TRƯỜNG CĐSP QUẢNG NINH GIỚI THIỆU ĐỀ THI GIẢI TÍCH - 2013 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Dãy số thực (u n ) có    ++−++=++ == −− 21 10 )3)(2(4)3)(1(4)2)(1( 4;3 nnn unnunnunn uu n ≥ 2 Tìm u 2013 . Câu 2. Dãy số thực (u n ), có      + −− = = − − 135 249 2 1 1 1 n n n u u u u Tìm +∞→n lim u n Câu 3. Tính tích phân I n = dx x nx x ∫ − + π π sin)20131( sin Câu 4. Cho f(x) = 2x(1 – x). Tìm f n (x) = f(f(…(x)…) ; n lần hàm f Câu 5. Cho f là hàm khả vi trên R, f’ giảm ngặt, Axf x = ∞→ )(lim . Chứng minh rằng 0)('lim = ∞→ xf x . Câu 6. a) Tìm hàm số thực f(x) khả vi 2 lần trên R thỏa mãn    ∈∀= =−= Rxxfxf fff ),()('' )1()1(;1)0( Câu 6. b) Tìm hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trong R sao cho: f 2 (x) = ∫ ++ x dttftf 0 22 2013)](')([ Hết TRƯỜNG CĐSP QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM GIẢI TÍCH 2013 Câu NỘI DUNG CHÍNH Điểm 1. u n = (n + 3)(2 - n).2 n-1 (quy nạp, hoặc tìm được) ⇒ u 2013 = -2016.2011.2 2012 5,00 đ 2. Chứng minh u n = 103.11 243.22 1 1 − +− − − n n bằng quy nạp (hoặc tìm được u n ) +∞→n lim 103.11 243.22 1 1 − +− − − n n = 1 1 3 10 11 3 24 22 lim − − +∞→ − +− n n n = - 2 5,00 đ 3. I n = dx x nx x ∫ − + 0 sin)20131( sin π + dx x nx x ∫ + π 0 sin)20131( sin = H + K Trong H đặt x = - t ⇒ H = dt t nt t ∫ − + π 0 sin)20131( sin = dx x nx x x ∫ + π 0 sin)20131( sin2013 ⇒ I n = dx x nx ∫ π 0 sin sin Ta th`y I n – I n-2 = ∫∫ −= −− ππ 00 )1cos(2 sin )2sin(sin xdxndx x xnnx Nếu n = 2k thì I n = I 0 = 0. Nếu n = 2k + 1 thì I n = I 1 = π 5,00 đ 4. Ta chứng minh f n (x) = 2 1 - 12 2 − n (x - n 2 ) 2 1 (*). n = 1: f(x) = 2 1 - 2(x – 2 1 ) 2 = -2x 2 + 2x (đúng) Giả sử (*) đúng ⇒ f n+1 (x) = [1 - n 2 2 (x - n 2 ) 2 1 ][ 2 1 + 12 2 − n (x - n 2 ) 2 1 ] = 2 1 - 12 2 − n (x - n 2 ) 2 1 + 1 2 2 −n (x - n 2 ) 2 1 - n 2 2 (x - 1 2 ) 2 1 +n = 2 1 - n 2 2 (x - 1 2 ) 2 1 +n . ĐPCM 5,00 đ 5. Trước hết ta chứng minh f(x + 1) - f(x) < f’(x) < f(x) - f(x - 1) Áp dụng định lý Lagrange trên các đoạn [x - 1;x] và [x;x + 1] ⇒ ∃c 1 ∈(x - 1;x); c 2 ∈(x;x + 1): f’(c 1 ) = 1 )1()( −− xfxf ; f’(c 2 ) = 1 )()1( xfxf −+ Vì f’(x) giảm ngặt nên có ĐPCM Lại có ∞→x lim [ f(x + 1) - f(x)] = ∞→x lim [ f(x) - f(x - 1)] = 0 ⇒ 0)('lim = ∞→ xf x 5,00 đ 6.a) f(x) – f”(x) = 0 ⇔ f(x) – f’(x) + f’(x) - f”(x) = 0 ⇔ e x [f(x) – f’(x) + f’(x) - f”(x)] = 0 ⇔ (e x [f(x) – f’(x)])’ = 0 ⇒ e x [f(x) – f’(x)] = C ⇒ f(x) – f’(x) = C.e -x ⇔ e -x [f(x) – f’(x)] = C.e -2x ⇒ [e -x .f(x)]’ = C.e -2x ⇒ e -x .f(x) = A. e -2x + B ⇒ f(x) = A.e -x + B.e x ⇒ f(x) = 2 xx ee − + (Thử lại, kết luận) 5,00 đ 6.b) L`y đạo hàm hai vế: 2f’(x)f(x) = f 2 (x) + f’ 2 (x) ⇔ f’(x) = f(x) ⇔ f(x) = C.e x . Cho x = 0 ta có f(0) = ± 2013 ⇒ f(x) = ± 2013 e x . 5,00 đ . TRƯỜNG CĐSP QUẢNG NINH GIỚI THIỆU ĐỀ THI GIẢI TÍCH - 2013 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Dãy số thực (u n ) có    ++−++=++ == −− 21 10 )3)(2(4)3)(1(4)2)(1( 4;3 nnn unnunnunn uu n. tục trong R sao cho: f 2 (x) = ∫ ++ x dttftf 0 22 2013)](')([ Hết TRƯỜNG CĐSP QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM GIẢI TÍCH 2013 Câu NỘI DUNG CHÍNH Điểm 1. u n = (n + 3)(2 - n).2 n-1 (quy nạp,. (u n ), có      + −− = = − − 135 249 2 1 1 1 n n n u u u u Tìm +∞→n lim u n Câu 3. Tính tích phân I n = dx x nx x ∫ − + π π sin)20131( sin Câu 4. Cho f(x) = 2x(1 – x). Tìm f n (x) =