1 S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI K Ỳ THI CHỌN H ỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM 2013 HƯ ỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN Ngày thi: 28/03/2013 ( Hư ớng dẫn chấm g ồm có 05 trang ) Câu N ội dung Đi ểm Câu 1 (4 đi ểm) a (2đ) Ta có:   4 2 1 mod5 0,5 4 500 (2 ) 1(mod5)  0,5 2000 2 1(mod5)  0,25 2000 2 1 0(mod5)   0,5 V ậy: 2000 2 1A   chia h ết cho 5. 0,25 b (2đ) Xét phương tr ình : 2x 2 – 2xy = 5x + y - 3  2x 2 – 5x +3 = 2xy + y  2x 2 – 5x +3 = y ( 2x + 1) 0,25 Suy ra: 2 2 5 3 2 1 x x y x       6 3 2x 1 x    ( vì x  Z nên 2x+1  0) 0,25 Ta có : x  Z  x-3  Z; y là s ố nguyên nên 6 (2 1)x   (2x + 1)  Ư (6) = {-6 ; -3 ;-2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 } 0,25 0,25 Mà 2x + 1 là s ố nguyên lẻ      2 1 3; 1;1;3 2; 1;0;1x x        0,25 V ới x = 1  y = 0 x = 0  y = 3 x = -1  y = -10 x = -2  y = -7 0,25 0,25 V ậy: Phương trình có các nghiệm nguyên là (x;y)   (1;0),(0;3),( 1; 10),( 2; 7)     0,25 Đ Ề THI CHÍNH TH ỨC 2 Câu 2 (6 đi ểm) a (2,5đ) a) Đi ều kiện xác định: 0; 1x x  1 2 2 1 2 : 1 (1 ) 1 x x x x x x x x x P x x x x x                   2 1 ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) : (1 ) (1 )(1 ) (1 )( 1) 2 1 2 1 (2 1) : (1 ) 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                     0,25 0,25 0,5 0,25 2 1 (2 1)( 1 ) : (1 ) (1 )( 1) 2 1 (1 )( 1) . (1 ) 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                      0,25 0,25 0,25 b) Ta có: 2 11 6 2 (3 2)x     (th ỏa mãn ĐKXĐ). Giá trị của bi ểu thức P là: 2 2 11 6 2 (3 2) 1 9 5 2 3 2 (3 2) (9 5 2)(3 2) 17 6 2 7 7 P               V ậy P = 17 6 2 7  0,25 0,25 0,25 b (1,5đ) Xét phương trình: (n+2)x 2 +2x-n(n+1)(n+3)=0 (1) - N ếu n+2=0  n=-2, phương tr ình (1) có d ạng: 2x-2=0  x=1 là s ố hữu tỉ (*) 0,5 - N ế u n+2  0  n  -2, ta có:  = 1+n(n+1)(n+2)(n+3) = 1+(n 2 +3n)(n 2 +3n+2) = (n 2 +3n) 2 +2(n 2 +3n)+1 = (n 2 +3n+1) 2  0 v ới mọi n 0,5 V ới n  Z   = (n 2 +3n+1) 2 là s ố chính ph ương, nên phương trình (1) có nghi ệm hữu tỉ. (**) 0,25 T ừ (*) và (**), ph ương trình (1) luôn có nghiệm hữu tỉ vớ i m ọi n  Z. 0,25 Đ ặt u = x 3 ; v = y 2 ( v  0) 0,25 3 Câu 3 (4 đ) c (2đ) H ệ phương trình đã cho trở thành: 5 3 2 25 15 10 1 4 5 1 12 15 3 5 3 2 u v u v u u v u v u v                             1 1 5 1 3 2 1 ( / 0) u u v v t m v                   0,5 0,5 Khi đó: 3 2 1 1 1 1 x x y y                 H ệ phươ ng trình có hai nghi ệm là : (-1;1); (-1;-1) 0,5 0,25 a (2đ) V ới , 0a b  , ta có 2 1 0 2 a         1 0 4 a a    (1), d ấu “=” xảy ra 1 4 a  0,25 2 1 0 2 b         1 0 4 b b    (2), d ấu “=” xảy ra 1 4 b  0,25 C ộng vế với vế của (1) và (2), ta được: 1 ( ) ( ) 0 2 a b a b     1 0 2 a b a b      (3) 0,25 0,25 Áp d ụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương a và b, ta có: 2 0a b ab   (4), d ấu “=” xảy ra a b  0,25 Nhân vế với vế của (3) và (4) ta được:       1 2 2 a b a b ab a b                2 2 2 2 a b a b a b b a       0,25 0,25 V ậy:     2 2 2 2 a b a b a b b a      , d ấu “=” xảy ra 1 4 a b   0,25 b (2đ) a, - Vì (d ) đi qua M (0; 2), nên ta có a.0 + b.2 = -2  b = -1, phương tr ình của đư ờng thẳng (d) là ax - y = -2  y = ax + 2. 0,25 - Hoành đ ộ giao đi ểm c ủa đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghi ệm của phương trình : 2 ax 2 4 x    x 2 - 4ax - 8 = 0 (*) 0,25 4 Ta có ' = 4a 2 + 8 = 4(a 2 +2) > 0 v ới a 0,25 Vì ' 0  nên pt(*) có hai nghi ệm phân biệt, suy ra đư ờng th ẳng (d) luôn c ắt Parbol (P) tại hai điểm phân biệt A và B . 0,25 b, Vì đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B, nên ta có x A = 2a - 2 2 2a   y A = a.x A + 2. x B = 2a + 2 2 2a   y B = a.x B + 2. 0,25 Ta có AB 2 = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 =   2 2 4 2a  +[a(x B -x A )] 2 = 16(a 2 +2) + a 2 [16(a 2 + 2)]= 16 4 + 48a 2 + 32  32 D ấu “=” xảy ra  a = 0. 0,5 V ậy M in AB 2 = 32  Min AB = 4 2 khi và ch ỉ khi a = 0 0,25 Câu 4 (5 đi ểm) 1 1 2 1 1 O F E H K I N M C B A a (2đ) Xét đư ờng tròn (O), ta có:  0 90BAC  ( góc nt ch ắn nửa đt)   0 1 90B C   và MAN vuông t ại A 0,5 Ta có: AIN cân t ại I   2 1 A N  0,25   2 1 A B ( vì cùng ph ụ với  C ) 0,5 Suy ra:   1 1 B N , mà   1 1 A B ( do AOB cân tại O)   1 1 A N  (1) 0,25 Xét MAN vuông t ại A   0 1 1 90M N   (2) T ừ (1) và (2), ta có:   0 1 1 90A M  . G ọi   F MN OA  suy ra:  0 AF 90M  hay OA MN t ại F. 0,5 b)- D ễ chứng minh   1 M C  T ứ giác BMNC nội tiếp. 0,5 5 b (2đ) - EI là đư ờng trung bình của  KHA nên EI // KA Lại có OA  MN (cmt) nên EI  MN IM=IN  EI là đư ờng trung trực của MN (1) 0,75 Ta có: EO là đư ờng trung bình của  KHA  / /OE AH mà ( )AH BC gt , nên OE BC . Khi đó OE là trung tr ực của BC (2) 0,5 T ừ (1) và (2) , suy ra E là tâm đư ờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC 0,25 c (1đ) Xét  OEB vuông tại O, ta có: 2 2 2 BE OE OB  ( định lý Pi Ta Go) 0,25 Vì OB không đ ổi, nên BE lớn nhất  OE l ớn nhất , mà 1 2 OE AH (tính ch ất đường trung bình trong tam giác) 0,25 Suy ra: OE lớn nhất  AH lớn nhất  H  O 0,25 Khi đó OA  BC và A là đi ểm chính giữa của cung BC. 0,25 Câu 5 (1 điểm) O P N' M' N M I D B C A - Kéo dài MP c ắt CB tại M’. Ta có:   BCD BAD ( 2 góc nt ch ắn cung  BD )   (PAM APM AMP  cân vì MP = MA = MD) Do đó :   BCD APM , l ại có :   'MPD M PC ( 2 góc đ ối đỉnh) Mà :     0 1 ' 90APM MPD V C M PC     hay MP CB t ại M’ M ặt khác: ON CB (đư ờng kính qua trung điểm của dây cung) Suy ra : MP // ON (1) 0,25 0,25 - Kéo dài NP c ắt AD tại N’. Ta có:   CBA ADC (2 góc nt ch ắn cung  AC )   (CBA NPB BNP  cân vì NP = NB = NC) Do đó :   NPB ADC , l ại có:   'NPB N PA ( 2 góc đ ối đỉnh) Mà :     0 1 ' 90PAD ADC V PAD N PA     hay NP AD t ại N’ M ặt khác: OM AD (đư ờng kính qua trung điểm của dây cung) Suy ra: NP // OM (2) 0,25 T ừ (1) và (2), ta có t ứ giác PMON là hình bình hành.  OP và MN c ắt nhau tại t rung đi ểm I của mỗi đường, mà O P c ố định nên I c ố định. V ậy: MN đi qua I c ố địn h. 0,25 6 . 1 S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI K Ỳ THI CHỌN H ỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM 2013 HƯ ỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN Ngày thi: 28/03 /2013 ( Hư ớng dẫn chấm g ồm có 05 trang ) Câu N ội. -7 0,25 0,25 V ậy: Phương trình có các nghiệm nguyên là (x;y)   (1;0),(0;3),( 1; 10),( 2; 7)     0,25 Đ Ề THI CHÍNH TH ỨC 2 Câu 2 (6 đi ểm) a (2,5đ) a) Đi ều kiện xác định: 0; 1x x  1 2 2 1 2 : 1 (1 )