Cạnh huyền Cạnh đối Cạnh kề C B A A H 1 y x M sin α cos α α O Nguyễn Văn Khánh 0169 8033 568 - 1 - THPT phù mỹ 2 VẤN ĐỀ NHỚ CÔNG THỨC LƯNG GIÁC  GTLG CỦA GÓC NHỌN α TRONG T/G VUÔNG ABC TẠI A sin cos tan AC cạnhđối BC cạnhhuyền AB cạnhkề BC cạnhhuyền AC cạnhđối AB Canhkề α α α = = = = = = Cách nhớ: Tìm sin lấy đối chia huyền Cosin hai cạnh kề, huyền chia nhau Còn tang ta hãy tính sau Đối trên, kề dưới chia nhau thấy liền Cotang ngược lại với tang.  HỆ THỨC CƠ BẢN. 2 2 1sin cos , α α α + = ∀ α π α α π α = ≠ + ∈ ¢ 2 sin tan ,(đk : k ,k ) cos α α α π α = ≠ ∈ ¢ cos cot ,(đk : k ,k ) sin  Nguyễn Văn Khánh 0169 8033 568 - 2 - THPT phù mỹ 2 Cách nhớ: Sin bình cộng với cos bình Nhất đònh bằng 1 Chúng mình cùng vui ! Còn tan mình hãy tính sau Sin trên cos dưới chia nhau thấy liền Cotan nghòch đảo của tan Cos trên Sin dưới nằm lòng nhé em ! Cách nhớ bằng suy luận : Dựa vào đường tròn lương giác Xét t/g vuông OHM , có OM =1 và từ đ/n sin α , cos α ta có ngay 3 hệ thức trên  HỆ THỨC CƠ BẢN KHÁC Cách nhớ: Tan bình thêm 1 bạn ơi! Bằng 1 chia nhé ,cos thời bình phương Cotan cũng dễ như thường Bình phương cộng 1 bằng thương chứ gì Tử là số 1 còn chi π α α π α + = ≠ + ∈ ¢ 2 2 1 1 2 tan ,(đk : k ,k ) cos α α π α + = ≠ ∈ ¢ 2 2 1 1 cot ,(đk : k ,k ) sin π α α α = ≠ ∈ ¢1 2 tan .cot ,(đk : k ,k )   Nguyễn Văn Khánh 0169 8033 568 - 3 - THPT phù mỹ 2 Mẫu bình phương của sin thì chẳng sai Tang với cotan sánh vai Tích chúng bằng 1 nhớ hoài chẳng quên  Cách nhớ bằng suy luận : Từ hệ thức cơ bản (1) ,chia hai vế cho cos 2 α ta có ngay hệ thức (4) , chia hai vế cho sin 2 α ta có ngay hệ thức (5) ,vì tanα và cotα là nghòch đảo của nhau nên tích của chúng bằng 1 nên ta có ngay hệ thức (6)  CÔNG THỨC GTLG CỦA CÁC CUNG (GÓC) LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 1) Hai cung (góc) đối nhau (có tổng=0): α và - α cos (-α) = cosα , sin (-α) = - sin α , tan(-α) = - tan α , cot(-α) = - cot α 2) Hai cung (góc) bù nhau (có tổng=π ): α và π- α sin ( π -α)=sin α ,cos ( π -α) = -cosα , tan( π -α) = - tan α ,cot( π - = ) α -cot α 3) Hai cung (góc) ph ụ nhau (có tổng= π /2) : α và α π − 2 sin ( 2 π -α) = cos α , cos ( 2 π -α) = sinα , tan( 2 π -α) = cot α ,cot( 2 π -α )=tan α  Ghi chú : Để dễ nhớ các công thức (1) ,(2) và (3) ta nhớ câu : “ cos đối, sin bù ,phụ chéo nhau”  Giải thích : Nghóa là hai cung (góc) đối nhau α và – α thì chỉ có cos của chúng bằng nhau ,còn lại các GTLG khác thì đối nhau Hai cung (góc) bù nhau α và π- α thì chỉ có sin của chúng bằng nhau ,còn lại các GTLG khác thì đối nhau Hai cung (góc) phụ nhau α và α π − 2 Sin góc nầy bằng cos góc kia & ngược lại Nguyễn Văn Khánh 0169 8033 568 - 4 - THPT phù mỹ 2 Tang góc nầy bằng cotan góc kia & ngược lại  Chú ý: Ta có thể không cần nhớ các công thức về GTLG của các cung (góc) hơn ,kém π và hơn ,kém π /2 Vì bằng suy luận ,có thể nhanh chóng suy ra chẳng hạn : s( ) s( ) cos s( ) s( ) cos s( ) sin( ) sin 2 s( ) s( ) sin 2 2 co co co co co co co α π α α α π π α α π α α α π π α α α + = − − = − − = − = − + = − = − − = − =  GIÁ TRỊ LƯƠNG GIÁC CỦA CUNG(GÓC) ĐẶC BIỆT Cách nhớ: 1.Đầu tiên ta tìm sin của 0 0 30 0 45 0 60 0 90 o ˆ Ta viết 5 chữ số tự nhiên đầu tiên: 0 1 2 3 4 ˆ Lấy căn bậc hai của các số tự nhiên đó : 0 1 2 3 2 ˆ Chia các số cho 2,được kết quả cần tìm: 0 1 2 2 2 3 2 1 2. Tìm cos của các góc như trên bằng cách viết ngược lại của sin : 0 0 30 0 45 0 60 0 90 o 1 3 2 2 2 1 2 0 3.Tính tan của 0 0 30 0 45 0 60 0 90 o lấy sin cos ta được tan .Chú ý: tan90 o không xác đònh 4. Tính cotan của 0 0 30 0 45 0 60 0 90 o lấy cos sin ta được cotan Chú ý: cot0 o không xác đònh  Nguyễn Văn Khánh 0169 8033 568 - 5 - THPT phù mỹ 2 Chú ý:  p dụng công thức cung (góc) bù , ta tính được các giá trò lượng giác của 120 0 135 0 150 0 180 0 VD : sin120 0 = sin60 0 = 3 2 , tan135 0 =- tan45 0 = 1 v.v  Khi biết sin của 0 0 30 0 45 0 60 0 90 o , áp dụng công thức cung (góc) phụ, ta cũng tính được các giá trò lượng giác của 0 0 30 0 45 0 60 0 90 o VD: cos60 0 = sin30 0 = 1 2 , cot60 0 = tan30 0 = 3 3 , v.v  GIÁ TRỊ LƯƠNG GIÁC CỦA CUNG(GÓC) HƠN KÉM BỘI 2π ,BỘI π VD: sin( 2 π +k.2π )=sin 2 π = 1,với k∀ ∈¢ , tan(30 0 +k180 0 )=tg30 0 với k∀ ∈¢ , cosk.2 π =cos0 =1 v.v Cách nhớ: “Hai cung hơn kém bội chẵn π Cos chúng bằng nhau sin cũng bằng Còn tang hơn kém bội π Cotang cũng thế chúng mình nhớ ghi”  CÔNG THỨC CỘNG : Đối với sin và cos : Cách nhớ: Cos thì cos cos sin sin Sin thì sin cos cos sin rõ ràng sin(α +k.2π )=sinα ; cos(α +k.2.π)=cosα tan(α +kπ)=tga ; cot(α +kπ)=cotgα   1/ cos( ) cos cos sin sina b a b a b − = + 2/ cos( ) cos cos sin sina b a b a b + = − 3/ sin( ) sin cos s sina b a b co a b + = + 4/ sin( ) sin cos s sina b a b co a b − = − Nguyễn Văn Khánh 0169 8033 568 - 6 - THPT phù mỹ 2 Cos thì đổi dấu hỡi nàng Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho!. Đối với tan Cách nhớ: Tang của tổng bằng tổng hai tang Chia 1 trừ tích các tang oai hùng Tang của hiệu bằng hiệu hai tang Chia 1 cộng tích các tang oai hùng  CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI Cách nhớ: Sin gấp đơi = đơi sin cos Cos gấp đơi = cos bình trừ sin bình = hai cos bình trừ 1 =1 trừ hai sin bình   sin 2 2sin .cos=a a a (1) 2 2 os2 os sin= −c a c a a (2) 2 2cos 1= −a (3) 2 1 2sin= − a (4) 2 2 tan tan 2 1 tan a a a = − (5) 5/ tan tan tan( ) 1 tan tan a b a b a b + + = − 6/ tan tan tan( ) 1 tan tan a b a b a b − − = + Nguyễn Văn Khánh 0169 8033 568 - 7 - THPT phù mỹ 2 Tang gấp đôi Tan đôi ta lấy đôi tan Chia 1 trừ tiếp bình tan, ra liền  Cách nhớ bằng suy luận : Từ công thức cộng : sin( ) sin cos s sina b a b co a b + = + thay b bỡi a & rút gọn thì có ngay công thức (1) cos( ) cos cos sin sina b a b a b + = − ……………………………………………… (2) Từ hệ thức cơ bản : 2 2 2 2 2 2 1 1 1sin a cos a sin a cos ahoặc cos a sin a + = ⇒ = − = − Thay vào (2) thì có ngay công thức (3),(4) Chia (1) & (2) vế theo vế ,VP cho ta tan2a ,VT tiếp tục chia tử &mẫu cho cos 2 a thì được 2 2 tan 1 tan− a a CÔNG THỨC HẠ BẬC  Cách nhớ: Cos bình hạ bậc nâng cung 1 cộng với cos mình cùng chia 2 Sin bình cũng thế thôi em Nhưng 1 trừ cos sau rồi mới chia Tang bình bình tỉnh nhe em Bình sin, bình cos đem chia thấy liền Cách nhớ bằng suy luận : Từ công thức nhân đôi (3) ,suy ra công thức hạ bậc (1) Từ công thức nhân đôi (4) ,suy ra công thức hạ bậc (2) Chia (2) cho (1) vế theo vế thì có ngay công thức (3)  CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH os os 2 os . os 2 2 os os 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin . os 2 2 sin sin 2 os .sin 2 2 a b a b c a c b c c a b a b c a c b a b a b a b c a b a b a b c + − + = + − − = − + − + = + − − = Cách nhớ: “ cos cộng cos bằng hai cos cos , cos trừ cos bằng trừ hai sin sin ,   2 1 cos2 cos 2 a a + = (1) 2 1 cos2 sin 2 a a − = (2) 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a − = + (3) Nguyễn Văn Khánh 0169 8033 568 - 8 - THPT phù mỹ 2 sin cộng sin bằng hai sin cos , sin trừ sin bằng hai cos sin Tan mình cộng với tan ta Bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình ”  CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 b α β α β α β α β α α β α β α β α β   = + + −     =− + − −     = + + −   Cách nhớ: Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin trừ nửa cos-cộng trừ cos-trừ Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ Cách nhớ bằng suy luận : Từ công thức cộng dễ dàng suy ra công thức tích thành tổng ,bằng cách đặt 2 2 a b a a b b α α β α β β  + =   = +  ⇒   − = −   =    VÀI CÔNG THỨC LƯNG GIÁC KHÁC : Công thức nhân 3 aaa aaa cos3cos43cos sin4sin33sin 3 3 −= −= ˆ       −=       +=+ 4 cos2 4 sin2cossin ππ aaaa       +−=       −=− 4 cos2 4 sin2cossin ππ aaaa ˆ aaa 2sin 2 1 1sincos 244 −=+ Chú ý: Một công thức lượng giác ta nên vận dụng linh hoạt ,có khi áp dụng từ VT sang VP và ngược lại HÈ 2014   . liền Cách nhớ bằng suy luận : Từ công thức nhân đôi (3) ,suy ra công thức hạ bậc (1) Từ công thức nhân đôi (4) ,suy ra công thức hạ bậc (2) Chia (2) cho (1) vế theo vế thì có ngay công thức. −   Cách nhớ: Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin trừ nửa cos-cộng trừ cos-trừ Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ Cách nhớ bằng suy luận : Từ công thức cộng dễ dàng suy ra công thức. nhé em ! Cách nhớ bằng suy luận : Dựa vào đường tròn lương giác Xét t/g vuông OHM , có OM =1 và từ đ/n sin α , cos α ta có ngay 3 hệ thức trên  HỆ THỨC CƠ BẢN KHÁC Cách nhớ: Tan bình