Từng ngày cuộc sống đi qua Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng 1 Công thức lợng giác Công thức cộng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y x x y x y x y x y x y x y + = = + + = + = + + = = + Công thức nhân đôi 2 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2tan sin 2 2sin cos tan 2 1 tan x x x x x x x x x x x = = = = = Công thức nhân ba ( ) ( ) 3 3 sin3 sin 1 2cos2 3sin 4sin cos3 cos 2cos2 1 4 cos 3cos x x x x x x x x x x = + = = = Công thức hạ bậc 2 cos2 1 cos 2 x x = 2 1 cos2 sin 2 x x + = Một số công thức khác 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin cos 1 tan 1 cot 1 cos sin 2tan 1 tan sin 2 cos2 1 tan 1 tan x x x x x x x x x x + = + = + = = = + + Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos sin sin 2sin cos 2 2 2 2 cos cos 2sin sin sin sin 2cos sin 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + + = + = + + = = Nhận xét: Ta thấy các công thức nhân đôi sin 2 x , cos2 x , tan 2 x . Khá dễ nhớ, nhớ đợc chúng ta có thể suy ra đợc các công thức: ( ) sin x y + , ( ) cos x y + và ( ) tan x y + từ đó ta suy ra các công thức cộng còn lại. Vậy làm thế nào để nhớ đợc sin3 x và cos3 x ? Ta chỉ cần nhớ ( ) sin3 sin 1 2cos2 x x x = + , từ đó suy ra 3 sin3 3sin 4sin x x x = và 3 cos3 4 cos 3cos x x x = Và cuối cùng là công thức biến đổi tổng thành tích. Ta nhớ nh sau: "cos cộng cos ra hai cos cos, cos trừ cos ra trừ hai sin sin, sin cộng sin ra hai sin cos, sin trừ sin ra hai cos sin". Từng ngày cuộc sống đi qua Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng 2 Đờng tròn lợng giác và quan hệ giữa các cung Nhận xét: Nhìn vào đờng tròn lợng giác ta suy ra đợc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin cos , cos sin , tan cot , cot tan 2 2 2 2 sin sin , cos cos , tan tan , cot cot sin 2 sin , cos 2 cos , tan 2 tan , cot 2 cot x x x x x x x x x x x x x x x x k x x k x x k x x k x x = = = = = = = = + = + = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin , cos cos , tan tan , cot cot x x x x x x x x = = = = Bài tập Bài 1: Chứng minh rằng 2 4 4 sin 2 1. sin cos 1 2 x x x+ = 2 6 6 3sin 2 2. sin cos 1 4 x x x+ = 3. sin cos 2 sin 4 x x x + = + 4. sin cos 2 sin 4 x x x = 3 5. sin3 3sin 4sin x x x = ( ) ( ) 2 2 6. sin sin sin sin x y x y x y = + cos3 7. cos cos cos 3 3 4 x x x x + = sin3 8. sin sin sin 3 3 4 x x x x + = Từng ngày cuộc sống đi qua Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng 3 9. tan tan tan tan3 3 3 x x x x + = 1 sin 2 cos2 10. tan 1 sin 2 cos2 x x x x x + = + + ( ) ( ) sin tan tan 11. tan tan sin x y x y x y x y + + = 3 12. sin 20 sin 40 sin60 sin80 16 o o o o = sin sin3 sin(2 1) 13. tan cos cos3 cos(2 1) a a n a na a a n a + + + = + + + 1 ( 1) sin sin 2 2 14. sin sin 2 n k na n a ka a = + = ( 1) sin cos 2 2 15. cos cos2 cos3 cos sin 2 na n a a a a na a + + + + + = Các dạng phơng trình lợng giác Phơng trình lợng giác cơ bản Phơng trình bậc nhất của sin x và cos x Phơng trình đẳng cấp của sin x và cos x Phơng trình đối xứng của sin x và cos x Hàm số lợng giác Tập xác định Tập giá trị Tính chẵn - lẻ sin x [ ] 1;1 lẻ cos x [ ] 1;1 chẵn tan x \ 2 k k + Z lẻ cot x { } \ k k Z lẻ Phơng trình lợng giác cơ bản 1. 2 sin 2 x k x m x k = + = = + ( ) k trong đó ; : sin 2 2 m = 2. 2 cos 2 x k x m x k = + = = + ( ) k trong đó [ ] 0; : cos m = (Phơng trình 1 và 2 cần điều kiện 1 m ) 3. tan x m x k = = + ( ) k trong đó [ ] 0; \ : tan 2 m = Từng ngày cuộc sống đi qua Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng 4 4. cot x m x k = = + ( ) k trong đó { } ; \ 0 : cot 2 2 m = Phơng trình bậc nhất của cos x và sin x ` Dạng: sin cos a x b x c + = (*) với 2 2 0 a b + Cách giải: Ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 * sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + (1) Vì 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b + = + + nên [ ] 2 2 2 2 cos 0; : sin a a b b a b = + = + . Khi đó (1) trở thành ( ) 2 2 2 2 cos sin sin cos sin c c x x x a b a b + = + = + + (2). Câu hỏi: Giải tiếp phơng trình trên a) nếu 2 2 1 c a b > + b) Nếu 2 2 1 c a b + Phơng trình đẳng cấp của cos x và sin x Một số dạng thờng gặp Dạng 1: 2 2 sin sin cos cos 0 a x b x x c x d + + + = Dạng 2: 3 2 2 sin sin cos cos sin sin cos 0 a x b x x c x x d x e x + + + + = Cách giải: Bớc 1: Kiểm tra xem 2 2 x k = + (ứng với cos 0 x = ) có là nghiệm của phơng trình ( ) sin ,cos 0 P x x = hay không. Bớc 2: Chia hai vế của phơng trình ( ) sin ,cos 0 P x x = cho cos k x với deg k P = , đặt sin cos x t x = ta đợc một phơng trình đại số, giải phơng trình đó để tìm t rồi tìm x . Phơng trình đối xứng của cos x và sin x Dạng thờng gặp: ( ) sin cos sin cos a x x b x x c + + = (1) Cách giải Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x = + = + ( ) 2 t suy ra 2 1 sin cos 2 t x x = , khi đó (1) trở thành ( ) 2 1 0 2 b t at c + = , giải phơng trình này tìm tìm t rồi tìm x . Từng ngày cuộc sống đi qua Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng 5 Một số phơng pháp giải Đa về phơng trình cơ bản Đặt ẩn phụ Đặt thừa số chung đa về phơng trình tích Đa về phơng trình cơ bản Lu ý: sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin 3 cos 2sin 2cos 3 6 3 sin cos 2sin 2cos 6 3 x x x x x x x x x x x x + = + = + = + = + = + = và một số công thức lợng giác đã học nh công thức cộng, biến đổi tổng thành tích, VD1: Giải phơng trình sin3 3 cos3 2sin2 x x x = (1) Giải: Ta có ( ) 1 3 1 sin3 cos3 sin2 sin 3 sin 2 2 2 3 x x x x x = = ( ) ( ) 2 3 2 2 3 3 4 4 2 2 3 2 3 15 5 x x k x k k k k x x k x = + = = + = + VD2: Giải phơng trình ( ) 3 sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos4 sin x x x x x x + + = + (2) Giải: Ta có ( ) ( ) 1 3 1 2 sin sin sin 3 3 cos3 2cos4 sin sin3 2 2 2 x x x x x x x + + + = + ( ) 4 3 2 1 3 6 sin3 cos3 cos4 cos 3 cos4 2 2 6 4 3 2 6 x x k x x x x x k x x k = + + = = = + ( ) 2 2 6 2 , 6 42 72 42 7 x k k k S k k k x = + = + + = + VD3: Giải phơng trình 1 cos cos2 cos4 cos8 16 x x x x = (3) Giải: Với ( ) x k k = , ta có 1 cos cos2 cos4 cos8 1 16 x x x x = nên ( ) x k k = không là nghiệm của (3) Từng ngày cuộc sống đi qua Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng 6 Với ( ) x k k hay sin 0 x ta có ( ) 3 16sin .cos cos2 cos4 cos8 sin x x x x x x = 8sin 2 cos2 cos4 cos8 sin 4sin 4 cos4 cos8 sin x x x x x x x x x = = ( ) ( ) 2 16 2 15 2sin8 cos8 sin sin16 sin 2 1 16 2 17 k x x x k x x x x x k k x x k x = = + = = + = + = Đặt ẩn phụ Đa về phơng trình chỉ chứa một hàm số lợng giác rồi đặt ẩn phụ Lu ý: 2 2 4 4 2 6 6 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 3 sin cos 1, sin cos 1 sin 2 , sin cos 1 sin 2 2 4 cos2 1 2sin 2 cos 1, sin3 3sin 4sin , cos3 4 cos 3cos 2tan 1 tan 2tan 1 sin 2 , cos2 , tan 2 ,tan 4 1 tan 1 tan 1 tan x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + = = = = = = = = = + + tan 1 tan x x + Ngoài ra đôi khi ta cần áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức biến đổi tích thành tổng Đặt ẩn phụ các biểu thức đối xứng, các biểu thức xuất hiện nhiều lần VD1: Giải phơng trình: 6 6 2 2 sin cos 1 tan 2 4 cos sin x x x x x + = (1) Giải: ( ) 2 2 3 1 sin 2 sin2 4 1 3sin 2 sin 2 4 0 cos2 4cos2 x x x x x x = + = (*) Đặt ( ) sin2 1 t x t = , ta đợc (*) trở thành 2 3 4 0 1 t t t + = = (vì 1 t ) Suy ra ( ) sin 2 1 4 x x k k = = + VD2: Giải phơng trình sin tan 2 2 x x + = (2) Giải: ĐKXĐ cos 0 2 x . Đặt tan 2 x t = , khi đó 2 2 sin 1 t x t = + và (2) trở thành ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 0 1 1 t t t t t t t t t t t + = + + = + + = = + Do đó ( ) tan 1 2 2 2 x x k k = = + (thỏa mãn ĐKXĐ) VD3: Giải phơng trình ( ) 2 5sin 2 3 1 sin tan x x x = (3) Phân tích: Biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 sin sin 1 sin sin sin 1 sin tan 1 sin 1 sin 1 sin cos x x x x x x x x x x x = = = + + khi đó (3) trở thành phơng trình chỉ chứa sin x Giải: ĐKXĐ cos 0 x Từng ngày cuộc sống đi qua Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng 7 Ta có ( ) ( ) 2 2 2 3 1 sin sin 3sin 3 5sin 2 5sin 2 1 sin cos x x x x x x x = = + ( ) ( ) 2 2 5sin 2 1 sin 3sin 2sin 3sin 2 0 x x x x x + = + = (*) Đặt ( ) sin 1 t x t = , ta đợc (*) trở thành 2 1 2 3 2 0 2 t t t + = = (vì 1 t ) Suy ra ( ) 2 1 6 sin 2 5 2 6 x k x k x k = + = = + (đều thỏa mãn ĐKXĐ) VD4: Giải phơng trình 2 2 1 11 9 sin 2 .cos6 sin 3 .sin sin 2 2 2 x x x x+ = (4) Giải: Hãy làm gọn phơng trình trớc ! Ta có ( ) ( ) ( ) 11 9 4 2 1 cos4 cos6 2 1 cos6 2sin sin 2 2 x x x x x + = ( ) 2 2cos4 cos6 cos cos10 2 cos2 cos10 cos cos10 x x x x x x x = + = 2 cos2 cos 2 0 2cos cos 3 0 x x x x + = + = (*) Đặt ( ) cos 1 t x t = ta đợc (*) trở thành 2 2 3 0 1 t t t + = = Suy ra ( ) cos 1 2x x k k = = đa về phơng trình tích Có những bài toán đa về phơng trình tích vì ta phát hiện đợc nhân tử chung của các hạng tử nhờ vào bảng sau ( ) f x Biểu thức chứa nhân tử ( ) f x sin x sin 2 ,sin3 ,cos2 ,tan ,tan2 ,tan3 , x x x x x x cos x sin 2 ,sin3 ,cos2 ,cos3 ,tan2 ,cot ,cot3 , x x x x x x x 1 cos x + 2 2 2 2 cos ,cot ,sin ,tan 2 2 x x x x 1 cos x 2 2 2 2 sin ,tan ,sin ,tan 2 2 x x x x 1 sin x + 2 2 2 2 2 cos ,cot ,sin ,cos ,tan 4 2 4 2 x x x x x + 1 sin x 2 2 2 2 2 cos ,cot ,sin ,cos ,tan 4 2 4 2 x x x x x + sin cos x x + cos2 ,cot 2 ,1 sin2 ,1 tan ,1 cot ,tan cot x x x x x x x + + + sin cos x x cos2 ,cot 2 ,1 sin2 ,1 tan ,1 cot ,tan cot x x x x x x x Bạn đọc tự lí giải bảng trên để hiểu rõ hơn! Từng ngày cuộc sống đi qua Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng 8 VD1: Giải phơng trình 1 tan 1 sin 2 1 tan x x x + = + (1) Giải: ĐKXĐ tan 1 cos 0 x x Ta có sin sin cos 1 tan 1 cos cos x x x x x x + + = + = và ( ) 2 1 sin 2 sin cos x x x + = + . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin cos 1 1 sin cos sin cos sin cos 0 cos 1 tan cos 1 tan x x x x x x x x x x x x + = + + = ( ) 1 sin cos sin cos 0 cos sin x x x x x x + = 2 2 sin cos 0 2 sin 0 2 sin 0 4 4 1 sin cos cos2 1 cos sin 1cos sin x x x x x x x x xx x + = + = + = = + = = ( ) 4 x k k x k = + = . (Đều thỏa mãn ĐKXĐ) VD2: Giải phơng trình 2 1 cos tan 1 sin x x x + = (2) Giải: ĐKXĐ sin 1 cos 0 cos 0 x x x Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 cos 1 cos sin 1 cos tan 1 sin 1 sin cos 1 sin x x x x x x x x x + = = = + nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 0 1 0 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin x x x x x x x x + + + = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 cos cos sin cos 1 0 0 1 cos cos sin 0 1 sin 1 sin cos sin 0 x x x x x x x x + + + = = + + = + + = ( ) ( ) cos 1 2 1 2 sin 0 4 4 x x k k x x k = = + + = = + (Đều thỏa mãn ĐKXĐ) VD3: Giải phơng trình 9 cos2 3sin 2 5 2sin 3 4 x x x + + = (3) Giải: Do ( ) 2 9 2 sin 2 sin sin cos , 1 sin 2 sin cos 4 4 x x x x x x x + = + = + + = + và ( ) ( ) 2 2 cos2 cos sin cos sin cos sin x x x x x x x = = + nên ta có ( ) ( ) 3 cos2 3 sin 2 1 5 2 sin 0 4 x x x + + = (do 9 sin sin 4 4 x x + = + ) Từng ngày cuộc sống đi qua Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin cos cos sin 3 sin cos 5 sin cos 0 x x x x x x x x + + + + = ( ) ( ) ( ) sin cos cos sin 3 sin cos 5 0 x x x x x x + + + = ( ) ( ) sin cos 5 2cos 4sin 0 x x x x + = ( ) sin cos 0 2 sin 0 4 4 x x x x k k + = + = = + (bạn đọc tự chúng minh phơng trình 5 2cos 4sin 0 x x = vô nghiệm) Có những bài đa về phơng trình tích đợc nhờ các công thức lợng giác VD4: Giải phơng trình 2 2sin 2 sin7 1 sin x x x + = (4) Giải: Ta có ( ) ( ) 2 4 sin 2 1 sin7 sin 0 x x x + = ( ) cos4 2cos4 .sin3 0 cos4 2sin3 1 0 x x x x x + = = cos4 0 x = hoặc 1 sin3 2 x = ( ) 2 1 8 k x + = hoặc 2 18 3 k x = + hoặc 5 2 18 3 k x = + . Bài tập Bài 1: Đa về phơng trình cơ bản 1. 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0 x x x x = sin 2 cos2 2. tan cot cos sin x x x x x x + = 2 3. sin cos 3 cos 2 2 2 x x x + + = 4. sin 4 sin 7 cos3 cos6 x x x x = ( ) ( ) ( ) 1 2sin cos 5. 3 1 2sin 1 sin x x x x = + 2 6. 1 tan 2tan tan2 x x x = 7. tan cot 2(sin 2 cos2 ) x x x x + = + 2 8. 3 sin 2 2cos 2 2 2cos2 x x x = + ( ) 2 1 9. 1 4sin sin3 2 x x = ( ) 1 sin cos2 sin 1 4 10. cos 1 tan 2 x x x x x + + + = + Bài 2: Phơng pháp đặt ẩn phụ. 3sin 2 2sin 1. 2 sin 2 cos x x x x = 2. cos3 cos2 cos 1 0 x x x + = 3. sin3 2cos2 2 0 x x + = 4. cot 3 tan 2cot 2 3 x x x + + + = 3 3 3 5. 1 sin 2 cos 2 sin4 2 x x x + + = 2 6. cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x + = 6 6 4 4 5 7. sin cos (sin cos ) 6 x x x x + = + 1 8. cot 2 tan 2 2tan 2 x x x + = + Tõng ngµy cuéc sèng ®i qua Xin c©y ®¹o ®øc në hoa trong lßng 10 ( ) 2 2 3 9. sin cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x + − + = 4 4 4 sin 2 cos 2 10. cos 4 tan tan 4 4 x x x x x π π + =         − +             4 4 3 11. cos sin cos sin 3 4 4 2 x x x x π π         + + − − =               12. cot sin 1 tan .tan 4 2 x x x x     + + =        Bµi 3: §−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch 1) 1 sin cos sin 2 cos2 0 x x x x + + + + = 3 2 2) 4sin 4sin 3sin 2 6cos 0 x x x x + + + = 2 2 3 3 3) tan tan sin cos 1 0 x x x x − + − = 1 2(cos sin ) 4) tan cot 2 cot 1 x x x x x − = + − 3sin 3tan 5) 2 2cos tan sin x x x x x + = + − 2 2 7 6) sin cos4 sin 2 4sin 4 2 2 x x x x π     − = − −        7) 2sin cot 2sin 2 1 x x x + = + 2 1 8) sin sin2 1 cos cos 2 x x x x + = + + 6 6 2 13 9) cos sin cos 2 8 x x x − = 3 10) 8cos cos3 3 x x π     + =        1 tan 11) 1 sin 2 1 tan x x x − = + + 1 1 12) sin 2 sin 2cot 2 2sin sin2 x x x x x + − − = 2 13) cos2 sin 1 2cos 2 x x x+ + = 3 3 5 5 14) sin cos 2(sin cos ) x x x x + = + 2 1 cos 15) tan cos x x x + = 2 2 2 3 16) sin sin 2 sin 3 2 x x x + + = 8 8 10 10 sin cos 5 17) sin cos cos2 2 8 x x x x x + = + + 18) tan tan 2 sin3 cos x x x x + = 2 2 2 19) sin tan cos 0 2 4 2 x x x π     − − =        ( ) ( ) 2 cos cos 1 20) 2 1 sin sin cos x x x x x − = + + 3 3 2 21) cos sin 2sin 1 x x x + + = sin2 2 cos sin 1 22) 0 tan 3 x x x x + − − = + ( ) ( ) 23) 1 tan 1 sin2 1 tan x x x − + = + 1 1 24) 2 2 cos 4 sin cos x x x π     + + =        ( ) sin 2 sin 4 cos 2 25) 0 2sin 3 x x x x − + − = + 2 1 sin 2 cos2 26) 2 sin sin 2 1 cot x x x x x + + = + 2 2 2 2 27) sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x − = − 2 28) sin 2 sin 4 4 2 x x π π         − = − +               ( ) 29) 2sin 1 cos2 sin 2 1 cos2 x x x x + + = + 2 30) tan cot 4 cos 2 x x x = + ( ) 4 4 31) 4 sin cos cos4 sin2 0 x x x x + + + = 1 1 7 32) 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x π π     + = −            −       ( ) ( ) 2 2 33) 1 sin cos 1 cos sin 1 sin2 x x x x x + + + = + [...]... (2 cos x 1)(2sin x + cos x) = sin 2 x sin x 35) 2 cos 2 x + sin 2 x cos x + sin x cos2 x = 2(sin x + cos x ) 36) sin x + sin 2 x + sin3 x + sin 4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x Phơng trình lợng giác với tham số Bài 1: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm 4 2 sin 4 x + (1 sin x) = m 1 sin x cos x m (sin x + cos x) + 1 = 0 3 sin 6 x + cos6 x =m x tan x + tan 4 4 4 9 cos2 . + = + = + = + = và một số công thức lợng giác đã học nh công thức cộng, biến đổi tổng thành tích, VD1: Giải phơng trình sin3 3 cos3 2sin2 x. các công thức nhân đôi sin 2 x , cos2 x , tan 2 x . Khá dễ nhớ, nhớ đợc chúng ta có thể suy ra đợc các công thức: ( ) sin x y + , ( ) cos x y + và ( ) tan x y + từ đó ta suy ra các công. Từng ngày cuộc sống đi qua Xin cây đạo đức nở hoa trong lòng 1 Công thức lợng giác Công thức cộng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin