ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 1 A. LÍ DO CHỌN ðỀ TÀI: Trong xu thế ñổi mới phương pháp dạy và học của Bộ Giáo dục và ñào tạo trong những năm vừa qua thì phương pháp tạo cho học sinh có khả năng tư duy từ một số bài toán ñể từ ñó có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo ñược các giáo viên chú ý và ñược Bộ khuyến khích nhất. Vì thế hầu hết các giáo viên ñều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên ñề về một mảng kiến thức nào ñó trong trường phổ thông. Bài toán ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC trong chương trình lớp 11 là một trong những bài toán nhiều dạng hay, chứa ñựng nhiều tính tư duy logic phù hợp nhiều ñối tượng học sinh từ Trung bình cho ñến học sinh Khá giỏi. ðể làm bài toán dạng này ñòi hỏi phải nắm vững một số công thức liên quan ñến tổ hợp và các tính chất của nhị thức Newton. ðây là một trong những dạng toán chiếm tỷ lệ không nhiều trong chương trình nhưng có rất nhiều dạng toán liên quan. Do ñó, tôi chỉ trình bày trong chuyên ñề một phần ứng dụng là tính tổng của biểu thức mà trong một số ñề thi tuyển sinh ñại học, cao ñẳng thường gặp. Là giáo viên giảng dạy ở THPT Nam Hà tôi thấy nhìn chung ñối tượng học sinh ở mức Trung bình khá (một số ít là HSG). Do ñó, chuyên ñề này chỉ ñược viết ở mức ñộ tư duy vừa phải, phân loại bài tập từ dễ ñến khó ñể học sinh tiếp cận một cách ñơn giản nhằm từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn ñề. Qua ñó các em có thể hoàn thành tốt bài kiểm tra, ñề thi học kỳ cũng như ñề thi tuyển sinh ðHCð. ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 2 B. NỘI DUNG CHUYÊN ðỀ: I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: 1. Công thức: n N* ∈ ( ) 2. Các tính chất: 2.1. Trong khai triển (a + b) n có n + 1 số hạng. Nếu n là số chẵn thì có 1 số hạng ñứng giữa là số hạng thứ n +1 2 . Nếu n là số lẻ thì có 2 số hạng ñứng giữa là số hạng thứ n +1 2 và n +1 +1 2 2.2. Mỗi số hạng có tổng số mũ của a và b là n. 2.3. Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: k n-k k k+1 n T = C a b 2.4. 0 1 2 3 n n n n n n n n C + C + C + C + + C = (1+1) = 2 2.5. 0 1 2 3 n n n C - C + C - C + + (-1) C = (1-1) = 0 n n n n n II. CÁC DẠNG TÍNH TỔNG CỦA MỘT BIỂU THỨC: 1. Dạng 1: VD1: Khai triển (1 + x) n . Từ ñó tính: 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 S =1- 2C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C Giải: Ta có: ( ) n 0 1 2 2 n n n n n n 1 + x = C + C x + C x + + C x Thế x = -2 và n = 7 vào khai trển trên ta ñược: 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 S =1- 2C + 2 C -2 C + 2 C -2 C + 2 C -2 C = (-1) = -1 VD2: Tìm số tự nhiên n thỏa: n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n 6021 n n n n 5 C + 5 3C + 5 3 C + +3 C = 2 Giải Ta có: ( ) n 0 n 1 n 2 n - 2 2 n n n n n n a + b = C a + C a b + C a b + + C b Thế a = 5 và b = 3 vào khai triển trên: n n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n n n n n 8 = 5 C +5 3C +5 3 C + +3 C ⇒ ⇒⇒ ⇒ n 6021 n 2007 8 = 2 8 =8 n = 2007 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( ) n 0 n 1 n-1 k n-k k n-1 n-1 n n n n n n n a +b =C a +C a b+ +C a b + +C ab +C b ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 3 Vậy n =2007. VD3: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006) (HS tự giải) Chứng minh: 0 n 1 n-1 2 n-2 n n 0 1 2 n n n n n n n n n C 3 -C 3 + C 3 + (-1) C = C +C + C + + C VD4: (ðề ðH - Khối D - 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 2 n n n n n n C + 2C + 4C + + 2 C = 243 (Hs tự giải VD3) 2. Dạng 2: VD5: CMR: 0 2 4 2n 1 3 5 2n-1 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n C + C + C + +C = C + C +C + + C = 2 Giải Ta có: 0 1 2 3 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n C - C + C - C + -C + C = 0 0 2 2n 1 3 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2n C +C + +C = C +C + +C ⇔ (1) Ta có: 0 1 2 3 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 0 1 2 3 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 0 2 2n 2n 2n 2n 2n 0 2 2n 2n-1 2n 2n 2n C + C + C + C + + C + C = 2 C - C + C - C + - C + C = 0 2(C + C + + C ) = 2 C + C + + C = 2 (2)      ⇒ ⇔ (1), (2) suy ra: 0 2 4 2n 1 3 5 2n-1 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n C + C + C + +C = C + C +C + + C = 2 VD6: Tính tổng: a) 0 2 4 2008 2008 2008 2008 2008 S = C +C +C + +C b) 0 2 2 4 4 2010 2010 2011 2011 2011 2011 S = C + 3 C + 3 C + +3 C c) 1 3 3 5 5 2009 2009 2010 2010 2010 2010 S = 3.C +3 .C +3 .C + +3 .C Giải a) Ta có: ( ) 0 1 2 3 2007 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 0 1 2 3 2007 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 0 2 2008 2008 2008 2008 2008 0 2 2008 2007 2008 2008 2008 C + C + C + C + + C + C = 2 C - C + C - C + - C + C = 0 2 C + C + + C = 2 C + C + + C = 2      ⇒ ⇔ Vậy 2007 S = 2 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 4 b) Ta có: 0 1 2 2 3 3 2010 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 0 1 2 2 3 3 2010 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 0 2 2 2010 2011 2011 201 C + 3C + 3 C + 3 C + + 3 C + 3 C = 4 C - 3C - 3 C - 3 C - + 3 C - 3 C = -2 2 C + 3 C + + 3 C      ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2010 2011 2011 1 0 2 2 2010 2010 2011 2011 2011 2011 2011 0 2 2 2010 2010 2010 2011 2011 2011 2011 = 4 - 2 2 C + 3 C + + 3 C = 2 2 -1 C + 3 C + + 3 C = 2 2 -1 ⇔ ⇔ Vậy ( ) 2010 2011 2 2 -1 c) Tương tự (HS tự giải) VD7: (ðH Vinh – D-2001) CMR: 0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2001 C + C 3 + C 3 + +C 3 = 2 (2 -1) Giải Ta có: ( ) 2001 0 1 2 2 3 3 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 1+3 =C +C 3+C 3 +C 3 + +C 3 +C 3 ( ) 2001 0 1 2 2 3 3 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 1-3 = C -C 3+C 3 -C 3 + +C 3 -C 3 Cộng vế theo vế ta ñược: ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) 2001 2001 0 2 2 4 4 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2001 2001 0 2 2 4 4 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2000 2001 0 2 2 4 4 2000 2000 2001 2001 2001 2001 4 - 2 = 2 C + C 3 + C 3 + + C 3 2 (2 -1) = 2 C + C 3 +C 3 + + C 3 2 (2 -1) = C + C 3 + C 3 + + C 3 ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ Vậy: 0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2001 C + C 3 + C 3 + +C 3 = 2 (2 -1) (ñpcm) VD8: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006) (HS tự giải) Tìm số tự nhiên thỏa mãn hệ thức sau: ( (( ( ) )) ) 0 2 2 2k 2k 2n-2 2n-2 2n 2n 15 16 2n 2n 2n 2n 2n C + C 3 + + C 3 + +C 3 + C 3 = 2 2 +1 3. Dạng 3: VD9: Tính tổng: 0 1 3 n 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 S = C + C + C + + C Giải Ta có: k n-k n n C = C Suy ra: ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 5 0 2n+1 2n+1 2n +1 1 2n 2n+1 2n +1 n n+1 2n+1 2n +1 0 1 n n+1 2n 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n +1 2n +1 2n+1 C = C C = C C = C C + C + + C = C + + C + C                      ⇒ ⇒⇒ ⇒ Mà: 0 1 n n+1 2n 2n +1 2n +1 2n+1 2n+1 2n+1 2n +1 2n+1 2n+1 C + C + + C + C + + C + C = 2 ( (( ( ) )) ) 0 1 n 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 0 1 n 2n 2n+1 2n+1 2n+1 2 C + C + + C = 2 C + C + + C = 2 ⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇔ ⇔⇔ ⇔ Vậy 2n S = 2 VD10: Tính tổng: 0 1 3 1005 201 1 201 1 201 1 201 1 S = C + C + C + + C (HS tự giải) VD11: (ðề ðH - Khối A - 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Niutơn của n 7 4 1 + x x                      , biết rằng 1 2 n 20 2n+ 1 2n+ 1 2n+ 1 C + C + + C = 2 -1 . 4. Dạng 4: VD12: (ðH Luật TPHCM – A-2001) CMR: 1 n-1 2 n-2 3 n-3 n n-1 n n n n C 3 + 2.C 3 + 3.C 3 + + n.C = n.4 Giải Ta có: ( ) n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 3 n-3 3 n n n n n n n 3 + x = C 3 + C 3 x + C 3 x + C 3 x + + C x Lấy ñạo hàm hai vế: ( ) n-1 n-1 1 n-2 2 n-3 2 3 n-1 n n n n n n 3 + x = 3 C + 2.3 C + 3.3 x C + + nx C ⇒ Thế x = 1 vào khai triển trên: ( ) n-1 n-1 1 n-2 2 n-3 3 n n n n n n 3+1 = 3 C + 2.3 C +3.3 C + + nC ⇒ Vậy: 1 n-1 2 n-2 3 n-3 n n-1 n n n n C 3 + 2.C 3 + 3.C 3 + + n.C = n.4 (ðpcm) VD13: Giải bất phương trình: 1 2 3 n n n n n C + 2C +3C + + nC n(7-n) ≤ ≤≤ ≤ n * ∈ ℕ ( ) Giải Ta có: ( ) n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 + x = C + C x + C x + C x + + C x ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 6 Lấy ñạo hàm hai vế: ( ) n-1 1 2 2 2 n-1 n n n n n n 1 + x = C + 2xC + 3x C + + nx C ⇒ Thế x = 1 vào khai triển trên: n-1 1 2 2 n n n n n n.2 = C + 2C + 3C + + nC ⇒ n-1 n-1 n.2 n.(7 - n) 2 + n 7 n 3 ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ . Do n * ∈ ℕ nên { } n 1;2;3 ∈ VD14: (ðH Tiền Giang – 2003) CMR: 1 3 2n-1 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n C + 3C + +(2n -1)C = 2C + 4C + + 2nC Giải Ta có: ( ) n 0 1 2 2 3 3 4 4 2n-1 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1- x = C - C x + C x - C x + C x - - C x + C x Lấy ñạo hàm hai vế ta ñược: ( ) n-1 1 2 3 2 4 3 2n-1 2n-2 2n 2n-1 2n 2n 2n 2n 2n 2n n 1-x = -C + 2C x -3C x + 4C x - - (2n-1)C x + 2nC x ⇒ Thế x = 1 ta ñược: 1 2 3 4 2n -1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 3 2n-1 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n - C + 2C - 3C + 4C - - (2n -1)C + 2nC = 0 C + 3C + + (2n -1)C = 2C + 4C - + 2nC ⇔ Vậy: 1 3 2n-1 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n C + 3C + +(2n -1)C = 2C + 4C + + 2nC VD15: Tính tổng: 0 2 2 4 4 2010 2010 2010 2010 2010 2010 S = 2010.C + 2008.C 2 + 2006.C 2 + + C 2 Giải: Ta có: ( ) 2010 0 2010 1 2009 2 2008 2 3 2007 3 2009 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 x+2 =C x +C x 2+C x 2 +C x 2 + +C x2 +C 2 ( ) 2010 0 2010 1 2009 2 2008 2 3 2007 3 2009 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 x-2 =C x -C x 2+C x 2 -C x 2 + -C x2 +C 2 Cộng vế theo vế ta ñược: ( ) ( ) 2010 2010 0 2010 2 2008 2 2010 2010 2010 2010 2010 x + 2 + x - 2 = 2(C x + C x 2 + + C 2 ) Lấy ñạo hàm 2 vế ta ñược: ( ) ( ) 2009 2009 0 2009 2 2007 2 2010 2010 2010 2010 2010 2010. x+2 +2010. x-2 = 2(2010C x +2008C x 2 + +C 2 ) Thế x = 1 ta ñược: ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 7 2009 0 2 2 2010 2010 2010 2010 2010 2009 0 2 2 2010 2010 2010 2010 2010 2010.3 - 2010 = 2(2010C +2008C 2 + +C 2 ) 1005.(3 -1) = 2010C + 2008C 2 + +C 2⇔ Vậy: 2009 S =1005.(3 -1) 5. Dạng 5: VD16: Tính tổng: 2 3 2010 2010 2010 2010 S =1.2.C - 2.3.C + + 2009.2010.C Giải Ta có: ( ) 2010 0 1 2 2 3 3 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 1- x = C - C x + C x - C x + + C x (1) Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược: ( ) 2009 1 2 3 2 2010 2009 2010 2010 2010 2010 -2010 1-x =-C +2.C x-3.C x + + 2010.C x ⇒ (2) Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược: ( ) 2008 2 3 2010 2008 2010 2010 2010 2009.2010. 1-x =1.2.C -2.3.C x+ + 2009. 2010.C x ⇒ (3) Thế x = 1 vào hai vế của (3) ta ñược: 2 3 2010 2010 2010 2010 0 =1.2.C - 2.3.C + + 2009.2010.C Vậy S = 0 VD17: Tính tổng: 2 1 2 2 2 2011 2011 2011 2011 S =1 C + 2 C + + 2011 C Giải Ta có: ( ) 2011 0 1 2 2 3 3 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1+ x = C + C x + C x + C x + + C x (1) Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược: ( ) 2010 1 2 3 2 2011 2010 2011 2011 2011 2011 2011 1+x =C +2.C x+3.C x + + 2011.C x ⇒ (2) Nhân x vào hai vế của (2) ta ñược: ( ) 2010 1 2 2 3 3 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011x 1+x =C x+2.C x +3.C x + + 2011.C x ⇒ (3) Lấy ñạo hàm hai vế của (3) ta ñược: ( ) ( ) 2009 1 2 2 2 3 2 2 2011 2010 2011 2011 2011 2011 2011 1+2011x 1+x =C +2 .C x+3.C x + + 2011. C x ⇒ (4) Thế x = 1 vào hai vế của (4) ta ñược: Vậy 2009 S = 2011.2012.2 6. Dạng 6: VD18: CMR: ( (( ( ) )) ) 0 1 2 n n+1 n n n n 1 1 1 1 C + C + C + + C = 2 -1 2 3 n +1 n +1 Giải Ta có: ( ) n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 + x = C + C x + C x + C x + + C x ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 0 2 3 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n n+1 0 1 2 n n n n n 1+ x dx = C + C x + C x + C x + + C x dx 1 1 1 x x x 1+ x = xC + C + C + + C 0 0 n +1 2 3 n +1 1 1 1 1 2 -1 = C + C + C + + C (dpcm) n +1 2 3 n +1 ⇒   ⇔     ⇔ ∫ ∫ VD19: (ðH ðà Nẵng – A-2001) Tính tổng: 0 1 2 2 3 n n+1 n n n n 1 1 1 S = C 2 + C 2 + C 2 + + C 2 2 3 n +1 Giải Ta có: ( ) n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1+ x = C + C x +C x + C x + + C x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 0 2 3 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n n+1 0 1 2 2 3 n n+1 n n n n 1+ x dx = C + C x + C x + C x + + C x dx 2 2 1 x x x 1+ x = xC + C + C + + C 0 0 n +1 2 3 n +1 1 1 1 1 3 -1 = C 2 + C 2 + C 2 + + C 2 n +1 2 3 n +1 ⇒   ⇔     ⇔ ∫ ∫ Vậy: ( ) n+1 1 S = 3 -1 n +1 VD20: (B-2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: 2 3 n+1 0 1 2 n n n n n 2 -1 2 -1 2 -1 S = C + C + C + + C 2 3 n +1 Giải Ta có: ( ) n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1+ x = C + C x +C x + C x + + C x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 1 2 3 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n 2 3 n+1 n+1 n+1 0 1 2 n n n n n 1+ x dx = C + C x + C x + C x + + C x dx 2 2 1 x x x 1+ x = xC + C + C + + C 1 1 n +1 2 3 n +1 1 2 -1 2 -1 2 -1 3 - 2 = C + C + C + + C n +1 2 3 n +1 ⇒   ⇔     ⇔ ∫ ∫ Vậy: ( ) n+1 n+1 1 S = 3 - 2 n +1 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 9 7. Dạng 7: VD21: Tìm 4 chữ số cuối cùng của 11 211 . Giải Ta có: 11 211 = (10 + 1) 211 = 0 211 1 210 208 3 209 2 210 211 211 211 211 211 211 211 C 10 +C 10 + +C 10 +C 10 +C 10+C Bốn chữ số cuối của 11 200 phụ thuộc vào tổng của bốn chữ cuối của bốn số hạng cuối trong khai triển: 5000 + 5500 + 2110 + 1 = 12.611 Vậy 4 chữ số cuối là 2611 VD22: Tìm 3 chữ số cuối cùng của 3 15 9 . (HS tự giải) 8. Dạng 8: Một số dạng khác: VD23: Tính tổng sau: 0 2006 1 2005 2 2004 k 2006-k 2006 0 2007 2007 2007 2006 2007 2005 2007 2007-k 2007 1 S=C C +C C +C C + +C C + +C C Giải Ta có: ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) k 2006-k 2007 2007-k 2007 - k ! 2007! 2007! C C = = k! 2007 -k ! 2006 -k ! k! 2006 - k ! ( (( ( ) )) ) k 2006 2006! = 2007 = 2007C k! 2006 - k ! Suy ra: ( ) = 0 1 2006 2006 2006 2006 2006 S = 2007 C + C + + C 2007.2 VD24: (ðH Kinh tế TPHCM – 2006) Tìm số tự nhiên n thỏa: 0 2 4 2n 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 C + C + C + + C = 256 Giải Ta có: 0 1 2n 2n +1 2n +2 4n +1 4n + 2 4n +2 4n +2 4n +2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n +2 4n +2 C + C + + C + C + C + + C + C = 2 0 1 2n 2n +1 2n + 2 4n +1 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 C - C + + C - C + C - - C + C = 0 Cộng vế theo vế ta ñược: 0 2 2n 2n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 0 2 2n 2n + 2 4n 4n + 2 4n +1 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n + 2 2(C + C + + C + C + + C ) = 2 C + C + + C + C + + C + C = 2 (1) ⇔ ⇔⇔ ⇔ Mà: k m -k m m C = C Do ñó: 0 4n + 2 4n + 2 4n + 2 C = C 2 4n 4n + 2 4n + 2 C = C … ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Trang 10 2n 2n + 2 4n + 2 4n + 2 C = C 0 2 2n 4n +1 4n + 2 4n + 2 4n + 2 0 2 2n 4n 4n + 2 4n + 2 4n + 2 4n 4n 8 (1) 2(C + C + + C ) = 2 C + C + + C = 2 2 = 256 2 = 2 n = 2 ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy: n = 2 III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1: a) Trong khai triển 102 ) 1 2( x x − . Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 b) Tìm 2 số hạng ñứng giữa trong khai triển 153 )( xyx − c) Tìm x ñể số hạng thứ 4 trong khai triển ( ) 6 12 3 xx + bằng 200 d) Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển ( ) 6 12 3 2 xx + bằng 150 e) Khai triển: (1 + x) 5 . Từ ñó tính tổng sau: S 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 2 3 4 5 1 1 1 1 1 =1+ C + C + C + C + C 2 2 2 2 2 f) Tìm hệ số của số hạng thứ tám trong khai triển của (x 2 – ) 12 . Và tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức trên. g) Khai triển: (1 + x) 5 . Từ ñó tính tổng S 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 =1-3C +3 C -3 C +3 C -3 C h) Tìm hệ số của x 25 y 10 trong khai triển (x 3 + xy) 15 i) Tìm hệ số của x 35 y 10 trong khai triển (x + x 3 y) 15 j) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển ( 2x - 3y ) 6 . k) Cho nhị thức (2x – 3x 2 ) 7 . Tìm hệ số của x 10 . Bài 2: Khai triển (1 + x) n . Từ ñó tính 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 S =1- 2C + 2 C -2 C + 2 C - 2 C + 2 C - 2 C Bài 3: Giải phương trình: n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n 6021 n n n n 5 C + 5 3C +5 3 C + +3 C = 2 Bài 4: Giải bất phương trình: 1 2 3 n n n n n C + 2C +3C + + nC n(7- n) ≤ ≤≤ ≤ Bài 5: CMR: ( (( ( ) )) ) 0 1 2 n n+1 n n n n 1 1 1 1 C + C + C + + C = 2 -1 2 3 n +1 n +1 Bài 6: Trong khai triển ( ) 16 4 3 2 + 3 có bao nhiêu số hạng nguyên ? . thức nào ñó trong trường phổ thông. Bài toán ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC trong chương trình lớp 11 là một trong những bài toán nhiều dạng hay, chứa ñựng nhiều tính. sinh Khá giỏi. ðể làm bài toán dạng này ñòi hỏi phải nắm vững một số công thức liên quan ñến tổ hợp và các tính chất của nhị thức Newton. ðây là một trong những dạng toán chiếm tỷ lệ không nhiều. tạo trong những năm vừa qua thì phương pháp tạo cho học sinh có khả năng tư duy từ một số bài toán ñể từ ñó có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo ñược các giáo viên chú ý và ñược Bộ khuyến