BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tổng hợp: Đỗ Đường Hiếu I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI, PHƯƠNG PHÁP THẾ VD1.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:   33 22 4 16 1 5 1 x y y x yx            HD: Thay 22 45yx , hệ có 4 nghiệm       0; 2 , 1; 3 , 1;3   VD2.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 22 32 8 12 2 12 0 xy x xy y          HD: Thay 22 8 12xy từ phương trình đầu vào phương trình hai, đáp số:     2; 1 , 2;1 VD3. (THPT Bỉm Sơn) Giải hệ phương trình 22 22 21 1 21 1 x y y y x x              HD: Trừ từng vế, đáp số 2y VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:       2 2 2 2 2 3 3 2 4 2 16 3 8 x y x xy y x y x y x                  ĐS:     2;0 , 1; 3 VD5.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:   1 2 2 2 2 2 1 1 2 log 2 y x x x xy              ĐS:   2 17 17 1;2 , ;2 log 99     VD6.(THPT Thuận Thành số 1) Giải hệ phương trình: 32 3 2 3 2 5 3 3 10 6 6 13 10 x y x y x x y x x x y y                    HD: Từ phương trình thứ hai suy ra 2yx , thay vào phương trình đầu, đáp số   2; 0xy VD7.(THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:   3 3 2 3 7 3 12 6 1 4 1 3 2 4 x y xy x y x x x y x y                 HD: Từ phương trình đầu suy ra 1yx , thay vào PT thứ hai. ĐS   2; 1 Trang 2 VD8.(THPT Mai Anh Tuấn) Giải hệ phương trình: 2 20 22 x xy x x y y y x x            HD: Sử dụng phương pháp thế để đưa về PT đẳng cấp. ĐS     0;0 , 1;1 VD9.(THPT Hậu Lộc 4) Giải hệ phương trình: 2 4 2 2 2 4 2 0 8 3 4 0 x xy x y x x y x y              HD: Chia hai vế PT đầu cho x, chia hai vế PT hai cho 2 x . ĐS:       0;0 , 1;1 , 2;1 . VD10.(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 2 2 7 7 8 3 13 15 2 1 y xy y x x y x x                 ĐS:     3;2 , 3; 2 . VD11.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình:       2 2 10 1 2 0 x y x y x x y y               ĐS:     0;1 , 1;2 . VD12.(THTT – Đề 5) Giải hệ phương trình:       2 1 1 1 6 2 1 4 x x y y x x y                HD: Cộng vế với vế. ĐS:     0;3 , 1;0 . VD13.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 22 12 2 1 2 3 3 yx xy x y x x x             HD: Từ PT đầu có 2yx yx      . ĐS:   3;2 3 . VD14.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 1 3 1 4 6 x x y y y x x y x y                 HD: Từ PT đầu có 2 1yx , thay vào PT thứ hai, nhân liên hợp. ĐS:   2;3 . VD15.(THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp) Giải hệ phương trình: Trang 3   22 5 3 6 7 4 0 2 3 3 x y y x y y x x                HD: Từ PT thứ hai có 3; 1y y x    . ĐS:     1;2 , 4;5 . VD16.(THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam) Giải hệ phương trình: 2 3 2 2 3 5 3 3 3 x y x xy x x y y            HD: Đưa về PT đẳng cấp. ĐS:     11 0;0 , ; , 1;1 22     VD17.(THPT Chuyên ĐH Vinh) Giải hệ phương trình:       2 2 2 30 1 3 1 2 2 0 x xy x x y xy x y y                 HD: Thế 2 3xy x x    vào PT thứ hai. ĐS:   1;3 VD18.(THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 3 3 3 22 27 7 8 96 x y y x y y x        ĐS: 3 3 3 3 3 3 7 19 7 26 7 215 ; ; ; 2 ; 2 ; 2 19 7 26 7 215 7                               VD19.(THPT Thành Nhân) Giải hệ phương trình: 22 3 61 5 xy x x y x y             ĐS:   2; 2 VD20.(THPT Thanh Chương – Nghệ An) Giải hệ phương trình:      2 1 2 17 0 4 32 x xy y x y xy              HD: Từ PT đầu có    2 16x y x   , thay vào PT hai. ĐS:       0;8 ; 2;2 ; 6;2 VD20.(THPT Chuyên Lào Cai) Giải hệ phương trình:    3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 22 x y x x y x y y y x y x               HD: Từ PT hai có 2xy . ĐS:   33 22 0;0 ; log 4;log 2    VD21.(THPT Cổ Loa) Giải hệ phương trình: 2 3 3 5 3 2 22 99 24 x y y x x x y y x x              Trang 4 HD: Từ PT đầu có 33 9yx , kết hợp với PT hai ta có 21yx . ĐS:     1; 2 ; 2; 1 VD22.(THPT Thái Phúc – Thái Bình) Giải hệ phương trình:     3 7 1 2 1 2 4 5 x x y y y x y x y               HD: Từ PT đầu có 31 2 yx xy      . ĐS:   17 76 2;1 ; ; 25 25    II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ VD1. Giải hệ phương trình: 22 2 2 2 2 6 3 7 3 6 2 x y y x xy x x y y x y                HD: Đặt ẩn phụ 2 2 3 3 x u x y v y            , đáp số: 1 2 15 2 30 1; ; ; 2 15 15        VD2. (THPT Hoàng Lệ Kha) Giải hệ phương trình:     2 2 2 41 2 7 2 x x y y x x x y y x              HD: Đặt 2 1 u x y y v x         , đáp số:     2;1 , 5; 2 VD3. (THPT Lý Thái Tổ) Giải hệ phương trình:   33 22 9 3 1 125 45 75 6 yx x y x y          HD: Đặt 3 5 ux v y        , đáp số: 2 1 5 ;5 , ; 3 3 2             VD4.(Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:     22 2 3 8 1 0 8 3 13 0 x y y x x x y y                HD: Đặt 2 2 3 8 u x y v y x        , ĐS     1;1 , 5; 7 VD5. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:      22 58 13 x y xy y x y x y               Trang 5 HD: Đặt x y a xy x b      , ĐS 3 5 1 5 3 5 1 5 ; , ; 2 2 2 2                         VD6. (Chuyên Bắc Ninh) Giải hệ phương trình: 22 13 2 xy x y x y x y        HD: Đặt 1 xa y x b y          . ĐS     1 1 2;1 2 , 2;1 , 1; 2        VD7. (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:        22 3 3 14 14 36 x y x y xy x y x y xy             HD: Đặt x y a xy b        . ĐS 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ; , ; 2 2 2 2                     VD8. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 2 22 2 6 1 7 x x y x xy y             HD: Đặt x y a x y b      . ĐS     3;2 , 1;2 VD9. (THPT Phúc Trạch - Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình: 12 3 4 16 4 5 5 6 x y xy xy             HD: Đặt 4 4 x y a xy b      . ĐS     3;2 , 1;2 VD10. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 22 4 3 12 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y xy x y xy x y x y x y                  HD: Đặt 2 2 3 4 x x u y y v        . ĐS 3 13 3 13 9 21 ;0 , ; 4 , ; 2 , 2 2 6                             VD11. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 1 11 3 xy xy x y y y x x x            HD: Đặt 1 u x yv        . ĐS   1;0 Trang 6 VD12. (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh) Giải hệ phương trình:   2 2 1 3 2 4 2 5 3 3 3 6.3 3 2.3 1 2 1 3 3 2 y x y y x y x x y y x                    HD: Từ phương trình đầu có 21yx , thay vào PT thứ hai. ĐS   11 9 1;1 , ; 42    VD13. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 2 1 1 3 2 4 x y x y xy            VD14. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 3 5 2 15 5 22 4 15 x y x y x y x y              HD: Đặt 3 5 x y u x y v        . ĐS: 1 58 ; 77     VD15. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) Giải hệ phương trình: 3 2 2 3 3 1 0 8 3 1 0 x x y y xy            HD: Chuyển vế hai PT, nhân từng vế, đặt t xy . ĐS: 3 3 1 4; 4     III. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÀM SỐ VD1. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình:     2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 1 1 8 20 x x y y x y x y x               HD: Từ PT đầu suy ra 0y  , nhân hai vế của PT đầu với 2 4 1 1y  và thay 2 2 x x y ta đưa đến PT: 2 2 1 1 1 1 2 4 1 2y y y x x x      , đến đây sử dụng hàm số …. VD2. (Vĩnh Phúc) Giải hệ phương trình: 22 2 2 2 11 11 4 3 2 2 9 xy xy xx x yy              HD: Sử dụng hàm số khẳng định xy , thay vào PT hai ta có xy …ĐS: 17 3 xy   VD3.(THPT Thuận Thành II – Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:     2 22 1 2 1 4 2 6 3 1 2 4 8 4 4 x y x y x y x x x x xy                   Trang 7 HD: Từ PT thứ nhất có 4 2 1xy , thay vào PT thứ hai. ĐS: 11 ; 22     . VD4.( Bắc Ninh) Giải hệ phương trình:   3 2 2 3 3 2 2 1 9 6 3 15 3 6 2 x x y x x y x y x y x                 HD: Từ PT thứ nhất có 10xy   , thay vào PT thứ hai xét hàm số   3 3f t t t , biến đổi đến     33 1 2 1xx   . ĐS: 3 33 2 1 2 ; 2 1 2 1       . VD5.( THPT Thanh Bình – Hải Dương) Giải hệ phương trình: 3 3 2 3 3 2 1 2 2 x x y y xy              HD: Xét hàm số   3 3 , 1f t t t t   , từ PT thứ nhất suy ra 1xy . ĐS:   2;3 VD6.( THPT Hà Trung) Giải hệ phương trình: 3 3 2 22 3 6 3 4 6 10 5 4 x y x x y x y x y y x y                   HD: Xét hàm số   3 3f t t t , từ PT thứ nhất suy ra 1yx . ĐS:   5; 4 VD7.( BDVH Lê Hồng Phong) Giải hệ phương trình:      32 2 2 3 8 4 2 1 13 1 5 7 1 x x x y y x y y y                HD: Từ hai PT của hệ dẫn đến xét hàm số   3 f t t t , suy ra 2 1 2xy   . ĐS:   2;1 IV. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 1) 22 4 2 2 4 4 8 x xy y x x y y            ; 2) 3 1 1 4 x y xy xy             ; 3) 33 22 10 0 1 xy x xy y            ; 4) 3 3 3 3 5 17 x xy y x x y y          ; Trang 8 5) 1 1 9 2 15 2 xy xy xy xy             6)     22 4 1 1 2 x y x y x x y y y               Bài 2. Giải các hệ phương trình 1) 2 2 1 2 1 2 xy y yx x          ; 2) 1 6 3 1 6 3 xy yx              ; 3) 4 3 4 3 y xy x x yx y          ; 4) 2 2 2 2 2 3 2 3 y y x x x y            Bài 3. Giải các hệ phương trình: 1) 2 22 2 2 4 2 14 x xy x xy y          ; 2)         22 22 13 25 x y x y x y x y            Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm    22 8 11 x y x y xy x y m             Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 2 2 21x y xy m x y xy m m           . VD13.(THPT Phan Đăng Lưu – Nghệ An) Giải hệ phương trình: 22 12 2 1 2 3 3 yx xy x y x x x             HD: Từ PT đầu có 2yx yx      . ĐS:   3;2 3 . VD14.(THPT Phan Đăng. Nghệ An) Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 1 3 1 4 6 x x y y y x x y x y                 HD: Từ PT đầu có 2 1yx , thay vào PT thứ hai, nhân liên hợp. ĐS:   2;3 . VD15.(THPT.        VD19.(THPT Thành Nhân) Giải hệ phương trình: 22 3 61 5 xy x x y x y             ĐS:   2; 2 VD20.(THPT Thanh Chương – Nghệ An) Giải hệ phương trình:   