TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DĐĐH CHỈ DÙNG MỘT CÔNG THỨC Đặng Văn Quyết Tổ vật lý – CN – Trường THPT Nguyễn Đức Mậu, Quỳnh Lưu, Nghệ An 1 Như ta đã biết, bài toán tìm quãng đường đi được từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2 trong dao động điều hòa là một bài toán khá phức tạp. Một số HS khi gặp loại bài toán này thường lúng túng vì có rất nhiều trường hợp xảy ra. Mỗi trường hợp lại có một công thức tính, nên gây khó khăn cho HS khi phải nhớ nhiều trường hợp. Cách giải thông thường mà ta thường gặp là: Phân tích: t 2 – t 1 = nT + t (n N; 0 ≤ t < T). Quãng đường đi được trong thời gian nT là S 1 = 4nA, trong thời gian t là S 2 . Quãng đường tổng cộng là S = S 1 + S 2 . Tính S 2 như sau: Xác định: 1 1 2 2 1 1 2 2 Acos( ) Acos( ) à sin( ) sin( ) x t x t v v A t v A t                           (v 1 và v 2 chỉ cần xác định dấu) * Nếu v 1 v 2 ≥ 0  2 2 1 2 2 1 0,5. 0,5. 4 T t S x x t T S A x x                * Nếu v 1 v 2 < 0  1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 v S A x x v S A x x              Chính vì quá nhiều trường hợp, nhiều công thức tính nên tôi đã đặt ra vấn đề: liệu có một công thức tính S cho tất cả các trường hợp hay không? Câu hỏi này làm tôi suy nghĩ, trăn trở rất nhiều. Với mục đích chia sẽ và tham khảo ý kiến phản hồi của các thầy, cô và các em HS nhằm hoàn thiện hơn nội dung của bài viết. Tôi xin đưa ra một công thức tính S. Rất mong sự đóng góp ý kiến chân thành để công thức cuối cùng ngày càng gọn hơn,“đẹp” hơn và dễ nhớ hơn. I. Thành lập công thức Lập tỉ số: leû)(p)nguyên(n 2/T tt 12   (với 0 ≤ p <1) 2 T p 2 T ntt 12  t 2 T ntt 12  với 2 T t  Trong khoảng thời gian 2 T n quãng đường vật đi được là: S 1 = 2nA Vấn đề ở đây là trong khoảng thời gian Δt vật đi được quãng đường S 2 bằng bao nhiêu? Bây giờ ta sẽ tính S 2 . Ta dễ dàng xác định được vị trí x 1 và x 2 ứng với thời điểm t 1 và t 2 . Không mất tính tổng quát, giả sử: x 2 > x 1 > 0 Ta có thể biểu diễn x 1 và x 2 lên trục Ox như hình vẽ: Ta có các khả năng có thể xảy ra như sau: - Trường hợp 1. n là số chẵn: n = 2ℓ Nếu n là số chẵn thì chắc chắn rằng, sau khoảng thời gian 2 T n kể từ thời điểm t 1 vật sẽ trở lại vị trí x 1 và theo hướng cũ. Và trong khoảng thời gian Δt cuối vật đi từ x 1 đến x 2 . Lại có 2 trường hợp có thể xảy ra: Thứ nhất: Vật đi từ x 1 đến x 2 mà không đổi chiều. Hay nói cách khác, trong khoảng thời gian Δt này vật không đến vị trí biên. Thứ hai: Vật đi từ x 1 đến x 2 mà đổi chiều. Hay nói cách khác, trong khoảng thời gian Δt này vật đến vị trí biên rồi quay trở lại. - Trường hợp 2. n là số lẽ: n = 2ℓ+1 (ℓ nguyên) 0 x 1 x 2 -A A 0 x 1 x 2 -A A x 0 x 1 x 2 -A A x TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DĐĐH CHỈ DÙNG MỘT CÔNG THỨC Đặng Văn Quyết Tổ vật lý – CN – Trường THPT Nguyễn Đức Mậu, Quỳnh Lưu, Nghệ An 2 0 x 1 x 2 -A A x 0 x 1 x 2 -A A x -x 1 0 x 1 x 2 -A A Nếu n là số lẻ thì chắc chắn rằng, sau khoảng thời gian 2 T n kể từ thời điểm t 1 vật sẽ đến vị trí -x 1 , đối xứng với x 1 qua gốc tọa độ. Và trong khoảng thời gian Δt cuối vật đi từ vị trí -x 1 đến x 2 . Trường hợp này cũng có hai khả năng có thể xảy ra: Thứ nhất: Vật đi từ -x 1 đến x 2 mà không đổi chiều. Hay nói cách khác, trong khoảng thời gian Δt này vật không đến vị trí biên. Thứ hai: Vật đi từ -x 1 đến x 2 đổi chiều. Hay nói cách khác, trong khoảng thời gian Δt này vật đến vị trí biên rồi quay lại. Như các nhận xét ở trên, điều ta quan tâm là: n là số chẵn hay lẻ và vật có đổi chiều hay không trong khoảng thời gian Δt cuối. Vấn đề thứ nhất: n chẵn hay lẻ thì rất đơn giản. Vì chỉ cần thực hiện phép tính: n=        2/T tt 12 Vấn đề thứ hai: trong khoảng thời gian Δt cuối, vật có đổi chiều hay không? Để biết được điều này thì ta xét xem từ thời điểm t 1 +nT/2 đến thời điểm t 2 vật có đạt vận tốc bằng 0 không? Vận tốc bằng không khi: sin(ωt+φ) = 0       k tkt (với k là số nguyên) Vì ta đang xét từ t 1 +nT/2 đến t 2 nên: 21 tt 2 nT t  hay: 21 t 2 nT t        k       T t2 kn T t2 21 (*) Có các khả năng sau sẽ xảy ra: - Không tồn tại giá trị nào của k thỏa mãn (*), trường hợp này ứng với vật không đến biên trong khoảng thời gian Δt cuối. - Nếu tồn tại k thỏa mãn (*) thì chỉ có duy nhất một giá trị của k. Nếu k là số chẵn thì vật sẽ đến biên dương, nếu k là số lẽ thì vật sẽ đến biên âm. ● Đến đây ta quy ước một giá trị của m như sau: - Nếu không tồn tại giá trị nào của k thì m =0. (vật không đổi chiều trong Δt) - Nếu tồn tại giá trị của k thì m =1. (vật đổi chiều) ● Ta quy ước thêm, nếu không tồn tại giá trị nào của k thì k =0 Tổng kết lại ta thấy như sau: n chẵn; m =0 và k =0: S 2 = |x 2 -x 1 | n chẵn; m=1, nếu:      12 12 xxA2k xxA2k 2 2 S:leû S:chaün n lẽ; m =0 và k =0: S 2 = |x 2 +x 1 | 0 x 1 x 2 -A A x -x 1 0 x 1 x 2 -A A x -x 1 TÍNH QNG ĐƯỜNG TRONG DĐĐH CHỈ DÙNG MỘT CƠNG THỨC Đặng Văn Quyết Tổ vật lý – CN – Trường THPT Nguyễn Đức Mậu, Quỳnh Lưu, Nghệ An 3 0 x 1 x 2 -A A x -x 1 n lẽ; m=1; nếu:      12 12 xxA2k xxA2k 2 2 S:lẻ S:chẵn Từ các kết quả trên ta có cơng thức tính qng đường như sau:     12 x)nkcos(x)mkcos(mA2nA2S  Tóm lại, các bước để giải theo phương pháp này là: Bước 1: Tính n từ: n =        T )tt(2 12 và tính x 1 , x 2 Bước 2: Tính k từ:       T t2 kn T t2 21 và quy ước:      1m:thì ktạitồnNếu 0mvà0 k:thì ktạitồn khôngNếu Bước 3: Thay các giá trị của n, m, k vào cơng thức:     12 x)nkcos(x)mkcos(mA2nA2S  Chú ý: Các giá trị của cos(k+m)π và cos(k+n)π chỉ nhận một trong hai giá trị -1 hoặc 1. II. Vận dụng. Bài tốn 1. Một vật dao động điều hồ theo phương trình x = 12cos(50t- /2) (cm). Tính qng đường vật đi được trong thời gian /12 s, kể từ lúc bắt đầu dao động: A. 90cm B. 96 cm C. 102 cm D. 108 cm Bước 1: Tính n: n =         T )tt(2 12 4; x 1 = 0; x 2 = 6cm Bước 2: Tính k:       T t2 kn T t2 21  66,3k5,3 2 1 6 25 k4 2 1  , khơng tồn tại giá trị nào của k vậy: k=0 và m=0 Bước 3: Thay các giá trị vừa tìm được ở trên vào cơng thức:     12 x)nkcos(x)mkcos(mA2nA2S  ta tìm được: S = 2.4.12+|6-0|= 102cm.  Đáp án C Bài tốn 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 6cos(4t - /3) cm. Qng đường vật đi được từ thời điểm t 1 = 2/3 (s) đến thời điểm t 2 = 37/12 (s) là: A. 141 cm B. 96 cm C. 21cm D. 117 cm Bước 1: Tính n: n =         T )tt(2 12 9; x 1 = 3cm; x 2 = 6cm. Bước 2: Tính k:       T t2 kn T t2 21 12k33,11  khơng tồn tại giá trị nào của k, vậy: k=0; m=0 Bước 3: Thay các giá trị vừa tìm được ở trên vào cơng thức:     12 x)nkcos(x)mkcos(mA2nA2S  ta tìm được: S = 2.9.6+|6+3|= 117 cm.  Đáp án D. Bài tốn 3. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 2cos(2t - /12) cm. Qng đường vật đi được từ thời điểm t 1 = 17/24 (s) đến thời điểm t 2 = 25/8 (s) là: A. 16,6 cm B. 20cm C. 18,3 cm D. 19,3 cm Bước 1: Tính n: n =         T )tt(2 12 4; x 1 = -1 cm; x 2 = 1,73 cm. Bước 2: Tính k:       T t2 kn T t2 21 125,6k33,5  . vậy: k=6; m=1 Bước 3: Thay các giá trị vừa tìm được ở trên vào cơng thức:     12 x)nkcos(x)mkcos(mA2nA2S  ta tìm được: S = 2.4.2+|2.2-1,73+1|= 19,27≈19,3 cm.  Đáp án D. TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DĐĐH CHỈ DÙNG MỘT CÔNG THỨC Đặng Văn Quyết Tổ vật lý – CN – Trường THPT Nguyễn Đức Mậu, Quỳnh Lưu, Nghệ An 4 Bài toán 4. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 8cos(4t +/6) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 = 2,375 (s) đến thời điểm t 2 = 4,75 (s) là: A. 149 cm B. 77 cm C. 117 cm D. 69 cm Bước 1: Tính n: n =         T )tt(2 12 9; x 1 = 4 cm; x 2 = -6,93 cm. Bước 2: Tính k:       T t2 kn T t2 21 16,19k66,18  . vậy: k=19; m=1 Bước 3: Thay các giá trị vừa tìm được ở trên vào công thức:     12 x)nkcos(x)mkcos(mA2nA2S  ta tìm được: S = 2.9.8+|2.8-6,93-4|= 149 cm.  Đáp án A. III. Bài tập làm thêm. Bài 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình )3/2t2cos(4x  (cm). Quãng đường vật đi được sau thời gian t=2,25s kể từ lúc bắt đầu dao động là: A. 37,46 cm. B. 30,54 cm. C. 38,93 cm. D.34 cm. Bài 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 2cos(2πt-π/2) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 =1/12 s đến t 2 =11/4 s là A. 5 cm B. 22 3 cm C. 4 3 cm D. 21 cm Bài 3: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(t + 2/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 = 2 (s) đến thời điểm t 2 = 19/3 (s) là: A. 42,5 cm B. 35 cm C. 22,5cm D. 45 cm Bài 4: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 2cos(2t - /12) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 = 17/24 (s) đến thời điểm t 2 = 23/8 (s) là: A. 16 cm B. 20 cm C. 24cm D. 18 cm . vật dao động đi u hoà với phương trình x = 2cos(2πt-π/2) cm. Quãng đường vật đi được từ thời đi m t 1 =1/12 s đến t 2 =11/4 s là A. 5 cm B. 22 3 cm C. 4 3 cm D. 21 cm Bài 3: Một vật dao động. Bài tập làm thêm. Bài 1: Một vật dao động đi u hoà theo phương trình )3/2t2cos(4x  (cm). Quãng đường vật đi được sau thời gian t=2,25s kể từ lúc bắt đầu dao động là: A. 37,46 cm. B. 30,54 cm 22,5cm D. 45 cm Bài 4: Một vật dao động đi u hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 2cos(2t - /12) cm. Quãng đường vật đi được từ thời đi m t 1 = 17/24 (s) đến thời đi m t 2 = 23/8 (s) là: A.