A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN 1. Chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn 0. Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |u n | ≤ v n , ∀n và lim v n = 0 thì limu n = 0 - Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim 0 1 n = , lim 0 1 n = , 3 lim 0 1 n = , lim 0 n q = với | q| < 1 2. Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số. Phương pháp: - Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số: +) Nếu limu n = +∞ thì lim 0 1 n u = - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số: +)Nếu ( ) 0 lim x x f x → = +∞ thì ( ) 0 lim 0 1 x x f x → = - Chú ý khi gặp các dạng vô định: 0 ; ; ;0. 0 ∞ ∞ −∞ ∞ ∞ ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;… 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cho CSN (u n ) lùi vô hạn (với 1<q ), ta có : 1 1 1 1 1 n u S u u q u q q + = + + + = − L L limu n limv n = L lim(u n v n) +∞ L >0 +∞ +∞ L < 0 −∞ −∞ L >0 −∞ −∞ L < 0 +∞ limun=L limvn Dấu của v n lim n n u v L >0 0 + +∞ L > 0 - −∞ L < 0 + −∞ L < 0 - +∞ 4. Xét tính liên tục của hàm số Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x 0 : +) Tính f(x 0 ) +) Tìm ( ) 0 lim x x f x → (nếu có) - Nếu ( ) 0 lim x x f x → không tồn tại ⇒ f(x) gián đoạn tại x 0 . - Nếu ( ) ( ) 0 0 lim x x f x L f x → = ≠ ⇒ f(x) gián đoạn tại x 0 - Nếu ( ) ( ) 0 0 lim x x f x L f x → = = ⇒ f(x) liên tục tại x 0. ( ) ( ) ( ) 2 2 sin ' cos cos ' sin 1 tan ' cos 1 (cot )' sin x x x x x x x x = = − = = − Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b). CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 1. Tìm đạo hàm của hàm số Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm +) Các quy tắc tính đạo hàm: ' 2 ' 2 ( )' ' ' ( . )' '. '. ( . )' . ' '. '. 1 ' u v u v u v u v v u k u k u u u v v u v v v v v ± = ± = + = −   =  ÷     = −  ÷   ( ) ( ) ( ) 1 ' 2 ' 0 ; ' 1; ' . 1 1 1 ; ' 2 n n c x x n x x x x x − = = =   = − =  ÷   ( ) ( ) 1 ' 2 ' . . ' 1 ' ' ' 2 n n u nu u u u u u u u − =   = −  ÷   = +) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu ( ) [ ( )]g x f u x = thì ' ' ' . x u x g f u = +) Đạo hàm của các hàm số lượng giác: ( ) ( ) ( ) 2 2 sin ' cos cos ' sin 1 tan ' cos 1 (cot )' sin x x x x x x x x = = − = = − ( ) ( ) ( ) 2 2 sin ' '.cos cos ' '.sin ' tan ' cos ' (cot )' sin u u u u u u u u u u u u = = − = = − 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Phương pháp: Pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M 0 có hoành độ x 0 có dạng: y = f’(x 0 ) (x – x 0 ) + f(x 0 ) 3. Vi phân - Vi phân của hàm số tại nột điểm: 0 0 ( ) '( ).df x f x x= ∆ - Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: 0 0 0 ( ) ( ) '( )f x x f x f x x+ ∆ ≈ + ∆ - Vi phân của hàm số: ( ) '( )df x f x dx= hay 'dy y dx= 4. Đạo hàm cấp cao - Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’. - Đạo hàm cấp n của hàm số: f (n) = [f (n-1) ]’. B. HÌNH HỌC I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP  Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 0 90 . • Phương pháp 2: . 0a b u v⊥ ⇔ = r r ( , u v r r lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b). • Phương pháp 3: Chứng minh ( )a b α ⊥ ⊃ hoặc ( )b a β ⊥ ⊃ • Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( 'a b a b⊥ ⇔ ⊥ với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a).  Dạng 2 : Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P). • Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P) • Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P) • Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q). • Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P).  Dạng 3 : Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc. • Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q). • Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q). • Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q).  Dạng 4 : Tính góc giữa 2 đt a và b. • Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’).  Dạng 5 : Tính góc giữa đt d và mp(P). • Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ +) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 90 0 . +) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P) - Khi đó: ϕ = (d,d’)  Dạng 6 : Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q). • Phương pháp 1: - Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q). - Tính góc ϕ = (a,b) • Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d - Tìm (R) ⊥ d - Xác định a = (R) ∩ (P) - Xác định b = (R) ∩ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b).  Dạng 7 : Tính khoảng cách. • Tính khoảng từ một điểm M đến đt a: Phương pháp: ( , )d M a MH= (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a). • Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P). - d (M, (P)) = AH • Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó : d ( ∆ , (P)) = d (M, (P)) (M là điểm thuộc ∆). • Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b: +) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b : - Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b - Xác định A = (P) ∩ b - Dựng hình chiếu H của A lên b - AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2: - Dựng (P) ⊃ a và (P) // b. - Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ ∩ a = H - Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A. - AH là đoạn vuông góc chung của a và b. +) Phương pháp 2: - Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O - Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O). - Kẻ IK ⊥ b’ tại K. - Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H. - Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A. - AH là đoạn vuông góc chung của a và b. MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ 1 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 – TOÁN 11 Thời gian: 90 phút Năm học: 2012 – 2013 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH (8,0 điểm) Câu I (3,0 điểm) 1) (2.0 điểm) Tính giới hạn của hàm số và dãy số a) n n n n 3 3 2 2 3 1 lim 2 1 + + + + b) 3 2 53 lim 3 2 − + −       → x x x 2) (1.0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1: x x khi x f x x a khi x 2 2 1 ( ) 1 1 1  − −  ≠ − =  +  + = −  Câu II (3,0 điểm) 1) (2.0 điểm) Tính đạo hàm của hàm số = + + − + = + 2 4 2 3 1 cos ) 3 1 ) sin x x a y x b y x x xx x 2) (1.0 điểm) Cho hàm số y x x 2 ( 1) = + . Giải bất phương trình y 0 ′ ≤ . Câu III (2,0 điểm) Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 với O là tâm của hình vuông ABCD. a) CMR: BD vuông (SAC); b) Tìm tan của góc hợp bởi SC và (ABCD); c) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (2,0 điểm) A. PHẦN 1 (THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN) Câu IVa ( 2,0 điểm) 1) (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 07102 5 =−+ xx có ít nhất một nghiệm dương. 2) (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) : 73 2 +−= xxy tại điểm có hoành độ bằng 1. B. PHẦN 2 (THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO) Câu IVb (2,0 điểm) 1) (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 07102 5 =−+ xx có ít nhất một nghiệm dương. 2) (1,0 điểm) Cho hàm số 42 4 xxy −= có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. ĐỀ 2 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8.0 điểm) Câu I (3,0 điểm): 1. Tìm các giới hạn sau: → − + − x x x a x 2 1 3 2 / lim 1 4 2 4 2 5 / lim 2 4 n n b n n − + + 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm tại =x 0 1 :  − <  =  − −  − ≥  x neáu x f x x x neáu x 1 , 1 ( ) 2 1 2 , 1 Câu II (2,0 điểm) 1. Cho hàm số = y x xcos . Tính y 2 π   ′ ′  ÷   2. Cho hàm số = = − − + +y f x x x x 3 2 3 ( ) 2 9 2013 2 . Giải bất phương trình: ′ >f x( ) 0 . Câu III (3,0 điểm): Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D , AB AD a= = , 2CD a= . Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD , 6SD a= a) Chứng minh: SBC ∆ là tam giác vuông. b) Tính góc hợp bởi SB và ( ) ABCD . c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ) SBC . II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3.0 điểm) Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu IV.a (1,0 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: + − − =x x x 6 2 3 2 1 0 Câu V.a (1,0 điểm): Cho hàm số = = − − + +y f x x x x 3 2 3 ( ) 2 9 2013 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu IV.b (1,0 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m. + + − =m x x 2 3 2 (1 ) 1 0 Câu V.b (2,0 điểm): Cho hàm số + + = + x x y x 2 1 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Hết. ĐỀ 3 I/ PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH: (8 điểm) CÂU I: (3 điểm) 1/ Tìm các giới hạn sau: 3 2 3 2 3 2 2 3 1 4 / lim / lim 8 x n n x a b n n x →− − + − + + 2/ Xét tính liên tục của hàm số sau tại 0 1x = 1 , 1 ( ) 2 1 2 , 1 x x f x x x x −  ≠  = − −   − =  CÂU II: (2 điểm) 1/ Cho hàm số: cos sinx 1 x y = + . Tính ' 2 y π    ÷   2/ Cho hàm số: ( ) 3cos 4sin 5f x x x x= + + . Giải phương trình: '( ) 0f x = CÂU III: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA=a. a/ Chứng minh rằng: ( ) ( ) SAB SBC⊥ . b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). c/ Tính góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC). II/ PHẦN RIÊNG-PHẦN TỰ CHỌN: (2 điểm) A/ PHẦN 1: (Theo chương trình chuẩn) CÂU IVa: (2 điểm) 1/ Chứng minh rằng phương trình: 5 3 7 0x x− − = luôn có nghiệm 2/ Cho hàm số: 2 4 4y x x= − + có đồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có tung độ bằng 1 B/ PHẦN 2: (theo chương trình nâng cao) CÂU IVb: (2 điểm) 1/ Chứng minh rằng phương trình: os2 2sin 2c x x= − có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng , 6 π π   −  ÷   2/ Cho hàm số: 2 1y x= + có đồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C , biết hệ số góc tiếp tuyến là 1 3 . (Hết) ĐỀ 4 I/ PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH: (8 điểm) CÂU I: (3 điểm) 1/ Tìm các giới hạn sau: 3 2 3 2 3 2 2 3 1 4 / lim / lim 8 x n n x a b n n x →− − + − + + 2/ Xét tính liên tục của hàm số sau tại 0 1x = 1 , 1 ( ) 2 1 2 , 1 x x f x x x x −  ≠  = − −   − =  CÂU II: (2 điểm) 1/ Cho hàm số: cos sinx 1 x y = + . Tính ' 2 y π    ÷   2/ Cho hàm số: ( ) 3cos 4sin 5f x x x x= + + . Giải phương trình: '( ) 0f x = CÂU III: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA=a. a/ Chứng minh rằng: ( ) ( ) SAB SBC⊥ . b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). c/ Tính góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC). II/ PHẦN RIÊNG-PHẦN TỰ CHỌN: (2 điểm) A/ PHẦN 1: (Theo chương trình chuẩn) CÂU IVa: (2 điểm) 1/ Chứng minh rằng phương trình: 5 3 7 0x x− − = luôn có nghiệm 2/ Cho hàm số: 2 4 4y x x= − + có đồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có tung độ bằng 1 B/ PHẦN 2: (theo chương trình nâng cao) CÂU IVb: (2 điểm) 1/ Chứng minh rằng phương trình: os2 2sin 2c x x= − có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng , 6 π π   −  ÷   2/ Cho hàm số: 2 1y x= + có đồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C , biết hệ số góc tiếp tuyến là 1 3 . (Hết) . cắt b tại H. - Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A. - AH là đoạn vuông góc chung của a và b. MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ 1 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 – TOÁN 11 Thời gian: 90 phút Năm học: 2012. pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P). - d (M, (P)) = AH • Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó : d ( ∆ , (P)) = d (M, (P)) (M là điểm thuộc ∆). • Xác định đoạn vuông góc chung. liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b). CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 1. Tìm đạo hàm của hàm số Phương pháp: Áp dụng các công thức tính