Trường THCS: Họ và tên HS: Số BD: ĐỀ THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn: Toán Lớp: 9 Thời gian: 150 phút Mã số: Điểm Nhận xét và chữ ký của giám khảo Mã số: Số Chữ VÒNG 1 I/ Trắc nghiệm: (5đ) A. Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất: 1/ Rút gọn biểu thức 5 2 6− được kết quả là: A. 4 B. 3 2− C. 2 3− D. 3 2− 2/ Rút gọn biểu thức 2 2 1 1 x x x − + − được kết quả cuối cùng là: A. 1 B. – 1 C. 1, 1, ≥   −  neáu x 1 neáu x < 1 D. 1, 1,   −  neáu x > 1 neáu x < 1 3/ Điều kiện để 2 4x − có nghĩa là: A. x ≥ ± 2 B. x ≥ 2 C. x ≤ - 2 hay x ≥ 2 D. 2 2x− ≤ ≤ 4/ Điều kiện để 2 x− có nghĩa là: A. x ≥ 0 B. x ≤ 0 C. x = 0 D. Một giá trị khác. 5/ Cho hàm số y = f(x) = (m + 1)x 2 , kết luận nào sau đây là sai: A. Khi m > - 1 thì hàm số đồng biến với mọi x > 0 B. Khi m > - 1 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là 0 C. Hàm số nghịch biến khi m < - 1 D. Nếu f(x) = 2 khi x = – 1 thì m = 1 6/ Cho hàm số y = f(x) = (m 2 + 2m + 3)x – m 2 + 2m – 2 (m là tham số), kết luận nào sau đây là đúng: A. Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định B. Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định C. Đồ thị hàm số có thể không phải là một đường thẳng. D. Hàm số trên không phải là hàm số bậc nhất. 7/ Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a khi : A. f(a) = 0 B. f(x – a) = 0 C. f(a) ≠ 0 D. B. f(x – a) ≠ 0 8/ Phương trình ax + b = 0 có một nghiệm khi: A. a ≠ 0 B. b ≠ 0 C. a = 0 D. a = 0 và b ≠ 0 9/ Đường thẳng mx +3y – 5 = 0 và đường thẳng 2x + y – 9 = 0 cắt nhau khi: A. m ≠ 2 B. m = 2 C. m ≠ 6 D. m = 6 10/ Phương trình 2 .x 2 + ( 2 – 3 )x – 3 = 0, có nghiệm là: A. x 1 = 1, x 2 = - 3 B. x 1 = -1, x 2 = - 3 C. x 1 = 1, x 2 = 3 D. x 1 = – 1, x 2 = 6 2 11/ Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0) chỉ có nghiệm khi: A. ac < 0 B. ∆ > 0 C. ∆ = 0 D. ∆ ≥ 0 1 Học sinh khơng được ghi vào khung này vì sẽ rọc phách 12/ Giá trò lớn nhất của biểu thức A = 2 3 2x + là : A. A = 3 B. A = 2 C. A = 3 2 D. A = 2 3 B. Hãy nối mỗi ơ ở cột A với một ơ ở cột B để được một khẳng định đúng, rồi điền kết quả vào phần bài làm: A B a) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác 1) có hai tiếp tuyến chung b) Số đo góc nội tiếp 2) bằng số đo cung bị chắn c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 3) là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó d) Số đo góc ở tâm 4) là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó e) Hai đường tròn tiếp xúc ngồi với nhau 5) bằng nửa số đo góc ở tâm f) Trong một tứ giác nội tiếp 6) có ba tiếp tuyến chung g) Hai đường tròn cắt nhau 7) dựng được một đường tròn h) Qua ba điểm phân biệt khơng thẳng hàng 8) tổng hai góc đối bằng 180 0 9) bằng nửa số đo cung bị chắn 10) dựng được vơ số đường tròn II/ Tự luận : (5đ) Bài 1/ (1 điểm) Xác định số a sao cho 9x 2 + a chia hết cho 3x + 2. Bài 2/ (1 điểm) Giải và biện luận phương trình: a 2 x + 2 = a(x+2) , a là tham số Bài 3/ (1,5 điểm) Cho biểu thức A = 1 1 2 1x x x x x x x x x − − − − − − + a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 2 Bài 4/ (1,5 điểm) Cho đường tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa cung lớn AB. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AI, dựng tia Ax vng góc với đường thẳng MI tại H và cắt BM tại C. a/ Chứng minh tam giác AMC cân. b/ Khi điểm M di động trên cung lớn AB, chứng minh rằng điểm C ln cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi HẾT 2 Học sinh không được ghi vào khung này vì sẽ rọc phách BÀI LÀM. I/ Trắc nghiệm: (5đ) A. Kết quả của khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất: Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đáp án B. Nối mỗi ô ở cột A với một ô ở cột B để được một khẳng định đúng, kết quả là: a , b , c , d , e , f , g , h ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG HUYỆN MÔN TOÁN 9, VÒNG 1 NĂM HỌC 2008 – 2009. I/ Trắc nghiệm: (5đ) A. Kết quả của khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất: Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đáp án B D C C C A A A C D D C B. Nối mỗi ô ở cột A với một ô ở cột B để được một khẳng định đúng, kết quả là: a- 3 , b – 9 , c – 4 , d – 2 , e – 6 , f – 8 , g – 1 , h – 7 II/ Tự luận : (5đ) Bài 1/ (1 điểm) 3 Thực hiện phép chia 9x 2 + a cho 3x + 2 được thương 3x – 2 , dư a + 4 …………0,5 đ Để 9x 2 + a chia hết cho 3x + 2 thì a + 4 = 0, suy ra a = - 4 ……………………….0,5 đ Bài 2/ (1 điểm) Giải và biện luận phương trình: a 2 x + 2 = a(x+2) ⇔ a 2 x – ax = 2a – 2 ⇔ a(a – 1)x = 2(a – 1) ………………………………………….0,25 đ * Nếu a ≠ 0 và a ≠ 1, thì phương trình có nghiệm 2 x a = ………….0,25 đ * Nếu a = 0, thì phương trình thành 0x = - 2 ….………….………….0,25 đ Phương trình vô nghiệm * Nếu a = 1 , thì phương trình thành 0x = 0 ………… ………….0,25 đ Phương trình nghiệm đúng với mọi x Kết luận nghiệm: Ghi tóm tắt các kết quả trên. Bài 3/ (1,5 điểm) Cho biểu thức A = 1 1 2 1x x x x x x x x x − − − − − − + a) Rút gọn A A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x − + + − + − − − − + , Đk: x>0, x ≠ 1 ……0,25 đ A = 1 1 2 1x x x x x x x + + − − − − A = 2 3x x x − + …………………………………………… ………….0,5 đ b) Tìm x để A = 2 thì 2 3x x x − + = 2 ⇔ 2 3 2x x x− + = ⇔ 2 3 2x x x− + = ⇔ 4 3 0x x− + = ⇔ x = 1 ; x = 9……………………………………….… ………….0,5 đ Kết luận: …………………………… …………0,25 đ Bài 4/ (1,5 điểm) 4 O H C A B I M a/ · 1 2 AMH = sñ ¼ » ( )AM MI+ = º º 1 1 2 2 =sñAI sñBI · · º 1 2 HMC BMI= = sñBI Suy ra: · · AMH HMC= 0,5 đ Hay MH là đường phân giác của AMC ∆ Mà MH là đường cao của AMC∆ Suy ra: AMC ∆ cân tại M. 0,5 đ b/ MH là đường trung trực của đoạn AC Nên IC = IA, mà AI không đổi, I cố định. Suy ra khi M di chuyển trên cung lớn AB, thì điểm C luôn cách điểm I cố định một khoảng không đổi HẾT Trường THCS: ĐỀ THI HSG HUYỆN Mã số: 5 Họ và tên HS: Số BD: NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn: Toán Lớp: 9 Thời gian: 150 phút Điểm Nhận xét và chữ ký của giám khảo Mã số: Số Chữ VÒNG 2 Bài 1/ (2 điểm) Cho hệ phương trình 3 ( 1) 12 ( 1) 12 24 x m y m x y + − =   − + =  , với m là tham số a/ Giải và biện luận hệ phương trình . b/ Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) sao cho x và y là các số nguyên dương. Bài 2/ (2 điểm) Cho phương trình x 2 – 2 (m+1)x + 2m +10 = 0, với m là tham số. a/ Tìm m để phương trình có nghiệm. b/ Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho 2 2 1 2 1 2 10x x x x+ + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 3/ (1 điểm). Không lập phương trình, hãy giải bài toán sau (Giải bằng phương pháp số học): Cuối học kỳ I, số học sinh tiên tiến bằng 1 3 số học sinh cả lớp. Cuối năm, lớp có thêm 5 học sinh tiên tiến nên số học sinh tiên tiến bằng 4 9 số học sinh cả lớp. Tính số học sinh của lớp. Bài 4/ (1,5 điểm) Chứng minh các bất đẳng thức: a/ x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 ≥ 0, với mọi x b/ 4 1 ab a b ab + ≥ + ; với a > 0, b > 0 Bài 5/ (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy + y + 3x = 7 Bài 6/ (2,5 điểm) Từ điểm M trên cung nhỏ AC của đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC (M khác A và C). Hạ MK ⊥ BC, MH ⊥ AC, MI ⊥ AB. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AB và HK. Chứng minh tứ giác IEFM nội tiếp, từ đó suy ra ∆ EMF vuông tại F. Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG HUYỆN MÔN TOÁN 9, VÒNG 2 NĂM HỌC 2008 – 2009. 6 Bài 1/ (2 điểm) a/ Giải và biện luận hệ phương trình . Rút x từ PT trên, thế vào PT dưới, ta được PT: (m – 7)(m+5)y = 12 (m – 7) (1) 0,5 đ * Nếu m ≠ 7 và m ≠ - 5, pt (1) có nghiệm y = 12 5m + Suy ra hpt có nghiệm (x = 24 5m + , y = 12 5m + ) 0,25 đ * Nếu m = 7, thì pt (1) thành 0x = 0 nên pt có VSN Suy ra hpt có VSN thỏa mãn 3x + 6y =12 0,25 đ * Nếu m = - 5, thì pt (1) thành 0x = - 144 nên pt VN Suy ra: hpt VN 0,25 đ b/ Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) sao cho x,y là các số nguyên dương thì 24 M m+5 và 12 M m+5 0,25 đ Suy ra 12 M m+5 , nên m+5 =1;2;3;4;6;12 0,25 đ Từ đó tính được m = - 4; -3; -2; -1; 1; 7. Kết luận: 0,25 đ Bài 2/ (2 điểm) Cho phương trình x 2 – 2 (m+1)x + 2m +10 = 0, với m là tham số. a/ Tìm m để phương trình có nghiệm. ' ∆ = m 2 +2m +1 – 2m – 10 = m 2 – 9 0,5 đ Để phương trình có nghiệm thì ' ∆ ≥ 0 hay m 2 – 9 ≥ 0 ⇔ m ≤ - 3 hoặc m ≥ 3 0,5 đ b/ Khi m ≤ - 3 hoặc m ≥ 3 thì phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 và x 1 + x 2 = 2m +2, x 1 . x 2 = 2m+10 0,25 đ Khi đó: A= 2 2 1 2 1 2 10x x x x+ + = (x 1 + x 2 ) 2 + 8 x 1 .x 2 = 4m 2 +8m + 4 +16m +80 = = 4m 2 +24m + 84 = (2m + 6) 2 + 48 ≥ 48 0,5 đ Suy ra: Min A = 48 khi m = - 3 0,25 đ Bài 3/ (1 điểm) Số học sinh tiên tiến cuối năm nhiều hơn cuối học kỳ I là: 4 1 1 9 3 9 − = (số học sinh cả lớp) 0,5 đ Số học sinh cả lớp bằng: 1 5: 45 9 = ( Học sinh) 0,5 đ Bài 4/ (1,5 điểm) a/ a/ x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 ≥ 0, với mọi x ⇔ (x 2 +3x)(x 2 +3x +2) + 1 ≥ 0 0,5 đ ⇔ (x 2 +3x + 1) 2 ≥ 0 (luôn đúng, với mọi x). 0,25 đ Dấu “=” xảy ra khi: x 2 +3x + 1 = 0, Suy ra: x = 2 53 ±− Kết luận: b/ Vì a > 0, b > 0 Nên áp dụng BĐT Côsi ta có: a + b ≥ 2 ab và 1+ ab ≥ 2 ab Nhân hai vế của hai BĐT trên ta được: 7 (a+b)(1+ab) 4ab 0,25 Chia hai v BT cho 1 + ab >0 ta c pcm. Du = xy ra khi: a = b v ab = 1, suy ra a=b=1 0,25 Bi 5/ (1 im) Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: xy + y + 3x = 7 y(x+1) + 3(x+1) = 10 (x+1)(y+3) = 10 0,25 Ta cú: 10 = 1.10 = 2.5 x,y Z + , nờn x +1 < y + 3 Nờn: 1 1 3 10 x y + = + = 0 7 x Z y + = = (loaùi) 0,25 Hoc 1 2 3 5 x y + = + = 1 2 x y = = 0,25 Vy: phng trỡnh cú nghim nguyờn dng l (x = 1 v y = 2) 0,25 Bi 6/ (2,5 im) B A M I K H E F Chng minh c ã ã IHA IMA= v ã ã KMC KHC= 0,5 M ã ã IAM MCK= 0,25 Suy ra: ã ã IHA IMA= = ã ã KMC KHC= 0,5 Suy ra: Ba im I, H,K thng hng. 0,25 Ta cú: ã ã ã (ABM IKM= Cuứng baống ACM ) ã ã ã ( )MAB MHK= Cuứng buứ MCB Suy ra MAB : MHK 0,25 Suy ra: AB BM HK KM = Suy ra: EB BM FK KM = , Suy ra EBM : FKM 0,25 Nờn: ã ã BEM KFM= , Suy ra: ã ã IEM IFM= Do ú: T giỏc IEFM ni tip 0,25 Suy ra ã ã 0 90MFE MIE= = 0,25 Suy ra: pcm Ht 8 . HS: Số BD: ĐỀ THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn: Toán Lớp: 9 Thời gian: 150 phút Mã số: Điểm Nhận xét và chữ ký của giám khảo Mã số: Số Chữ VÒNG 1 I/ Trắc nghiệm: (5đ) A. Khoanh tròn chữ. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG HUYỆN MÔN TOÁN 9, VÒNG 1 NĂM HỌC 2008 – 2009. I/ Trắc nghiệm: (5đ) A. Kết quả của khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất:. định một khoảng không đổi HẾT Trường THCS: ĐỀ THI HSG HUYỆN Mã số: 5 Họ và tên HS: Số BD: NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn: Toán Lớp: 9 Thời gian: 150 phút Điểm Nhận xét và chữ ký của giám khảo