Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! 1. Qui tắc cộng: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện. 2. Qui tắc nhân: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện. Baøi 1: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? ĐS: a) 18. b) 15. Baøi 2: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a) 35. b) 29. Baøi 3: Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ hộ đồng quản trị đó, người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thường trực sao cho trong đó phải có ít nhất một người nam. ĐS: 161. Baøi 4: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rằng: a) , x A y A ∈ ∈ b) { , } x y A ⊂ c) , 6 x A y A vaø x y ∈ ∈ + = . ĐS: a) 25. b) 20. c) 5 cặp. Baøi 5: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y), biết rằng: , , x A y A x y ∈ ∈ > . ĐS: ( 1) . 2 n n − Baøi 6: 00. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi). ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba ⇒ có 9.10.10 = 900 (số) Baøi 7: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) gồm 6 chữ số. b) gồm 6 chữ số khác nhau. c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. ĐS: a) 6 6 b) 6! c) 3.5! = 360 Baøi 8: a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5? ĐS: a) 3125. b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000. Baøi 9: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: a) Gồm 2 chữ số? b) Gồm 2 chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm 2 chữ số? d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại? f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a) 25. b) 20. c) 15 d) 8. e) 120. f) 24. Baøi 10: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: a) Khác nhau? b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300? c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? ĐS: a) 100. b) 60. c) 36 d) 52. e) 48. Baøi 11: a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500). ĐS: a) 35. b) 24. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! 1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC Một số phức z là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i 2 = –1. Trong đó: i là đơn vị ảo. a được gọi là phần thực của số phức b được gọi là phần ảo của số phức Tập hợp các điểm biểu diễn số phức kí hiệu là C.    Chú ý: ♦ Số phức z là số thực nếu b = 0, khi đó z = a. ♦ Số phức z là số ảo (hay số thuần ảo) nếu a = 0, khi đó z = bi. ♦ Hai số phức z = a + bi và ' ' ' z a b i = + nế u ' ' a a b b =   =  ♦ Với i là đơn vị ảo ta có: ( ) 2 2 3 2 4 2 5 4 1; . ; 1; . i i i i i i i i i i i = − = = − = = = = T ừ đ ó suy ra 4 4 1 4 2 4 3 0 + + + + + + = n n n n i i i i Ví dụ: Tính t ổ ng 2 3 2012 1 . = + + + + + S i i i i Ví dụ 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau a) z = 2 + 3i b) z = 4i c) z = –1 d) z 2 2i = − e) z = (1 + i) 2 – (1 – i) 2 f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) H ướ ng d ẫ n gi ả i: Theo đị nh ngh ĩ a s ố ph ứ c ta có a) z = 2 + 3i ⇒ a = 2; b = 3 b) z = 4i ⇒ a = 0; b = 4 c) z = –1 ⇒ a = –1; b = 0 d) 2 2 2; 2 z i a b = − ⇒ = = − e) Để tìm ph ầ n th ự c, ph ầ n ả o ta c ầ n bi ế n đổ i s ố ph ứ c đ ã cho v ề d ạ ng rút g ọ n. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 4 0; 4 i i i i i i i i i a b + − − = + + − − + = − − = ⇒ = = , (do i 2 = –1 ) f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = 9 – 2i ⇒ a = 9; b = –2. Ví dụ 2. Tìm các số thực x và y, biết: a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 1 x y i x y x i − + + = + − + H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ta bi ế t r ằ ng hai s ố ph ứ c z = a + bi và ' ' ' z a b i = + n ế u ' ' a a b b =   =  a) Ta có 2 1 2 1 3 2 4 2 x x x y y y + = + =   ⇒   − = + =   b) Ta có ( ) 3 1 3 4 1 2 1 2 1 2 2 5 x x y x y x y x x y y  − = +  + = =    ⇔ ⇒    + = − + + = −     = −  Ví dụ 3. Cho ( ) ( ) = + + − 3 2 4 z a b i . Tìm các số a, b để: a) z là s ố th ự c b) z là s ố thu ầ n ả o H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) z là s ố th ự c khi b – 4 = 0, hay b = 4. b) z là s ố thu ẩ n ả o khi 3a + 2 = 0, hay a = –2/3 Tài liệu bài giảng: 01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Bài tập áp dụng: Bài 1. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức: 1. z 3 5i = − + 2. z 2i = − 3. z = 12 4. z = 0 5. z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i). 6. z = (1 + i) 2 – (1 – i) 2 7. z = (2 + i) 3 – (3 – i) 3 . 8. z = (3 – 5i) + (2 + 4i) 9. z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 10. z = (2 + i) – (1 + 4i) Bài 2. Cho ( ) ( ) z 2a 1 3b 5 i = − + + v ớ i a,b R ∈ . Tìm các s ố a, b để : 1. z là s ố th ự c 2. z là s ố thu ầ n ả o Bài 3. Tìm các s ố th ự c x và y, bi ế t: 1. ( ) ( ) 2x 1 5i 4 3y 2 i + + = − + − 2. ( ) ( ) x 2 4i 3 y 1 i − − = − + 2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Cho s ố ph ứ c z = a + bi ( ) , ∈ a b R đượ c bi ể u di ễ n b ở i đ i ể m M(a; b) (hay M(z)) trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy (hay còn g ọ i là mặt phẳng phức ) Trong đ ó: - Tr ụ c hoành Ox (tr ụ c th ự c) bi ể u di ễ n ph ầ n th ự c a. - Tr ụ c tung Oy (tr ụ c ả o) bi ể u di ễ n ph ầ n ả o b. Ví dụ. Cho các s ố ph ứ c 2 + 3i; 3; –i; –1 + 2i có các đ i ể m bi ể u di ễ n l ầ n l ượ t là A, B, C, D a) Ch ứ ng minh r ằ ng ABCD là m ộ t hình bình hành b) Tâm I c ủ a hình bình hành ABCD bi ể u di ễ n s ố ph ứ c nào? 3. MODULE CỦA SỐ PHỨC Khái niệm: Cho s ố ph ứ c z = a + bi, module c ủ a s ố ph ứ c z kí hi ệ u là |z| và đượ c tính theo bi ể u th ứ c: 2 2 = + z a b Ví dụ: Tính module c ủ a các s ố ph ứ c sau 1. z = 1 + 3i 2. z = 2i 3. z 3 i = − 4. ( ) ( ) 2 2 z 2 i 1 2i = + + + H ướ ng d ẫ n gi ả i: Áp d ụ ng công th ứ c 2 2 z a b = + ta có 1. z 1 3i z 1 9 10 = + ⇒ = + = 2. z 2i z 4 2 = ⇒ = = 3. z 3 i z 3 1 2 = − ⇒ = + = 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 z 2 i 1 2i 4 2i i 1 4i 4i 3 2i 4i 3 6i z 6 = + + + = + + + + + = + + − = ⇒ = 4. SỐ PHỨC LIÊN HỢP Khái niệm: Cho s ố ph ứ c z = a + bi, s ố ph ứ c liên h ợ p c ủ a s ố ph ứ c z kí hi ệ u là z và đượ c tính theo bi ể u th ứ c: = − z a bi   Chú ý: + Các đ i ể m M ( a ; b ) và M’ ( a ; – b ) bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c z và z đố i x ứ ng nhau qua tr ụ c Ox . + Các s ố ph ứ c z và z có module b ằ ng nhau: 2 2 = = + z z a b Ví dụ: Vi ế t các s ố ph ứ c liên h ợ p c ủ a m ỗ i s ố ph ứ c sau và tính module c ủ a chúng 1. z = 2 – 5i 2. z = 7i 3. z = 6 + i 4. z 3 2i = − Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Hướng dẫn giải: Áp dụng z a bi = − , ta được : 1. z 2 5i z 2 5i z 4 25 29 = − ⇒ = + ⇒ = + = 2. z 7i z 7i z 49 7 = ⇒ = − ⇒ = = 3. z 6 i z 6 i z 36 1 37 = + ⇒ = − ⇒ = + = 4. z 3 2i z 3 2i z 3 4 7 = − ⇒ = + ⇒ = + = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tính z z', z z', z.z' + − vớ i 1) z 5 2i , z' 4 3i = + = + 2) z 2 3i , z' 6 4i = − = + 3) z 4 7i , z' 2 5i = − − = − 4) z 1 i 3, z' 3 2i = + = − + Bài 2. Th ự c hi ệ n các phép tính sau : 1) ( ) 2 1 i − 2) ( ) 2 2 3i + 3) ( ) 3 1 i 3i + + 4) ( ) 2010 1 i+ Bài 3. Vi ế t các s ố ph ứ c sau d ạ ng đạ i s ố : 1) ( )( ) 1 z 1 i 4 3i = + − 2) 5 6i z 4 3i − + = + 3) 7 2i z 8 6i   − =   −   4) 3 4i z 4 i − = − 5) 1 z 2 3i = − 6) 1 z 1 3 i 2 2 = − 7) 3 2i z i − = 8) 2 i z 5i + = 9) 4i z 1 i = − 10) 1 2i 12i z 12i 1 2i + = + + 11) (2 i)(12i) (2i)(1 2i) z 2i 2 i + + = + + Bài 4. Cho 1 3 z i 2 2 = − + . Hãy tính: ( ) 3 2 2 1 , z, z , z ,1 z z z + + . Bài 5. Tính modun, tìm s ố ph ứ c liên h ợ p c ủ a m ỗ i s ố ph ứ c sau: 1) 1 z 2 3i = + 2) 4 5i z i + = 3) 4 3i z 2 i − = − 4) 1 2i z 2 i − = + 5) z (2 i)( 3 2i)(5 4i) = − − + − 6) ( )( ) 1 z 1 2i 3 i = + − 7) ( )( ) 2 3i z 4 i 2 2i + = + − 8) 5 5i 20 z 3 4i 4 3i + = + − + 9) 3 7i 5 8i z 2 3i 2 3i + − = + + − 10) 3 2i (2 i)(4 3i) z 2 i + + − − = + 11) (3 2i)(4 3i) z 5 4i 1 2i − + = + − − 12) ( ) ( ) 2 3 2i 1 i z 1 i − − = + Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! 13) ( ) ( ) ( ) 3 2i 1 3i z 2 i 1 3i + − = + − + 14) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 1 2i 1 i z 3 2i 2 i + − − = + − + 15) 7 7 1 1 z i 2i i   = −     16) ( ) ( )( ) 33 10 1 i 1 z 1 i 2 3i 2 3i 1 i i +   = + − + + − +   −   17) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 20 z 1 1 i 1 i 1 i 1 i = + + + + + + + + + 18) 8 8 1 i 1 i z 1 i 1 i + −     = +     − +     Bài 6. Cho các s ố ph ứ c z 1 = 1 + 2i, z 2 = –2 + 3i, z 3 = 1 – i. Hãy tính và sau đ ó tìm ph ầ n th ự c, ph ầ n ả o, mô đ un, s ố ph ứ c đố i và s ố ph ứ c liên h ợ p c ủ a m ỗ i s ố ph ứ c sau: 1) 1 2 3 z z z z = + + 2) 1 2 2 3 3 1 z z z z z z z = + + 3) 1 2 3 z z z z = 4) 2 2 2 1 2 3 z z z z = + + 5) 3 1 2 2 3 1 z z z z z z z = + + 6) 2 2 1 2 2 2 2 3 z z z z z + = + Bài 7. Tính 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z , z z , z .z , z 2z , 2z z + − − + , bi ế t: 1) 1 2 z 5 6i, z 1 2i = − + = − 2) 1 2 z 3 2i, z 4 3i = + = − 3) 1 2 1 1 1 z i, z i 2 3 2 = − + = − + Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! 5. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC 5.1 Phép cộng, trừ hai số phức ♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Khi đó số phức w = z + z’ được tính bởi : w = (a + a’) + (b + b’)i ♦ Tương tự, số phức u = z – z’ được tính bởi : u = (a – a’) + (b – b’)i   Chú ý: Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất như phép cộng hai số thực là tính giao hoán, kết hợp. ♦ Tính chất kết hợp : ( ) ( ) ' " ' " ' " z z z z z z z,z ,z + + = + + ∀ ∈ ℂ ♦ Tính ch ấ t giao hoán : ' ' ' z z z z z,z + = + ∀ ∈ ℂ ♦ Cộng với 0 : z 0 0 z z z + = + = ∀ ∈ ℂ ♦ Với mỗi số phức z a bi (a,b ) = + ∈ ℝ , nếu kí hiệu số phức a bi − − là –z thì ta có z ( z) ( z) z 0 + − = − + = Số –z đượ c g ọ i là s ố đố i c ủ a s ố ph ứ c z Ví dụ. Thực hiện phép cộng, trừ các số phức sau 1. z = 2+ 3i ; z ’ = 5 – 2i 2. z = –5 + 2i ; z ’ = 3i 3. z = 2 – 3i ; z ’ = 2 – i Hướng dẫn giải: Áp d ụ ng công th ứ c ' ' ' z z (a a ) (b b )i + = + + + ; ' ' ' z z (a a ) (b b )i − = − + − , ta có 1. ' z z (2 5) (3 2)i 7 i + = + + − = + ; ' z z (2 5) (3 2)i 3 5i − = − + + = − + 2. ' z z 5 (3 2)i 5 5i + = − + + = − + ; ' z z 5 (2 3)i 5 i − = − + − = − − 3. ' z z (2 2) (3 1)i 4 4i + = + − + = − ; ' z z (2 2) ( 3 1)i 2i − = − + − + = − 5.2 Phép nhân hai số phức ♦ Cho hai s ố ph ứ c z = a + bi và z’ = a’ + b’i Khi đ ó s ố ph ứ c w = z.z ’ đượ c tính b ằ ng công th ứ c : w = aa ’ – bb ’ + (ab ’ + a ’ b)i    Nhận xét : V ớ i m ọ i s ố th ự c k và m ọ i s ố ph ứ c a + bi (a,b ) ∈ ℝ , ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi 0z = 0 v ớ i m ọ i s ố ph ứ c z    Chú ý: Phép nhân các s ố ph ứ c có đầ y đủ tính ch ấ t nh ư phép nhân các s ố th ự c ♦ Tính ch ấ t giao hoán : ' ' ' z.z z .z, z,z = ∀ ∈ ℂ ♦ Tính ch ấ t k ế t h ợ p : ' " ' " ' " (zz )z z(z z ), z,z ,z = ∀ ∈ ℂ ♦ Nhân v ớ i 1 : 1.z z.1 z, z = = ∀ ∈ ℂ ♦ Tính ch ấ t phân ph ố i c ủ a phép nhân v ớ i phép c ộ ng ( ) ' " ' " ' " z z z zz zz , z,z ,z + = + ∀ ∈ ℂ Ví dụ. Phân tích ra thừa số số phức các biểu thức sau 1. a 2 + 1 2. 2a 2 + 3 3. 4a 2 + 9b 2 4. 3a 2 + 5b 2 Hướng dẫn giải: S ử d ụ ng i 2 = –1 ta đượ c 1. 2 2 2 a 1 a i (a i)(a i) + = − = − + 2. 2 2 2 2 2 4a 9b 4a 9b i (2a 3bi)(2a 3bi) + = − = − + 3. ( ) ( ) 2 2 2 2a 3 2a 3i a 2 3i a 2 3i + = − = − + Tài li ệ u bài gi ả ng: 01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! 4. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3a 5b 3a 5b i 3a 5bi 3a 5bi + = − = + − 5.3 Phép chia cho số phức khác 0 ♦ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 1 2 1 z z z − = ♦ Thương ' z z của phép chia số phức z ’ cho số phức z khác 0 là tích của z ’ với số phức nghịch đảo của z, tức là ' ' 1 z z z z − = Vậy ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' 2 2 2 a bi a b i z z z z a b z − + = = + v ớ i z 0 ≠    Nhận xét : • V ớ i z ≠ 0, ta có 1 1 1 1.z z z − − = = • Th ươ ng ' z z là s ố ph ứ c w sao cho zw = z ’ . Có th ể nói phép chia cho s ố ph ứ c khác 0 là phép toán ng ượ c c ủ a phép nhân • Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số. Ví dụ. Thực hiện phép chia các số phức sau 1. ( )( ) 1 z 1 i 4 3i = + − 2. 5 6i z 4 3i − + = + 3. 7 2i z 8 6i   − =   −   4. 3 4i z 4 i − = − Hướng dẫn giải: 1. ( )( ) 2 2 1 1 7 7 7 1 1 4 3 7 (7 )(7 ) 7 50 50 i i z i i i i i i i − − = = = = = − + − + + − − 2. 2 2 5 6 ( 5 6 )(4 3 ) 2 39 2 39 4 3 (4 3 )(4 3 ) 4 3 25 25 i i i i z i i i i − + − + − − + − = = = = + + + − + 3. Tính 2 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 68 26 17 13 8 6 (8 6 )(8 6 ) 8 6 25 50 i i i i z i i i i − − + + ′ = = = = + − − + + Vậy 7 2 17 13 17 13 8 6 25 50 25 50 i z z i i i   − ′ = = = + = −   −      Nhận xét : Ta cũng có thể giải câu này theo cách khác như sau (sử dụng tính chất của số phức): 2 2 7 2 7 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 17 13 8 6 8 6 8 6 25 50 8 6 i i i i i z i i i i   − − + + − = = = = = −   − + + −   4. 2 3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 16 13 4 (4 )(4 ) 4 1 17 17 i i i i z i i i i − − + − = = = = − − − + + 6. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC ♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau của số phức được xếp vào 1 nhóm: Tính chất 1: Số phức z là số thực z z ⇔ = Chứng minh: Ta có : z z x yi x yi y 0 z x = ⇔ + = − ⇔ = ⇒ = . Vậy z là số thực. Tính chất 2: Số phức z là số ảo z z ⇔ = − Chứng minh: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Ta có : x yi 0 z z x yi x z yi = − ⇔ + = − + ⇔ = ⇒ = . Vậy z là số ảo. Tính chất 3: Cho số phức z có số phức liên hợp z và module là | z |. Khi đó: 2 zz z = Chứng minh: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( )zz x yi x yi x y i x y zz z z x y x y  = + − = − = +  → =  = + = +   ♦ Cho 2 số phức z 1 = x 1 + y 1 i ; z 2 = x 2 + y 2 i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm liên hợp: Tính chất 4: 1 2 1 2 z z z z + = + Chứng minh: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z x x y y i x x y y i z z z z z z x y i x y i x x y y i  + = + + + = + − +  → + = +  + = − + − = + − +   Tính chất 5: 1 2 1 2 z z z .z = Chứng minh: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . ( )( ) ( ) ( ) z z x y i x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y i z z z z z z x y i x y i x x y y x y x y i  = + + = − + + = − − +  → =  = − − = − − +   Tính chất 6: 1 1 2 2 z z z z   =     Chứng minh: 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) z x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y i z x y i x y x y x y z z z x y i x y i x y i x x y y x y x y i x y i x y i x y i x y x y z        + + − − + −  = = = +       + + + +        →  − − + + −  = = = +  − − + + +  1 2 2 z z   =        Nhận xét : Ngoài cách ch ứ ng minh c ổ đ i ể n trên thì ta có th ể s ử d ụ ng ngay m ộ t “thành qu ả ” đ ã ch ứ ng minh đượ c là tính ch ấ t s ố 5. Th ậ t v ậ y, đặ t 1 1 2 2 . z z z z z z = ⇒ = Theo tính chất 5 ta có: 1 1 2 2 2 . . z z z z z z z z = = ⇒ = , hay 1 1 2 2 z z z z   =     . ♦ Cho 2 số phức z 1 = x 1 + y 1 i ; z 2 = x 2 + y 2 i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm module: Tính chất 7: 1 2 1 2 z z z z = Chứng minh: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (1) z z x y i x y i x x y y x y x y i z z x x y y x y x y x x x y x y y y = + + = − + + ⇒ = − + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) , (2) z z x y x y x x x y x y y y = + + = + + + T ừ (1) và (2) ta có ( đ pcm) Tính chất 8: 1 1 2 2 z z z z = Chứng minh: ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) (1) z x y i x y i x y i x x y y x y x y i z x y i x y i x y i x y x y x y z x x y y x y x y x y z x y x y x y x y + + − + + − = = = + + − +   + +   + − +   ⇒ = + = =     + + +   +   Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!    Nhận xét : Tương tự như nhận xét đã nêu ở tính chất 6, ta đặt 1 1 2 2 . z z z z z z = ⇒ = Theo tính chất 7 ta có: 1 1 2 2 2 . . z z z z z z z z = = ⇒ = , hay 1 1 2 2 z z z z = . Tính chất 9: 1 2 1 2 z z z z + ≤ + Chứng minh: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 z z z z x x y y x y x y x x y y x x x y x y x y x x y y x x x y x y y y x y x y + ≤ + ⇔ + + + ≤ + + + ⇔ + + + ≤ + + + + + + ⇔ + ≤ + + + ⇔ − ≥ Ví dụ 1. Th ự c hi ệ n các phép tính sau : a. 7 2 8 6 i z i   − =   −   b. (1 )(3 2 ) z i i = + − c. (2 3 ) (1 ) z i i = + + − d. 1 1 i z i + = − e. (5 )(2 3 ) z i i = + − Hướng dẫn giải: a. 2 2 7 2 7 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 17 13 8 6 8 6 8 6 25 50 8 6 i i i i i z i i i i   − − + + − = = = = = −   − + + −   b. 2 2 2 2 (1 )(3 2 ) 1 3 2 1 1 . 3 2 26 z i i i i = + − = + − = + + = c. (2 3 ) (1 ) 2 3 1 2 3 1 3 2 z i i i i i i i = + + − = + + − = − + + = − d. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i z i i + + + = = = = − − + e. (5 )(2 3 ) 5 .2 3 (5 )(2 3 ) 13 13 z i i i i i i i = + − = + − = − + = + Ví dụ 2. Tính module c ủ a các s ố ph ứ c sau a. z(1 2i) 1 3i + = − + b. z 3 2i 1 3i = + − + c. ( ) z 1 2i 5 6i 2 3i − + = − + d. 2 i 1 3i z 1 i 2 i + − + = − + Hướng dẫn giải: Áp dụng các lớp tính chất liên quan đến module ta có: a. 10 z(1 2i) 1 3i z(1 2i) 1 3i z .1 2i 10 z 2 5 + = − + ⇒ + = − + ⇔ + = ⇒ = = b. z z z 3 2i 3 2i 13 z 13. 10 130 1 3i 1 3i 1 3i = + ⇒ = + ⇔ = ⇒ = = − + − + − + c. ( ) z z z z 1 2i 5 6i 6 4i 6 4i 52 2 13 z 26 2 3i 2 3i 2 3i 2 3i − + = − ⇔ = − ⇒ = − ⇔ = = ⇒ = + + + + d. 1 3i 2 i 1 3i 2 i 1 3i 2 i 5 10 2 5 z z . z . z z 1 i 2 i 1 i 2 i 1 i 2 i 5 2 5 − + + − + + − + + = ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇒ = − + − + − + Ví dụ 3. Tìm số phức z biết ( ) ( ) 3 2 2 1 z z i i + = − − (1) H ướ ng d ẫ n gi ả i: Gi ả s ử z a bi = + z a bi ⇒ = − (1) 3 2 2 3 2( ) (2 3.2 3.2 )(1 ) a bi a bi i i i i ⇔ + + − = + + + − 2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 ) a bi a bi i i i i i ⇔ + + − = + − − − = + − [...]... các chữ số đó có mặt số 0 và 1 Lời giải: * Số các số có 6 chữ số khác nhau là: 6 5 A10 − A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là: A6 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 9 * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là: A6 − A5 = 8.8.7.6.5.4 = 53760 9 9 Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số Bài 2: Từ 5 chữ số 0,... chữ số 5 Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: A3 5 ⇒ Số các số thu được là: 4.4 A3 = 960 số 5 • Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0: Có 5 cách chọn vò trí cho chữ số 5 4 Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: A5 4 ⇒ Số các số thu được là: 5 A5 = 600 số Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số Bài 8: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6... 1 − 2i Bài 2 Tìm số phức z biết a) z = ( 2 − i )3 1 + 2i b) z.z + 3( z − z ) = 1 − 4i c) z −1 = 1 − 2i Bài 3 Tính mơ-đun của số phức z biết a) 1 − i (2 − 3i ) z = +2−i 2 z z b) Cho số phức z1 = 4 − 3i + (1 − i )3 ; z2 = 1 + 2i − (1 − i )3 Tính mơ-đun của số phức z = z1 z2 1+ i (1 − 3i ) Tín mơ-đun của số phức z + iz c) Cho số phức z = 3 1− i Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (−1 + 3i)2012... năng chọn 2 chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 Bài 3: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được: 1 Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đơi một 2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau... bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và khơng chia hết cho 5 Lời giải: * Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau: Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0) Có A3 khả năng chọn 3 chữ số cuối 4 ⇒ Có 4 A3 = 4.4! = 96 số 4 * Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5: Nếu chữ số tận cùng là 0: có A3 = 24 số 4 2 Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng... = 480 số 4 Bài 5: Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0 Lời giải: Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 là: 5 A3 = 300 5 Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là: 4 A5 = 120 Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số Bài... đơi một Hỏi 1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2 2 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6 Lời giải: Xét số năm chữ số a1a2a3a4a5 1 Xếp chữ số 2 vào một trong năm vò trí: có 5 cách xếp 4 Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vò trí còn lại: có A5 = 120 cách Vậy có 5.120 = 600 số 2 2 Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vò trí: có A5 cách Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vò trí còn lại: có A3... chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Số các số thu được là: 6.7 = 42 số b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Số các số thu được là: 6 số Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 Lời giải: Ta coi cặp (2;3) chỉ là một...  a) Trong khai triển  x x + 4  cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai là 44 Tìm n x   n 1  b) Cho biết trong khai triển  x 2 +  , tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46 x  Tìm hạng tử khơng chứa x n 2  c) Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển  x 2 −  là 97 Tìm hạng tử của 3  khai triển chứa x4 n 1 1 1 1 n  0 Bài... 4, 5 Số hoán vò của 5 phần tử này là P5, phải loại trừ số trường hợp phần tử 0 ở vò trí đầu gồm P4 trường hợp Chú ý rằng đối với phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp sẽ được nhân đôi Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P5 – P4) = 192 số Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số