1 SỞ GD&ĐT THANH HÓA Đề chính thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 07 trang ) Câu Ý Nội dung Điểm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị   C 2,00  Tập xác định:   \ 2 . D     Sự biến thiên: Giới hạn và tiệm cận: lim 2,lim 2 x x y y     , tiệm cận ngang: y = 2, 2 2 lim ,lim x x y y         ; tiệm cận đứng: 2 x   . 0,50 Chiều biến thiên:   2 4 ' 0, 2 y x D x      Hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 2   và   2; .   0,50 Bảng biến thiên: x y’ y 0,50 1. Đồ thị : Đồ thị (C) nhận giao điểm hai tiệm cận I(-2; 2) làm tâm đối xứng. 0,50 Viết phương trình tiếp tuyến 2,00 I. (4.0) 2. Gọi 0 2 x   là hoành độ của tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó phương trình tiếp là:         0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 4 4 4 : 2 0 2 2 2 2 x y x x x x y x x x x               0,50  2     2 2   2 -2 y x 0 I 2 Ta có ( ; ) d A   0 2 0 0 0 4 4 0 0 4 4 8 ( 2 ) 2 2 ( 2) 2 ( 2) 16 16 1 1 ( 2) ( 2) x x x x x x               0,50 0 2 0 8 ( 2) 2 2. 8 ( 2) x x      Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :   4 0 0 0 4 2 16 0. x x x          0,50 Với 0 0 1 4 4 : 6 x y y x         Với 0 0 2 0 0 : . x y y x       0,50 Giải phương trình: 3 3 6 3 sin .sin3 cos .cos3 1 tan( )tan( ) 8 x x x x x x        (1) 2,00 *ĐK: sin( ) 0 6 os( ) 0 6 sin( ) 0 3 os( ) 0 3 x c x x c x                        * Ta có: 6 3 tan( ) tan( ) 1. x x       0,50 * Nên: 3 3 1 (1) sin .sin3 cos .cos3 8 x x x x    2 2 1 sin .sinx.sin3 cos .cos .cos3 8 x x x x x    2 2 1 1 1 (1 os ). ( os4x - cos2 ) os . ( os4x + cos2 ) 2 2 8 c x c x c x c x      0,50 2 1 2cos cos4 -cos 4 cos 2 4 x x x x    2 1 cos4 (2cos 1) cos2 4 x x x     1 os4 . os2 os2 4 c x c x c x    0,25 2 4(2cos 2 1) os2 4. os2 1 0 x c x c x      3 8 os 2 1 c x   0,25 II. (4.0) 1. 1 6 os2 ( ). 2 6 x k c x k x k                     0,25 3 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: ( ). 6 x k k        0,25 Giải hệ phương trình :     2 1 2 2 1 (1 4 )5 1 2 (1) ( , ) ln 3 ln 3 (2) 4 x y x y x y x y x y x y                     2,00 Đ/k 3 x   và 3. y   Đặt t = 2x – y, phương trình (1) trở thành: 1 1 1 1 4 1 2 (1 4 ).5 1 2 5 5 t t t t t t           0,25 1 4 1 2 .2 5 5 5 5 t t t                 (3) 0,25 Ta có hàm số 1 4 ( ) 5 5 t t f t               nghịch biến và hàm số 1 2 ( ) .2 5 5 t g t   đồng biến trên ,  mà t = 1 thỏa mãn (3), nên t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3) 2 1. x y    0,50 Ta có (2) 4ln( 3) 4ln( 3) (*) x x y y       Xét hàm số: ( ) 4ln( 3), 3, (*) ( ) ( ) y f t t t t f x f y         Ta có: 1 '( ) , '( ) 0 1 3 t f t f t t t       BBT: t f’(t) f(t) Với 1 x  1, y   ta có 1 x y   thỏa mãn hệ phương trình đã cho. 0,50 2. Từ 2 1 1 x y y x x       Với 1 x  ta có: 1 1 ( ) ( ) Khi x y x f y f x       1 1 ( ) ( ) Khi x y x f y f x       Suy ra với   ( 3; ) \ 1 2 1, x x y           ta luôn có ( ) ( ). f y f x  Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 1 1. x y      0,50 Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 3. x y z    Chứng minh rằng       2 (1) 4 4 4 x y z y z x z x y xyz yz zx xy          2,00 Cách 1. (1) 2 (2) (4 ) (4 ) (4 ) y z z x x y yz yz zx zx xy xy           0,25 III. (4.0) 1. Ta có : 2 2 (4 ) (4 ) (4 ) yz y z yz yz yz yz yz yz       0,25 - 3 1  0 - + 4 Đặt 3 , 0 2 t yz t    Ta có : 2 4 3 3 1 4 9 4 16 4 4 9 t t t t t t t           2 2 3 ( 1) ( 2 9) 0 0; 2 t t t t              Suy ra : 2 8 2 (4 ) 9 (4 ) yz y z yz yz yz yz        1,00 Chứng minh tương tự ta có : 2 8 (4 ) 9 z x zx zx zx      ; 2 8 (4 ) 9 xy x y xy xy      Từ đó suy ra : 2( ) 24 2( ) 24 (2) 2. 9 9 xy yz zx x y z VT            (đpcm) 0,50 Cách 2. Ta có (1) 2 (2). (4 ) (4 ) (4 ) y z z x x y yz yz zx zx xy xy           Ta có : 2 2 (4 ) (4 ) (4 ) yz y z yz yz yz yz yz yz       0,50    2 2 2 yz yz yz    Mà   2 1 yz yz   suy ra :      2 2 (4 ) 2 2 2 y z yz yz yz yz yz yz        1,00 1 1 1 18 (2) 2 2 2 2 6 VT yz zx xy xy yz zx                   18 2. 6 x y z      (đpcm) 0,50 Tìm m 3 1 2 0 (1) 4 3.2 4 0 (2) x x x x x mx              2,00 Đ/k: 0 x  Bất phương trình (2) x 2 x x 2 x (2 ) 3.2 .2 4.2 0     0,25     x x x x x x 2 2 . 2 4.2 0 2 4.2 0         2 x x   0,50 2 0 0 2 0 4 x x x x           . Đối chiếu ĐK được 0 4 x   (*) 0,25 Hệ bất phương trình có nghiệm 3 3 2 0 x mx     có nghiệm   0;4 x Với 0 x  thì (1) không thỏa mãn. 0,25 Với 0 4 x   (1) có nghiệm thỏa mãn   0;4 x   2 2 m x g x x     có nghiệm   0;4 x 0,25   0;4 min ( ) m g x   mà 2 1 1 3 x x x    , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   1 0;4 x   0,25 2. Suy ra   0;4 min ( ) (1) 3. g x g   Vậy 3 m  là giá trị cần tìm. 0,25 5 Cho khai triển   15 2 14 2 210 0 1 2 210 1 (1) x x x a a x a x a x         2,00 Nhân hai vế của (1) với   15 1 , x  ta được     210 15 15 15 0 1 1 (2) k k k x x a x            0,50 Ta có   15 15 15 15 15 0 1 ( 1) (3) i i i i x x C      Hệ số của 15 x trong khai triển (3) là : 1 15 15 (4) C    0,50      210 15 0 1 2 2 15 15 2 210 15 15 15 15 0 1 2 210 0 1 (5) k k k x a x C C x C x C x a a x a x a x                   0,25 Thực hiện phép nhân đa thức ta được hệ số của 15 x trong khai triển (5) là : 0 1 2 15 15 15 15 14 15 13 15 0 (6) C a C a C a C a    0,50 1. Từ (2), (4) và (6) ta được 0 1 2 15 15 14 13 0 15 15 15 15 15. a a a a C C C C       (đpcm) 0,25 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2,00 Gọi ( )  là đường tròn có phương trình     2523 22  yx có tâm (3; 2) I  bán kính 5 R  Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Gọi L là trung điểm của đoạn HD, K là giao điểm của EF và AD, suy ra K là trung điểm của EF và AD (1) Suy ra KL là đường trung bình của tam giác ADH Suy ra / / (2) KL HD KL AH KL EF       Như vậy từ (1) và (2) suy ra H, D, E, F là bốn đỉnh của hình thang cân. Suy ra ( )  đi qua trung điểm ba cạnh tam giác ABC. 1,00 Cách 1. Ta có : 2 2 2 . GA GD GB GE GC GF                    suy ra phép vị tự tâm G tỉ số k = -2, biến tam giác DEF thành tam giác ABC. 0,50 IV. (4.0) 2. và do đó biến đường tròn ( )  thành đường tròn ( ')  ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính R’ = 2R = 10, có tâm I’(x ;y) thỏa mãn : 3 ' 2 ( 3;10). 10 x GI GI I y              Vậy 2 2 ( '):( 3) ( 10) 100. x y      0,50 A B E F C K D L H 6 Cách 2. Ta có 3 3 3 3 G A B C A B G C G A B C A B G C x x x x x x x x y y y y y y y y                    và 2 2 , F A B F A B x x x y y y        do đó 2 2 3 2 3 3 6 2 3 2 25 2 3 6 2 2 2 C F F G C C C F G C C F x x x x x x y y y y y y                                       2 2 ( 3) ( 10) 100 (3). C C x y     0,50 Tương tự, tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình 2 2 ( 3) ( 10) 100 (4). x y    Từ (3) và (4), suy ra pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2 2 ( 3) ( 10) 100. x y    0,50 Ghi chú : Nếu học sinh chứng minh bốn điểm H, D, E, F nằm trên đường tròn ( )  phụ thuộc vào dạng tam giác ABC mà không xét hết trường hợp trừ 0,25 điểm Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 2.00 N M A' B' C A B C' H Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A'B' . Kẻ ( ). MH CN H CN   Tam giác CAB cân tại C suy ra AB  CM. 0,25 Mặt khác AB CC ’ ( ') ' ' ( ') AB CMNC A B CMNC     ' ' A B MH   Như vậy ( ' '). ' ' MH CN MH CA B MH A B        0,50 Ta có: / /( ' ') ( , ') ( ,( ' ') . AB CA B d AB CB d M CA B MH    0,50 Tam giác BMC vuông tại M, suy ra 0 .tan30 3 a CM BM  0,25 Tam giác CMN vuông tại M, có MH là đường cao 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 3 1 MN a MH MC MN a a MN         0,25 1 Từ đó 3 . ' ' ' 1 3 . .2 . . . 2 3 3 ABC A B C ABC a a V S MN a a   0,25 V (4.0) 2 Viết phương trình mặt phẳng (P) 2.00 7 Giả sử ta xác định được mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên (P). Ta có :     ,( ) 15 ,( ) 2 d A P AH d B P BK          Mà 13 15 12 13 (1) AH BK AB       . Như vậy dấu đẳng thức ở (1) phải xảy ra. 0,50 Điều đó tương đương với ( ) H K P AB    tại điểm H thỏa mãn 15 2 AH BH H K          0,50 Gọi ( ; ; ) H x y z 88 15 1 ( 6) 13 2 15 154 88 154 2 ( 10) ; ; 3 . 2 13 13 13 15 3 3 ( 3) 2 x x x y y y K H z z z                                             0,50 Vậy phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng đi qua H nhận ( 5;12;0) AB   làm vtpt, nên có phương trình ( ):65 156 2288 0 P x y    . 0,50 Cách 2. Ta có   ,( ) 15 ( ) d A P P   tiếp xúc với mặt cầu 1 S tâm A bán kính 1 15 R  và   ,( ) 2 ( ) d B P P   tiếp xúc với mặt cầu 2 S tâm B bán kính 2 2 R  . 0,50 Ta lại có 1 2 13 15 12 , AB R R      suy ra 2 ( ) S nằm trong 1 ( ) S và hai mặt cầu đó tiếp xúc với nhau, đồng thời mặt phẳng (P) cần tìm sẽ đi qua tiếp điểm và vuông góc với ( 5;12;0). AB    0,50 Tiếp điểm H của hai mặt cầu 1 S , 2 S thỏa mãn 15 2 AH BH    Gọi ( ; ; ) H x y z 88 15 1 ( 6) 13 2 15 154 88 154 2 ( 10) ; ; 3 . 2 13 13 13 15 3 3 ( 3) 2 x x x y y y H z z z                                            0,50 Vậy phương trình ( ):65 156 2288 0 P x y    . 0,50 Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn. . 1 SỞ GD&ĐT THANH HÓA Đề chính thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT (Hướng dẫn và biểu điểm chấm. 07 trang ) Câu Ý Nội dung Điểm Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị   C 2,00  Tập xác định:   2 . D     Sự biến thi n: Giới hạn và tiệm cận: lim 2,lim 2 x x y y . 2 x   . 0,50 Chiều biến thi n:   2 4 ' 0, 2 y x D x      Hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 2   và   2; .   0,50 Bảng biến thi n: x y’ y