SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN – LỚP 10 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (5,0 điểm) Cho phương trình: 4 2 2( 1) 2 1 0 (1)x m x m− + + + = 1. Giải phương trình (1) khi 1 2 m > − 2. Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn các nghiệm đó lên trục số thì khoảng cách giữa hai nghiệm kề nhau luôn bằng nhau. Câu II: (3,0 điểm) Giải phương trình: 2 7 3 6 3 3 x x x + + − = Câu III: (3,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x xy x y 2y 0 x y x y 6  + + − − =  − + + =  Câu IV: (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1abc = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 ( 1) ( 1) ( 1) 4a b b c c a + + ≥ + + + Câu V: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC, kẻ DE vuông góc với AB, E thuộc cạnh AB. Gọi F là trung điểm của DE, chứng minh rằng AF vuông góc với CE. Câu VI: (4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Biết điểm ( ) A 2; 3− , ( ) B 3; 2− và trọng tâm G thuộc đường thẳng d có phương trình: 3x – y – 8 = 0 Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi chính thức SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - LỚP 10 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm I. 5.0 1. 2,0 Đặt 2 t x= ĐK: 0t ≥ Ta được phương trình: 2 2( 1) 2 1 0 (2)t m t m− + + + = 0,5 1 (2) 2 1 t t m =  ⇔  = +  0,25 Với 1t = ta có: 2 1 1x x= ⇔ = ± 0,5 Với 1 2 1 0 ( ) 2 t m Do m= + > > − ta có: 2 2 1 2 1x m x m= + ⇔ = ± + 0,5 Vậy: Khi 1 2 m > − pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt 1 à 2 1x v x m= ± = ± + 0,25 2. 3,0 Giả sử pt(2) có hai nghiệm dương 1 2 1 2 à ( )t v t t t< khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm theo thứ tự là 2 1 1 2 , , ,t t t t− − 0,5 Theo bài ra 4 nghiệm của pt (1) thỏa mãn yêu cầu bài toán tức là 2 1 1 1 2 1 2 1 3 9t t t t t t t t− = + ⇔ = ⇔ = 0,5 Yêu cầu bài toán tương đương pt(2) có 2 nghiệm dương thỏa mãn 2 1 9t t= Vì pt (2) có nghiệm là 1 à 2 1t v t m= = + nên ta xét 2 TH sau. 0,5 TH1: 2 1 1 0 4 2 1 9 4 m m m m m + > >   ⇔ ⇔ =   + = =   0,5 TH2: 1 0 0 2 1 1 4 2 4 1 9(2 1) 9 9 m m m m m  − < <  < + <   ⇔ ⇔ = −   = +   = −   0,5 Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 4 à 9 m v m= = − 0,5 II. 3,0 ĐK: 7x ≥ − 0,5 Pt 2 2 3 21 3 6 3 9 18 3 3 21 9 x x x x x x + ⇔ + − = ⇔ + − = + 0,5 2 2 2 2 49 1 7 1 9 21 3 21 3 21 (3 ) ( 3 21 ) 4 4 2 2 x x x x x x⇔ + + = + + + + ⇔ + = + + 7 1 3 3 21 3 3 3 21 (*) 2 2 7 1 (3 4) 3 21(**) 3 ( 3 21 ) 2 2 x x x x x x x x  + = + +   + = + ⇔ ⇔   − + = +    + = − + +   0,5 2 1 5 73 (*) 6 3 5 4 0 x x x x ≥ −  − + ⇔ ⇔ =  + − =  (t/m ĐK) 0,5 2 4 7 69 (**) 3 6 9 21 5 0 x x x x  ≤ − − −  ⇔ ⇔ =   + − =  (t/m ĐK) 0,5 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 5 73 7 69 à 6 6 x v x − + − − = = 0,5 III. 3,0 Hệ 2 2 2 2 2 2 (x y)(x 2y 1) 0 x xy x y 2y 0 x y x y 6 x y x y 6 − + + =   + + − − = ⇔   − + + = − + + =   1,0 TH1: 2 6 3x y x x= ⇒ = ⇔ = 0,5 TH2: 2 1 (2 1) 2 0 2 y x y y y y =  = − + ⇒ + − = ⇔  = −  1,0 Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm là: (3;3), (-3;1) và (3;-2) 0,5 IV. 2,0 Ta dễ dàng chứng minh được BĐT sau: 2 2 2 2 3( ) ( )x y z x y z+ + ≥ + + (*) Áp dụng BĐT (*) ta được: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) (**) ( 1) ( 1) ( 1) 3 ( 1) ( 1) ( 1)a b b c c a a b b c c a + + ≥ + + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c 0,5 Vì a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1nên ta có thể đặt , , x y z a b c y z x = = = với x,y,z là các số thực dương Khi đó: 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) xy yz xz a b b c c a yz xz xz xy yz xy + + = + + + + + + + + Thay vào (**) ta đưa BĐT thức cần chứng về dạng: 3 (***) 2 xy yz xz yz xz xz xy yz xy + + ≥ + + + 0,5 Ta chứng minh (***) Thật vậy: (***) ⇔ 9 1 1 1 2 xy yz xz yz xz xz xy yz xy + + + + + ≥ + + + 0,5 3 1 1 1 9 ( )( ) 2 1 1 1 2( )( ) 9 xy yz xz yz xz xy yz xy xz xy yz xz yz xz xy yz xy xz ⇔ + + + + ≥ + + + ⇔ + + + + ≥ + + + 1 1 1 [( ) ( ) ( )]( ) 9yz xz xy yz xy xz yz xz xy yz xy xz ⇔ + + + + + + + ≥ + + + Áp dụng BĐT CôSi cho các bộ ba số sau: 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( )( )( )yz xz xy yz xy xz yz xz xy yz xy xz+ + + + + ≥ + + + 3 1 1 1 3 ( )( )( ) yz xz xy yz xy xz yz xz xy yz xy xz + + ≥ + + + + + + Dấu đẳng thức đều xảy ra khi x = y = z Nhân vế theo vế ta suy ra BĐT (***) chứng minh xong. Trong BĐT (***) dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z thì a = b = c = 1 Kết hợp (**) và (***) ta được đpcm dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 0,5 V. 3,0 F E D C B A 0,5 Theo bài ra tam giác ABC cân tại A và D là trung điểm BC nên AD ┴ BC Do đó: . . . 0AD BC AD BD AD CD= = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur DE ┴ AB nên . . . 0DE AB DE AE DE BE= = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0,5 F là trung điểm của DE nên ta có 1 ( ) 2 AF AE AD= + uuur uuur uuur ; ( )CE CD DE= + uuur uuur uuur 0,5 1 1 . ( )( ) ( . . ) 2 2 1 1 1 ( ) . ( . . ) 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 AF CE AE AD CD DE AE CD AD DE AD DE CD AD DE DE CD AD DE DE CD AD DE DB AD = + + = + = + + = + = + = + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur . 0 2 DE AB = uuur uuur 1,0 Vậy: CE ┴ AF 0,5 4 VI. 4,0 Gọi C(a; b), H là chân đường cao hạ từ đỉnh C S = 1 2 CH.AB (1). 0,5 Ta có: AB = 2 Phương trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5 2 − − 0,5 Do đó: (1) a b 5 3 1 . . 2 a b 5 3 2 2 2 − − ⇔ = ⇔ − − = . a b 8 a b 2 − =  ⇔  − =  0,5 Tọa độ G( a 5 b 5 ; 3 3 + − ) Ta có: G ∈ ∆ 3(a 5) b 5 8 0 3 3 + − ⇔ − − = ⇔ 3a - b = 4. 0,5 TH 1 : a b 8 a 2 3a b 4 b 10 − = = −   ⇔ ⇒   − = = −   C(-2; -10) 0,5 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89+ + 2S 3 r 2p 2 65 89 ⇒ = = + + . 0,5 TH 2 : a b 2 a 1 3a b 4 b 1 − = =   ⇔ ⇒   − = = −   C(1; -1) 0,5 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 5 2+ 3 r 2 5 2 ⇒ = + . 0,5 Hết Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng. - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm. 5 . NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN – LỚP 10 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu. GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - LỚP 10 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm I 2− và trọng tâm G thuộc đường thẳng d có phương trình: 3x – y – 8 = 0 Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi chính thức SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG