Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề chính thức Môn thi: Toán ( Chuyên toán - tin ) Ngày thi: 15/6/2013 Thời gian làm bài: 150’ Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: ( ) x 2 x 2 Q x x x 1 x 2 x 1   + − = − +  ÷  ÷ − + +   ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1) 1. Rút gọn Q 2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: x 2 3 13 x 3 y 1 1 0 3 2y 4 11 x 3 y 1 6  − + =  − +   +  − = −  − +  Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + . Bài 4: (3 đ) Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A,B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( C,D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB. 1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD. 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất. Bài 5: (1 đ) : Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức: A 7 13 7 13 2= + − − − * HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: ( ) x 2 x 2 Q x x x 1 x 2 x 1   + − = − +  ÷  ÷ − + +   ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1) 1.Rút gọn Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Q x x x x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x x 2 x x 2 2x . x x 1 . x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1      ÷ + − + − = − + = − +  ÷  ÷  ÷ − + + − +  ÷   +   + − − − + + − − + + = + = = − − + − + 2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên: Q= { } { } 2x 2 2 Q x 1 U(2)= 2; 1;1;2 x 1;0;2;3 x 1 x 1 = + ⇒ ∈ ⇔ − ∈ − − ⇔ ∈ − − − ¢ Kết hợp với điều kiện => { } x 0;2;3∈ Vậy với { } x 0;2;3∈ thì Q nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định x 2 3 13 1 3 1 3 1 3 3 1 x 3 y 1 10 x 3 y 1 10 x 3 y 1 10 3 2y 4 11 3 2 11 3 2 1 2 x 3 y 1 6 x 3 y 1 6 x 3 y 1 6    − + = + + = + =    − + − + − +    ⇔ ⇔    +    − = − − − = − − =    − + − + − +    ( ĐK x ≠ 3; y ≠ -1) Đặt a = 1 x 3− ; b= 1 y 1+ ta được hệ : 1 1 3 1 a 3b a x 13 x 3 10 10 10 (TMDK) 1 1 1 1 y 14 3a 2b b y 1 15 6 15    = + = =    =  −    ⇔ ⇔ ⇒ ⇒     =     = − = =   +     Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (13;14) Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + . a,b,c là các số thực dương => Theo BĐT Cô-Si ta được: ( ) bc ca bc ca 2 . 2 c a b a b ca ab ab ca bc ca ab bc ca ab 2 . 2a 2 2. a b c a b c b c c b a b c a b c bc ab bc ab 2 . 2b a c a c  + ≥ =       + ≥ = => + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +   ÷     + ≥ =    Bài 4: (3 đ) 1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn. HA=HB => OH  AB ( đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm) => · OHM = 90 0 Lại có · ODM = 90 0 ( Tính chất tiếp tuyến) Suy ra · OHM = · ODM = 90 0 => H,D cùng nhìn đoạn OM dưới 1 góc vuông => H,D cùng nằm trên đường tròn đường kính OM => các điểm M,D,O,H cùng nằm trên đường tròn đường kính OM 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD. Ta có: · · COI DOI= ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)=> º º CI DI= => · · CDI DIM= => DI là phân giác trong của ∆ MCD (1) Lại có MI là đường phân giác trong của ∆ MCD ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2) Từ (1) và (2) suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ MCD 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất. Ta có ∆MOD = ∆MOP (g-c-g) => S ∆ MPQ = 2 S ∆ MOQ =OD.MQ = R.MQ => S ∆ MPQ nhỏ nhất  MQ nhỏ nhất (3) Theo BĐT Cô – si cho hai số không âm , ta có: MQ = MD+DQ ≥ 2 2 MD.DQ 2 OD 2OD 2R= = = ( Vì ∆ MOD vuông tại O có đường cao OD nên OD 2 =MD.DQ ) Dấu “=” xảy ra ⇔ MD= DQ ⇔ ∆OMQ vuông cân tại O ⇔ · 0 OMD 45= ⇔ OM 0 OD R 2.R sin OMD sin 45 = = = (Vì ∆ ODM vuông nên OD= OM.sinOMD ) Vậy MQ min = 2R ⇔ OM = 2 R (2) Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định Từ (3) và (4) suy ra khi M nằm trên (d) cách O một khoảng 2 R thì S ∆ MPQ nhỏ nhất là R.2R=2R 2 ( d.v.d.t) Bài 5: (1 đ) : A 7 13 7 13 2= + − − − .Ta có: ( ) ( ) 2 2 2.A 14 2 13 14 2 13 2 13 1 13 1 2 13 1 13 1 2 13 1 13 1 2 0 A 0 = + − − − = + − − − = + − − − = + − + − = => = . toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề chính thức Môn thi: Toán ( Chuyên toán. thì Q nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định x 2 3 13 1 3 1 3 1 3 3 1 x 3 y 1 10 x 3 y 1 10 x 3 y 1 10 3 2y 4 11 3 2 11. vuông nên OD= OM.sinOMD ) Vậy MQ min = 2R ⇔ OM = 2 R (2) Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định Từ (3) và (4) suy ra khi M nằm trên (d) cách O một khoảng 2 R thì S ∆ MPQ