Phong36a@gmail.com Bài 1: Chứng minh ln (1), , ,0 a b a a b a b b a a b b − − < < ∀ ∈ < <¡ Cách 1: Sử dụng định lý Lagrang Ta thấy (1) có dạng: 1 ln ln 1a b a a b b − < < − , biểu thức ln lna b a b − − gợi ý cho ta sử dụng định lý Lagrang Xét hàm số ( ) lnf x x= trên [ ; ]b a . Vì ( )f x liên tục trên [ ; ]b a và khả vi trên khoảng ( ; )b a nên theo định lý Lagrang, ( ) ( ) 1 ln ln ( ; ) : '( ) f a f b a b c b a f c a b c a b − − ∃ ∈ = ⇒ = − − . Vì 1 1 1 1 ln ln 1 ( ; ) ln a b a b a a b c b a a c b a a b b a b b − − − ∈ ⇒ < < ⇒ < < ⇔ < < − ./. Cách 2: Sử dụng tích phân Ta thấy (1) có dạng: 1 1 ( ) ln ln ( )b a a b a b a b − < − < − , gợi ý sử dụng tích phân Với 1 1 1 ( ; )x b a a x b ∀ ∈ ⇒ < < . Hàm số 1 ( )f x x = liên tục trên [ ; ]b a nên ta có: 1 1 1 1 1 ln ln ln a a a a a a b b b b b b a b a b dx dx dx x x x a b a x b a b a a − − < < ⇒ < < ⇒ < − < ∫ ∫ ∫ Một số bài tương tự: Vận dụng kết quả bài 1, ta có kết quả sau: Bài 2: Chứng minh 1 * 1 1 1 1 , (2) n n e n n n +     + < < + ∀ ∈  ÷  ÷     ¥ Hướng dẫn: (2) 1 1 1 ln 1 n n n n + ⇔ < < + , có dạng của (1) với 1,a n b n= + = Một số bài tương tự: Bài 3: Chứng minh rằng: , 0; , 2 a b a b π   ∀ ∈ <  ÷   , ta có: 2 2 cos cos b a b a tgb tga a b − − < − < Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng tích phân Ta có 2 2 2 1 1 1 ; ,0 cos cos cos 2 x a x b a x b π < < ∀ < < < < 1 Phong36a@gmail.com Suy ra: 2 2 2 1 1 1 cos cos cos b b b a a a dx dx dx a x b < < ∫ ∫ ∫ Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang Biến đổi về: 2 2 1 1 cos cos tgb tga a b a b − < < − Bài 4: Cho 0x y> > . Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2005 2006 2006 2005 2006 2006y x y x y x x y− < − < − Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng tích phân 2005 2005 2005 x x x y y y y dt t dt x dt< < ∫ ∫ ∫ Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang Biến đổi về 2006 2006 2005 2005 2006 2006 x y y x x y − < < − Bài 5: Chứng minh rằng: ln(1 ) 0 1 x x x x x < + < ∀ > + Cách 1: Sử dụng tích phân 0 0 0 1 1 1 1 x x x dt dt dt x t < < + + ∫ ∫ ∫ Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang Biến đổi về: 1 ln(1 ) ln(1 0) 1 1 0 1 0 x x x + − + < < + − + Bài 6: Chứng minh: 1 1 1 1 1 (6), 0 1 x x x x x +     + > + ∀ >  ÷  ÷ +     Hướng dẫn: (6) 1 1 ( 1)ln 1 ln 1 ( 1) ( ) 1 x x f x f x x x     ⇔ + + > + ⇔ + >  ÷  ÷ +     với 1 ( ) ln 1f x x x   = +  ÷   Ta chứng minh rằng ( )f x là hàm số đồng biến trong khoảng (0; )+∞ . Thật vậy: 1 1 1 ( ) .(ln( 1) ln ) '( ) (ln( 1) ln ) ln( 1) ln 1 1 f x x x x f x x x x x x x x x   = + − ⇒ = + − + − = + − −  ÷ + +   Mặt khác theo kết quả của bài 1 với 1,a x b x= + = . Ta có: 1 1 1 1 ln ln( 1) ln 1 1 x x x x x x x + < < ⇒ < + − + + Do đó '( ) 0, 0f x x> ∀ > . Hàm f đồng biến nên ( 1) ( )f x f x+ > ./. 2 Phong36a@gmail.com Bài 7: Chứng minh rằng 2 1 ln(1 1 ) lnx x x + + < + (7) với mọi (0; )x ∈ +∞ Hướng dẫn: (7) 2 2 1 1 1 1 1 1 ln ln 1 x x x x x x   + + < ⇔ + + <  ÷  ÷   . Đặt 1 t x = , bài toán đưa về chứng minh 2 ln( 1 )t t t+ + < , (0; )t∀ ∈ +∞ (7.1). Cách 1: (Sử dụng tích phân): Ta có 2 2 0 2 2 0 0 0 1 1 1, 0 , 0 ln( 1 ) ln( 1 ) 1 1 t t t t x dx dx t x x x t t x x x < ∀ > ⇒ < ∀ > ⇒ + + < ⇒ + + < + + ∫ ∫ Cách 2: (Sử dụng định lý Lagrang): Biến đổi (7.1) về dạng: 2 2 ln( 1 ) ln(0 1 0 ) 1 0 t t t + + − + + < − Xét hàm số 2 ( ) ln( 1 )f x x x= + + trên [0; ]t . Ta thấy ( )f x liên tục trên [0; ]t , khả vi trên (0; )t nên 2 0 0 2 0 1 ( ) (0) ln( 1 ) (0; ): '( ) 0 1 f t f t t x t f x t t x − + + ∃ ∈ = = = − + . Vì 2 2 2 0 1 ln( 1 ) 1 1 ln( 1 ) 1 t t t t t t x + + < ⇒ < ⇔ + + < + . Bài 8: Chứng minh rằng 2 2 1 ln( 1 ) 1 , 0x x x x x+ + + > + ∀ > (8) với mọi (0; )x ∈ +∞ Hướng dẫn: (8) 2 2 2 2 2 2 2 ln( 1 ) 1 ln( 1 ) 1 1 ln( 1 ) 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x + + ⇔ + + > + − ⇔ + + > ⇔ > + + + + 2 2 2 ln( 1 ) ln(0 1 0 ) 1 0 1 1 x x x x + + − + + ⇔ > − + + Cách 1: Sử dụng tích phân Ta có 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 , : 0 1 1 1 1 1 1 x x t t x dt dt x t x t < ∀ < < ⇒ < + + + + + + ∫ ∫ 2 2 2 2 0 0 1 ln( 1 ) ln( 1 ) 1 1 1 1 x x x dt t t x x x x ⇒ < + + ⇔ < + + + + + + ∫ Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang Xét hàm số 2 ( ) ln( 1 )f t t t= + + trên [0; ]x . Do ( )f x liên tục trên [0; ]x và khả vi trên (0; )x . Do đó tòn tại 2 0 0 2 0 1 ( ) (0) ln( 1 ) (0; ) : '( ) 0 1 f x f x x x x f x x x x − + + ∃ ∈ = = = − + 3 Phong36a@gmail.com Do 0 2 2 2 0 1 1 1 (0; ) 1 1 1 1 x x x x x ∈ ⇒ > > + + + + . Suy ra: 2 2 ln( 1 ) 1 1 1 x x x x + + > + + 4 . b − − gợi ý cho ta sử dụng định lý Lagrang Xét hàm số ( ) lnf x x= trên [ ; ]b a . Vì ( )f x liên tục trên [ ; ]b a và khả vi trên khoảng ( ; )b a nên theo định lý Lagrang, ( ) ( ) 1 ln. dụng tích phân 2005 2005 2005 x x x y y y y dt t dt x dt< < ∫ ∫ ∫ Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang Biến đổi về 2006 2006 2005 2005 2006 2006 x y y x x y − < < − Bài 5: Chứng minh. Sử dụng tích phân 0 0 0 1 1 1 1 x x x dt dt dt x t < < + + ∫ ∫ ∫ Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang Biến đổi về: 1 ln(1 ) ln(1 0) 1 1 0 1 0 x x x + − + < < + − + Bài 6: Chứng minh: 1 1