2 2 v 2 1 3 2 u v u u v v v u                                        0,25 II-2 (1 đ) Với 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 0 2 x x y u x v v y y y y                                                      Với 2 2 1 2 3 2 3 0(VN) x y u v y y                             0,25 Điều kiện: 1, 0.x x   Phương trình đã cho tương đương với 2 1 2 1x x x x    . 0,25 2 2 . 1 1 0x x x x     0,25 2 ( 1) 0 1 x x x x       0,25 III-1 (1 đ) 2 0 1 5 1 0 2 x x x x                  (Thoả mãn điều kiện). 0,25 3 Điều kiện: 2x  . 0,25 Bất phương trình tương đương với ( 2 2) ( 1 1) x x x x      0,25 2 1 1x x     0,25 III-2 (1 đ) 2 1 3.x x     Kết hợp điều kiện 2 3.x  0,25 0,25 0,25 IV-1 (0.5 đ) ; AB SH AC SH AB HB AC HC AB SB AC SC                           . Từ đó suy ra ABHC là hình chữ nhật. Gọi { } ; ,I HM BC E F  lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,I H lên .SM Ta có   1 tan tan 2 BHM ABC  . Suy ra .HM BC , ; . BC HM SM BC BC IE BC SM SM BE BC SH SM IE                            Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( )SHM và ( )SAB bằng góc  IEB . 0,25 IV-2 (0.5 đ) Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ta có: 3 ; ; ; 2 2 3 a a BM HM a HF a BI    . Do I là trọng tâm của tam giác ABH nên 1 . 3 3 a IE HF  Tam giác IEB vuông tại I nên   0 tan 3 60 . BI IEB IEB IE     0,25 Điều kiện: 2,n n   . Phương trình tương đương với 2!( 2)! 3 1 ! ( 1) n n n n n     0,25 6.n  0,25 Giả sử số hạng chứa 15 x trong khai triển là 18 18 3 1 18 18 2 2 ( 2) k k k k k k k T C x C x x                    0,25 V-1 (1 đ) Từ giả thiết ta có , 0 18 1 18 3 15 k k k k                  Vậy hệ số của 15 x trong khai triển là 1 18 2 36. C   0,25 I M C A H B S E F 4 Có 2 3 C cách chọn 2 chữ số chẵn từ tập hợp {2, 4, 6} . 0,25 Xem 2 chữ số chẵn đứng cạnh nhau là một phần tử. Số cách sắp thứ tự 1 phần tử gồm 2 số chẵn vừa được chọn đứng cạnh nhau và 3 chữ số lẻ là 4 P . 0,25 Có 2 P cách sắp thứ tự 2 chữ số chẵn đứng cạnh nhau. 0,25 V-2 (1 đ) Vậy có 2 3 4 2 144 C P P  số tự nhiên thoả mãn bài toán. 0,25 Điều kiện : 2 2 2 0;2 0.xy x xy    Hệ phương trình tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) 2 xy x xy y xy x xy y                  . Đặt 2 2 2 ; 2 ( , 0). u xy x v xy u v     0,25 V-1 (0,5 đ) Hệ phương trình trở thành 2 2 2 2 2 2 2 u v y u v y u y v y u v y uv y                                      Với 2 2 2 2 3 2 0 0 1 2 1 2 2 0 y y u y x xy x y y x v y y xy y x x                                                              0,25 V-2 0,25 đ Giả sử ( ; 2), ( ; 4 ),( 0) ( 1; 3), ( 1; 3 ).B t t C k k t AB t t AC k k             Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 . 0 ( 1)( 1) ( 3)( 3) 1 ( 1) ( 3) ( 1) ( 3) 100 . 5 2 AB AC t k t k t t k k AB AC                                                  2 2 2 2 0 0 2 ( 1) ( 3) 10 k t t t v k k t t                                       (Loại). Ta có (2; 0), (0;4).B C Trung điểm cạnh BC là (1;2).I Độ dài 2 5.BC  Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC là đường tròn đường kính BC : 2 2 ( 1) ( 2) 5. x y     0,25 V-3 0,25 đ Áp dụng BĐT Côsi, từ giả thiết ta có 1, 3.xyz x y z    Ta có 2 2 2 ( ) 3( );( ) 9;( ) 3( )x y z x y z x y z x y z xy yz zx             Công theo vế và chia 3 hai vế ta có : 2 ( ) 3 x y z x y z xy yz zx         Áp dụng BĐT Bunhiacopsky 2 3 2 3 2 2 1 1 1 ( )( 1 ) ( ) x x zx x y z z x x y z z x x y z x y z x                             Từ đó 2 3 1. ( ) x y z xy yz zx P x y z           Vậy max 1P  đạt được khi 1.x y z   0,25 Chú ý : 1. Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án, giải đúng thì vẫn cho điểm tối đa của câu đó ! 2. Đáp án được cập nhật tại trang web http://www.violet.vn/Lucky999 . 1 TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH, CĐ KHỐI A,B THANH TƯỜNG -THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG KHỐI 12 LẦN 1 NĂM HỌC: 2013-2014 Môn thi: TOÁN; Khối: A và B Thời gian làm. tại trang web http://www.violet.vn/Lucky999 2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 1 NĂM HỌC: 2013-2014 – MÔN TOÁN Câu Nội dung Điểm Tập xác định: .D   Ta có 2 ' 3(. và ( )SAB . Câu V (2,0 điểm) 1. Tìm hệ số của 15 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn 2 3 12 n x nx              , ( 0)x  , trong đó n là số nguyên dương thoả mãn 2 2 1