SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm) Cho hàm số: 2 2 2( 1) 1y x m x m= − + + + − , (1) ( m là tham số) và điểm (2; 2)K − 1) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác KAB vuông tại K . 2) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 1] bằng 1. Câu 2 (5,0 điểm) 1) Giải phương trình: 2 2 5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = + ( x∈¡ ) 2) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 (2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0 1 2 3 2 x y x y x y x y x y  + − − + − =   + + =  −  ( ) ;x y ∈¡ Câu 3 (5,0 điểm) 1) Cho góc · 0 60xOy = . Gọi ,M N là hai điểm tương ứng di động trên ,Ox Oy thỏa mãn: 1 1 2012 2013OM ON + = . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 2) Cho tam giác ABC có , ,BC a CA b AB c= = = . Gọi ,O H tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC ; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng: 2 2 2 4AH R a= − Câu 4 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ ( )Oxy cho 3 điểm (1;1)A , (2;0)B và (3;4)C . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm B và C đến đường thẳng ∆ đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (2,0 điểm) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn: 2013x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 xy yz zx P x y z y z x z x y = + + + + + + + + HẾT Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………………. Người coi thi số 1:…………………………… Người coi thi số 2:………………………… . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm) Cho hàm số: 2 2 2(. + + + + + + + + HẾT Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Họ và tên thí sinh: ………………………………Số báo danh:………………………………. Người coi thi số 1:…………………………… Người coi thi số 2:………………………… . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác KAB vuông tại K . 2) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt giá trị lớn nhất