Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh PHẦN II: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ: ( ) ( ) = = ± = ± ± ± =  =  = ⇔ =   =  = + + = + + = r r r r r r r r r r r r r r ur uur r                                                                                 ⇔ = ⇔ ∧ = ⇔ = = ⊥ ⇔ = ⇔ + + =     ∧ = =  ÷  ÷     r r r r r r r r r r r r r r                                                                 = − − − uuur ! ! !  ! " " # # $ $  11. r r r  đồng phẳng ( ) . 0a b c⇔ ∧ = r r r r r r  không đồng phẳng ( ) . 0a b c⇔ ∧ ≠ r r r 13.M là trung điểm Athì       +++ 2 , 2 , 2 BABABA zzyyxx M 14. G là trọng tâm tam giác ABC       ++++++ , 3 , 3 , 3 CBACBACBA zzzyyyxxx G 15. Véctơ đơn vị: 1 2 3 (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)e e e = = = ur uur ur 16. OzzKOyyNOxxM ∈∈∈ ),0,0(;)0,,0(;)0,0,( 17. OxzzxKOyzzyNOxyyxM ∈∈∈ ),0,(;),,0(;)0,,( 18.    !       % ! !      ∆ = ∧ = + + uuur uuur 19. ! &  ' ! !!&  = ∧ uuur uuur uuur 20. / . ).( //// AAADABV DCBAABCD ∧= 2/ Mặt cầu : 2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính r ( ) ( ) ( ) 2 r − + − + − = 2 2 2 x a y b z c Phương trình & + + + = 2 2 2 x y z + 2Ax +2By + 2Cz 0 ( !  & + + − > 2 2 2 vôùi 0 ) là phương trình mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và = + + −    ( !  & 2 2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho ( ) ( ) ( ) 2 r − + − + − = 2 2 2 (S): x a y b z c và (α): Ax + By + Cz + D = 0 Gọi d = d(I,(α)) : khỏang cách từ tâm I của mc(S) đến mp(α ):  d > r : (S) ∩ α = φ  d = r : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, α: tiếp diện)  d < r : α cắt (S) theo đường tròn có pt ( ) ( ) ( ) 2 r α  − + − + − =   + + + =   2 2 2 (S) : x a y b z c : Ax By Cz D 0  Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh II. MẶT PHẲNG 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1. Vectơ pháp tuyến của mp α :  r ≠  r là véctơ pháp tuyến của α ⇔ Giáủ  r ⊥α 2. Pt tổng qt của mp( α ): A" + B# + C$ + &) * α ) có'+,+  r )!  3.Một số trường hợp đặcbiệt của phương trình mặt phẳng *Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oz: Ax+By+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa) *Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :   $  #  " =++ *Phương trình các mặt phẳng tọa độ: -#$.")-"$.#) ; -"#.$) 4. Vị trí tương đối của hai mp ( α 1 ) và ( α 2 ) : /  . .!. .!01 ≠⇔βα / 2 1 2 1 2 1 2 1 // D D C C B B A A ≠==⇔ βα / 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A ===⇔≡ βα 234561           ! !    α ⊥ β ⇔ + + = .KC từ M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) đến ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0  o o o 2 2 2 Ax By Cz D A B C α + + + = + + d(M,( )) 6.Góc gi ữa hai mặt phẳng . 21 21 . . nn nn rr rr = ),cos( βα III. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x o ;y o ;z o ) có vtcp a r = (a 1 ;a 2 ;a 3 )  Rt; tazz tayy taxx (d) 3o 2o 1o ∈      += += += : 2.Phương trình chính tắc của (d)  32 a z-z a yy a xx (d) o 1 o 0 : = − = − 3.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng : Cho 2 đường thẳng d 1 : có véctơ chỉ phương a → và đi qua M 1 , d 2 : có véctơ chỉ phương → b và đi qua M 2 * d 1 // d 2 ⇔  =   ≠   r r r r uuuuur r   7   7* *  *d 1 ≡ d 2 ⇔  =   =   r r r r uuuuur r   7   7* *   ( với a 1 .a 2. a 3 ≠0) Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh * d 1 cắt d 2 ⇔ ( )  ≠   =   r r r r r uuuuur   7   7  * *  *d 1 chéo d 2 ⇔ ( ) ≠ r r uuuuur   7  * *  * Đặc biệt d 1 ⊥d 2 ⇔   → = r a b 4.Góc giữa 2 đường thẳng : = r r r r    8 8    5. Khoảng cách giữa từ M đến đường d 1 : ( ) 1 1 ; ; M M a d M d a     = uuuuur r r 6. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d 1 ;d 2 )=d(M 1 ;d 2 ). 7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: ( ) 1 2 ; . ; ; a b M M a b     =     d d d 1 2 r r uuuuuur r r B.PHẦN BÀI TẬP: I/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ MẶT CẦU: Dạng tốn 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình: & + + + = 2 2 2 x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0 Phương pháp giải: • Tìm tâm: hồnh độ lấy hệ số của x chia (-2), tung độ lấy hệ số của y chia (-2), cao độ lấy hệ số của z chia (-2)⇒ Tâm mặt cầu là I(-A ;-B ;-C). • Tím bán kính 2 2 2 A +B +C -Dr = Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) x y z x y       + + − − + = Giải: a,T©m mỈt cÇu l I(4;1;0)à , B¸n kÝnh cđa mỈt cÇu l : à + + − + + − = ⇔ + + − + + − = b x y z x y z x y z x y z        9              Ta có:T©m mỈt cÇu I(1; -4/3; -5/2), B¸n kÝnh cđa mỈt cÇu : Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A Phương pháp giải: • Tìm bán kính mặt cầu là : 2 2 2 ( ) ( ) ( ) A I A I A I r IA x x y y z z= = − + − + − • Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1). Giải: B¸n kÝnh mỈt cÇu l : à 2 2 2 2 1 0 5r IA= = + + = Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3) 2 + (y+3) 2 + (z-1) 2 = 5 Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB Phương pháp giải:  Tìm trung điểm I của đoạn AB với ( ; ; ) 2 2 2 A B A B A B x x y y z z I + + + ,  Tính đoạn 2 2 2 AB ( ) ( ) ( ) B A B A B A x x y y z z = − + − + −  2 2 2 2 2 2 A +B +C -D ( 4) +(-1) +0 -1 4r = = − = 2 2 2 2 2 2 4 5 19 A +B +C -D ( 1) + + +1 3 2 6 r     = = − =  ÷  ÷     Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh  Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính 2 AB r = Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3). Giải: Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5), 2 2 2 AB= ( 2) 4 ( 4) 6− + + − = Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;-1 ;5), bán kính AB 3 2 r = = phương trình của mặt cầu là : Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(α) Phương pháp giải: • Tìm bán kính mặt cầu là : + + + = α = + + # $ & : : :    !  A.x r d(I,( )) • Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng ( α ): 2x+2y+z-1=0 Giải: Bán kính mặt cầu là : + + − = α = = + + r d(I,( )) ;           Phương trình mặt cầu là : 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 4) 1x y z− + − + − = Dạng 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D Phương pháp giải: Ptr mc có dạng & + + + = 2 2 2 x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0 A,B,C,D ∈ mc(S) ⇒ thế toạ độ của A,B,C,D vào phương trình mặt cầu đc hệ pt, giải tìm A, B, C, D ⇒ phương trình mặt cầu. Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) <4=><45?@!A A&  Giải: Phương mặt cầu (S) có dạng: & + + + = 2 2 2 x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0 , ta có : (6; 2;3) ( ) 49 12 4 6 0(1) (0;1;6) ( ) 37 2 12 0(2) (2;0; 1) ( ) 5 4 2 0(3) (4;1;0) ( ) 17 8 2 0(4) A S A B C D B S B C D C S A C D D S A B D − ∈ + − + + =     ∈ + + + =   ⇔   − ∈ + − + =     ∈ + + + =   .Lấy (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta được hệ: 12 6 6 12 2 4 2 14 32 1 3 4 2 2 12 3 A B C A A B C B D A B C C − − = − = −     − + + = − ⇔ = ⇒ = −     − − − = = −   Vậy phương trình măt cầu là: x 2 +y 2 +z 2 -4x+2y-6z-3=0 Dạng 6: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C có tâm nằm trên mp(P) Phương pháp giải: Mc(S) có ptr: & + + + = 2 2 2 x y z + 2Ax+ 2By + 2Cz 0 (2) A,B,C ∈ mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào pt (P) Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) có tâm I thuộc mp(P) : x+2y+2z-3=0 Giải:  2 2 2 ( 3) ( 1) ( 5) 9x y z− + + + − = Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Phương mặt cầu (S) có dạng: & + + + = 2 2 2 x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0 , ta có : (6; 2;3) ( ) 12 4 6 49(1) (0;1;6) ( ) 2 12 37(2) (2;0; 1) ( ) 4 2 5 (3) ( ; ; ) ( ) 2 2 3 (4) A S A B C D B S B C D C S A C D I A B C P A B C − ∈ − + + = −     ∈ + + = −   ⇔   − ∈ − + = −     − − − ∈ − − − =   .Lấy (1)-(2); (2)-(3); kết hợp(4) ta được hệ: 7 5 12 6 6 12 11 27 4 2 14 32 5 5 2 2 3 3 A A B C A B C B D A B C C  = −  − − = −     − + + = − ⇔ = ⇒ = −     − − − =  = −    Vậy phương trình mặt cầu là: x 2 +y 2 +z 2 - 14 5 x + 22 5 y - 6z 27 5 − =0 Dạng 7: Xét vị trí tương đối của mp(P) và mặt cầu: Phương pháp giải: • Tìm tâm I bán kính r của mặt cầu (S). • Tính + + + = + + A.x d(I,(P)) # $ & : : :    !  . So sánh r với d(I ;(P)) suy ra vị trí tương đối. Ví dụ: Cho mặt cầu (S): (x-1) 2 + y 2 + (z+2) 2 = 9 và mp(P): x+2y+2z-3=0. chứng minh mặt phẳng cắt mặt cầu. Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-2) bán kính r=3. ( ) ( ) 1 2.0 2.( 2) 3 d I ; P 2 1 4 4 + + − − = = + + <3= r vậy mặt phẳng cắt mặt cầu. II/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG: Chú ý : - Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến -Mặt phẳng qua 1 điểm M(x 0 ;y 0; z 0 ) và có 1 véctơ pháp tuyến  r = (A; B; C) phương trình là: A(x- x 0 ) + B(y- y 0 ) + C(z- z 0 )= 0. -Nếu khơng tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp(α) ta đi tìm 2 véctơ ,a b r r khơng cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp(α) khi đó [ ; ]n a b= r r r là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng(α). Dạng 1: Viết phương trình mp ( ) α điểm đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và 1 véctơ pháp tuyến ( ; ; )= r n A B C . Phương pháp giải: B1: Nêu rõ đường thẳng đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có 1 véctơ pháp tuyến ( ; ; )= r n A B C . B2: Viết phương trình mp( α ) theo cơng thức: A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0 B3: Rút gọn đưa về dạng: Ax+By+Cz+D=0. Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua A(2;3;1) và có một VTPT là n (2;3;1)= r  Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh Giải: Mặt phẳng ( α ) đi qua A(2;-1;1) và có 1 véctơ VTPT n (2; 3;5) = − r ⇒ phương trình là: 2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0 ⇔ 2x-3y+5z-12 =0 Dạng 2: Viết phương trình mp ( ) α đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C. Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB, AC uuur uuur B2: Tìm n AB;AC   =   r uuur uuur B3: Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1) Giải: Ta có: AB (2;2; 1), AC (2;1; 3)= − = − uuur uuur ⇒ n AB;AC ( 5;4; 2)   = = − −   r uuur uuur Mặt phẳng (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT n ( 5;4; 2) = − − r ⇒ phương trình là: -5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0 ⇔ -5x+4y-2z =0 ⇔ 5x-4y+2z=0. Dạng 3: Viết phương trình mp ( ) α đi qua điểm M 0 cho trước và song song với mp( β ) cho trước ( 0 ( )M β ∉ ). Phương pháp giải: B1: Tìm VTPT n r của mp ( )β B2: Mp ( )α cần tìm đi qua điểm M 0 và nhận n r làm VTPT. B3: Viết phương trình mp ( )α đi qua điểm M 0 và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0 Giải: Mặt phẳng (Q) có 1VTPT n (2; 1;3)= − r . Mặt phẳng (P)//mp(Q)⇒ mp(P) nhận vectơ n (2; 1;3)= − r làm 1VTPT, mặt khác mp(P) đi qua M(1;3;-2) nên phương trình của mp(P) là : 2(x-1)-(y-3)+3(z+2) = 0 ⇔ 2x-y+3z+7=0. Cách khác: Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0 (D≠4). Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0 ⇔ D=7 (nhận). Vậy phương trình mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0 Dạng 4: Viết phương trình mp ( )α song song với mp( β ) cho trước cách điểm A cho trước một khoảng k cho trước (k>0). Phương pháp giải: B1: Tìm VTPT n r của mp ( )β B2: Viết dạng phương trình mp ( )α có VTPT n r . B3: Giải phương trình d(A; ( )α )= k tìm được số hạng tự do⇒phương trình mp( α ). Ví dụ: : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp( β ):5x+y-7z+3=0. Viết phương trình mp(α) //mp( β ) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2. Giải Mp(β) có một VTPT là 1 (5;1; 7)= − ur n , mp (α) //mp( β ) ⇒ phương trình mp(α) có dạng: 5x+y-7z+D = 0 (D≠3)  Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh Do mp(α) cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2 ⇔ d(A;(α))=2 ⇔     A & &A   &A   &A)            D + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ ± ⇔ = ± + + − (nhận) ⇒ phương trình của mp(α) là: " # $B   + − ± = Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD cho trước. ( AB uuur không cùng phương với CD uuur ). Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB uuur và CD uuur . B2: Tìm n AB,CD   =   r uuur uuur . B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1), C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0). Lập phương trình mặt phẳng ( ) α chứa đường thẳng CD và song song với đường thẳng AB. Giải Ta có ( ) ( ) 1, 5, 2 ; 2,1,1= − − = uuur uuur AB CD ⇒ ( ) ; 3, 5,11   = = − −   r uuur uuur n AB CD là VTPT của mp(Q) Mặt phẳng ( ) α đi qua C có 1 VTPT ( ) 3, 5,11= − − r n ⇒ Phương trình mp ( ) α là: -3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = 0 ⇔ -3x – 5y + 11z + 17 = 0 ⇔ 3x+5y-11z -17 = 0 Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm A, B và song song với đường thẳng d cho trước. (AB không song song với d). Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB uuur và véctơ chỉ phương a r của d. B2: Tìm n AB,d   =   r uuur r . B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n r làm VTPT. Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho trước. ( ∉A d ) Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ điểm M 0 ∈ d và VTCP u r của d. Tìm 0 AM uuuuur B2: Tìm 0 n AM ,u   =   r uuuuur r B3: Viết PT mặt phẳng( α ) đi qua điểm A và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(-1 ,2 , 3) và chứa trục 0x. Giải Trục 0x đi qua O(0;0;0) và có 1VTCP i (1;0;0)= r , 0A ( 1;2;3)= − uuur ⇒ n 0A,i   =   r uuur r =(0;3;-2). Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và nhận n r =(0;3;-2) làm một VTPT, phương trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0 ⇔ 3y-2z=0. Cách khác : Phương trình mặt phẳng( α ) chứa trục ox có dạng: By+Cz=0. (1) Do mặt phẳng( α ) đi qua A(-1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 chọn B=3 ⇒ C= -2 ⇒ phương trình mặt phẳng ( α ) là: 3y-2z=0.  Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB uuur và toạ độ trung điểm I của đoạn AB. B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm I và nhận AB uuur làm VTPT ⇒ phương trình mặt phẳng trung trực Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) và B(3,-1;2) Giải: Ta có trung điểm của AB là I(2;1;1), AB (2; 4;2)= − uuur . Mp(P) đi qua trung điểm I của AB và có 1VTPT là AB (2; 4;2)= − uuur ⇒ phương trình mặt phẳng trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0 ⇔ 2x-4y+2z-2=0 Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với đoạn thẳng AB. Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB uuur . B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M và nhận AB uuur làm VTPT. B3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận AB uuur làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;0) vuông góc với đoạn thẳng AB, biết A(1;0;1) và B(3,-1;2). Giải: Ta có AB (2; 1;1)= − uuur . Mp(P) đi qua M(1;3;0) và có 1VTPT là AB (2; 1;1)= − uuur ⇒ phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x-1)-(y- 3)+1(z-0)=0 ⇔ 2x-y+z+1=0 Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm M 0 cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước. Phương pháp giải: B1: Tìm VTCP u r của d. B2: Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua điểm M 0 và nhận u r làm VTPT. Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng( β ) cho trước. (AB không vuông góc với ( ) β ). Phương pháp giải: B1: Tìm toạ độ AB uuur và VTPT n β uur của mặt phẳng( β ). B2: Tìm n AB, n β   =   r uuur uur . B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Viết phương trình mp ( α ) đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(P): 2x-y+3z-1=0 Giải Ta có AB ( 1; 2;5)= − − uuur , mp(P) có 1 VTPT là P n (2; 1;3)= − uur ⇒ P n AB;n ( 1;13;5)   = = −   r uuur uur Mp( α ) đi qua A(3;1;-1), có 1 VTPT là n ( 1;13;5)= − r ⇒ phương trình mặt phẳng ( α ) là: -1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0 ⇔ -x+13y+5z-5=0 ⇔ x-13y-5z+5=0 Dạng 10: Viết phương trình mp ( ) α đi qua điểm A và vuông góc với 2 mặt phẳng( β ), ( γ ) cắt nhau cho trước. Phương pháp giải:  Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh B1: Tìm toạ độ VTPT n β uur , n γ uur của 2 mặt phẳng( β ) và ( γ ). B2: Tìm n n ;n β γ   =   r uur uur . B3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp ( ) α :5x+y-7z+3=0 và mp( β ): 2x+2y- 4z+1=0. Viết phương trình mp(P) đi qua A(1;2;3) và vuông góc với 2 mặt phẳng (α), (β). Giải Mp(α) có một VTPT là 1 (5;1; 7)= − ur n , mp(β) có một VTPT là 2 (2;2; 4)= − uur n ⇒ 1 2 , (10;6;8)   = =   r ur uur n n n Do mp(P)vuông góc với 2 mặt phẳng (α) và (β) ⇒ mp(P)có một VTPT là (10;6;8)= r n , mặt khác mp(P) còn đi qua A(1;2;3) ⇒ Phương trình mp(R) là: 10(x-1) + 6(y-2) + 8(z-3) = 0 ⇔ 5(x-1) + 3(y-2) + 4(z-3) = 0 ⇔ 5x+3y+4z-23=0 Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm M 0 và song song với hai đường thẳng phân biệt d 1 , d 2 cắt nhau hoặc chéo nhau cho trước. Phương pháp giải: B1: Tìm các VTCP 1 2 u , u uur uur của d 1 và d 2 . B2: Tìm 1 2 n u ,u   =   r uur uur B3: Viết phương trình mặt phẳng( )α đi qua điểm M 0 và nhận n r làm VTPT. Ví dụ: Cho điểm ( ) 0;1;2A và hai đường thẳng 1 1 1 : 2 1 1 x y z d − + = = và 2 1 : 1 2 2 x t d y t z t = +   = − −   = +  . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với hai đường thẳng 1 d và 2 d HD: . 1 d có VTCP ( ) 1 2;1;1u = r . 2 d có VTCP ( ) 2 1; 2;1u = − r . ( ) P có VTPT ( ) 1 2 ; 3; 1; 5n u u   = = − −   r ur uur (do 1 d và 2 d không song song) . Phương trình mặt phẳng (P) qua A và có VTPT n r là : 3 5 11 0x y z− − + = Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α // ( ) β : Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S). Phương pháp giải: B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S). B2:Do mp( α )//mp ( ) β ⇒phương trình mặt phẳng( α ) có dạng Ax+By+Cz+m=0(*) (m≠D) B3: Mặt phẳng ( ) α tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔ d(I,( α ))=R giải phương trình này tìm được m thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta được phương trình mặt phẳng( α ). Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;-1) , mặt phẳng (P ) : 2 10 0x y z + + + = và mặt cầu (S) : 2 2 2 2 4 6 8 0 + + − + − + = x y z x y z . Viết phương trình mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) HD: Mặt cầu (S) có tâm I(1,-2,3) và 6R = Phương trình mặt phẳng (R) có dạng: 2 0x y z m + + + = ( ) 1m ≠ Do mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên: ( ) ( ) ,d I R R= 1 2 6 6 1 1 4 m− + + ⇔ = + +  Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Giải ra ta được: 1 11 m m =   = −  . Vậy phương trình mặt phẳng (R) : 2 1 0 2 11 0 x y z x y z + + + =   + + − =  III/ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG: Chú ý : - Muốn viết phương trình đường thẳng thường đi tìm: 1 điểm di qua và 1 véctơ chỉ phương - Đường thẳng d đi qua điểm M(x 0 ;y 0; z 0 ) và có 1 véctơ chỉ phương ( ; ; )u a b c= r phương trình tham số là: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  . Nếu a.b.c ≠ 0 thì phương trình chính tắclà: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = -Nếu khơng tìm được ngay véctơ chỉ phương của đường thẳng d ta đi tìm 2 véctơ ,a b r r khơng cùng phương có giá vng góc với d khi đó [ ; ]u a b= r r r là một véctơ chỉ phương của (d). Dạng 1: Đường thẳng (d) đi qua A có một véctơ chỉ phương u r Phương pháp giải: B1: Chỉ rõ (d) đi qua A(x 0 ;y 0; z 0 ) có một véctơ chỉ phương ( ; ; )u a b c= r B2 : Viết phương trình đường thẳng (d) theo u cầu. Ví dụ : Viết PTchính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP a  = − r . Giải: Đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP a  = − r . Phương trình chính tắc là : 5 4 1 2 3 1 x y z − − − = = − . Phương trình tham số là 5 2 4 3 1 x t y t z t = +   = −   = +  Dạng 2: Đường thẳng (d) đi qua A,B Phương pháp giải: B1 : Tìm véctơ AB uuur B2 : Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP AB uuur Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3),B(4; 4; 4) Giải: Ta có (3; 2; 1)AB = uuur : Đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3), có 1 VTCP là (3; 2; 1)AB = uuur Phương trình tham số là 1 3 2 2 3 x t y t z t = +   = +   = +  Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ( ∆ ) Phương pháp giải: B1:Tìm véctơ chỉ phương r a của (d) B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP r a Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với ∆: x t y t z t       = +  = − +   =  Giải: Đường thẳng ∆ có 1 VTCP là (2; 3; 4)a = r  [...]... giữa a và b, góc giữa a và b là góc giữa (α) và ( β ) MỘT BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP : 17 β b c a α Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Bài 1 (đề thi TNTHPT hệ BT – 2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = a và AC = a 3 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài 2 (đề thi TNTHPT... khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm Xác định thi t diện của (P) với khối nón và tính diện tích thi t diện đó Bài 12 Cho hình nón có thi t diện qua trục là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần b) Tính thể tích khối nón đó c) Một thi t diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600 Tính diện tích của thi t diện này Bài 13 Một hình trụ... diện tích của thi t diện qua AB và song song với trục của khối trụ a) Tính độ dài đoạn vng góc chung của AB và trục của khối trụ Bài 15 Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vng tại B và AB = 6a, BC = 8a Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện Bài 16 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a, Xác định tâm và bán kính... – 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài 3 (đề thi TNTHPT – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy một góc 60 0 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 4 (đề thi TNTHPT – 2011 ) Cho hình chóp... SABCD, có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D với AD=CD= a, AB=3a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45 0 Tính thể tích khối chóp SABCD theo a Bài 5 (đề thi TNTHPT hệ BT – 2011) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Biết SA vng góc với mặt phẳng ABC và SA=a Tính thể tích khối chóp SABC theo a Bài 6 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh... qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) 2) Xác định tọa độ hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng(P) Bài 8) Đề thi TNTHPT năm 2012 Câu 4.a Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;1), B(0;2;5) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x –y+5 =0 1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B 2) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB PHẦN III: HÌNH HỌC KHƠNG... thẳng d đi qua T và vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) Bài 6) TNTHPT 2010 Câu 4.a Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3) 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với đường thẳng BC 2) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài 7) Đề thi TNTHPT năm 2011 Câu 4.a Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;0) và mặt phẳng (P)... minh: BCC1B1 là hình chữ nhật Bài 9 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 , đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 600 Chân đường vng góc hạ từ B1 xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy Cho BB1= a a Tính góc giữa cạnh bên và đáy b Tính thể tích khối hộp Bài 10 .Cho lăng trụ đều ABCD.A1B1C1D1 cạnh đáy bằng a Góc giữa đường chéo AC1 và đáy là 600 Tính thể tích của khối lăng trụ Bài 11 Cho khối nón... ∆ABC đều cạnh a: S = 2 4 b/ Diện tích hình vng : S= cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S= dài x rộng 1 d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2 e/ Diện tích hình bình hành : S= đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : S = π R 2 6/ Hình chóp đều : là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của... r r d) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1) Tìm điểm M sao cho AM = 2 AB − 3BC uuuu uuu uuu r r r HD: Gọi M(x,y,z), tính AM , 2 AB − 3BC hai véctơ bằng nhau ⇔ các toạ độ tương ứng bằng nhau MỘT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHẦN HÌNH HỌC KHƠNG OXYZ Bài 1) TNTHPT 2007 Câu 6a Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm E(1;2;3) và mặt phẳng (α ) có phương trình x + 2y – 2z +6 = 0 1 viết phương trình mặt . khối nón và tính diện tích thi t diện đó. Bài 12. Cho hình nón có thi t diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần b). Bài 5. (đề thi TNTHPT hệ BT – 2011) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA=a. Tính thể tích khối chóp SABC theo a. Bài 6. Cho hình chóp. 2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a và AC = a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Bài 2. (đề thi TNTHPT