LTĐH MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Hàm số toán liên quan – www.moon.vn Tài liệu giảng: 01 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ Công thức : Phương trình tiếp tuyến điểm M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) y = y(′xo ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = y(′xo ) ( x − xo ) + f ( xo ) Các lưu ý : + Nếu cho xo tìm yo = f(xo) + Nếu cho yo tìm xo cách giải phương trình f(x) = yo + Tính y′ = f′(x) Suy y′(xo) = f′(xo) + Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo Dạng toán trọng tâm cần lưu ý : ax + b + Tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y = cắt trục tọa độ Ox, Oy điểm A, B thỏa cx + d OA = kOB mãn tính chất   S ∆OAB = S0 + Khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số y = ax + b đến tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị đạt giá trị lớn cx + d nhất, số cho trước Ví dụ Cho hàm số y = x3 + x + x + Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị a) giao điểm đồ thị Ox b) điểm uốn đồ thị Ví dụ Cho hàm số y = x3 + 3x + x + Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến M với đồ thị qua gốc tọa độ O Đ/s: M (−1; 2) Ví dụ Cho hàm số y = x +1 x−2 (C ) Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) cho tiếp tuyến M với đồ thị cắt trục tọa độ Ox, Oy A, B cho OA = 3OB, với O gốc tọa độ Đ/s: Một điểm M M (3; 4) Ví dụ Cho hàm số y = x (C ) x +1 Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) cho khoảng cách từ điểm E(1; 2) đến tiếp tuyến M với đồ thị Đ/s: Một điểm M M (0;0) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài Cho hàm số y = x3 − x + x − Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị giao điểm đồ thị Ox Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề Hàm số tốn liên quan – www.moon.vn LTĐH MƠN TOÁN – Thầy Hùng Đ/s: y = 13  1 x−  2 2 Bài Cho hàm số y = x3 − x + có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ Đ/s: M (−1; −4) Bài Cho hàm số y = x+2 x −1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác OAB 50 (với O gốc toạ độ) Đ/s: M (2; 4) Bài Cho hàm số y = 2x + x −1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A B cho OB = 5OA (với O gốc toạ độ) Đ/s: y = −5 x + 17; y = −5 x − Bài Cho hàm số y = x x +1 Tìm điểm M thuộc đồ thị cho khoảng cách từ điểm E (−1;1) đến tiếp tuyến M với đồ thị Đ/s: M (0;0), M (−2; −2) Bài Cho hàm số y = x+2 x −1 Tìm điểm M thuộc đồ thị cho khoảng cách từ điểm E (−1;1) đến tiếp tuyến M với đồ thị lớn Đ/s: d max = ⇔ M (0;2), M (−2;0) Bài Cho hàm số y = x−3 2x +  1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị cho khoảng cách từ điểm I  − ;  đến tiếp tuyến M 10  2 Đ/s: y = x + 11 Bài Cho hàm số y = 2x + (1) x−2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A B cho OA = 9OB (với O gốc toạ độ) Ví dụ Cho hm số y = x−3 ( C) x +1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt trục Ox A, cắt trục Oy B cho OA = 4OB Ví dụ 10 Cho hàm số y = x+2 (1) 2x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 LTĐH MƠN TỐN – Thầy Hùng Chun đề Hàm số toán liên quan – www.moon.vn Tài liệu giảng: 01 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P2 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tiếp theo) Cơng thức : Phương trình tiếp tuyến điểm M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) y = y(′xo ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = y(′xo ) ( x − xo ) + f ( xo ) Các lưu ý : + Nếu cho xo tìm yo = f(xo) + Nếu cho yo tìm xo cách giải phương trình f(x) = yo + Tính y′ = f′(x) Suy y′(xo) = f′(xo) + Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo Dạng toán trọng tâm cần lưu ý : ax + b Tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y = cắt tiệm cận A, B Khi ta có tính chất sau: cx + d + M trung điểm AB + Diện tích tam giác IAB không đổi, với I giao điêm hai tiệm cận + Chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ + Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác IAB dạt gái trị lớn x+2 Ví dụ Cho hàm số y = (C ) x −1 Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị M cắt tiệm cận A, B a) Chứng minh M trung điểm AB b) Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi, với I tâm đối xứng đồ thị (I giao hai tiệm cận) Ví dụ Cho hàm số y = 2x − (C ) x−2 Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị M cắt tiệm cận A, B Tìm điểm M đề độ dài đoạn AB ngắn Đ/s: M (3;3), M (1;1) Ví dụ Cho hàm số y = 2x + (C ) x −1 Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị M cắt tiệm cận A, B Tìm điểm M đề chu vi tam giác IAB nhỏ nhất, với I tâm đối xứng đồ thị hàm số Đ/s: xM = ± BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài Cho hàm số y = 2x − (C ) x−2 Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị M cắt tiệm cận A, B Tìm điểm M đề đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I tâm đối xứng đồ thị hàm số Đ/s: M (3;3), M (1;1) Hướng dẫn: Tam giác IAB vng I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính AB, suy diện tích AB đường trịn ngoại tiếp S = πR = π , từ tốn quy tìm M để độ dài AB ngắn Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 LTĐH MƠN TỐN – Thầy Hùng Bài Cho hàm số y = Chuyên đề Hàm số toán liên quan – www.moon.vn 2mx + (C ) x−m Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị M cắt tiệm cận A, B Tìm điểm M đề tam giác IAB có diện tích 64 Đ/s: m = ± 58 Bài Cho hàm số y = x−2 (C ) x +1 Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị M cắt tiệm cận A, B Viết phương trình tiếp tuyến M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn Đ/s: y = x + 2(1 ± 3) Bài Cho hàm số y = x (C ) x −1 Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị M cắt tiệm cận A, B Viết phương trình tiếp tuyến M biết chu vi tam giác IAB 2(2 + 2)  y = −x Đ/s:   y = −x + Bài Cho hàm số y = x3 + 3x − Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị M cắt trục tọa độ A, B Tìm tọa độ điểm M biết OB = 3OA, với O gốc tọa độ Đ/s: M (−1;1) 2x − Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hồnh độ a Tiếp 1− x tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ Bài Cho hàm số y = Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề Hàm số toán liên quan – www.moon.vn LTĐH MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 01 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GĨC Hệ số góc đường thẳng tang (tan) góc hợp đường thẳng chiều dương trục Ox Kí hiệu k = tanα Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương trục Ox) k = ± tanα y − yN Đường thẳng d qua hai điểm M, N hệ số góc đường d tính kd = M xM − x N Đường thẳng d qua điểm M(x1 ; y1) có hệ số góc k có phương trình d : y = k ( x − x1 ) + y1 Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k ln viết dạng d: y = kx + m d : y = k1 x + m1 Cho hai đường thẳng  d : y = k2 x + m2 kd = kd2  + d1 d2 song song với có hệ số góc :   m1 ≠ m2  + d1 d2 vuông góc với có tích hệ số góc −1 : kd1 kd = −1 ⇔ kd2 = − kd1 Đạo hàm điểm xo thuộc đồ thị hàm số y = f(x) hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị điểm Tức ktt = y′ ( xo ) Ví dụ 1: Xác định hệ số góc k đường cho ? a) x + y − = ← y = −2 x + ⇔ y = → −2 x +  k = − → 3 3 b) − x + y + = ← y = x − ⇔ y = x −  k = → → 5 c) x + y + = ← y = x −  k = → → Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + (m − 1) x + 2mx + Tìm m để tiếp tuyến a) điểm có hồnh độ x = –3 song song với đường thẳng d : 5x – y + = b) điểm có hồnh độ x = vng góc với đường thẳng d’ : x – 2y + = Ví dụ 3: Cho hàm số y = x + 2(m − 1) x − 8m − Tìm m để tiếp tuyến điểm cố định đồ thị hàm số vng góc với Ví dụ 4: Cho hàm số y = x + 3m x−m Tìm m để tiếp tuyến giao điểm đồ thị trục Oy vng góc với đường thẳng d : x – 2y + = Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 + x − x + Gọi d đường thẳng qua điểm A(1 ; 2) có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho tiếp tuyến với đồ thị B, C vng góc với Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 − 3x + x + Một đường thẳng d qua A(2 ; 1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng d đồ thị hàm số cho Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề Hàm số toán liên quan – www.moon.vn LTĐH MƠN TỐN – Thầy Hùng a) cắt điểm b) cắt ba điểm phân biệt c) cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ dương Hướng dẫn giải : Đường thẳng d qua A(2 ; 1) có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị : x3 − 3x + x + = k ( x − 2) + ⇔ x3 − 3x + x + = k ( x − 2) x = ⇔ ( x − 2)( x − x − 1) = k ( x − 2) ⇔   g ( x) = x − x − − k = 0, (1) a) Hai đồ thị cắt điểm (1) vô nghiệm ⇔ ∆ < ⇔ + 4(1 + k ) < ⇔ k < − Vậy với k < − hai đồ thị cho cắt điểm b) Hai đồ thị cắt ba điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác  ∆ > 1 + 4(1 + k ) > k > − Điều xảy  ⇔ ⇔  g (2) ≠  g (2) = − k ≠ k ≠   k > − Vậy với  hai đồ thị cho cắt ba điểm phân biệt k ≠  c) Do nghiệm x = > nên để ba giao điểm có hồnh dương (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt khác  x1 + x2 > 1 > ⇔ ⇔ k < −1 Gọi hai nghiệm x1 ; x2 Khi ta có  −1 − k >  x1 x2 > Kết hợp với diều kiện tồn ba giao điểm câu b ta dược − < k < −1 giá trị cần tim Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3 − 3mx + mx + a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị điểm uốn song song với đường thẳng ∆: 4x + y + 1= b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị điểm x = −2 vng góc với đường thẳng ∆′: 2x + 3y + 2= Hướng dẫn giải :  y′ = x − 6mx + m  a) Ta có y = x − 3mx + mx +   → m →  y′′ = 12 x − 6m  y′′ = ⇔ x =  m2 m 3m m Tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc ku = y′   = − 6m + m = − +m 2 2 Đường thẳng ∆ có hệ số góc xác định ∆ : x + y + = ⇔ y = −4 x −  k∆ = −4 → Tiếp tuyến điểm uốn song song với ∆ nên ku = k∆ ⇔ − Vậy, với m = 2; m = − m = 3m + m = −4 ⇔ 3m − 2m − = ⇔  m = −   tiếp tuyến điểm uốn đồ thị song song với đường thẳng ∆ b) Tiếp tuyến x = −2 có hệ số góc ktt = y′ ( −2 ) = 24 + 12m + m = 13m + 24 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 LTĐH MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số toán liên quan – www.moon.vn 2 Đường thẳng ∆′ có hệ số góc xác định ∆′ : x + y + = ⇔ y = −2 x − ⇔ y = − x −  k∆′ = − → 3 Tiếp tuyến điểm x = −2 vng góc với ∆′ nên ktt k∆′ = −1 ⇔ − Vậy, với m = − 45 (13m + 24 ) = −1 ⇔ 26m + 48 = ⇔ m = − 26 45 tiếp tuyến x = −2 vng góc với ∆′ 26 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hàm số y = x3 − (m − 2) x2 + mx + a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị điểm có hồnh độ x = song song với đường (d): y = 2x – b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị điểm có hồnh độ x = vng góc với đường (d): 4x – 3y = Bài đồ thị hàm số y = –x4 + 2mx2 – 2m + Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị A(1; 0), B(–1; 0) vng góc với Bài Cho hàm số y = x3 + 3x + x + 2, có đồ thị (C) đường thẳng d qua A(−1; 3) có hệ số góc k a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt có hồnh độ âm b) Tìm k để d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho tiếp tuyến với (C) hai điểm B, C vng góc với Bài Cho hàm số y = x4 + mx2 – m – Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A điểm cố định có hồnh độ dương đồ thị hàm số Bài Cho hàm số y = ( 3m + 1) x − m x+m Tìm m để tiếp tuyến giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox song song với đường thẳng (d): y = –x –5 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 01 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P4 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo) 2x − , có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) x −1 cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng IM Đ/s: M(0; 1) M(2; 3) Ví dụ 1: Cho hàm số y = Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x , có đồ thị (C) x−2 Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy điểm A, B với AB = 2OA Đ/s: d: x + y – = Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với − 65 Đ/s: m = Ví dụ 4: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011) −x +1 Cho hàm số y = , có đồ thị (C) Chứng minh đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm 2x −1 phân biệt A, B với giá trị m Gọi k1 ; k2 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) A, B Tìm k để tổng k1 + k2 đạt giá trị nhỏ Đ/s: m = −1; ( k1 + k2 )min = −2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN x +1 , có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị (C) x−2 Tìm điểm M đồ thị cho tiếp tuyến với đồ thị M vuông góc với đường thẳng IM Bài 1: Cho hàm số y = 2x −1 , (C ) x +1 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc −9 Bài 2: Cho hàm số y = Bài 3: Cho hàm số y = − x3 + x − Một đường thẳng d qua M(1 ; −2) có hệ số góc k a) Tìm k để đường thẳng d đồ thị hàm số cho cắt ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A B b) Tim k để tiếp tuyến đồ thị hai điểm A, B vng góc với Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) đường thẳng d: y = mx + m + Xác định m để d cắt (C) M(−2; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) đường thẳng d qua A(2; 0) có hệ số góc k Xác định k để d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho tiếp tuyến (C) B C vng góc với Bài 6: Cho hàm số y = − x3 + (m − 1) x + (3m − 2) x − có đồ thị (C m ), m tham số 3 Tìm m để (C m ) có hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ), M ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 > tiếp tuyến (C m ) điểm vng góc với đường thẳng d : x − y + = Bài 7: Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (1) với m tham số Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chun đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tìm m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + = góc α, biết cos α = 26 x−3 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt trục x +1 hoành A, cắt trục tung B cho OA = 4OB Bài 9: Cho hàm số y = f ( x) = x3 + x + x + (C) Tìm tất giá trị k, để tồn tiếp tuyến với (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho OA = 2011.OB Đ/s: k = ; k = 6039 Bài 8: Cho hàm số y = HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ x +1 , có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị (C) x−2 Tìm điểm M đồ thị cho tiếp tuyến với đồ thị M vng góc với đường thẳng IM x +1 x − + 3 Ta có y = = =1+  y′ = − → x−2 x−2 x−2 ( x − 2)2 Bài 1: Cho hàm số y = Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) ⇒ yo = +  3   M  xo ;1 + →  xo − xo −   x +1  lim  x  x − = ∞  → Ta có  , từ đường x = tiệm cận đứng y = tiệm cận ngang  lim x + =  x  x −  →∞ Điểm I giao hai tiệm cận nên I(2 ; 1) Tiếp tuyến M có hệ số góc ktt = y ′ ( xo ) = − ( xo − 2)   − 1 +  xo −  y I − yM  Đường thẳng IM có hệ số góc k IM = = = x I − xM − xo ( xo − 2) 3 Tiếp tuyến M vng góc với đường IM ktt k IM = −1 ⇔ − = −1 ( xo − 2) ( xo − 2)  xo − =  xo = + ⇔ ( xo − 2)2 = ⇔  ⇔  xo − = −  xo = −   3 + Với xo = + ⇒ yo = + =1+ = +  M + 3;1 + → xo − 3 + Với xo = − ⇒ yo = + =1+ = −  M − 3;1 − → xo − − Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán ( ) ( ) 2x −1 , (C ) x +1 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc −9 Hướng dẫn giải : 2a −   Ta có y′ = Gọi M  a;  ∈ (C )  a +1  ( x + 1) Bài 2: Cho hàm số y = Tiếp tuyến với (C) M có hệ số góc: ktt = y ′(a ) = Học trực tuyến tại: www.moon.vn ( a + 1) Giao điểm hai đường tiệm cận I(−1; 2) Mobile: 0985.074.831 Chun đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Đường thẳng IM có hệ số góc k IM = yM − y I −3 = xM − xI ( a + 1)2 a = = −9 ⇔ ( a + 1) =   → ( a + 1) ( a + 1)  a = −2 Vậy có điểm M thỏa mãn đề M(0; −3), M(−2; 5) Theo ta có ktt k IM = −9 ⇔ −3 Bài 3: Cho hàm số y = − x3 + x − Một đường thẳng d qua M(1 ; −2) có hệ số góc k a) Tìm k để đường thẳng d đồ thị hàm số cho cắt ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A B b) Tim k để tiếp tuyến đồ thị hai điểm A, B vng góc với Hướng dẫn giải : a) Đường thẳng d qua M(1 ; −2) có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 1) − Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị : − x3 + x − = k ( x − 1) − ⇔ − x3 + x − = k ( x − 1) x =1 ⇔ ( x − 1)(− x + x + 1) = k ( x − 1) ⇔  2  − x + x + = k ⇔ g ( x) = x − x + k − = 0, (1) Hai đồ thị cắt ba điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác  ∆ > 1 − 4(k − 1) > k < Ta có điều kiện  ⇔ ⇔  g (1) ≠  g (1) = k − ≠ k ≠   k < Vậy với  hai đồ thị cho cắt ba điểm phân biệt, có điểm M(1 ; −2) k ≠  x + x = b) Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) ⇒ x1 ; x2 hai nghiệm g(x) = 0, theo định lí Vi-ét ta có   x1 x2 = k −  k A = y′ ( x1 ) = −3 x12 + x1  Tiếp tuyến A, B có hệ số góc   k B = y′ ( x2 ) = −3 x2 + x2  ( )( ) Tiếp tuyến A B vng góc với k A k B = −1 ⇔ −3x12 + x1 −3x2 + x2 = −1 ⇔ ( x1 x2 ) − 12 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 16 x1 x2 = −1 ⇔ ( k − 1) − 12 ( k − 1) + 16 ( k − 1) = −1 ⇔ 9k − 14k + 14 = Phương trình vơ nghiệm, khơng có giá trị k thỏa mãn yêu cầu toán 2 Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) đường thẳng d: y = mx + m + Xác định m để d cắt (C) M(−2; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với Hướng dẫn giải : • Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): x3 – (m + 3) x – m – =  x = −1 ⇒ y = ⇔ ( x + 1)( x – x – m – 2) = ⇔   g ( x) = x − x − m − = d cắt (C) điểm phân biệt M ( −1;3) , N , P ⇔ m > − , m ≠  x + xP = Khi xN ; xP nghiệm phương trình x − x − m − = ⇒  N  x N xP = − m − 2  k = xN − Hệ số góc tiếp tuyến N, P k1 k2 thỏa mãn   k = xP −  −3 + 2 m = Tiếp tuyến (C) N P vng góc với k1.k2 = −1 ⇔ 9m + 18m + = ⇔  −3 − 2  m =  −3 ± 2 Đối chiếu với điều kiện ta m = giá trị cần tìm Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chun đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (2; +∞) • Tập xác định: D = R; y′ = (m2 − 1) x + 2(m − 1) x − Đặt t = x – ta được: y′ = g(t ) = (m − 1)t + (4m + 2m − 6)t + 4m + 4m − 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +∞) ⇔ g(t ) ≤ 0, ∀t > m2 − < a <   >0 m2 − < 3m − 2m − >   ∆ a < TH1:  ⇔ TH2:  ⇔ 4m2 + 4m − 10 ≤ ∆ ≤ 3m − 2m − ≤ S <  −2m −  P ≥   , y ′= có nghiệm phân biệt: − m , 0, m Hàm số (1) đồng biến (1; 2) ⇔ m ≤ ⇔ < m ≤ Vậy m ∈ ( −∞;1  Câu hỏi tương tự: ĐS: m ≤ a) Với y = x − 2(m − 1) x + m − ; y đồng biến khoảng (1;3) Baøi 10 Cho hàm số y = mx + x+m (1) Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) • Tập xác định: D = R \ {–m} y ′= m2 − ( x + m)2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y ′< ⇔ −2 < m < (1) Để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) ta phải có − m ≥ ⇔ m ≤ −1 (2) Kết hợp (1) (2) ta được: −2 < m ≤ −1 Baøi 11 Cho hàm số y = x − 3x + m (2) x −1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng (−∞; −1) • Tập xác định: D = R \ {1} y ' = 2x2 − 4x + − m ( x − 1)2 = f (x) ( x − 1)2 Ta có: f ( x ) ≥ ⇔ m ≤ x − x + Đặt g( x ) = x − x + ⇒ g '( x ) = x − Hàm số (2) đồng biến (−∞; −1) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; −1) ⇔ m ≤ g( x ) ( −∞;−1] Dựa vào BBT hàm số g( x ), ∀x ∈ (−∞; −1] ta suy m ≤ Vậy m ≤ hàm số (2) đồng biến (−∞; −1) Bài 12 Cho hàm số y = x − 3x + m (2) x −1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng (2; +∞) • Tập xác định: D = R \ {1} y ' = 2x2 − 4x + − m ( x − 1)2 = f (x) ( x − 1)2 Ta có: f ( x ) ≥ ⇔ m ≤ x − x + Đặt g( x ) = x − x + ⇒ g '( x ) = x − Hàm số (2) đồng biến (2; +∞) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ m ≤ g( x ) [2; +∞ ) Dựa vào BBT hàm số g( x ), ∀x ∈ (−∞; −1] ta suy m ≤ Vậy m ≤ hàm số (2) đồng biến (2; +∞) Baøi 13 Cho hàm số y = x − 3x + m (2) x −1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng (1;2) • Tập xác định: D = R \ {1} y ' = 2x2 − 4x + − m ( x − 1) = f (x) ( x − 1)2 Ta có: f ( x ) ≥ ⇔ m ≤ x − x + Đặt g( x ) = x − x + ⇒ g '( x ) = x − Hàm số (2) đồng biến (1;2) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;2) ⇔ m ≤ g( x ) [1;2] Dựa vào BBT hàm số g( x ), ∀x ∈ (−∞; −1] ta suy m ≤ Vậy m ≤ hàm số (2) đồng biến (1;2) Baøi 14 Cho hàm số y = x − 2mx + 3m2 (2) 2m − x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến khoảng (−∞;1) • Tập xác định: D = R \ { 2m} y ' = − x + 4mx − m 2 ( x − 2m) = f (x) ( x − 2m)2 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn Đặt t = x − facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TỐN – Thầy Hùng Khi bpt: f ( x ) ≤ trở thành: g(t ) = −t − 2(1 − 2m)t − m2 + 4m − ≤ Hàm số (2) nghịch biến (−∞;1) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (−∞;1) ⇔ 2m >   g(t ) ≤ 0, ∀t < (i) m = ∆ ' =  m ≠  ∆ ' > m = (i) ⇔   ⇔  ⇔ S>0 4m − >   m ≥ +   m2 − 4m + ≥ P ≥   Vậy: Với m ≥ + hàm số (2) nghịch biến (−∞;1) Baøi 15 Cho hàm số y = x − 2mx + 3m2 (2) 2m − x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến khoảng (1; +∞) • Tập xác định: D = R \ { 2m} y ' = − x + 4mx − m 2 ( x − 2m) = f (x) ( x − 2m)2 Đặt t = x − Khi bpt: f ( x ) ≤ trở thành: g(t ) = −t − 2(1 − 2m)t − m2 + 4m − ≤ Hàm số (2) nghịch biến (1; +∞) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ 2m <   g(t ) ≤ 0, ∀t > (ii) m = ∆ ' =  m ≠  ∆ ' > (ii) ⇔   ⇔ m ≤2− ⇔    4m − <  S <   m2 − 4m + ≥ P ≥   Vậy: Với m ≤ − hàm số (2) nghịch biến (1; +∞) Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 04 BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P1 I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ TỚI HAI TRỤC TỌA ĐỘ, HAI TIỆM CẬN Cho hàm số ( C ) : y =  ax + b  ax + b , M ( xo ; yo ) ∈ ( C )  M  xo ; o →  cx + d  cxo + d  Khoảng cách từ M đến trục Ox d1 = yo = axo + b cxo + d Khoảng cách từ M đến trục Oy d = xo d d d = xo + c c a a Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang y = d = yo − c c Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x = − Khoảng cách từ M đến đường thẳng d : Ax + By + C =  d5 = → Khoảng cách hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB )  AB = → Axo + Byo + C A2 + B ( x A − xB ) + ( y A − y B ) x−2 x +1 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cho a) khoảng cách từ M đến Oy ba lần khoảng cách từ M đến Ox b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Hướng dẫn giải:  x −2 x−2  M  xo ; o → Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y =  x +1 xo +   Ví dụ 1: Cho hàm số ( C ) : y = a) Khoảng cách từ M đến trục tọa độ lần d1 = xo ; d = yo  3xo −  x + = xo  xo − xo + = ⇒ vno xo − o Theo ta có d1 = 3d ⇔ xo = yo ⇔ xo = ⇔ ⇔  3xo − xo + →  xo + xo − =  xo = −2 ± 10  = − xo  xo +  Vậy có hai điểm M với hoành độ xo = −2 ± 10 thỏa mãn yêu cầu toán b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận ngang y = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = xo + Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d = yo − = Theo ta có d1 = 2d ⇔ xo + = xo − −1 = xo + xo + ⇔ xo + = ±  xo = −1 ± → xo + Vậy có hai điểm M với hồnh độ xo = −1 ± thỏa mãn yêu cầu toán 2x + x −3 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I giao điểm hai đường tiệm cận Hướng dẫn giải:  2x + 7  Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = =2+  M  xo ;2 + →  x−3 x−3 xo −   Ví dụ 2: Cho hàm số ( C ) : y = Đồ thị có tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = nên giao điểm hai tiệm cận I(3 ; 2) Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chun đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Ta có MI = ( xM ( xo − 3)2 + ( yo − )2 − xI ) + ( y M − y I ) = 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ( xo − 3) + Vậy MI = 14 ⇔ ( xo + 3) = 49 ( xo + 3) 49 ( xo − 3) ≥2 =    =  xo −  ( xo − 3)2 +  ( xo − 3)2 49 ( xo − 3)2 ( xo − 3)2 + 49 ( xo − 3)2 = 14  MI ≥ 14 → ⇔ ( xo + 3) = ⇔ xo + = ±  xo = −3 ± → 2 Vậy có hai điểm M với hồnh độ xo = −3 ± thỏa mãn yêu cầu toán 2x + cho x +1 a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy c) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ Hướng dẫn giải:  2x +  Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị ⇒ M  x0 ;  x0 +   Ví dụ Tìm M thuộc đồ thị hàm số y = Đồ thị có tiệm cận đứng x + = tiệm cận ngang y − = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang d2 = |y0 – 2|  y0 = x0 + Theo ta có d1 = 2d ⇔ x0 + = y0 − ⇔   y0 = − x0 +  x0 = ⇒ y0 = 2x + Với y0 = x0 + ⇔ = x0 + ⇔ x0 + x0 = ⇔  x0 +  x0 = −2 ⇒ y0 = 2x + Với y0 = − x0 + ⇔ = − x0 + ⇔ x0 + x0 + = 0, phương trình vơ nghiệm x0 + Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn đề M(0; 3) M(–2; 1) b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến trục Oy d2 = |x0|   x0 = ⇒ y0 = Theo ta có d1 = 3d ⇔ x0 + = x0 ⇔   x = − ⇒ y = 10   1 8  10  Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn M  ;  , M  − ;   3  3 2x + 2x + + 1 c) Ta có y = = =2+ x +1 x +1 x +1   Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị ⇒ M  x0 ;2 +  x0 +   Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng h1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang h2 = y0 − = x0 + Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = h1 + h2 = x0 + + BDT Co-si ≥ x0 + =2⇒d ≥2 x0 + x0 +   x0 + = ⇒ x0 = ⇒ y0 = Dấu đạt x0 + = ⇔ ( x0 + 1) = ⇔  x0 +  x0 + = −1 ⇒ x0 = −2 ⇒ y0 =   7 Vậy đồ thị có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu M  0;  , M ( −2;1)  3 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài Cho hàm số ( C ) : y = 2x + x −1 Tìm điểm M (C) cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận Bài Cho hàm số ( C ) : y = x +1 2x + Tìm điểm M (C) cho a) tiếp tuyến M vng góc với đường thẳng IM, với I giao điểm hai tiệm cận b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận II TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TIỆM CẬN Giả sử có đồ thị hàm số y = f ( x) , f(x) g(x) hàm bậc g ( x)  f (a)  Điểm M thuộc đồ thị nên M  a;   g (a)  Đồ thị có tiệm cận đứng x = α hay x – α = có tiệm cận ngang y = β hay y – β = d1 = a − α k  → Khoảng cách từ M đến tiệm cận  k  d = d1 + d = a − α + f (a) a−α −β = d = g (a) a−α  Theo bất đẳng thức Cô-si ta d = a − α + ⇒ d = k ⇔ a − α = k a−α ⇔ a−α = k a−α ≥ a−α k ⇔a=α± k a−α =2 k k  M → x , ( C ) Tìm điểm M thuộc đồ thị cho x+2 a) M có tọa độ số nguyên b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ Hướng dẫn giải: x x+2−2 a) Ta có y = = =1− x+2 x+2 x+2  x + = ±1 Gọi M(x; y) thuộc đồ thị, để M có tọa độ số ngun ( x + ) ⇔   x + = ±2 x + = ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ M ( −1; −1) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x + = −1 ⇔ x = −3 ⇒ y = ⇒ M ( −3;3) x + = ⇔ x = ⇒ y = ⇒ M ( 0;0 ) x + = −2 ⇔ x = −4 ⇒ y = ⇒ M ( −4;2 ) Vậy đồ thị hàm số có điểm M có tọa độ số nguyên a   b) Giả sử M  a;  ∈ ( C ) điểm cần tìm  a+2 Đồ thị có tiệm cận đứng x + = tiệm cận ngang y – = Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a + , khoảng cách đến tiệm cận ngang d = Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a + + Vậy d = 2 ⇔ a + = a −1 = a+2 a+2 2 ≥2 a+2 =2 a+2 a+2 ⇔ a + = ± ⇔ a = −2 ± a+2   −2 +  2+  Từ ta hai điểm M thỏa mãn M  −2 + 2;  , M  −2 − 2;          2x + Ví dụ 2: Cho hàm số y = , ( C ) Tìm điểm M thuộc đồ thị cho x−3 a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận Hướng dẫn giải: x + 2( x − 3) + 7   Ta có y = = =2+ Giả sử M  a; +  ∈ ( C ) điểm cần tìm x−3 x−3 x−3 a −3  Đồ thị có tiệm cận đứng x − = tiệm cận ngang y – = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a − , khoảng cách đến tiệm cận ngang d = a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a − + 7 = a−3 a−3 7 ≥ a −3 =2 a −3 a −3 ⇔ a −3= ± ⇔ a = 3± a −3 Từ ta hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Vậy d = ⇔ a − = a = a =  a − =1 b) Theo ta có d = d1 + d = a − + = ⇔ ( a − 3) − a − + = ⇔  ⇔  a = 10 a−3 a −3 =7    a = −4 Tương ứng đồ thị có điểm M thỏa mãn M1 ( 4;9 ) , M ( 2; −5 ) , M (10;3) , M ( −4;1) 2x + m , ( C ) Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số x −1 Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ 10 Hướng dẫn giải:  2a + m  Giả sử M  a;  ∈ ( C ) điểm cần tìm a −1   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x – = tiệm cận ngang y – = Ví dụ 3: Cho hàm số y = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d1 = a − khoảng cách đến tiệm cận ngang d = Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận d = d1 + d = a − + 2a + m m+2 −2 = a −1 a −1 m+2 m+2 ≥ a −1 =2 m+2 a −1 a −1  m = 23 ⇒ d = m + = 10 ⇔ m + = 25 ⇔   m = −27 Với m = 23 ta có điều kiện cho dmin: a − =  a = ⇒ M ( 6;7 ) 25 ⇔ a −1 = ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4; −3)  Với m = −27 ta có điều kiện cho dmin: a − =  a = ⇒ M ( 6; −3) 25 ⇔ a −1 = ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4;7 )  Vậy có hai giá trị m thỏa mãn tương ứng có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài Cho hàm số ( C ) : y = x +1 2x −1 Tìm điểm M (C) cho a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy b) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận d) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận Bài Cho hàm số ( C ) : y = 3x − 2x + Tìm điểm M (C) cho a) M có tọa độ số nguyên b) khoảng cach từ M đến hai trục tọa độ c) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 04 BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P2 III TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TRỤC TỌA ĐỘ Giả sử có đồ thị hàm số y = f(x) f(x) hàm phân thức bậc Bài tốn đặt tìm điểm M thuộc đồ thị có tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ Ox, Oy nhỏ Giả sử M ( a; f ( a) ) , tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ d = a + f (a)  M ( 0; y0 ) G ọi  giao điểm đồ thị trục Ox Oy (thông thường ta lấy giao với trục Ox)  M ( x0 ;0 )  Khi d = y0 = k > a ta ln có d > 1)  xo = −1 2 xo − 3xo + xo + xo − Khi ≤ xo <  d = xo − → =  d ′ = → =0⇔   xo = 3xo + xo + xo + 1) (   1 Lập bảng biến thiên ta d = d   = 3 x − −3 xo − xo + −4 Khi −1 < xo <  d = − xo − o → =  d ′ = →  d = a + → ≥ a >  d > 2, ∀ a > → a +1 Ví dụ 2: Cho hàm số y = Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Nếu 2a − 2a − 2a − 2a − >  d = a + → ≥ >  d > 2, ∀ → >2 a +1 a +1 a +1 a +1 a ≤2  Do đó, để tìm GTNN d, ta xét :  2a − ⇔ ≤ a ≤ , (*) ≤2   a +1 − 2a 6 Với < a <  d = a + → =a−2+ = a +1+ − ≥ − 3, a +1 a +1 a +1 Dấu “=” xảy a = − (thỏa mãn (*)) ( → Từ (1), (2) suy d = − ⇔ a = −  M Vậy điểm M cần tìm M = ( − 1; − ) − 1; − (2) ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài Cho hàm số ( C ) : y = 2x + x−2 Tìm điểm M (C) cho a) M có tọa độ số nguyên b) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ d) tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ Ox, Oy nhỏ Bài Cho hàm số ( C ) : y = x+2 2x − Tìm điểm M (C) cho a) M có tọa độ số nguyên b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cận c) tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận nhỏ d) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ IV KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN HAI NHÁNH CỦA ĐỒ THỊ g ( x) k =α+ h( x ) x−a Đồ thị có tiệm cận đứng x = a, phần đồ thị nằm bên phải x = a gọi nhánh trái đồ thị, phần đồ thị nằm bên phải đường x = a gọi nhánh phải đồ thị Gọi M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) tương ứng điểm thuộc nhánh trái nhánh phải đồ thị Giả sử có đồ thị hàm số y = f ( x) = a − x1 > Khi x1 < a < x2 ⇔   x2 − a > Khoảng cách hai điểm MN cho MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 − x1 )  k k  + −   x2 − a x1 − a  t = a − x1 ⇒ t1 >  x1 − a = −t1 Đặt  ⇔ t2 = x2 − a ⇒ t2 >  x2 − a = t2 Thay vào biểu thức tính MN dùng Cơ-si đánh giá ta thu MNmin x+3 Ví dụ: Cho hàm số y = , (C ) x−3 Tìm (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác cho độ dài AB ngắn Hướng dẫn giải: x+3 Ta có y = =1+ x −3 x−3 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng   6     2 Gọi A  x1 ;1 + −  ; B  x2 ;1 +  điểm thuộc đồ thị hàm số ⇒ AB = ( x2 − x1 ) +   x1 −   x2 −    x2 − x1 −  3 − x1 > Giả sử A thuộc nhánh trái B thuộc nhánh phải, x1 < < x2 ⇔   x2 − > t = − x1 ⇒ t1 >  x1 − = −t1 Đặt  ⇔ ⇒ x2 − x1 = t2 + t1 t2 = x2 − ⇒ t2 >  x2 − = t2 2  6 36 36 72  36   36   72  2 Ta có AB = ( t2 + t1 ) +  +  = t12 + t2 + + + 2t1t2 + =  t1 +  +  t2 +  +  2t1t2 +  t1t2  t1t2  t1 t2 t1   t2    t2 t1  t12 + Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có 36 36 ≥ t12 = 12 t1 t1 t2 + 36 36 ≥ t2 = 12 t2 t2 2t1t2 + 72 72 ≥ 2t1t2 = 24 t1t2 t1t2  36   36   72  Khi AB =  t12 +  +  t2 +  +  2t1t2 +  ≥ 12 + 12 + 24 = 72 ⇒ AB ≥ t1t2  t1   t2     36 t1 = t1 t1 =   A − 6;1 −     36   t1 =  x1 = −  ⇒ ABmin = ⇔ t2 = ⇔ t2 = ⇔  ⇔   → t2 t2 =  x2 = +  t t =  A + 6;1 +     12  72 2t1t2 = t1t2   ( ( ) ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài Cho hàm số ( C ) : y = x +1 x−2 Tìm điểm M (C) cho a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm nhỏ b) khoảng cách MI ngắn nhất, với I giao hai tiệm cận c) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ d) Tìm (C) hai điểm MN thuộc hai nhánh khác cho MN ngắn Bài Cho hàm số ( C ) : y = x −1 2x + Tìm điểm M, N (C) thuộc hai nhánh khác cho độ dài MN nhỏ Bài Cho hàm số ( C ) : y = x x +1 Tìm điểm A, B (C) thuộc hai nhánh khác cho độ dài MN nhỏ V MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TƯƠNG GIAO Cho hàm số ( C ) : y = ax + b đường thẳng d : y = mx + n cx + d ax + b d = mx + n có hai nghiệm phân biệt khác − cx + d c giao điểm, A ( xA ; mxA + n ) , B ( xB ; mxB + n ) Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt A, B phương trình Giả sử A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng  AB = → ( x A − xB ) + ( y A − yB ) = ( x A − xB ) +m ( x A − xB ) = (m ) +  ( x A + xB ) − x A x B    x A − xB m2 + Sử dụng Vi-ét cho phương trình hồnh độ giao điểm ta kết toán  −b + ∆  xA = ∆ ∆′  2a  xA − xB = → = Ngồi cách biến đổi ta thực sau :  a a  x = −b − ∆ B  2a  ∆′ ∆ Khi AB = x A − xB m + = m2 + = m2 + a a ( ) 2x + 1− x Gọi d đường thẳng qua M(1; 1) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) hai điểm A, B cho AB = 10 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M(1; 3) có hệ số góc k nên d : y = k(x −1) + 2x + Phương trình hồnh độ giao điểm: = kx + − k ⇔ g ( x) = kx + ( − 2k ) x + k + = 0, (1) 1− x Để hai đồ thị cắt hai điểm A, B phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác k ≠ k ≠  k ≠  Ta có điều kiện: ∆ = ( − 2k ) − 4k ( k + 3) > ⇔  ⇔ ( *) 9 − 24k > k <  g (1) = ≠  24  Với điều kiện (*) d cắt (C) hai điểm A, B 3k − 3   x1 + x2 = k = − k  Theo định lí Vi-ét ta có  x x = k + =1+  k k  Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = Gọi A ( x1 ; kx1 + − k ) ; B ( x2 ; kx2 + − k ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + k ( x2 − x1 ) = (k 2 + 1) ( x1 + x2 ) − x1 x2     3 12  Theo giả thiết ta có AB = 10 ⇔ AB = 90 ⇔ ( k + 1)  −  − −  = 90 k k    ⇔ ( − 24k ) ( k + 1) = 90k ⇔ 24k + 81k + 24k + = ⇔ ( k + 3) ( 8k + 3k − 1) =  k = −3  k = −3   → ⇔ **  k = −3 ± 41 ( ) 8k + 3k − =  16  Vậy với k thỏa mãn (**) d cắt (C) A, B AB = 10 3x − Ví dụ 2: Cho hàm số ( C ) : y = x −1 Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; 3) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M(1; 3) có hệ số góc k nên d : y = k(x −1) + 3x − Phương trình hồnh độ giao điểm: = kx + − k ⇔ g ( x) = kx − 2kx + k − = 0, (1) x −1 Để hai đồ thị cắt hai điểm A, B phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác k ≠ k ≠  ⇔ k > ( *) Ta có điều kiện:  ∆ ' = k − k ( k − 1) > ⇔  k >  g (1; k ) = −1 ≠  Gọi A ( x1 ; kx1 + − k ) ; B ( x2 ; kx2 + − k ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + k ( x2 − x1 ) = x2 − x1 Trong x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn k2 +1 facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Từ ta AB = ∆' k k2 +1 = k + = ⇔ k ( k + 1) = k a k ⇔ k + = 3k ⇔ k − 3k + = ⇔ k = ⇔ k ( k + 1) = 3k 3± 3± giá trị cần tìm 2x Ví dụ 3: Cho hàm số ( C ) : y = x −1 Tìm giá trị m để đường thẳng d : y = mx − m + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho đoạn AB có độ dài nhỏ Hướng dẫn giải: 2x Phương trình hồnh độ giao điểm: = mx − m + ⇔ g ( x) = mx − 2mx + m − = 0, (1) x −1 Để hai đồ thị cắt hai điểm A, B phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác m ≠ m ≠  Ta có điều kiện: ∆ ' = m − m ( m − ) > ⇔   m > ( *) → 2m >  g (1) = −2 ≠  Đối chiếu với (*) ta k = Giả sử A ( x1 ; mx1 − m + ) ; B ( x2 ; mx2 − m + )  AB = → ( x2 − x1 ) + m2 ( x2 − x1 ) = x2 − x1 2m ( m + 1) ( m + 1) ∆' 2m 2 ⇔ AB = m +1 = m +1 = =2 ≥ = a m m2 m Vậy ABmin = m = 2x + Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x+2 Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt (C) hai điểm A, B cho AB nhỏ Hướng dẫn giải: 2x + Phương trình hồnh độ giao điểm: : = − x + m ⇔ g ( x) = x + (4 − m) x + − 2m = 0, x+2 Để hai đồ thị cắt hai điểm A, B phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác −2   ∆ = ( − m ) − (1 − 2m ) >  m + 12 >  Ta có điều kiện:  ⇔  m ≠ (*) →  g (−2) = 2m − ≠ m ≠   Giả sử A ( x1 ; − x1 + m ) ; B ( x2 ; − x2 + m )  AB = ( x2 − x1 ) + ( x1 − x2 ) = ( x2 − x1 ) → ⇔ AB = x2 − x1 m2 + (1) 2 = ∆ = m + 12 ≥ 12 = ⇔ m = Khi m = AB nhỏ BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài Cho hàm số ( C ) : y = x +1 , đường thẳng d : y = 2x + m Tìm m để d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B x−3 a) AB = b) độ dài AB ngắn c) Tìm quỹ tích trung điểm AB 2x −1 Bài Cho hàm số ( C ) : y = , đường thẳng d qua M(2 ; 1) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) hai điểm x+2 phân biệt A, B a) AB = 2 b) độ dài AB ngắn x+3 Bài Cho hàm số y = , (C) x+2 Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Tốn – www.moon.vn facebook: LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng CMR đường thẳng d : y = Chuyên đề HÀM SỐ x − m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Xác định m cho độ dài đoạn AB nhỏ 2x + , có đồ thị (C) x +1 CMR đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Xác định m cho độ dài đoạn AB ngắn Bài Cho hàm số y = VI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TIẾP TUYẾN 2x + =2+ x−2 x−2 Gọi d tiếp tuyến (C) M(0; 1) Hãy tìm (C) điểm có hồnh độ x > mà khoảng cách từ đến d ngắn Hướng dẫn giải: 5 Ta có : y′ = − ⇒ y′(0) = − ( x − 2) Ví dụ 1: Cho hàm số ( C ) : y = 5 ( x − 0) + = − x + ⇔ 5x + y − = 4 Gọi M ( x; y ) ∈ (C ) với x > Khoảng cách từ M đến d d(M; d) Phương trình tiếp tuyến d M : y = − 5x − y +  20  5x +  + 5x + + −4 = x−2 x−2 25 + 16 41 41 41  x = 20 20 ⇒ g ( x) = x + + , ( x > 1) ; g '( x) = − =0⇔ x−2 ( x − 2) x = Lập bảng biến thiên, ta thấy g(x) = g(4) = 34 34  9 Kết luận : h( M ;d ) = x = 4; y = ⇒ N  4;  41  2 2x + Ví dụ 2: Cho hàm số ( C ) : y = x−2 Tìm hai điểm M, N thuộc (C) cho tiếp tuyến M, N song song với khoảng cách hai tiếp tuyến lớn Hướng dẫn giải: 2x + 5 Ta có y = =2+ ⇒ y′ = − x−2 x−2 ( x − 2) ⇒ d ( M ;d ) = = 5x − y + =  kM = − ( x1 − )  Gọi M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ∈ ( C ) , ( x1 ≠ x2 ) ⇒  k = −  N ( x2 − )  Nếu hai tiếp tuyến song song với 5 2 kM = k N ⇔ − =− ⇔ ( x2 − ) − ( x1 − ) = ⇔ ( x2 − x1 )( x2 + x1 − ) = 2 ( x1 − ) ( x2 − ) ⇔ x1 + x2 − = ⇔ x1 − = − x2 Khoảng cách hai tiếp tuyến ngắn MN vng góc với hai tiếp tuyến ⇔ kMN kM = −1 Trong k MN = k MN k M = ( *)  −5 ( x2 − x1 ) y2 − y1    = =−  +  −2+  = x2 − x1 ( x2 − x1 )  x2 −   x1 −   ( x2 − x1 )( x2 − )( x1 − ) ( x2 − )( x1 − ) 5 ( x2 − )( x1 − ) ( x1 − ) = −1 ⇔ 5 = −1 ( − x1 )( x1 − ) ( x1 − )2 ⇔ 25 x14 − 150 x13 + 400 x12 − 200 x1 − = ⇒ x1 25 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − x + ⇔ x1 ( x1 − ) = Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tìm hai điểm M, N thuộc (C) cho tiếp tuyến M cắt (C) N cho MN = Hướng dẫn giải:  x = −1 Đạo hàm y ' = x − = ⇔  x =1 Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = x0 − x0 + Tiếp tuyến M có phương trình ( d ) : y = ( 3x02 − 3) ( x − x0 ) + x03 − 3x0 + = ( x0 − 1) ( x0 + 1)( x − x0 ) + ( x02 + x0 − )   Nếu d cắt (C) N ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − x + = ( x0 − 3) ( x − x0 ) + x0 − 3x0 + 2 ⇔ x3 − x0 − ( x − x0 ) − ( x0 − 3) ( x − x0 ) = ⇔ ( x − x0 ) ( x + xx0 + x0 ) − − ( x0 − 3)  =    x = x0  x − x0 =  x = x0  ⇔ ⇔  x = −4 x0 ⇔   x = −4 x0  x + xx0 − x0 =   x = x0 ( Như vậy, điểm N điểm có hoành độ xN = −4 x0 ⇒ N −4 x0 ; ( x0 + 1) ( x0 − ) Ta có : MN = ( −5 x0 ) 2 + ( x0 + 1) ( x0 − ) − ( x0 − 1) ( x0 − )    ) 2 2 ⇔ MN = 25 x0 + ( −65 x0 + 15 x0 ) = x0 + ( − 13 x0 ) = x0 169 x0 − 78 x0 + 10 2 2 Theo giả thiết x0 169 x0 − 78 x0 + 10 = ⇔ ( 25 x0 )(169 x0 − 78 x0 + 10 ) = 24 Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − x + Tìm hai điểm A, B thuộc (C) cho tiếp tuyến A, B song song với AB = Hướng dẫn giải:  k A = x12 − x1  Ta có y ' = x − x ⇒   k B = 3x2 − x2  Nếu hai tiếp tuyến A, B song song :  x1 ≠ x2 ⇔ 3x2 − x2 = x12 − x1 ; ⇔ ( x2 − x1 )( x2 + x1 − ) = ⇔   x1 + x2 = (*) 2 - Do A, B ∈ (C ) ⇒ y1 = x13 − x12 + 1; y2 = x2 − x2 + ⇔ y2 − y1 = ( x2 − x1 ) ( x12 + x1 x2 + x2 ) − ( x1 + x2 )    ⇔ y2 − y1 = ( x2 − x1 ) ( x1 + x2 ) − ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ( x2 − x1 )( − 3.2 − x1 x2 ) = − ( x2 − x1 )( + x1 x2 )   ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) ( + x1 x2 ) = x2 − x1 + ( + x1 x2 ) 2 (**) Theo giả thiết ta có 2 2 x2 − x1 + ( + x1 x2 ) = ⇒ ( x2 − x1 ) 1 + ( + x1 x2 )  = 32 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2  1 + ( + x1 x2 )  = 32      Đặt t = x1 x2 , thay x1 + x2 = (do *) ta có : ( − 4t ) ( + 4t + t ) − 32 = 0; ⇔ t + 3t + t + = ⇔ ( t + 1) ( t + 3) = ⇒ t = −3   x1 = −1   x1 + x2 =  X = −1   x2 = Vậy ta có hệ  ⇒ X − 2X − = ⇒  ⇔ x = X =  x1 x2 = −3    x2 = −1   A ( −1; −3) ; B ( 3;1) thỏa mãn u cầu tốn Do tồn hai điểm   A ( 3;1) ; B ( −1; −3)  Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 ... Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 01 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM... để đạt điểm Toán – www .moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề HÀM SỐ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng 02 BÀI TOÁN BIỆN LUẬN SỐ TIẾP TUYẾN Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − x... gia khóa TỐN 2014 để đạt điểm Toán – www .moon.vn facebook: LyHung95 Chuyên đề Hàm số LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng