S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI K Ỳ THI CHỌN H ỌC SINH GIỎI C ẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/03/2013 ( Đ ề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (4 đi ểm) a) Cho 2000 2 1A   .Ch ứng minh A chia h ết cho 5 b) Tìm nghi ệm nguyên (x;y) của phương trình sau: 2 2 2 5 3x xy x y    Câu 2 (6 điểm) 2.1. Cho biểu thức 1 1 2 1 2 : 1 1 1 x x x x x x P x x x x x                       a) Rút g ọn biểu thức P. b) Tìm giá tr ị của P với 11 6 2x   2.2. Ch ứng minh phương trình: 2 ( 2) 2 ( 1)( 3) 0n x x n n n      luôn có nghi ệm hữu tỉ với mọi số nguyên n. 2.3. Gi ải hệ ph ương trình: 3 2 3 2 5 3 2 4 5 1 x y x y           Câu 3 (4 đi ểm) 3.1. Cho a, b là các s ố thực dương. Chứng minh rằng: 2 ( ) 2 2 2 a b a b a b b a      3.2. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(0;2); Parabol (P): 2 4 x y  và đư ờng th ẳng (d): ax+by= -2. Bi ết (d) đi qua điểm M. a, Ch ứng minh rằng khi a t hay đ ổi thì (d) luôn cắt (P) tại hai đi ểm phân biệt Avà B. b, Xác đ ịn h a đ ể AB có độ dài ngắn nhất. Câu 4 (5 đi ểm) Cho đư ờng tròn tâm O, đường kính BC, A là một điểm thuộc đường tròn. H là hình chi ếu của A trên BC. Vẽ đường tròn tâm I có đường kính AH, cắt AB và AC theo thứ tự ở M và N. a) Ch ứng minh OA vuông g óc v ới MN. b) Vẽ đường kính AOK của đường tròn tâm O. Gọi E là trung điểm của HK. Chứng minh E là tâm c ủa đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC. c) Cho BC c ố định. Xác định vị trí của điểm A để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC l ớn nhất. Câu 5 (1 đi ểm) Cho đư ờng tròn (O) và điểm P cố định ở bên trong đường tròn ( P khác O). Hai dây AB và CD thay đ ổi qua P và vuông góc với nhau. M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Ch ứng minh rằng: MN luôn đi qua một điểm cố định. …………………………………………H ết……………………………………. Đ Ề THI CHÍNH THỨC . DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI K Ỳ THI CHỌN H ỌC SINH GIỎI C ẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM 2013 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/03 /2013 ( Đ ề thi gồm có 01 trang ) Câu. BC. Ch ứng minh rằng: MN luôn đi qua một điểm cố định. …………………………………………H ết……………………………………. Đ Ề THI CHÍNH THỨC